新高考數(shù)學二輪復習鞏固練習20 圓錐曲線經(jīng)典難題之一類面積、面積比問題的通性通法研究（解析版）

微專題20圓錐曲線經(jīng)典難題之一類面積、面積比問題的通性通法研究【秒殺總結】1、三角形面積問題模型一：基本方法模型二：分割三角形模型三：三角形面積坐標表示模型四（面積比）：“等角”“共角”“對頂角”蝴蝶模型SKIPIF1<0蟬模型SKIPIF1<02、四邊形面積問題模型一SKIPIF1<0模型二SKIPIF1<0模型三SKIPIF1<03、圓錐曲線中取值范圍問題的五種求解策略：（1）利用圓錐曲線的幾何性質或判別式構造不等關系，從而確定參數(shù)的取值范圍；（2）利用已知參數(shù)的范圍，求新的參數(shù)的范圍，解這類問題的核心是建立兩個參數(shù)之間的等量關系；（3）利用隱含的不等關系建立不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍；（4）利用已知的不等關系建立不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍；（5）利用求函數(shù)值域的方法將待求量表示為其他變量的函數(shù)，求其值域，從而確定參數(shù)的取值范圍.4、圓錐曲線中的最值問題解決方法一般分兩種：一是幾何法，特別是用圓錐曲線的定義和平面幾何的有關結論來求最值；二是代數(shù)法，常將圓錐曲線的最值問題轉化為二次函數(shù)或三角函數(shù)的最值問題，然后利用基本不等式、函數(shù)的單調性或三角函數(shù)的有界性等求最值．【典型例題】例1．（2023·寧夏銀川·一模）如圖，已知橢圓SKIPIF1<0，曲線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0軸的交點為SKIPIF1<0，過坐標原點SKIPIF1<0的直線SKIPIF1<0與相交于SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，直線SKIPIF1<0、SKIPIF1<0分別與SKIPIF1<0交于點SKIPIF1<0、SKIPIF1<0.(1)證明：以SKIPIF1<0為直徑的圓經(jīng)過點SKIPIF1<0；(2)記SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的面積分別為SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的取值范圍.【解析】(1)證明：若直線SKIPIF1<0的斜率不存在，則該直線與SKIPIF1<0軸重合，此時直線SKIPIF1<0與曲線SKIPIF1<0只有一個交點，不合乎題意.所以，直線SKIPIF1<0的斜率存在，設直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0.由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，設SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0、SKIPIF1<0是上述方程的兩個實根，于是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.又因為點SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0為直徑的圓經(jīng)過點SKIPIF1<0.(2)解：由已知，設SKIPIF1<0的斜率為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，則點SKIPIF1<0的坐標為SKIPIF1<0，又直線SKIPIF1<0的斜率為SKIPIF1<0，同理可得點SKIPIF1<0的坐標為SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，則點SKIPIF1<0的坐標為SKIPIF1<0，又直線SKIPIF1<0的斜率為SKIPIF1<0，同理可得點SKIPIF1<0的坐標SKIPIF1<0，于是SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，即當SKIPIF1<0時，等號成立，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的取值范圍為SKIPIF1<0.例2．（2023·浙江·模擬預測）如圖，點A，B是橢圓SKIPIF1<0與曲線SKIPIF1<0的兩個交點，其中點A與C關于原點對稱，過點A作曲線SKIPIF1<0的切線與x軸交于點D．記△ABC與△ABD的面積分別是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(1)證明：SKIPIF1<0；(2)若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的最大值．【解析】(1)由題設，令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，得證.(2)由（1）得：直線SKIPIF1<0為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0到直線SKIPIF1<0的距離為SKIPIF1<0；由SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，故過A的切線為SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0到直線SKIPIF1<0的距離為SKIPIF1<0；又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，根據(jù)SKIPIF1<0在橢圓上，則SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，綜上，SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，所以，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，此時SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0.例3．（2023·河南·一模（理））已知點F為橢圓SKIPIF1<0的右焦點，橢圓上任意一點到點F距離的最大值為3，最小值為1.（1）求橢圓C的標準方程；（2）若M為橢圓C上的點，以M為圓心，SKIPIF1<0長為半徑作圓M，若過點SKIPIF1<0可作圓M的兩條切線SKIPIF1<0(SKIPIF1<0為切點)，求四邊形SKIPIF1<0面積的最大值.【解析】（1）根據(jù)題意橢圓上任意一點到點SKIPIF1<0距離的最大值為3，最小值為1.所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0因此橢圓SKIPIF1<0的標準方程為SKIPIF1<0（2）由（1）知，SKIPIF1<0為橢圓的左焦點，根據(jù)橢圓定義知，SKIPIF1<0，設SKIPIF1<0，∵點SKIPIF1<0在圓SKIPIF1<0外，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0所以在直角三角形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由圓的性質知，四邊形SKIPIF1<0面積SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0.即SKIPIF1<0.令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0單調遞增；當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0單調遞減.所以，在SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0取極大值，也是最大值此時SKIPIF1<0.【點睛】關鍵點點睛：（1）橢圓上長軸上的兩個頂點到焦點的距離即為橢圓上的點到焦點的距離最值；（2）將四邊形的面積表示為關于SKIPIF1<0的函數(shù)，通過導數(shù)求最值即可.例4．（2023·天津·南開中學二模）已知橢圓SKIPIF1<0的左右焦點分別是SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，離心率為SKIPIF1<0，點P在橢圓E上，且SKIPIF1<0的面積的最大值為SKIPIF1<0.（1）求橢圓C的方程；（2）直線l過橢圓C右焦點SKIPIF1<0，交該橢圓于A?B兩點，AB中點為Q，射線OQ交橢圓于P，記SKIPIF1<0的面積為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的面積為SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，求直線l的方程.【解析】（1）依題意，顯然當P在短軸端點時，SKIPIF1<0的面積最大為SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，又由離心率為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以橢圓C的方程為SKIPIF1<0.（2）因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，當AB斜率不存在時，SKIPIF1<0，不合題意，當AB斜率存在時，設直線方程為SKIPIF1<0，設點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，兩式作差得：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，故直線OP的方程為：SKIPIF1<0，聯(lián)立SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，聯(lián)立SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，所以直線AB的方程為SKIPIF1<0.例5．（2023·全國·高三專題練習）已知橢圓SKIPIF1<0過點SKIPIF1<0，且離心率為SKIPIF1<0．(1)求橢圓C的方程；(2)設SKIPIF1<0，直線l與橢圓C交于SKIPIF1<0兩點，且SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0（O為坐標原點）的面積S最大時，求直線l的方程．【解析】（1）因為橢圓SKIPIF1<0過點SKIPIF1<0，且離心率為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以橢圓SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0；（2）顯然，直線SKIPIF1<0的斜率SKIPIF1<0存在，①當SKIPIF1<0時，可設直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0由SKIPIF1<0可設SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，當且僅當SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0時取等號，此時直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0；②當SKIPIF1<0時，可設直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，聯(lián)立SKIPIF1<0，消去SKIPIF1<0整理得SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0（*），則有SKIPIF1<0，于是可得SKIPIF1<0的中點為SKIPIF1<0即SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，化簡得SKIPIF1<0，結合（*）可得SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0到直線SKIPIF1<0的距離為SKIPIF1<0SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0取最大值，此時由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，綜上所述，直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.例6．（2023·全國·高三專題練習）過橢圓SKIPIF1<0上任意一點SKIPIF1<0作直線SKIPIF1<0(1)證明:SKIPIF1<0;(2)若SKIPIF1<0為坐標原點，線段SKIPIF1<0的中點為SKIPIF1<0，過SKIPIF1<0作SKIPIF1<0的平行線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0兩點，求SKIPIF1<0面積的最大值.【解析】（1）聯(lián)立SKIPIF1<0，消去SKIPIF1<0整理得：SKIPIF1<0，因為點SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上，所以SKIPIF1<0化簡得SKIPIF1<0.（2）設SKIPIF1<0，點SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0.由已知得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即點SKIPIF1<0滿足方程SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，設SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0面積的最大值為SKIPIF1<0.例7．（2023·全國·高三專題練習）橢圓SKIPIF1<0經(jīng)過點SKIPIF1<0且離心率為SKIPIF1<0；直線SKIPIF1<0與橢圓SKIPIF1<0交于A，SKIPIF1<0兩點，且以SKIPIF1<0為直徑的圓過原點.(1)求橢圓SKIPIF1<0的方程；(2)若過原點的直線SKIPIF1<0與橢圓SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0兩點，且SKIPIF1<0，求四邊形SKIPIF1<0面積的最大值.【解析】（1）橢圓SKIPIF1<0經(jīng)過點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0,橢圓的離心率為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以橢圓SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0.（2）當直線SKIPIF1<0斜率不存在時，設以AB為直徑的圓的圓心為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，則不妨取SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0方程為SKIPIF1<0，直線SKIPIF1<0過SKIPIF1<0中點，即為SKIPIF1<0軸，得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0；直線SKIPIF1<0斜率存在時，設其方程為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，聯(lián)立SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0①，SKIPIF1<0②，

SKIPIF1<0③，以SKIPIF1<0為直徑的圓過原點即SKIPIF1<0，化簡可得SKIPIF1<0，將②③兩式代入，整理得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0④，將④式代入①式，得SKIPIF1<0恒成立，則SKIPIF1<0，設線段SKIPIF1<0中點為SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，不妨設SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，又∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，又由SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0點坐標為SKIPIF1<0，化簡可得SKIPIF1<0，代回橢圓方程可得SKIPIF1<0即SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，綜上，四邊形SKIPIF1<0面積的最大值為SKIPIF1<0.例8．（2023·全國·高三專題練習）如圖，橢圓SKIPIF1<0的右焦點為SKIPIF1<0，過點SKIPIF1<0的一動直線SKIPIF1<0繞點SKIPIF1<0轉動，并且交橢圓于SKIPIF1<0兩點，SKIPIF1<0為線段SKIPIF1<0的中點.(1)求點SKIPIF1<0的軌跡SKIPIF1<0的方程;(2)在SKIPIF1<0的方程中，令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.①設軌跡SKIPIF1<0的最高點和最低點分別為SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0為何值時，SKIPIF1<0為正三角形?②確定SKIPIF1<0的值，使原點距直線SKIPIF1<0最遠，此時，設SKIPIF1<0與SKIPIF1<0軸交點為SKIPIF1<0，當直線SKIPIF1<0繞點SKIPIF1<0轉動到什么位置時，SKIPIF1<0的面積最大，并求出面積的最大值?【解析】（1）設SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，有SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，整理得到：SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0的坐標為SKIPIF1<0，此時滿足SKIPIF1<0，故點SKIPIF1<0的軌跡SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0即SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0.（2）①由（1）可得點SKIPIF1<0的軌跡為橢圓，其中心為SKIPIF1<0，長半軸長為SKIPIF1<0，短半軸長為SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0到SKIPIF1<0的距離為SKIPIF1<0.因為SKIPIF1<0為正三角形，故SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0或SKIPIF1<0（舍，因為SKIPIF1<0），而SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0.②原點距直線SKIPIF1<0的距離SKIPIF1<0為SKIPIF1<0，該距離可化簡為SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，整理得到：SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，當且僅當SKIPIF1<0即SKIPIF1<0時等號成立，此時SKIPIF1<0，直線SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，設直線SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，當且僅當SKIPIF1<0時等號成立，故直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0軸垂直時，SKIPIF1<0的面積最大，且面積最大值為SKIPIF1<0.例9．（2023·全國·高三專題練習）在平面直角坐標系中SKIPIF1<0，橢圓SKIPIF1<0的離心率為SKIPIF1<0，點SKIPIF1<0在橢圓SKIPIF1<0上.(1)求橢圓SKIPIF1<0的方程；(2)設橢圓SKIPIF1<0的左?右頂點分別為SKIPIF1<0，直線SKIPIF1<0過點SKIPIF1<0，且交橢圓于SKIPIF1<0兩點（異于SKIPIF1<0兩點），記直線SKIPIF1<0的斜率為SKIPIF1<0，直線SKIPIF1<0的斜率為SKIPIF1<0.①求SKIPIF1<0的值；②設SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的面積分別為SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的最大值.【解析】（1）由題意可得SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0，所以橢圓C的方程為SKIPIF1<0．（2）①依題意，點SKIPIF1<0，設SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0兩點異于SKIPIF1<0兩點，所以直線SKIPIF1<0斜率必不為0，設其方程為SKIPIF1<0，與橢圓聯(lián)立SKIPIF1<0，得：SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0.故SKIPIF1<0SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0②由題，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，則對勾函數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調遞增，故SKIPIF1<0，當且僅當SKIPIF1<0時取等號.所以SKIPIF1<0的最大值為SKIPIF1<0．【過關測試】1．（2023·黑龍江哈爾濱·高三哈爾濱三中校考階段練習）已知橢圓SKIPIF1<0,經(jīng)過點SKIPIF1<0,離心率為SKIPIF1<0.(1)求橢圓SKIPIF1<0的標準方程;(2)點SKIPIF1<0在橢圓SKIPIF1<0上,若直線SKIPIF1<0的斜率分別為SKIPIF1<0,且滿足SKIPIF1<0,求SKIPIF1<0面積的最大值.【解析】（1）解:由題知SKIPIF1<0的離心率為SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0,根據(jù)SKIPIF1<0,可得SKIPIF1<0,因為橢圓經(jīng)過點SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,故橢圓方程為:SKIPIF1<0;（2）由(1)知,橢圓方程為:SKIPIF1<0,①若直線SKIPIF1<0斜率為0,由圖象可得SKIPIF1<0,故不符合題意,舍去,②若直線SKIPIF1<0斜率不為0,設直線SKIPIF1<0方程SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,聯(lián)立SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0,故有SKIPIF1<0,則SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0,解得:SKIPIF1<0,此時直線SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,則SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0,點SKIPIF1<0到直線SKIPIF1<0的距離為:SKIPIF1<0,故SKIPIF1<0SKIPIF1<0,令SKIPIF1<0,則SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0,所以當SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0時,SKIPIF1<0.2．（2023·山東菏澤·高三統(tǒng)考期末）已知點SKIPIF1<0和直線SKIPIF1<0：SKIPIF1<0，直線SKIPIF1<0過直線SKIPIF1<0上的動點M且與直線SKIPIF1<0垂直，線段SKIPIF1<0的垂直平分線l與直線SKIPIF1<0相交于點P．(1)求點P軌跡C的方程；(2)過點F的直線l與C交于SKIPIF1<0兩點．若C上恰好存在三個點SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0的面積等于SKIPIF1<0，求l的方程．【解析】（1）連接PF，因為MF的垂直平分線l交SKIPIF1<0于點P，所以SKIPIF1<0，即點P到定點SKIPIF1<0的距離等于點P到直線SKIPIF1<0：SKIPIF1<0的距離，由拋物線的定義，點P的軌跡為拋物線SKIPIF1<0,即點P軌跡C的方程為SKIPIF1<0.（2）如圖，作與l平行且與C相切的直線SKIPIF1<0，切點為D,由題知SKIPIF1<0的面積等于SKIPIF1<0．由題意知直線l的斜率一定存在，設l的方程為SKIPIF1<0，方程SKIPIF1<0可化為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，設SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，將SKIPIF1<0代入SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，所以D到l的距離SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，消去y，得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，從而SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0的面積SKIPIF1<0，從而SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，此時SKIPIF1<0或SKIPIF1<0為使得SKIPIF1<0的面積等于SKIPIF1<0的一個點，那么在直線l的上方必然也存在著一條直線和l平行，和l的距離為SKIPIF1<0，這條直線與拋物線有兩個交點也使得SKIPIF1<0的面積等于SKIPIF1<0，即此時C上恰好存在三個點SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0的面積等于SKIPIF1<0，所以l的方程為SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．3．（2023·河南信陽·高三信陽高中校考期末）已知橢圓SKIPIF1<0的上?下頂點分別為SKIPIF1<0，點SKIPIF1<0在橢圓內，且直線SKIPIF1<0分別與橢圓SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0兩點，直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0軸交于點SKIPIF1<0．已知SKIPIF1<0．(1)求橢圓SKIPIF1<0的標準方程；(2)設SKIPIF1<0的面積為SKIPIF1<0的面積為SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的取值范圍．【解析】（1）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0,SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，所以橢圓方程SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0，所以直線SKIPIF1<0方程是SKIPIF1<0，聯(lián)立SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以直線SKIPIF1<0方程是SKIPIF1<0，聯(lián)立SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，SKIPIF1<0,SKIPIF1<0，直線SKIPIF1<0的方程SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0，因為點SKIPIF1<0在橢圓內，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，設SKIPIF1<0，SKIPIF1<04．（2023·上海閔行·高三上海市七寶中學?？计谀┮阎獧E圓SKIPIF1<0的左右焦點SKIPIF1<0分別是雙曲線SKIPIF1<0的左右頂點，且橢圓SKIPIF1<0的上頂點到雙曲線SKIPIF1<0的漸近線的距離為SKIPIF1<0.設SKIPIF1<0是第一象限內SKIPIF1<0上的一點，SKIPIF1<0的延長線分別交SKIPIF1<0于點SKIPIF1<0.(1)求橢圓SKIPIF1<0的方程.(2)求SKIPIF1<0面積的取值范圍.(3)設SKIPIF1<0分別為SKIPIF1<0的內切圓半徑，求SKIPIF1<0的最大值.【解析】（1）由題可知：SKIPIF1<0的上頂點SKIPIF1<0，雙曲線SKIPIF1<0的漸近線方程為：SKIPIF1<0由點到直線距離公式得SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，結合SKIPIF1<0得SKIPIF1<0.（2）設SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，聯(lián)立SKIPIF1<0，消SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.因SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0故SKIPIF1<0的取值范圍為SKIPIF1<0.（3）SKIPIF1<0，由（2）可知，則有SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0同理得SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0SKIPIF1<0，當且僅當SKIPIF1<0，取等號；則SKIPIF1<0，則當SKIPIF1<0為SKIPIF1<0時可取等.所以SKIPIF1<0的最大值為SKIPIF1<05．（2023·北京·高三校考期末）已知橢圓SKIPIF1<0的離心率為SKIPIF1<0，以橢圓SKIPIF1<0的任意三個頂點為頂點的三角形的面積是SKIPIF1<0．(1)求橢圓SKIPIF1<0的方程；(2)設SKIPIF1<0為原點，A為橢圓的左頂點，SKIPIF1<0是橢圓SKIPIF1<0上不同于點A的兩點，且直線SKIPIF1<0的斜率之積等于SKIPIF1<0．求SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的面積比值．【解析】（1）由題意得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，橢圓C的方程為SKIPIF1<0；（2）若直線MN斜率存在，設直線MN方程為SKIPIF1<0.由SKIPIF1<0，消去SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0.SKIPIF1<0，設SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0①，SKIPIF1<0②.由SKIPIF1<0以及SKIPIF1<0，SKIPIF1<0整理，得SKIPIF1<0.將①，②代入上式，整理，得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.當SKIPIF1<0時，滿足SKIPIF1<0，直線SKIPIF1<0過SKIPIF1<0；當SKIPIF1<0時，滿足SKIPIF1<0，直線SKIPIF1<0過SKIPIF1<0，此時SKIPIF1<0必有一點為SKIPIF1<0，不妨令SKIPIF1<0坐標為SKIPIF1<0，此時SKIPIF1<0，不滿足直線SKIPIF1<0的斜率之積等于SKIPIF1<0．舍去；若直線MN斜率不存在，則直線SKIPIF1<0斜率互為相反數(shù).不妨設SKIPIF1<0，于是直線SKIPIF1<0與橢圓交于SKIPIF1<0，由對稱性可知直線SKIPIF1<0與橢圓交于SKIPIF1<0.所以直線MN也過SKIPIF1<0.，所以SKIPIF1<0為MN中點，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的面積比值為SKIPIF1<0.6．（2023·全國·高三專題練習）仿射變換是處理圓錐曲線綜合問題中求點軌跡的一類特殊而又及其巧妙的方法，它充分利用了圓錐曲線與圓之間的關系，具體解題方法為將SKIPIF1<0由仿射變換得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則橢圓SKIPIF1<0變?yōu)镾KIPIF1<0，直線的斜率與原斜率的關系為SKIPIF1<0，然后聯(lián)立圓的方程與直線方程通過計算韋達定理算出圓與直線的關系，最后轉換回橢圓即可．已知橢圓SKIPIF1<0的離心率為SKIPIF1<0，過右焦點SKIPIF1<0且垂直于SKIPIF1<0軸的直線與SKIPIF1<0相交于SKIPIF1<0兩點且SKIPIF1<0，過橢圓外一點SKIPIF1<0作橢圓SKIPIF1<0的兩條切線SKIPIF1<0，SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，切點分別為SKIPIF1<0．(1)求證：點SKIPIF1<0的軌跡方程為SKIPIF1<0；(2)若原點SKIPIF1<0到SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的距離分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，延長表示距離SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的兩條直線，與橢圓SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0兩點，過SKIPIF1<0作SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，試求：點SKIPIF1<0所形成的軌跡與SKIPIF1<0所形成的軌跡的面積之差是否為定值，若是，求出此定值；若不是，請求出變化函數(shù)．【解析】（1）由仿射變換得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則橢圓SKIPIF1<0變?yōu)镾KIPIF1<0設原斜率存在分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，變換后為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，設變換后的坐標系動點SKIPIF1<0，過點SKIPIF1<0的直線為SKIPIF1<0SKIPIF1<0到原點距離為SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，由韋達定理得：SKIPIF1<0，化簡得：SKIPIF1<0由于原坐標系中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0所以在原坐標系中軌跡方程為：SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0，所以點SKIPIF1<0的軌跡方程為SKIPIF1<0，當切線斜率不存在時，由橢圓方程SKIPIF1<0易得SKIPIF1<0點在SKIPIF1<0上.（2）如圖所示延長SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，延長SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，由題意可知SKIPIF1<0，所以四邊形SKIPIF1<0為矩形，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分子分母同乘SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，當直線SKIPIF1<0斜率存在時，設SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，當斜率不存在時仍成立，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0所形成的軌跡與SKIPIF1<0所形成的軌跡的面積之差SKIPIF1<0是定值.7．（2023·湖北·高三統(tǒng)考期末）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為橢圓SKIPIF1<0：SKIPIF1<0的左、右焦點.點SKIPIF1<0為橢圓上一點，當SKIPIF1<0取最大值SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0.(1)求橢圓SKIPIF1<0的方程；(2)點SKIPIF1<0為直線SKIPIF1<0上一點（且SKIPIF1<0不在SKIPIF1<0軸上），過點SKIPIF1<0作橢圓SKIPIF1<0的兩條切線SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，切點分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，點SKIPIF1<0關于SKIPIF1<0軸的對稱點為SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0交SKIPIF1<0軸于點SKIPIF1<0.設SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的面積分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的最大值.【解析】（1）依題意有當SKIPIF1<0為橢圓短軸端點時SKIPIF1<0最大，此時SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0為正三角形，則SKIPIF1<0且SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0故橢圓方程為SKIPIF1<0.（2）設SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則依題意有SKIPIF1<0：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0：SKIPIF1<0因SKIPIF1<0，SKIPIF1<0都過點SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0則SKIPIF1<0方程為SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0過定點SKIPIF1<0.故設SKIPIF1<0方程為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，聯(lián)立SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0直線SKIPIF1<0方程為：SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0得SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0當且僅當SKIPIF1<0即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0時取等號故SKIPIF1<0最大值為SKIPIF1<0.8．（2023·全國·高三對口高考）如題圖，已知點SKIPIF1<0是