高考數(shù)學(xué)講義橢圓參考教案

一、橢圓的方程

Q

【例2】設(shè)定點(diǎn)￡（0,-3）,6（0,3）,動(dòng)點(diǎn)P滿足條件|歷|+歸周="+5（〃>0）,則點(diǎn)P的

軌跡是（）

A.橢圓B.線段C.不存在D.橢圓或線段

【考點(diǎn)】橢圓的方程

【難度】3星

【題型】選擇

【關(guān)鍵字】無

【解析】忸￡|+|「后|=。+2》2，^=6,當(dāng)且僅當(dāng)。=3時(shí)取等號(hào).

當(dāng)|P用+|P周=6時(shí)，點(diǎn)尸的軌跡是線段.一;

當(dāng)—+|尸鳥|>6時(shí)，點(diǎn)尸的軌跡是橢圓.

【答案】D

【例3】設(shè)橢圓§+衛(wèi)=1（。>6>0）的離心率為e=」，右焦點(diǎn)為F（c,0）,方程

a'b2

ai+bx-&）的兩個(gè)實(shí)根分別為辦和x2,則點(diǎn)尸（玉，馬）（）

A.必在圓f+y2=2內(nèi)B.必在圓產(chǎn)+產(chǎn)二？上

C.必在圓f+產(chǎn)=2外D.以上三種情形都有可能

【考點(diǎn)】橢圓的方程

【難度】2星

【題型】選擇

【關(guān)鍵字】無

11

1h7/-h

【解析】由已知有e=-r=-,于是石2+4=（芭+/）2一2不占=—7+二=二+1<2.

a2a"aa

【答案】A

22

【例4】已知二+"—=1表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，則，”的取值范圍是()

m"2+m

A.%>2或加<-1B.m>—2

C.—\<m<2D.，律>2或一2</n<—1

【考點(diǎn)】橢圓的方程

【難度】2星

【題型】選擇

【關(guān)鍵字】2009年，東城一模

［加+2>0.

【解析】由4,解得〃z>2或一2<帆〈一1.

>m+2

【答案】D

v221

【例5】若橢圓上—+上=1的離心率為e=,，則k的值等于.

/+892

【考點(diǎn)】橢圓的方程

【難度】2星

【題型】填空

【關(guān)鍵字】無

【解析】若橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，則/=上+8,y=9,d-l,e2=^=—=~,

a~%+84

解得％=4;

若橢圓的焦點(diǎn)在y軸上，則“2=9,C?=9-(%+8)=1-k,e2=-~~-=-,

94

解得z=-3；

4

【答案】k=4或-3.

4

【例6】已知常數(shù)a>0,向量c=(0,a)，i=(l,0).經(jīng)過原點(diǎn)。以c+斯為方向向量的直線

與經(jīng)過定點(diǎn)A(0,a)以為方向向量的直線相交于點(diǎn)P,其中/UR.試問：

是否存在兩個(gè)定點(diǎn)E,F,使得|PE|+|P用為定值.若存在，求出E,尸的坐標(biāo)；

若不存在，說明理由.

【考點(diǎn)】橢圓的方程

【難度】4星

【題型】解答

【關(guān)鍵字】無

【解析】?.?c=(0,a),i=(l,0),Ac+Ai=(A,a),i-2Ac=(l,-2Aa).

因此，直線OP和AP的方程分別為Zy=ax^y-a=-2Acuc.

消去參數(shù)4,得點(diǎn)P(x,y)的坐標(biāo)滿足方程y(y-〃)=-2。2/

2

2(y--)

整理得￡-+―2-=1.....①

因?yàn)閍>0,所以得：

⑴當(dāng)“=貞時(shí)，方程①是圓方程，故不存在合乎題意的定點(diǎn)E和f;

2

⑵當(dāng)0<〃<立時(shí)，方程①表示橢圓，焦點(diǎn),，)和尸(一1,q)為

22V222V22

滿足題意的兩個(gè)定點(diǎn)；

(3)當(dāng)?>—時(shí)，方程①也表示橢圓，焦點(diǎn)E(O,-(a+Ja2--))和

22V2

F(0-3)為合乎題意的兩個(gè)定點(diǎn).

2V2

注：由于向量可以用一條有向線段來表示，有向線段的方向可以決定解析幾何中直

線的斜率，故直線的方向向量與解析幾何中的直線有著天然的聯(lián)系.求解此類問題

的關(guān)鍵是：根據(jù)直線的方向向量得出直線方程，再轉(zhuǎn)化為解析幾何問題解決.

【答案】⑴當(dāng)〃=絲時(shí)，不存在合乎題意的定點(diǎn)E和F;

2

⑵當(dāng)0<a<立時(shí)，焦點(diǎn)E(-J--a2「)和F(-』J--a2，幺)為滿足題意的兩個(gè)

22V222V22

定點(diǎn)；

(3)當(dāng)4>立時(shí)，焦點(diǎn)￡((),(〃+。匚工))和尸(0,5_。二］))為合乎題意的兩

22V22V2

個(gè)定點(diǎn).

2)

【例7】過橢圓C：1+吞=1(4>/,>0)上一點(diǎn)尸引圓O：/+/=戶的兩條切線如、

ar3

PB,切點(diǎn)為A、B,直線鉆與工軸、y軸分別相交于M、N兩點(diǎn)

⑴設(shè)PCT。，%),且Xo%wO,求直線AB的方程；

⑵若橢圓C的短軸長為8,且上方+—J="，求此橢圓的方程；

|0N『16

⑶試問橢圓C上是否存在滿足PA?PB=0的點(diǎn)P,說明理由.

【考點(diǎn)】橢圓的方程

【難度】4星

【題型】解答

【關(guān)鍵字】無

1

【解析】⑴直線AB的方程：xox+y0>'=b(xoyo0)；

⑵由題設(shè)有6=4,

，從）（b2

由直線AB的方程可得M—,0,N0,—

I/%

于是

/b22)22

_J.2f%一_A-a25

-------------------

\OM|2|ON|2一戶+k3『正'

解得a=5,

故橢圓C的方程為工+工=1.

1625

⑶假設(shè)存在點(diǎn)P5,%）滿足PA.尸8=0,

連結(jié)。4、OB,由IPAHP8I,知四邊形A4O8為正方形，|OP|=0|OA|.

???%+y：=2b。.①

又P在橢圓上，:.a2x^+b2yl=a2b2②

b\a2-2b2)a2h2

由①②得七=2

a2-b2

'：a>b>0,：.a2>h2

...當(dāng)。22>0即a26b時(shí)，橢圓C上存在點(diǎn)P滿足題設(shè)條件;

當(dāng)笳<2"即時(shí)，橢圓C上不存在滿足題設(shè)的點(diǎn)P.

2

【答案】⑴直線的方程：xox+yQy=b（x0^00）；

（2）—+-^-=1；

1625

⑶當(dāng)a?》勸2>0即a》回時(shí)，橢圓C上存在點(diǎn)P滿足題設(shè)條件：

當(dāng)a?<2廿即〃時(shí)，橢圓C上不存在滿足題設(shè)的點(diǎn)P.

【例8】已知A,8,C均在橢圓M:1+y2=i（a>i）上，直線AS、AC分別過橢圓的左右

2

焦點(diǎn)￡、F2,當(dāng)AC?4鳥=0時(shí)，有9AK?AE=AM.

⑴求橢圓M的方程；

⑵設(shè)P是橢圓M上的任一點(diǎn)，"為圓N:/+（>-2）2=1的任一條直徑，求

PEPF的最大值.

【考點(diǎn)】橢圓的方程

【難度】4星

【題型】解答

【關(guān)鍵字】無

【解析】⑴：，即耳鳥為直角三角形，

AC-EK=0ACVFYF2,

/.IAFt|cosN耳A鳥=\AF2\.

2

于是9"；?你=9|4"||牧|以光/646=9|46|2=4片=|A^|2,

/.|AF.|=3|A^|.

a

又|*|+|A"|=2a,：.\AFt\=^a,\AF2\=^.

2

在必耳耳中,\AFS=\AF2^+\F2F,I,

解得〃=2,

故所求橢圓M方程為—+/=1.

2'

(2)PEPF=(NE-NP)■(NF-NP)

------22

=(-NF-NP)(NF-NP)=(—NP『-NF=NP-

從而只需求NP2的最大值.

2

尸是橢E1M上的任一點(diǎn)，設(shè)則有專-+為2=1,即年=2—2方.

又N(0,2),所以Nk=毛2+(%-2>=2-2年+(%-2>=-(％+2/+10.

2

而％所以當(dāng)先=-1時(shí)，NP-取最大值9,

故PEP尸的最大值為8.

->

【答案】⑴三+丁=1;

2

⑵PE-PF的最大值為8.

【例9】設(shè)橢圓鳥+4=1(。>6>0)的左、右焦點(diǎn)分別為小居，離心率6=也，M、

ab~2

2

N是直線/:x=土上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且?居N=0.

C

(1)若|月用|=|耳'卜26,求。、〃的值.

(2)證明：當(dāng)|MN|取最小值時(shí)，耳M+乙N與百鳥共線.

【考點(diǎn)】橢圓的方程

【難度】4星

【題型】解答

【關(guān)鍵字】2008年，四川高考

【解析】(1)由已知，F(xiàn)^-c,0),瑪(c,0).

因此M(2c,x),NQc,y2).

法一：

延長NF?交MF、于P,記/交r軸于Q.

由平面幾何知識(shí)易證RfAMQR絲Rt\F2QN,

.?.|QMT4Q|=3C，\QM\=\F2Q\=C,即血=c,|,y2|=3c.

卜忸止2后，

9c2+c2=20,c2=2,b2—2,a2=4.

a=2,b=A/2.

法二：

VFtMF2N=0,；.(3c,y)(c,%)=。，M%=-3c2co.

又,〃|=,叫=2石,

2

yty2=-3c

聯(lián)立,9。2+短=2(),消去弘、必得：(20-9。2)(20-。2)=9/,解得c?=2.

c2+W=20

'?a=2,b=5/2.

2

(2)VFtMF2N=(3c,yt)-(c,y2)=0,/.y,y2=-3c<0.

=y；+yj_2yly22一2yly2—2y%=T%%=12c?.

當(dāng)且僅當(dāng)y=-y2=Gc或y?=-)i=6c時(shí)，取等號(hào).此時(shí)|MN|取最小值2j5c.

此時(shí)4M+KN=(3c,士&)+(c,岳)=(4c,0)=2Ag.

耳M+gN與尸田共線.

另解:

2

VFtMF2N=O,(3c,y)?(<?,泗)=0，y,y2=-3c.

設(shè)MK，N?的斜率分別為k,-J.

y=?x+c)nM=3仁由，y=一：(x-c)c

由k=%=-7

x=2c

x=2c

1^1=1^-y2l=c-3jt+-226c.當(dāng)且僅當(dāng)次=!即％2=_l,/=±也時(shí)取等號(hào).

11kk33

即當(dāng)最小時(shí)，k=土弓,

此時(shí)耳M+KN=(3c,3履)+(c,-(卜(3c，±Gc)+(c,&)=(4c,0)=2片乙

/,月M+與七工共線.

【答案】(1)a=2,b=y/2.

2

(2)VF}MF2N=(3C,^)-(C,y2)=0,A^y2=-3c<0.

2

|MN『=|>|-y2|=短+y/-2y%2—2y%-2y%=-4y%=12c2.

當(dāng)且僅當(dāng)y=-％=也?；?=—y=也。時(shí)，取等號(hào).此時(shí)|MN|取最小值26c.

此時(shí)F{M+F2N=(3c,±\/3c)+(c,V3c)=(4c,0)=2F^F2.

???KM+乃N與KK共線.

另解：

VF}MF2N=0,A(3c,y,)-(c,^2)=0,乂乂=-3/.

設(shè)MK，N8的斜率分別為k,-1.

由[f(x+c)ny=3人由,

[x=2c

MN|=E-%|=c-3k+，>2>/3c.當(dāng)且僅當(dāng)次=1即二=1,女=±且時(shí)取等號(hào).

1kk33

即當(dāng)最小時(shí),左=±.，

此時(shí)4M+gN=(3c,3kc)+(c,-*J=(3c,±7^c)+(c,怎)=(4c,0)=2環(huán)鳥

耳M+F；N與尸石共線.

二、橢圓的離心率

2222

【例10】橢圓二+與=1和毛+[=k（后＞0）一定具有（）

a~b~a~h~

A.相同的離心率B.相同的焦點(diǎn)

C.相同的頂點(diǎn)D.相同的長軸長

【考點(diǎn)】橢圓的離心率

【難度】1星

【題型】選擇

【關(guān)鍵字】無

2222

【解析】將橢圓三+1=大的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程得：著+&=1，不妨設(shè)。>人，

故此方程的焦距為2,加-加，長軸長和短軸長分別為2?a、2癡，

離心率為返近三；

yJkaa

22

從而知，它與橢圓[+3=1一定有相同的離心率，選A.

a：b-

【答案】A

【例11】已知匕、鳥是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，過Z且與橢圓長軸垂直的直線交橢圓于A、B兩

點(diǎn)，若AAB6是正三角形，則這個(gè)橢圓的離心率是()

【考點(diǎn)】橢圓的離心率

【難度】2星

【題型】選擇

【關(guān)鍵字】無

【解析】由橢圓定義知，正三角形邊長為絲，且EE為正三角形的高，2c=—?—,

323

.73

..e=—

3

【答案】B.

【例12】已知耳、入是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，滿足M4.^^=0的點(diǎn)M總在橢圓內(nèi)部，則橢

圓離心率的取值范圍是()

16萬

A.(0,1)B.(0,-]C.(0,芋)D.[芋，D

【考點(diǎn)】橢圓的離心率

【難度】2星

【題型】選擇

【關(guān)鍵字】2008年，江西高考

【解析】滿足M4-M"=0的點(diǎn)用在以斗鳥為直徑的圓上，故只需即可，從而

_____5

a=y/b2+c2>\[ic,從而e<—.

2

【答案】C

【例13】已知小鳥是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，滿足嗎g=0的點(diǎn)M總在橢圓內(nèi)部，則橢

圓離心率的取值范圍是()

A.(0,1)B.(0,-]C.(0,1)D.g,l)

【考點(diǎn)】橢圓的離心率

【難度】2星

【題型】選擇

【關(guān)鍵字】2008年，江西高考

【解析】滿足"4&=0的點(diǎn)M在以大入為直徑的圓上，故只需c<6即可，從而

_____5

a=vb2+c2>\[2c,從而e<—.

2

【答案】C

22

【例14】橢圓二+馬=1(〃>6>0)的四個(gè)頂點(diǎn)為A、B、C、D,若四邊形ABC。的內(nèi)切

CTb-

圓恰好過橢圓的焦點(diǎn)，則橢圓的離心率是()

A.那B.Bc.后-1D石一]

242,4

【考點(diǎn)】橢圓的離心率

【難度】2星

【題型】選擇

【關(guān)鍵字】無

\/5-1

【解析】原點(diǎn)O到直線三+2=1的距離等于半焦距,ab_______—cse=_—_____

ab+/a2

【答案】C

222

［15015］設(shè)￡,K分別是橢圓「+1=1(。>6>0)的左、右焦點(diǎn)，若在直線/』=三上

abc

存在P(其中。=,左-〃),使線段P片的中垂線過點(diǎn)用，則橢圓離心率的取值范

圍是

()

A.

【考點(diǎn)】橢圓的離心率

【難度】3星

【題型】選擇

【關(guān)鍵字】無

/2\/,2\

【解析】由已知P—,y,所以耳P的中點(diǎn)。的坐標(biāo)為一，上，

Ic)12c2)

由左一？k-Q

…從，2c2'

kr,p.4°分=-1n)2=2b-

：.丁巾工巾二卜?！。?gt;o,解得曰<e<l.

當(dāng)&?=0時(shí)，不存在，此時(shí)K為中點(diǎn)，——c=2c=>e=

c

綜上得且We<l.

3

利用圖象直接分析得到2c>—-c,也可得到正確答案.

C

【答案】D；

【例16］如圖所示，“嫦娥一號(hào)”探月衛(wèi)星沿地月轉(zhuǎn)移軌道飛向月球，在月球附近一點(diǎn)P

軌進(jìn)入以月球球心F為一個(gè)焦點(diǎn)的橢圓軌道I繞月飛行，之后衛(wèi)星在尸點(diǎn)第二

次變軌進(jìn)入仍以F為一個(gè)焦點(diǎn)的橢圓軌道II繞月飛行，最終衛(wèi)星在P點(diǎn)第三次

變軌進(jìn)入以F為圓心的圓形軌道III繞月飛行，若用2G和2c2分別表示橢軌道【

和II的焦距，用2勾和2%分別表示橢圓軌道I和11的長軸的長，給出下列式子:

①4+C]+。2；?-Cj=a,-C,；③仿。2＞6。2；.

其中正確式子的序號(hào)是（）

A.①③B.②③C.①④D.②④

【考點(diǎn)】橢圓的離心率

【難度】3星

【題型】選擇

【關(guān)鍵字】2008年，湖北高考

【解析】由題意知4—4=4,一。2=|尸口，又4＞出，于是"士=1一幺＜色二2=1-2

4a,a2a2

=旦＞色.

4?2

【答案】B

【例17】已知有公共焦點(diǎn)的橢圓與雙曲線中心為原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，左右焦點(diǎn)分別為

耳，鳥，且它們在第一象限的交點(diǎn)為P,耳心是以PR為底邊的等腰三角形.若

1^1=10,雙曲線的離心率的取值范圍為（1.2）.則該橢圓的離心率的取值范圍

是.

【考點(diǎn)】橢圓的離心率

【難度】3星

【題型】填空

【關(guān)鍵字】2010年，海淀二模

【解析】如圖，設(shè)桶圓的半長軸長，半焦距分別為q,c,雙曲線的半實(shí)軸長，半焦距分別

為外，c,|尸用=〃?，|P用=〃，則

〃?+〃=2a{

「"-"=2%=5+c,問題轉(zhuǎn)化為已知i〈工<2,求工的取值范圍.

m=10[a2=5-c5-c5+c

n=2c

,wcnl5xcx11

5-<?1+x5+c2x4-124x+2

???.111111。J112

.1<x<2,..------<--------------<---------,即一<----------<一.

26241+2210324x+25

【答案】

7

【例18】在△ABC中，AB=BC,cosB=.若以4,8為焦點(diǎn)的橢圓經(jīng)過點(diǎn)C,則

18

該橢圓的離心率e=.

【考點(diǎn)】橢圓的離心率

【難度】2星

【題型】填空

【關(guān)鍵字】2008年，全國高考

7255

【解析】設(shè)A8=BC=1,cosB=一一，則AC?=AS-2AB-BCcosB=—,AC=~,

1893

c,58、，2c3

2a=1+—=—,2c=1,e=

332a-8

3

【答案】-

8

)2

【例19】在平面直角坐標(biāo)系xO，中，設(shè)橢圓1+方=1(a>6>0)的焦距為2c,以點(diǎn)。為

a

圓心，a為半徑作圓M.若過點(diǎn)作圓M的兩條切線互相垂直，則橢

圓的離心率為.

【考點(diǎn)】橢圓的離心率

【難度】2星

【題型】填空

【關(guān)鍵字】2008年，江蘇高考

【解析】依題意，如圖，因?yàn)閮蓷l切線互相垂直,

22

所以得等腰RlAOPB,圓M的半徑OB=a,OP=42OB=—,則三=及"，故橢

圓的離心率￡=變.

a2

【答案】—

2

22

【例20】已知尸(c,0)是橢圓r+方v=15>10)的右焦點(diǎn)，以坐標(biāo)原點(diǎn)。為圓心，a為

半徑作圓P,過尸垂直于x軸的直線與圓P交于4,8兩點(diǎn)，過點(diǎn)A作圓P的切

線交x軸于點(diǎn)若直線/過點(diǎn)M且垂直于4軸，則直線/的方程為

;若|Q4|=|A〃|,則橢圓的離心率等于.

【考點(diǎn)】橢圓的離心率

【難度】3星

【題型】填空

【關(guān)鍵字】2009年，崇文一模

【解析】如圖，圓P的方程為d+V=a。，于是A(c,b),

于是直線AM的方程為y-b=-—(x-c),

b

2

令y=0可得M的橫坐標(biāo)為歐+C=d,故直線/為x=￡.

CC

2

由|Q4R可得|OM|=0|OA|,即匕=無?正+c2=夜。,

C

從而橢圓的離心率等于注.

2

【答案】x=—,—

c2

22

【例21】設(shè)橢圓c：「+馬=im>b>o)的左右焦點(diǎn)分別為匕，居，若橢圓上存在一點(diǎn)。,

ab~

使ZFtQF2=120°,試求該橢圓的離心率e的取值范圍.

【考點(diǎn)】橢圓的離心率

【難度】3星

【題型】解答

【關(guān)鍵字】無

【解析】記橢圓的焦距為C,由<?=〃2-方\

先研究一般情況：對(duì)于橢圓上任意一點(diǎn)P,記N耳尸鳥=6>,求。的取值范圍：

設(shè)/「耳瑪=a,/尸耳E=￡,則e=?i-a-力，

且方2c_|Pf；||P用二2c|尸用+|尸馬|2a,

sin。sinf)sinasin(a+f3)sina+sin/?sina+sin/?’

工日csin(a+B)、兒八.八/n-0

于是e=—=----------------,設(shè)a+Q=2x，a-/?=2y,則nt1=-------,

asina+sin/?2

+sin2xsin2xcosx

有----------------=---------=----=e,

sin(x+y)+sin(x-y)2sinxcosycosy

。的最小值顯然為0,只需求。的最大值，也即求x的最小值，

又,故只需求cosx的最大值，顯然當(dāng)y=0即a=夕時(shí)，cosx=e最大.

1T_°°Q

此時(shí)P點(diǎn)為橢圓的短軸的端點(diǎn)，且cos------=e=sin—,cos0=l-2sin2—=1-2<?2.

222

由題意知：COS120O=—：G[1-2『，1]即可，即i-2/W-g,

解得e》且，故e的取值范圍為2,1.

22

或只需N耳8鳥2120。，其中3為橢圓短軸的一個(gè)端點(diǎn)，即/耳80260。,

C6

故sinN￡8O=—=e2sin600=——.

1a2

【答案】—,1

2

22

【例22】設(shè)橢圓C：「+與=1(“>匕>0)的長軸兩端點(diǎn)為A、B,若橢圓上存在一點(diǎn)Q,

ab

使ZAQ8=120。，試求該橢圓的離心率e的取值范圍.

【考點(diǎn)】橢圓的離心率

【難度】3星

【題型】解答

【關(guān)鍵字】無

【解析】先討論一般情況，

設(shè)P(x0,%)是橢圓上任意一點(diǎn)，不妨設(shè)%>0,ZAPB^O,求。的取值范圍.

S.B=；x2ax%=jPA"Pqsin6,

又PA,PB=(-a-%，-No>(a-%)，一%)=,小|P@COS6,

兩式相除得：tan*22.,又與+烏=i=片=/一4%,

片+￥一。ab-

于是有tan8=-,?.?為￡(o,勿，tan0ef-oo,,

OoIc」

且當(dāng)先=8,即尸為橢圓的短軸的端點(diǎn)時(shí)，夕有最大值，夕的最小值為0?

也可以通過APAB來求tan。：

記/PAB=a,/PBA=0,則。=九一2—4，

易知，tana=―,tan〃=一,

玉)+a°一演)

于是tan，=一tan(a+0=-tana+tan^=_2^o,以下同上.

1-tanatanpa-x^-y^

故存在Q點(diǎn)只需tan120°e(-8,-絲，即

-V3W-竺nlabW=>4a2(a2-c2)Oc4,

即3e4+4e2-420ne2逅，即e

3

【答案】

三、橢圓的幾何性質(zhì)

22

【例23】點(diǎn)"是橢圓工+匯=1上一點(diǎn)，它到其中一個(gè)焦點(diǎn)6的距離為2,N為M耳的中

2516,

點(diǎn)，。表示原點(diǎn)，貝”O(jiān)N|=()

3

A.-B.2C.4D.8

2

【考點(diǎn)】橢圓的幾何性質(zhì)

【難度】2星

【題型】選擇

【關(guān)鍵字】無

【解析】①設(shè)橢圓另一焦點(diǎn)為尸2，則IMI+IM入1=2%而a=5

|河耳|=2,二M5=8,又注意到N、。各為MF、、白乙的中點(diǎn)，

二QV是AWKE；的中位線，|QV|=：|g|=gx8=4

②若聯(lián)想到第二定義，可以確定點(diǎn)M的坐標(biāo)，進(jìn)而求M4中點(diǎn)的坐標(biāo)，最后利用

兩點(diǎn)間的距離公式求出|ON|,但這樣就增加了計(jì)算量，方法較之①顯得有些復(fù)雜.

【答案】C:

22

【例24】已知P為橢圓三+匕=1上動(dòng)點(diǎn)，尸為橢圓的右焦點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(3,1),則

259

|PF|+|PA|的最小值為()

A.10+夜B.I0-V2C.10+5&D.10-5>/2

【考點(diǎn)】橢圓的幾何性質(zhì)

【難度】3星

【題型】選擇

【關(guān)鍵字】無

【解析】易知點(diǎn)A在橢圓內(nèi)，設(shè)橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)為尸'，則

|PF|+|PA|=10-(|PFZ|-|E4|),

而|PF'|-|PA|W|A尸'|=5四，二|2尸|+|21及10-5夜，等號(hào)僅當(dāng)4,尸，尸共線.

【答案】D;

YV2

【例25］已知橢圓方程為工+2=1中，耳，￡分別為它的兩個(gè)焦點(diǎn)，則下列說法正確的有

499

()

①焦點(diǎn)在X軸上，其坐標(biāo)為(±7,0);

②若橢圓上有一點(diǎn)P到F,的距離為10,則P到F2的距離為4；

③焦點(diǎn)在y軸上，其坐標(biāo)為(0,+2V10)；

④。=49,b=9,c=40.

A.0個(gè)B.1個(gè)C.2個(gè)D.3個(gè)

【考點(diǎn)】橢圓的幾何性質(zhì)

【難度】2星

【題型】選擇

【關(guān)鍵字】無

【解析】橢圓工+^-=1的焦點(diǎn)在x軸上，a=7,b-3,c=>/40=2>/1（）,

499

故焦點(diǎn)坐標(biāo)為（±2加，0）,

對(duì)于橢圓上任一點(diǎn)尸，有歸用+歸周=2a=14,故②正確，其它錯(cuò)誤.

【答案】B

【例26】橢圓有這樣的光學(xué)性質(zhì)：從橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)出發(fā)的光線，經(jīng)橢圓反射后，反射光線

經(jīng)過橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)，今有一個(gè)水平放置的橢圓形臺(tái)球盤，點(diǎn)A、3是它的焦

點(diǎn)，長軸長為2”，焦距為2c,靜放在點(diǎn)A的小球（小球的半徑不計(jì)），從點(diǎn)A沿

直線出發(fā)，經(jīng)橢圓壁反彈后第一次回到點(diǎn)A時(shí)，小球經(jīng)過的路程是（）

A.4aB.2（a-c）

C.2（a+c）D.以上答案均有可能

【考點(diǎn)】橢圓的幾何性質(zhì)

【難度】3星

【題型】選擇

【關(guān)鍵字】無

【解析】D：

【答案】D;

【例27】P為橢圓三+亡=1上一點(diǎn)，例，N分別是圓（x+3）2+V=4和（x-3）2+V=l

2516

上的點(diǎn)，則+的取值范圍是（）

A.[7,13]B.[10,15]C.[10,13]D.[7,15]

【考點(diǎn)】橢圓的幾何性質(zhì)

【難度】3星

【題型】選擇

[關(guān)鍵字]2010年，宣武一模

【解析】容易知道耳（-3,0）,乙（3,0）為橢圓的左右焦點(diǎn)，于是歸附-2W|PMW,FJ+2,

|明|-1段+1.于是有歸用+|尸閭-3W|PM|+|RM尸制+|%|+3.

而歸用+1尸周=10.于是|PM|+|/W|w[7,13].

【答案】A:

【例28】過原點(diǎn)O作兩條相互垂直的直線分別與橢圓P：5+丫2=1交于A、C與8、D,

則四邊形ABCZ）面積的最小值為（）

OA

A.-B.4夜C.2&D.-

33

【考點(diǎn)】橢圓的幾何性質(zhì)

【難度】3星

【題型】選擇

【關(guān)鍵字】無

【解析】當(dāng)兩直線中有一條的斜率不存在時(shí)，易知兩直線為兩坐標(biāo)軸所在的直線，此時(shí)

面積為20;

當(dāng)兩條直線的斜率都存在時(shí)，設(shè)直線AC的方程為y=kx,與橢圓的交點(diǎn)A(4,乂)，

C（-±，-X）,則IAC|="x：+4y：=2+公|xj,

又即券+%k=ln卬=萬條，于是

同樣的,由直線的方程

1448

因此“8=卓4cliBQ|=:了=T

L/1IoJ

V(l+^)2+l+F2

等號(hào)當(dāng)一r=1即無=±1時(shí)取到，

\+k22

又號(hào)＜2&,故四邊形A8CD面積的最小值是學(xué).

33

【答案】A:

【例29】已知耳、尸2為橢圓]+]=1的兩個(gè)焦點(diǎn)，過K的直線交橢圓于A、3兩點(diǎn),

若怩川+叵川=12,則|A8|=.

【考點(diǎn)】橢圓的幾何性質(zhì)

【難度】2星

【題型】填空

【關(guān)鍵字】2008年，浙江高考

【解析】忸A(yù)|+閨川+內(nèi)A|+內(nèi)8|=4a=20,故陷=20-12=8.

【答案】8:

?v2

【例30】已知A(3,2),廠(-4,0),P是橢圓玉+]=1上一點(diǎn)，貝"PA|+|PF|的最大值為

【考點(diǎn)】橢圓的幾何性質(zhì)

【難度】3星

【題型】填空

【關(guān)鍵字】無

【解析】尸為橢圓的左焦點(diǎn)，記尸(4,0),則有|PF|+|PF'|=2a=10,

|PA|+|PF|=|PA|+10-|P尸1=10+|PA|-|PF|,|PA|-|P尸[W|A尸1=6,當(dāng)且僅當(dāng)

A,P,U共線，且P點(diǎn)在線段AF的延長線上時(shí)取到等號(hào)，故歸A|+|PF|的最大值

為10+后.

【答案】10+石

22

【例31】橢圓三+二=1上的一點(diǎn)P到兩焦點(diǎn)的距離的乘積為，〃，則當(dāng)機(jī)取最大值時(shí)，點(diǎn)產(chǎn)

925

的坐標(biāo)是.

【考點(diǎn)】楠圓的幾何性質(zhì)

【難度】3星

【題型】填空

【關(guān)鍵字】無

【解析】記橢圓的二焦點(diǎn)為耳，I，有|「耳|+|「閭=2a=10,

則知m=|尸7訃歸周W，尸耳I；.忸閭）=25.

顯然當(dāng)|P娟=|P周=5,即點(diǎn)尸位于橢圓的短軸的頂點(diǎn)處時(shí)，m取得最大值25.

故應(yīng)填（-3,0）或（3,0）.

【答案】（-3,0）或（3,0）.

【例32】設(shè)橢圓W+g.=i（a>6>0）的離心率為叵[，尸，A分別是它的左焦點(diǎn)和右頂

a2b22

點(diǎn)，B是它的短軸的一個(gè)端點(diǎn)，則/郎等于.

【考點(diǎn)】橢圓的幾何性質(zhì)

【難度】2星

【題型】填空

【關(guān)鍵字】無

【解析】由已知e=￡=叵2，即0=避二!易知|8尸產(chǎn)="2.

a22

且IAB|2=|OB|2+\OA\2=h2+a2=a2-c2+a2=^^-a2,

2