七年級數(shù)學下冊講義（北師大版）第二章第01講 兩條直線的位置關系(7類熱點題型講練)（解析版）

第01講兩條直線的位置關系(7類熱點題型講練)1．理解對頂角、補角和余角的概念，能在圖形中辨認；2．掌握對頂角相等的性質和它的推證過程；3．掌握對頂角相等、同角或等角的余角相等、同角或等角的補角相等，并能解決一些實際問題．4．理解垂線、垂線段的概念，會用三角尺或量角器過一點畫已知直線的垂線；5．掌握點到直線的距離的概念，并會度量點到直線的距離；6．掌握垂線的性質，并會利用所學知識進行簡單的推理．知識點01相交線1.相交線：若兩條直線只有一個公共點，我們稱這兩條直線為相交線.表示方法：如下圖，直線AB與直線CD相交于點O2.對頂角的概念及性質對頂角的概念概念：一個角的兩邊分別是另一個角的兩邊的反向延長線且這兩個角有公共頂點，這樣的兩個角叫做對頂角.性質：對頂角相等.3.互補與互余互補：如果兩個角的和是180°，那么稱這兩個角互為補角，也稱互補.互余：如果兩個角的和是90°，那么稱這兩個角互為余角，也稱互余.性質：同角或等角的補角相等；同角或等角的余角相等.知識點02垂線1.垂直的概念及表示.兩條直線相交成四個角，如果有一個角是直角，那么稱這兩條直線互相垂直，其中的一條直線叫做另一條直線的垂線，它們的交點叫做垂足.通常用符號“⊥”表示兩條直線互相垂直.如下圖，直線AB與直線CD垂直，記作AB⊥CD，垂足為O.垂直的概念包含兩個方面的含義：一方面由直角（90°的角）可以得到兩條直線垂直；另一方面由兩條直線垂直可以得到直角（或90°的角）2.垂直的性質：（1）平面內，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直.（2）直線外一點與直線上各點連接的所有線段中，垂線段最短.3.點到線的距離：如下圖所示，過點A作直線的垂線，垂足為點B，則線段AB的長度叫做點A到直線的距離，此時線段AB叫垂線段.題型01對頂角的定義【例題】（2023上·黑龍江哈爾濱·七年級哈爾濱市虹橋初級中學校?？茧A段練習）在下圖中，，為對頂角的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題主要考查了對頂角的定義，根據(jù)對頂角的定義進行判斷：兩條直線相交后所得的只有一個公共頂點且兩個角的兩邊互為反向延長線，這樣的兩個角叫做對頂角，依次判定即可得出答案．【詳解】解：根據(jù)對頂角的定義，只有B選項正確，故選：B．【變式訓練】1．（2023上·黑龍江哈爾濱·七年級校考期中）下列各圖中，與是對頂角的是（

）A．B．C．D．【答案】C【分析】本題考查了對頂角的定義，根據(jù)對頂角的定義判斷即可．有一個公共點，并且一個角的兩邊分別是另一個角的兩邊的反向延長線，具有這種位置關系的兩個角互為對頂角．【詳解】解：A、的兩邊不是的兩邊的反向延長線，與不是對頂角，故該選項不合題意；B、的兩邊不是的兩邊的反向延長線，與不是對頂角，故該選項不符合題意；C、的兩邊分別是的兩邊的反向延長線，與是對頂角，故該選項符合題意；D、的兩邊不是的兩邊的反向延長線，與不是對頂角，故該選項不合題意．故選：C．2．（2023上·黑龍江哈爾濱·七年級?？茧A段練習）下列各圖中，和是對頂角的是（

）A．

B．C．

D．

【答案】C【分析】根據(jù)對頂角的兩邊互為反向延長線對各圖形分析判斷后進行解答．【詳解】解：根據(jù)對頂角的定義：A．和的兩邊不是互為反向延長線，不是對頂角；B．和的兩邊不是互為反向延長線，不是對頂角；C．和的兩邊互為反向延長線，是對頂角；D．和的頂點不同，不是對頂角；故選：C．【點睛】本題主要考查了對頂角，正確把握對頂角的定義是解題關鍵．題型02利用對頂角相等求角度【例題】（2023上·廣東珠?！ぐ四昙壷楹Ｊ械诰胖袑W?？计谥校┤鐖D，直線，相交于點，平分，若，則的度數(shù)為（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】首先根據(jù)對頂角相等和角平分線的概念得到，然后根據(jù)平角的概念求解即可．【詳解】∵∴∵平分，∴∴．故選：D．【點睛】此題考查了對頂角相等，角平分線的概念，平角的概念，解題的關鍵是熟練掌握以上知識點．【變式訓練】1．（2023下·云南昭通·七年級統(tǒng)考階段練習）如圖，直線相交于點O，，則的度數(shù)為（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】首先根據(jù)結合平角的概念得到，然后利用對頂角相等得到．【詳解】∵，∴∴．故選：C．【點睛】此題考查了平角的概念，對頂角相等，解題的關鍵是熟練掌握以上知識點．2．（2023上·四川巴中·七年級四川省巴中中學?？茧A段練習）如圖，兩直線相交于一點，若，則∠3的度數(shù)為.【答案】/40度【分析】本題考查了對頂角的知識，根據(jù)，互為對頂角，且，可求得，的度數(shù)．【詳解】解：，互為對頂角，，．故答案為：．題型03求一個角的余角、補角【例題】（2023上·四川內江·七年級統(tǒng)考期末）如果，那么的余角等于；的補角為．【答案】/65度/155度【分析】利用兩角互余及互補的定義，進行計算，即可求解．【詳解】解：，的余角為：，的補角為：，故答案為：，．【點睛】本題考查了兩角互余及互補的定義，牢固掌握兩角互余及互補的定義，發(fā)現(xiàn)隱含條件：兩角之和是或，并能熟練運用．【變式訓練】1．（2023上·海南省直轄縣級單位·七年級統(tǒng)考期末）若，則的余角等于，的補角等于．【答案】【分析】兩個角的和為，則這兩個角互余，兩個角的和為則這兩個角互為補角，根據(jù)互余與互補的定義求解即可.【詳解】解：，∠α的余角=∠α的補角=故答案為：，.【點睛】本題考查的是互余與互補的含義，角的四則運算中的減法運算，掌握“互余與互補的含義”是解本題的關鍵.2．（2023·全國·七年級專題練習）的余角等于，的補角等于．【答案】【分析】根據(jù)余角的定義和補角的定義計算即可．【詳解】解：∵，∴的余角等于；∵，∴的補角等于．故答案為：；．【點睛】本題考查余角和補角，解題的關鍵是明確余角和補角的定義．題型04垂線的定義的理解與應用【例題】（2023下·安徽宿州·七年級?？计谥校┤鐖D，P是直線l外一點，A，B，C三點在直線l上，且于點B，，則下列結論中正確的是（）①線段的長度是點P到直線l的距離；②線段是A點到直線的距離；③在三條線段中，最短；④線段的長度是點P到直線l的距離A．①②③ B．③④ C．①③ D．①②③④【答案】C【分析】本題考查了點到直線的距離及垂線段最短等知識點．點到直線的距離，即過這一點做目標直線的垂線，由這一點至垂足的距離．熟記相關結論是解題關鍵．【詳解】解：∵于點B，∴線段的長度是點P到直線l的距離，故①正確，④錯誤；∵，∴線段的長度是A點到直線的距離，故②錯誤；根據(jù)垂線段最短，在三條線段中，最短，故③正確；故選：C．【變式訓練】1．（2023下·河南濮陽·七年級統(tǒng)考期末）如圖，在測量跳遠成績的示意圖中，直線l是起跳線，則需要測量的線段是（）

A． B． C． D．【答案】B【分析】利用垂線段最短求解．【詳解】解：根據(jù)垂線段最短可得，需要測量的線段是，故選：B．【點睛】此題主要考查了垂線段最短，正確掌握垂線段的性質是解題關鍵．2．（2023下·山東臨沂·七年級?？茧A段練習）如圖所示，下列說法不正確的是（

）A．點到的垂線段是線段 B．點到的垂線段是線段C．線段是點D到的垂線段 D．線段是點到的垂線段【答案】C【分析】根據(jù)垂線段的定義逐個判斷即可．【詳解】解：A、點到的垂線段是線段，正確，故此選項不符合題意；B、點到的垂線段是線段，正確，故此選項不符合題意；C、線段是點到的垂線段，原說法錯誤，故此選項符合題意；D、線段是點到的垂線段，正確，故此選項不符合題意；故選：C．【點睛】本題考查了垂線段的定義，熟練掌握過直線外一點作這條直線的垂線，這點與垂足構成的線段叫垂線段是解此題的關鍵．題型05利用垂線的定義求角的度數(shù)【例題】（2023上·吉林長春·七年級校考期末）如圖，直線相交于點O，，且平分，若．

(1)求的度數(shù)；(2)寫出的度數(shù)是________°．【答案】(1)(2)27【分析】本題考查了角平分線定義，垂直的定義；（1）先由垂直求出，再由平角求出，最后根據(jù)角平分線求出；（2）由平角求出即可．【詳解】（1）∵，∴，又∵，∴，∴，又∵OC平分，∴；（2）,故答案為：．【變式訓練】1．（2023上·北京石景山·七年級統(tǒng)考期末）已知：，射線是平面上繞點O旋轉的一條動射線，平分．(1)如圖，若，求．(2)若，直接寫出的度數(shù)．（用含的式子表示）【答案】(1)(2)或【分析】本題考查了角的計算，角平分線，垂直的意義．（1）根據(jù)垂直的定義和角平分線的定義以及角的和差即可得到結論；（2）根據(jù)垂直的定義和角平分線的定義以及角的和差即可得到結論．【詳解】（1）解：（1），（垂直定義）．平分，（角平分線定義）．，．，．（2）解：當在的內部時，，，平分，，，，，當在的外部時，同理得，綜上所述，的度數(shù)為或．2．（2023上·吉林長春·七年級統(tǒng)考期末）如圖，直線與相交于點F，于點F．

(1)圖中與相等的角是，與互余的角是；(2)若，求的度數(shù)．【答案】(1)；(2)．【分析】本題考查了垂線，余角和補角，對頂角，（1）根據(jù)對頂角相等得出，根據(jù)余角的性質得出與互余的角是；（2）根據(jù)鄰補角的性質求出的度數(shù)，再根據(jù)垂線的定義求出的度數(shù)，即可求出的度數(shù)；熟練掌握這些知識點是解此題的關鍵．【詳解】（1）∵和的對頂角，∴，∵，∴，即，∴，即與互余的角是，故答案為：；（2）∵，∴，∵，∴，∴．題型06作垂線與求點到直線的距離【例題】（2023上·吉林長春·七年級統(tǒng)考期末）如圖，在的正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長均為，其頂點稱為格點，點、、、均在格點上，只用無刻度的直尺，在給定的網(wǎng)格中，按下列要求作圖，保留作圖痕跡．(1)畫線段，畫直線．(2)過點畫直線的垂線，垂足為．(3)點到直線的距離為線段的長度．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)【分析】本題考查作圖-應用與設計作圖、直線、射線、線段、垂線、點到直線的距離，熟練掌握相關知識點是解答本題的關鍵．（1）根據(jù)線段、直線的定義畫圖即可．（2）結合網(wǎng)格，過點作垂直直線即可．（3）由點到直線的距離可知，點到直線的距離為線段的長度．【詳解】（1）解：如圖，線段、直線即為所求．（2）如圖，即為所求．（3）點到直線的距離為線段的長度．故答案為：．【變式訓練】1．（2023上·黑龍江哈爾濱·七年級哈爾濱市第十七中學校?？茧A段練習）如圖，所有小正方形的邊長都為1個單位長度，、、都在格點上．

(1)過點作直線的垂線，垂足為；(2)過點作直線，垂足為，直線交于點；(3)點到直線的距離等于__________個單位長度．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)2【分析】（1）根據(jù)垂線的定義作出圖形即可；（2）根據(jù)垂線的定義作出圖形即可；（3）線段的長即為點A到直線的距離．【詳解】（1）解：如圖，直線即為所求．（2）解：如圖，直線即為所求．（3）解：由（1）中圖可得：點A到直線的距離等于2個單位長度．【點睛】本題考查作圖-應用與設計作圖，垂線，點到直線的距離等知識，解題的關鍵是理解垂線的定義，屬于中考常考題型．2．（2023下·河南許昌·七年級?？计谥校┤鐖D，網(wǎng)格線的交點叫格點，格點P是的邊OB上的一點（請利用三角板和直尺借助網(wǎng)格的格點畫圖）．

(1)過點P畫的垂線，交于點E；過點P畫的垂線，垂足為F；(2)線段的長度是點P到______的距離，線段______的長度是點E到直線OB的距離，所以線段這三條線段大小關系是______（用“＜”號連接），理由是______．【答案】(1)圖見解析(2)，，，垂線段最短【分析】（1）如圖，找點，連接，與交點即為，過點作豎直的線，與交點即為；（2）根據(jù)點到直線的距離的定義、垂線段最短即可求解．【詳解】（1）解：由題意作圖如下，是的垂線，是的垂線．

（2）解：線段的長度是點P到的距離，線段的長度是點E到直線OB的距離，由垂線段最短可知，，故答案為：，，，垂線段最短．【點睛】本題考查了作垂線，垂線段最短．解題的關鍵在于對知識的熟練掌握與靈活運用．題型07與對頂角、余角、補角、直角有關的綜合計算問題【例題】（2023上·黑龍江綏化·七年級?？茧A段練習）如圖，直線、相交于點O，，射線將分成兩個角，且．(1)求的度數(shù)；(2)若平分，則是的平分線嗎？判斷并說明理由．【答案】(1)(2)OB是的平分線，理由見解析【分析】本題考查了幾何圖形中的角度計算，角平分線的定義：（1）由對頂角相等可得，再根據(jù)即可求解；（2）由鄰補角的性質求得，再由角平分線的性質求得，即可得出結論．【詳解】（1）解：，，，，；（2）解：是．理由如下：，，平分，，，，，，是的平分線．【變式訓練】1．（2023下·陜西西安·七年級校聯(lián)考階段練習）如圖，直線相交于點O，，垂足為O，

(1)求的度數(shù)．(2)若平分，求的度數(shù)．【答案】(1)(2)【分析】（1）由垂直的定義和對頂角相等，求解即可；（2）由角平分線的定義，鄰補角的性質，即可求解．【詳解】（1）解：因為，所以因為，所以．（2）因為平分，所以．因為，所以．【點睛】本題考查了垂線，對頂角相等，鄰補角的性質，角平分線的定義，解題的關鍵是熟練掌握相關基礎知識．2．（2023下·陜西西安·七年級校考階段練習）如圖，直線與相交于O，，分別是，的平分線．

(1)寫出的兩個補角；(2)若，求和的度數(shù)；(3)試問射線與之間有什么特殊的位置關系？為什么？【答案】(1)(2)(3)垂直，見解析【分析】（1）根據(jù)角平分線的定義結合鄰補角的性質即可解答；（2）根據(jù)角平分線的定義和鄰補角的性質解答即可；（3）根據(jù)角平分線的定義和鄰補角的性質可得，即可得出結論．【詳解】（1）∵是的平分線，∴，∵，∴的兩個補角為：；（2）∵是的平分線，，∴，，∴；∵是的平分線．∴，即；

（3）射線與互相垂直．理由如下：∵，分別是，的平分線，∴，∴；即射線與互相垂直．【點睛】本題考查了角平分線的定義、鄰補角的性質和垂直的定義，屬于基礎題型，熟練掌握角平分線的定義等基本知識是關鍵．一、單選題1．（2023下·遼寧大連·七年級校聯(lián)考階段練習）下列圖中，與是對頂角的是（

）A．

B．C．D．

【答案】D【分析】根據(jù)對頂角的定義判斷即可．【詳解】解：A、與不是對頂角，故此選項不符合題意；B、與不是對頂角，故此選項不符合題意；C、與不是對頂角，故此選項不符合題意；D、與是對頂角，故此選項符合題意；故選：D．【點睛】本題主要考查了對頂角的定義，掌握有一個公共頂點，并且一個角的兩邊分別是另一個角的兩邊的反向延長線，具有這種位置關系的兩個角，互為對頂角是關鍵．2．（2023下·海南省直轄縣級單位·七年級統(tǒng)考期中）如圖，直線相交于點，平分，若，則的大小為（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)角平分線的定義得到，根據(jù)鄰補角的定義列出方程，解方程求出，根據(jù)對頂角相等求出，結合圖形計算，得到答案．【詳解】解：設，，，平分，，，解得，，即，，，，故選：D．【點睛】本題考查的是對頂角、鄰補角的概念，掌握對頂角相等、鄰補角之和為是解題的關鍵．3．（2023下·七年級單元測試）如圖，直角三角形中，，，垂足為點D，則下列說法正確的是（

）

A．線段的長表示點C到的距離 B．線段的長表示點A到的距離C．線段的長表示點B到的距離 D．線段的長表示點C到的距離【答案】C【分析】根據(jù)點到直線距離的定義，逐個進行判斷即可．【詳解】解：A、線段的長表示點A到的距離，故A不正確，不符合題意；B、線段的長表示點C到的距離，故B不正確，不符合題意；C、線段的長表示點B到的距離，故C正確，符合題意；D、線段的長表示點B到的距離，故D不正確，不符合題意；故選：C．【點睛】本題主要考查了點到直線的距離，解題的關鍵是掌握點到直線的垂線段的長度是點到直線的距離．4．（2023上·貴州遵義·七年級校聯(lián)考期末）如圖，已知直線和相交于點O，是直角，平分，，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查角平分線定義，角度的計算，余角定義，鄰補角定義．根據(jù)題意先計算出，再利用角平分線性質得到，即可計算出本題答案．【詳解】解：∵是直角，，直線和相交于點O，∴，∴，∵平分，∴，∴，∴，∴，故選：A．5．（2023下·天津·七年級校考期末）已知，直線經過點O且度，則等于（

）A． B． C．或 D．【答案】C【分析】根據(jù)垂線的定義結合題意，分在的內部時，在的外部時，求解即可．【詳解】解：當在的內部時，∵，，∴，∴．當在的外部時，．故選C．

【點睛】本題考查垂線的定義，鄰補角互補以及角的和差關系，利用數(shù)形結合和分類討論的思想是解題關鍵．二、填空題6．（2023上·江蘇泰州·七年級期末）一個角的補角是其余角的4倍，則這個角為°．【答案】60【分析】本題考查補角的概念、余角的概念和一元一次方程，設這個角為，根據(jù)補角的定義和余角的定義，列式求解即可．【詳解】解：設這個角為，由題意得：，解得，故答案為：60．7．（2023上·黑龍江哈爾濱·七年級統(tǒng)考期末）如圖，這是小濤同學在體育課上某一次跳遠后留下的腳?。ㄟ^測量得到如下數(shù)據(jù)：米，米，米，米，其中AC，DE分別垂直起跳線于C，E．小濤這次跳遠成績是米．【答案】【分析】此題主要考查了垂線段最短，正確理解題意是解題關鍵．直接利用跳遠成績應該是垂線段最短距離進而得出答案．【詳解】解：由題意可得：小濤同學這次跳遠的成績應該是的長米．故答案為：．8．（2023下·江西南昌·七年級?？茧A段練習）如圖，直線與直線相交，交點為，，平分，若則的度數(shù)為．

【答案】【分析】利用對頂角相等可得的度數(shù)，再利用角平分線的定義和垂線定義進行計算即可．【詳解】解：，，平分，，，，；故答案為：．【點睛】本題考查幾何圖形求角度，熟練掌握對頂角相等、角平分線的定義、垂線定義是解題的關鍵．9．（2023上·黑龍江哈爾濱·七年級統(tǒng)考期末）同一平面內兩條直線相交于點，，，垂足為，則的度數(shù)是．【答案】或【分析】本題主要考查了垂線的定義、幾何圖中角度的計算，分兩種情況，分別計算即可得出答案，熟練掌握以上知識點并靈活運用是解此題的關鍵．【詳解】解：如圖，，，，；如圖，，，，；綜上所述，的度數(shù)是或，故答案為：或．10．（2023下·河北保定·七年級?？茧A段練習）如圖，直線，相交于點，，垂足為點，．

（1）的度數(shù)為；（2）若平分，則的度數(shù)為，的度數(shù)為．【答案】/度/度/度【分析】（1）根據(jù)垂直的定義得出，再由對頂角相等得出，結合圖形，即可求解．（2）由（1）及角平分線得，結合圖形利用鄰補角求解即可．【詳解】解：，，，；故答案為：．（2）平分，，，，．故答案為：，．【點睛】題目主要考查角平分線及角度的計算，結合圖形，找準各角之間的關系是解題關鍵．三、解答題11．（2023上·河北唐山·七年級統(tǒng)考期末）如圖，點O為直線上一點，，平分．(1)求的度數(shù)；(2)作射線，若與互余，求的度數(shù)．【答案】(1)(2)或【分析】本題考查角的和差關系，余角、補角和角平分線的定義：（1）根據(jù)補角、角平分線的定義及角的和差關系求解；（2）根據(jù)與互余求出，分射線在內部與外部兩種情況，分別計算即可．【詳解】（1）解：，，，平分，；（2）解：與互余，，，當射線在內部時，如圖：；當射線在外部時，如圖：，，綜上可知，的度數(shù)為或．12．（2023下·河北邢臺·七年級?？计谥校┤鐖D，于點，過點作直線．

(1)已知，求的度數(shù)．(2)若，求的度數(shù)．【答案】(1)；(2)．【分析】（1）根據(jù)平角的定義和角的和差關系進行計算即可；（2）根據(jù)，以及互為補角的定義可求出，再根據(jù)對頂角相等以及角的和差關系得出答案．【詳解】（1）解：∵，，∴，∴；（2）解：∵，，∴，∵，∴，∵，∴．【點睛】本題主要考查了對頂角、鄰補角、角的和差關系等知識，理解對頂角、鄰補角的定義是解答此題的關鍵．13．（2023下·北京懷柔·七年級統(tǒng)考期末）如圖，在射線上有一點，請選擇適當?shù)墓ぞ咦鲌D，完成以下問題：

(1)過點作射線的垂線，垂足為點；(2)在線段上任取一點（不與