2023年廣東省普通高中學(xué)業(yè)水平合格性考試數(shù)學(xué)模擬測(cè)試卷(一)(附答案及解析)

年廣東省普通高中學(xué)業(yè)水平合格性考試數(shù)學(xué)模擬測(cè)試卷(一）(時(shí)間90分鐘，總分150分)一、選擇題(本大題共15小題，每小題6分，共90分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的)1.已知集合A＝{1,2,3}，B＝{－1,3}，那么集合A∪B等于()A．{3} B．{－1,1,2,3}C．{－1,1} D．{x|－1≤x≤3}2.函數(shù)f(x)＝eq\f(1,\r(x＋2))的定義域是()A．{x|x>－2} B．{x|x<－2}C．{x|x≠－2} D．{x|x≠2}3.現(xiàn)要完成下列2項(xiàng)抽樣調(diào)查：①從10盒酸奶中抽取3盒進(jìn)行食品衛(wèi)生檢查；②東方中學(xué)共有160名教職工，其中教師120名，行政人員16名，后勤人員24名．為了了解教職工對(duì)學(xué)校在校務(wù)公開方面的意見，擬抽取一個(gè)容量為20的樣本．較為合理的抽樣方法是()A．①抽簽法，②分層隨機(jī)抽樣B．①隨機(jī)數(shù)法，②分層隨機(jī)抽樣C．①隨機(jī)數(shù)法，②抽簽法D．①抽簽法，②隨機(jī)數(shù)法4.下列函數(shù)中，在區(qū)間(0,1)上是增函數(shù)的是()A．y＝sinx B．y＝eq\f(2,x)C．y＝－x2＋4 D．y＝3－x5.若sinαcosα>0，cosαtanα<0，則α的終邊落在()A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限6.某校高二年級(jí)有50人參加2020“希望杯”數(shù)學(xué)競(jìng)賽，他們競(jìng)賽的成績(jī)制成了如下的頻率分布表，根據(jù)該表估計(jì)該校學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽成績(jī)的平均分為()分組[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]頻率0.20.40.30.1A．70B．73C．78D．81.57.已知cosα＝eq\f(3,5)，α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，0))，則sin2α的值為()A．－eq\f(24,25)B．eq\f(24,25)C．－eq\f(7,25)D．eq\f(7,25)8.口袋內(nèi)裝有一些大小相同的紅球、白球和黑球，從中摸出1個(gè)球，摸出紅球的概率是0.42，摸出白球的概率是0.28，那么摸出黑球的概率是()A．0.42B．0.28C．0.3D．0.79.已知向量a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，1))，b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x，－2))，若a∥b，則a＋b＝()A．(－2，－1)B．(2,1)C．(3，－1)D．(－3,1)10.已知100個(gè)數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)是9.3，則下列說法正確的是()A．這100個(gè)數(shù)據(jù)中一定有75個(gè)數(shù)小于或等于9.3B．把這100個(gè)數(shù)據(jù)從小到大排列后，9.3是第75個(gè)數(shù)據(jù)C．這100個(gè)數(shù)從小到大排列后，9.3是第75個(gè)數(shù)和第76個(gè)數(shù)的平均數(shù)D．這100個(gè)數(shù)從小到大排列后，9.3是第75個(gè)數(shù)和第74個(gè)數(shù)的平均數(shù)11.數(shù)列{an}前n項(xiàng)和為Sn，且a1＝－10，an＋1＝an＋3(n∈N*)，則Sn取最小值時(shí)，n的值是()A.3B.4C.5D.612.設(shè)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－1，x＜2，,log3x2－1，x≥2，))則f(f(2))的值為()A．0B．1C．2D．313.函數(shù)f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,4)))的圖象的一條對(duì)稱軸是()A．x＝eq\f(π,4)B．x＝eq\f(π,2)C．x＝－eq\f(π,4)D．x＝－eq\f(π,2)14.已知互相垂直的平面α，β交于直線l．若直線m，n滿足m∥α，n⊥β，則()A．m∥lB．m∥nC．n⊥lD．m⊥n15.在△ABC中，A＝eq\f(π,3)，BC＝3，AB＝eq\r(6)，則C＝()A．eq\f(π,4)或eq\f(3π,4)B．eq\f(3π,4)C．eq\f(π,4)D．eq\f(π,6)二、填空題(本大題共4小題，每小題6分，共24分)16.已知函數(shù)f(x)＝x2＋(2－m)x＋m2＋12為偶函數(shù)，則m的值是________17.已知關(guān)于實(shí)數(shù)x的不等式2x2－bx＋c<0的解集為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(3,2)))，則b＋c的值為________18.為了調(diào)查某野生動(dòng)物保護(hù)區(qū)內(nèi)某種野生動(dòng)物的數(shù)量，調(diào)查人員逮到這種動(dòng)物1200只做過標(biāo)記后放回，一星期后，調(diào)查人員再次逮到該種動(dòng)物1000只，其中做過標(biāo)記的有100只，估算保護(hù)區(qū)有這種動(dòng)物________只．19.如圖，已知PA⊥平面ABC，BC⊥AC，則圖中直角三角形的個(gè)數(shù)為________三、解答題(本大題共3小題，共36分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟)20．(8分)已知函數(shù)f(x)＝－coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6)))．(1)求函數(shù)f(x)的最小值及取得最小值時(shí)x的值；(2)求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間．21.(14分)已知函數(shù)f(x)＝eq\f(1,2)(ax＋a－x)(a＞0且a≠1)．(1)判斷函數(shù)f(x)的奇偶性；(2)若函數(shù)f(x)的圖象過點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(41,9)))，求f(x)．22.(14分)如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AP＝AB，BP＝BC＝2，E，F(xiàn)分別是PB，PC的中點(diǎn)．(1)證明：EF∥平面PAD；(2)求三棱錐E-ABC的體積V．參考答案及解析：選擇題1.B解析：A∪B＝{1,2,3}∪{－1,3}＝{－1,1,2,3}．2.A解析：x＋2>0，解得x>－2，所以函數(shù)的定義域?yàn)閧x|x>－2}．故選A．3.A解析：①總體較少，宜用抽簽法；②各層間差異明顯，宜用分層隨機(jī)抽樣．故選A．4.A解析：由題意得函數(shù)y＝sinx在(0,1)上為增函數(shù)，函數(shù)y＝eq\f(2,x)，y＝－x2＋4，y＝3－x在(0,1)上都為減函數(shù)．故選A．5.C解析：sinαcosα>0，說明角α的終邊在第一象限或第三象限；cosαtanα<0，說明角α的終邊在第三象限或第四象限．綜上，角α的終邊在第三象限．故選C．6.C解析：估計(jì)該校學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽成績(jī)的平均分eq\x\to(x)＝65×0.2＋75×0.4＋85×0.3＋95×0.1＝78．故選C．7.A解析：∵cosα＝eq\f(3,5)，α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，0))，∴sinα＝－eq\f(4,5)．∴sin2α＝2sinαcosα＝－eq\f(24,25)．故選A．8.C解析：∵口袋內(nèi)裝有一些大小相同的紅球、白球和黑球，從中摸出1個(gè)球，在口袋中摸球，摸到紅球，摸到黑球，摸到白球這三個(gè)事件是互斥的，摸出紅球的概率是0.42，摸出白球的概率是0.28，∵摸出黑球是摸出紅球或摸出白球的對(duì)立事件，∴摸出黑球的概率是1－0.42－0.28＝0.3．9.A解析：因?yàn)閍∥b，所以2×(－2)－x＝0，解得x＝－4．所以a＋b＝(2,1)＋(－4，－2)＝(－2，－1)．10.C解析：因?yàn)?00×75%＝75為整數(shù)，所以第75個(gè)數(shù)據(jù)和第76個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)為第75百分位數(shù)，是9.3，故選C．11.B解析：在數(shù)列{an}中，由an＋1＝an＋3，得an＋1－an＝3(n∈N*)，所以數(shù)列{an}是公差為3的等差數(shù)列．又a1＝－10，所以數(shù)列{an}是公差為3的遞增等差數(shù)列．由an＝a1＋(n－1)d＝－10＋3(n－1)＝3n－13≥0，解得n≥eq\f(13,3).因?yàn)閚∈N*，所以數(shù)列{an}中從第五項(xiàng)開始為正值．所以當(dāng)n＝4時(shí)，Sn取最小值．故選B.12.B解析：f(2)＝log3(22－1)＝1，f(f(2))＝f(1)＝21－1＝20＝1．13.C解析：函數(shù)f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,4)))的圖象的對(duì)稱軸方程為x－eq\f(π,4)＝kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z．即x＝kπ＋eq\f(3π,4)，k∈Z．當(dāng)k＝－1時(shí)，x＝－eq\f(π,4)適合，故選C．14.C解析：選項(xiàng)A錯(cuò)誤，只有當(dāng)m∥β或m?β時(shí)，m∥l；選項(xiàng)B錯(cuò)誤，只有當(dāng)m⊥β時(shí)，m∥n；選項(xiàng)C正確，由于l?β，所以n⊥l；選項(xiàng)D錯(cuò)誤，只有當(dāng)m∥β或m?β時(shí)，m⊥n．15.C解析：由eq\f(BC,sinA)＝eq\f(AB,sinC)，得sinC＝eq\f(\r(2),2)．∵BC＝3，AB＝eq\r(6)，∴A>C，則C為銳角，故C＝eq\f(π,4)．填空題16.答案：217.答案：－2解析：∵一元二次不等式2x2－bx＋c<0的解集是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(3,2)))，∴－1，eq\f(3,2)是方程2x2－bx＋c＝0的兩根．由根與系數(shù)關(guān)系得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－1＋\f(3,2)＝\f(b,2)，,－1×\f(3,2)＝\f(c,2)，))即b＝1，c＝－3．∴b＋c＝－2．18.答案：12000解析：設(shè)保護(hù)區(qū)內(nèi)有這種動(dòng)物x只，因?yàn)槊恐粍?dòng)物被逮到的概率是相同的，所以eq\f(1200,x)＝eq\f(100,1000)，解得x＝12000．19.答案：4解析：因?yàn)镻A⊥平面ABC，BC?平面ABC，所以PA⊥BC，因?yàn)锽C⊥AC，PA⊥BC，AC∩PA＝A，所以BC⊥平面PAC，所以BC⊥PC．又PA⊥平面ABC，所以PA⊥AB，PA⊥AC，所以△PAB，△PAC，△ABC，△PBC都是直角三角形，綜上所述，一共有4個(gè)直角三角形．解答題20．解：(1)令2x－eq\f(π,6)＝2kπ(k∈Z)，得x＝kπ＋eq\f(π,12)(k∈Z)，此時(shí)y＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6)))取得最大值1，所以f(x)＝－coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6)))的最小值為－1，此時(shí)x＝kπ＋eq\f(π,12)(k∈Z)．(2)令2kπ－π≤2x－eq\f(π,6)≤2kπ(k∈Z)，解得kπ－eq\f(5π,12)≤x≤kπ＋eq\f(π,12)(k∈Z)，所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(kπ－\f(5π,12)，kπ＋\f(π,12)))(k∈Z)．21.解：(1)函數(shù)f(x)＝eq\f(1,2)(ax＋a－x)(a>0且a≠1)的定義域?yàn)?－∞，＋∞)，則f(－x)＝eq\f(1,2)(a－x＋ax)＝eq\f(1,2)(ax＋a－x)＝f(x)，則函數(shù)f(x)為偶函數(shù)．(2)若函數(shù)f(x)的圖象過點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(41,9)))，則f(2)＝eq\f(1,2)(a2＋a－2)＝eq\f(41,9)，即a2＋a－2＝eq\f(82,9)，即a4－eq\f(82,9)a2＋1＝0，即9a4－82a2＋9＝0，解得a2＝9或a2＝eq\f(1,9)．∵a＞0且a≠1，∴a＝3或a＝eq\f(1,3)．即f(x)＝eq\f(1,2)(3x＋3－x)．22.(1)證明：在△PBC中，E，F(xiàn)分別是PB，PC的中點(diǎn)，∴EF∥BC．∵四邊形ABCD為矩形，∴BC∥AD．∴EF∥AD．又∵AD?平面PAD，EF