機(jī)器人操作臂動(dòng)力學(xué)

機(jī)器人學(xué)第五章操作臂動(dòng)力學(xué)課程的基本要求:掌握空間開(kāi)鏈機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)建模的牛頓-歐拉遞推動(dòng)力學(xué)方程和拉格朗日方程5.1連桿的速度和加速度分析一、剛體的旋轉(zhuǎn)矩陣及其導(dǎo)數(shù)剛體變換是旋轉(zhuǎn)和平移的組合為了描述剛體B的位置（Position）和姿態(tài)(Orientation)，通常在B上固接另一坐標(biāo)系{B}(簡(jiǎn)稱(chēng){B})，相對(duì)于參考坐標(biāo)系{A}。剛體B的位置和姿態(tài)（簡(jiǎn)稱(chēng)位姿Location）可由{B}相對(duì)于{A}的位置和姿態(tài)來(lái)描述，如圖2-1所示。B的位置可用{B}的坐標(biāo)原點(diǎn)在{A}中表示的n維位置矢量p來(lái)描述.如果p0是剛體上的任意一點(diǎn)，在局部坐標(biāo)系中表示。P0在全局坐標(biāo)系的位置p(t)是使p0首先繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，然后平移它得到的計(jì)算結(jié)果：p(t)=

R(t)p0+x(t)

(6–1)

其中，x(t)矢量表示剛體移動(dòng)，3×3矩陣R(t)表示剛體旋轉(zhuǎn)。

剛體B的姿態(tài)可用坐標(biāo)系{B}的n個(gè)主軸的方向矢量組成的n×n階旋轉(zhuǎn)矩陣R表示，當(dāng)n＝3時(shí)，旋轉(zhuǎn)矩陣R為：

(6–2)其中，每一列向量表示{B}的一個(gè)主軸在{A}中的三個(gè)方向余弦。因此也把旋轉(zhuǎn)矩陣R稱(chēng)為余弦矩陣。另外，我們可以把物理含義賦予R(t)?？紤]局部空間的x軸向量（1，0，0），在時(shí)刻t，該向量在世界空間具有方向參照式(6–2)中R(t)的元素，有是R(t)的第一列。(6–3)(6–4)R(t)的物理含意是當(dāng)在時(shí)刻t轉(zhuǎn)換到世界空間的時(shí)候，R(t)第一列給出剛體的x軸的方向。同樣地。R(t)的第二列和第三列，

和是在時(shí)刻t到世界空間中剛體y軸和z軸的方向。圖6.3

剛體的線速度v(t)和角速度

(t)剛體不僅能平移，也能旋轉(zhuǎn)。想象我們?cè)诳臻g中固定質(zhì)心位置，因此剛體上的任何點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)都是由剛體繞某個(gè)穿過(guò)質(zhì)心的軸旋轉(zhuǎn)造成的（除非質(zhì)心本身被移動(dòng)）。我們可以把旋轉(zhuǎn)描寫(xiě)為向量

(t)。(t)的方向給出旋轉(zhuǎn)軸的方向（圖6.3），

(t)量被稱(chēng)做角速度。線速度：x(t)和v(t)的關(guān)系為

v(t)=dx(t)/dt.如何表達(dá)R(t)和

(t)的關(guān)系?

讓我們回顧一下R(t)的物理的含意。我們知道R(t)的列告訴我們?cè)跁r(shí)刻t被轉(zhuǎn)換的x，y和z軸的方向。這意味著dR(t)/dt的列描述正在被轉(zhuǎn)換的x，y和z軸的速度。為了發(fā)現(xiàn)

(t)和R(t)之間的關(guān)系，我們首先檢查剛體上任意向量的變化與角速度

(t)的關(guān)系。圖6.4旋轉(zhuǎn)矢量的變化率。當(dāng)r(t)的頂端繞

(t)軸旋轉(zhuǎn)，它的軌跡是半徑為|b|的圓。r(t)頂端的速度是|

(t)||b|。圖6.4表示了角速度為

(t)的一個(gè)剛體。考慮在時(shí)刻t定義于世界空間的向量r(t)。假定該向量固定在剛體上，r(t)與剛體一起在世界空間中移動(dòng)。既然r(t)是一個(gè)方向，它獨(dú)立于任何平移，特別是，dr(t)/dt

獨(dú)立于v(t)。為了研究dr(t)/dt,我們把r(t)分解為矢量a和b,其中a平行于

(t)，b垂直于

(t)。假使剛體保持一個(gè)恒定的角速度，結(jié)果r(t)的頂端劃出一個(gè)中心在

(t)軸上的圓。這個(gè)圓的半徑是|b|。因?yàn)槭噶縭(t)的尖瞬時(shí)地是沿著這個(gè)圓移動(dòng)，r(t)的瞬時(shí)的改變是垂直于b和ω(t)兩者的。因?yàn)閞(t)的頂端正在沿著一個(gè)半徑為b的圓移動(dòng)，r(t)的瞬時(shí)的速度具有模|b||

(t)|。因?yàn)閎和

(t)垂直，他們的叉積具有模(6-5)既然r(t)=a+b，且a平行于

(t),

(t)

a

=0，因此歸納以上所述，在時(shí)刻t，我們知道在世界空間的剛體的x軸的方向是R(t)的第一列，它是在時(shí)刻t，R(t)的第一列的導(dǎo)數(shù)恰恰是這個(gè)矢量的變化率：使用叉積規(guī)則，這個(gè)改變是對(duì)于R(t)的其它兩列是同樣的。這意味著我們可以記為了簡(jiǎn)化上述表達(dá)式，使用下述算子。如果a和b是3維矢量，那么a

b是矢量給定矢量a,定義a*是矩陣那么，使用符號(hào)“*”,我們可以重新把簡(jiǎn)化為

根據(jù)矩陣的乘法規(guī)則，我們可以提取出公因子這是矩陣和矩陣的乘積。記二、剛體的速度和加速度二、剛體的速度和加速度{A}固定，剛體與{B}固結(jié)二、剛體的速度和加速度{B}相對(duì)于{A}移動(dòng)，姿態(tài)不變二、剛體的速度和加速度{B}相對(duì)于{A}純滾動(dòng)，若已知{C}相對(duì){B}的轉(zhuǎn)動(dòng)角速度為B

C，則{C}相對(duì){A}的轉(zhuǎn)動(dòng)角速度和角加速度矢量為二、剛體的速度和加速度線速度、線加速度角速度、角加速度三、旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)的連桿運(yùn)動(dòng)的傳遞如圖所示,連桿i＋1相對(duì)連桿i轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度是繞關(guān)節(jié)i＋1運(yùn)動(dòng)引起的,關(guān)節(jié)角速度Z軸單位向量?jī)申P(guān)節(jié)角速度向量轉(zhuǎn)換到同一坐標(biāo)系中，有在{i+1}坐標(biāo)系中表示角速度線速度連桿i轉(zhuǎn)動(dòng)速度而產(chǎn)生的分量在{i+1}坐標(biāo)系中表示角加速度，線加速度四、移動(dòng)關(guān)節(jié)的連桿運(yùn)動(dòng)傳遞i+1為移動(dòng)關(guān)節(jié)即，連桿i+1相對(duì)于連桿i移動(dòng)，i+1沒(méi)有轉(zhuǎn)動(dòng)，有五、質(zhì)心的速度和加速度計(jì)算操作臂各連桿運(yùn)動(dòng)傳遞的公式利用這些公式即可依次從基座開(kāi)始遞推各連桿的速度、加速度基座：轉(zhuǎn)動(dòng)關(guān)節(jié)：移動(dòng)關(guān)節(jié)：質(zhì)心：六、雅可比矩陣的速度遞推法通過(guò)逐次遞推，可以得到末端連桿速度記末端連桿的笛卡爾廣義速度為注意到它是各關(guān)節(jié)變量和速度的函數(shù)，寫(xiě)為矩陣方程的形式，則可得5.2連桿靜力學(xué)分析建立連桿i的力和力矩平衡方程在本地坐標(biāo)系下表示，暫時(shí)忽略連桿本身的自重，計(jì)算每個(gè)關(guān)節(jié)的驅(qū)動(dòng)力或力矩各個(gè)連桿所承受的力向量和力矩向量中，某些分量由操作臂本身的連桿結(jié)構(gòu)所平衡，一部分量則為各關(guān)節(jié)的驅(qū)動(dòng)力或力矩所平衡。對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)關(guān)節(jié)，關(guān)節(jié)驅(qū)動(dòng)力矩平衡力矩的z分量對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)關(guān)節(jié)，關(guān)節(jié)驅(qū)動(dòng)力矩平衡力矩的z分量方法：利用運(yùn)動(dòng)遞推和力的遞推建立操作臂動(dòng)力學(xué)方程，建立動(dòng)力學(xué)逆問(wèn)題的求解方法一、牛頓-歐拉方程

5.3牛頓-歐拉遞推動(dòng)力學(xué)方程

轉(zhuǎn)動(dòng)慣量相對(duì)于質(zhì)心坐標(biāo)系的慣性張量三、動(dòng)力學(xué)逆問(wèn)題遞推算法已知：關(guān)節(jié)位移、速度、加速度求解：關(guān)節(jié)力矩或力算法步驟：1）向外遞推

計(jì)算各連桿的速度和加速度，由牛頓-歐拉公式計(jì)算各連桿的慣性力和力矩。2)向內(nèi)遞推

計(jì)算各連桿相互作用力和力矩，以及關(guān)節(jié)驅(qū)動(dòng)力和力矩。逆問(wèn)題注意，應(yīng)將操作臂末端與外界的接觸力和力矩包含在平衡方程之中，作為向內(nèi)遞推的初值；如果操作臂在自由空間運(yùn)動(dòng)，則如果考慮連桿的重力，則取

且方向向上．即機(jī)器人的基座以加速度g作向上加速運(yùn)動(dòng)，從而抵消相當(dāng)于重力造成的影響。5.4關(guān)節(jié)空間和操作空間動(dòng)力學(xué)離心力和哥氏力向量重力矢量操作臂的慣性矩陣5.7

拉格朗日動(dòng)力學(xué)拉格朗日動(dòng)力學(xué)描述則基于系統(tǒng)能量的概念。對(duì)于任何機(jī)械系統(tǒng)，拉格朗日函數(shù)L定義為系統(tǒng)總的動(dòng)能Ek與總的勢(shì)能Ep之差，即式中，是表示動(dòng)能和勢(shì)能的廣義坐標(biāo)，是相應(yīng)的廣義速度。連桿i具有的動(dòng)能Eki為

操作臂所具有的動(dòng)能是n個(gè)連桿的動(dòng)能之和連桿質(zhì)心線速度引起的動(dòng)能連桿角速度產(chǎn)生的動(dòng)能由前面的速度分析可知，vci和i

i是操作臂關(guān)節(jié)變量q和關(guān)節(jié)速度的函數(shù)．因此操作臂的動(dòng)能是關(guān)節(jié)變量和關(guān)節(jié)速度的標(biāo)量函數(shù)，記為。操作臂的動(dòng)能為顯然，操作臂的動(dòng)能Eki是其慣性矩陣的二次型。由于動(dòng)能Eki為正，因而D(q)是正定的矩陣。質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能為上式的特殊情況，即n×n階操作臂慣性矩陣；依賴(lài)于形位；連桿i具有的勢(shì)能為操作臂所具有的勢(shì)能為各連桿勢(shì)能之和由于位置矢量是關(guān)節(jié)變量q的函數(shù)，因此勢(shì)能也為q的標(biāo)量函數(shù)，記為EP(q).3×1的重力加速度向量連桿i質(zhì)心的位置矢量。利用拉格朗日函數(shù)L，系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程(稱(chēng)第二類(lèi)拉格朗日方程)為τ是n×1的關(guān)節(jié)驅(qū)動(dòng)力矩矢量。由于勢(shì)能EP不顯含,因而動(dòng)力學(xué)方程變?yōu)椴缓珽p作業(yè)5.1,5.3轉(zhuǎn)換到基坐標(biāo)系下表示例5．2如圖5-2所示，令3f是水平向左作用在機(jī)械手的末端執(zhí)行器(即坐標(biāo)系{3}原點(diǎn)上)的外力，那么各關(guān)節(jié)力的表達(dá)式可反向遞推如下：為了簡(jiǎn)單起見(jiàn)、假定平面2R機(jī)械手的兩個(gè)連桿的質(zhì)量集中在連桿末端，分別為m1和m2。機(jī)械手的運(yùn)動(dòng)參數(shù)和動(dòng)力學(xué)參數(shù)為例5.3Y0X0連桿1的正向遞推連桿2的正向遞推反向遞推對(duì)連桿2對(duì)連桿1上式即是關(guān)節(jié)驅(qū)動(dòng)力矩作為關(guān)節(jié)位移、速度和加速度的顯函數(shù)表達(dá)式。即為平面2A機(jī)械手動(dòng)力學(xué)方程的封閉形式。最后，將z軸分量列出，即得到兩關(guān)節(jié)力矩5.8操作臂的動(dòng)力學(xué)建模操作臂是個(gè)復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)，前面在推導(dǎo)其動(dòng)力學(xué)方程時(shí)忽略了許多因素。作了許多簡(jiǎn)化假設(shè)。其中最主要的是機(jī)構(gòu)中的摩擦、間隙和變形。在機(jī)器人傳動(dòng)機(jī)構(gòu)中，齒輪嚙合和軸承中的摩擦力，通常很大，可