河北省衡水中學(xué)高三年級(jí)下冊(cè)二調(diào)數(shù)學(xué)試卷（理科） 含解析

2016-2017學(xué)年河北省衡水中學(xué)高三（下）二調(diào)數(shù)學(xué)試卷（理科）

一、選擇題：本大題共12個(gè)小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有

一項(xiàng)是符合題目要求的.

1.設(shè)集合A={x|x<2},B={y|y=2x-1,xGA},則ACB=（）

A.（-8,3）B.[2,3）C.（-8,2）D.（-1,2）

2.已知復(fù)數(shù)z=l-i（i為虛數(shù)單位），則2-z2的共粗復(fù)數(shù)是（）

z

A.1-3iB.l+3iC.-l+3iD.-1-3i

3.有一長(zhǎng)、寬分別為50m、30m的游泳池，一名工作人員在池邊巡視，某時(shí)刻出現(xiàn)在池邊任

一位置的可能性相同.一人在池中心（對(duì)角線交點(diǎn)）處呼喚工作人員，其聲音可傳出1破4

則工作人員能及時(shí)聽(tīng)到呼喚（出現(xiàn)在聲音可傳到區(qū)域）的概率是（）

A?力看C.箸D.喑

4.宋元時(shí)期數(shù)學(xué)名著《算學(xué)啟蒙》中有關(guān)于“松竹并生”的問(wèn)題：松長(zhǎng)五尺，竹長(zhǎng)兩尺，松日

自半，竹日自倍，松竹何日而長(zhǎng)等，如圖是源于其思想的一個(gè)程序框圖，若輸入的a,b分別

為5,2,則輸出的n等于（）

^入a,

A.2B.3C.4D.5

5.已知數(shù)列｛a/的前n項(xiàng)和為Sn，若Sn=l+2an(nB2),且a1=2,則S20()

A.219-1B.221-2C.219+1D.221+2

6.已知圓C：x2+y2=4,點(diǎn)P為直線x+2y-9=0上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P向圓C引兩條切線PA、PB,

A、B為切點(diǎn)，則直線AB經(jīng)過(guò)定點(diǎn)()

A.(J,B.(I，C.(2,0)D.(9,0)

7.某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為()

ffIKIS

A.4V3B.5V3C.6^30.873

8.設(shè)函數(shù)f(x)=logj_(ax2+2x-l),2+2sinX2x+^-)_,若不論X2取何值，f(xD>g(x2)

2gsinx+V3cosx

對(duì)任意X[€喘，卷]總是恒成立，則a的取值范圍為()

A.9/B.Gq)c.嘲,+8)>嚼,4)

9.如圖，三個(gè)邊長(zhǎng)為2的等邊三角形有一條邊在同一條直線上，邊B3c3上有10個(gè)不同的點(diǎn)

Pi，P2，…Pio，記mj=AB2?AP￡(i=l,2,...,10),貝!Jmi+mz+...+mio的值為()

A.180B.6073C.45D.I&/3

10.已知函數(shù)f(x)是定義在R上的單調(diào)函數(shù)，且對(duì)任意的x,y￡R都有f(x+y)=f(x)+f

(y),若動(dòng)點(diǎn)P(x,y)滿(mǎn)足等式f(x2+2x+2)+f(y2+8y+3)=0,則x+y的最大值為()

A.2遍-5B.-5C.276+5D.5

數(shù)列滿(mǎn)足且*<-+」-+...+」一,則的整數(shù)部分

11.{ajai=),an+i-l=an(an-l)(nWN*)Sn

3ala2an

的所有可能值構(gòu)成的集合是()

A.{0,1,2}B.{0,1,2,3}C.{1,2}D.{0,2}

12.等腰直角三角形AOB內(nèi)接于拋物線y2=2px(p>0),。為拋物線的頂點(diǎn)，OAJ_OB,AAOB

的面積是16,拋物線的焦點(diǎn)為F,若M是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，則料的最大值為()

IMF|

用與告D?零

二、填空題(每題5分，滿(mǎn)分20分，將答案填在答題紙上)

‘2x-y〉5

13.某校今年計(jì)劃招聘女教師x人，男教師y人，若x、y滿(mǎn)足卜,則該學(xué)校今年計(jì)劃

x<6

招聘教師最多—人.

14.已知函數(shù)￡6)=*2-2乂$加(；乂)+1的兩個(gè)零點(diǎn)分別為^0(01<11),則JHl-x2dx=.

15.已知四面體ABCD的每個(gè)頂點(diǎn)都在球。的表面上，AB=AC=5,BC=8,AD,底面ABC,G為

△ABC的重心，且直線DG與底面ABC所成角的正切值為"，則球。的表面積為.

16.已知是定義在R上的函數(shù)，且滿(mǎn)足①f(4)=0；②曲線y=f(x+1)關(guān)于點(diǎn)(-1,0)對(duì)稱(chēng);

③當(dāng)時(shí)，x若在《［-］上有個(gè)零

xG(-4,0)f(x)=log2(~^y+e^rH-l),y=f(x)x4,45

點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為.

三、解答題(本大題共5小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.)

17.已知向量m二(?sin3x,1)，n=(cos^x,cos20)x+1)?設(shè)函數(shù)f(x)=m,n+b.

TT

(1)若函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線xf-對(duì)稱(chēng)，且u)￡[0,3]時(shí)，求函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間；

6

(2)在(1)的條件下，當(dāng)x€[0,詈]時(shí)，函數(shù)f(x)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)b的取值

范圍.

18.如圖，已知四棱錐S-ABCD中，SA,平面ABCD,ZABC=ZBCD=90°,且SA=AB=BC=2CD=2,

E是邊SB的中點(diǎn).

(1)求證：CE〃平面SAD；

(2)求二面角D-EC-B的余弦值大小.

19.某公司準(zhǔn)備將1000萬(wàn)元資金投入到市環(huán)保工程建設(shè)中，現(xiàn)有甲、乙兩個(gè)建設(shè)項(xiàng)目供選擇,

若投資甲項(xiàng)目一年后可獲得的利潤(rùn)為6(萬(wàn)元)的概率分布列如表所示：

■110120170

Pm0.4n

且&的期望E(&)=120；若投資乙項(xiàng)目一年后可獲得的利潤(rùn)&(萬(wàn)元)與該項(xiàng)目建設(shè)材料的

成本有關(guān)，在生產(chǎn)的過(guò)程中，公司將根據(jù)成本情況決定是否受第二和第三季度進(jìn)行產(chǎn)品的價(jià)格

調(diào)整，兩次調(diào)整相互獨(dú)立，且調(diào)整的概率分別為P(OVpVl)和1-p,乙項(xiàng)目產(chǎn)品價(jià)格一年

內(nèi)調(diào)整次數(shù)X(次)與G的關(guān)系如表所示：

X(次)012

41.2117.6204.0

(1)求m,n的值;

(2)求&的分布列；

(3)根據(jù)投資回報(bào)率的大小請(qǐng)你為公司決策：當(dāng)p在什么范圍時(shí)選擇投資乙項(xiàng)目，并預(yù)測(cè)投

資乙項(xiàng)目的最大投資回報(bào)率是多少？(投資回報(bào)率=年均利潤(rùn)/投資總額X100%)

2222

20.如圖，曲線「由曲線G：三+O：l(a〉b>0,y40)和曲線C2：與上f1缶>0)組成，

a2b2a2b2

其中點(diǎn)Fi，F(xiàn)2為曲線J所在圓錐曲線的焦點(diǎn)，點(diǎn)F3,F4為曲線C2所在圓錐曲線的焦點(diǎn)，

(1)若F2(2,0),F3(-6,0),求曲線「的方程；

(2)如圖，作直線I平行于曲線C2的漸近線，交曲線J于點(diǎn)A、B,求證：弦AB的中點(diǎn)M必

在曲線C2的另一條漸近線上；

(3)對(duì)于(1)中的曲線「，若直線k過(guò)點(diǎn)F4交曲線J于點(diǎn)C、D,求aCDFi面積的最大值.

(1,f(D)處的切線與直線x+y+l=0垂直.

(H)若對(duì)于任意的xe[i,+8),f(x)Wm(x-1)恒成立，求m的取值范圍；

n.

(ffi)求證：m(4n+l)W16￡%一)

請(qǐng)考生在22、23兩題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分.［選修4-4：坐標(biāo)系

與參數(shù)方程］

22,在平面直角坐標(biāo)系*。丫中，曲線J的參數(shù)方程為(6為參數(shù))，曲線C2的參數(shù)

x=acos$

方程為(a>b>0,。為參數(shù))，在以。為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中,

(y=bsin0

TT

射線I：e=a與Ci，C2各有一個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)a=0時(shí)，這兩個(gè)交點(diǎn)間的距離為2,當(dāng)a=專(zhuān)時(shí)，這兩

個(gè)交點(diǎn)重合.

(I)分別說(shuō)明C1，C2是什么曲線，并求a與b的值；

JT7T

(口)設(shè)當(dāng)a=；時(shí)，I與J,C2的交點(diǎn)分別為AI，Bi，當(dāng)a=-二/時(shí)，I與J,C?的交點(diǎn)分別

44

為A2，B2，求直線A1A2、B1B2的極坐標(biāo)方程.

［選修4-5：不等式選講］

23.設(shè)函數(shù)f(x)=x-a,a<0.

(I)證明f(x)+f(--)22；

X

(□)若不等式f(x)+f(2x)v,的解集非空，求a的取值范圍.

2016-2017學(xué)年河北省衡水中學(xué)高三(下)二調(diào)數(shù)學(xué)試卷(理科)

參考答案與試題解析

一、選擇題：本大題共12個(gè)小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有

一項(xiàng)是符合題目要求的.

1.設(shè)集合A={x|x<2},B={y|y=2x-1,xGA},則ACB=()

A.(-8,3)B.[2,3)C.(-8,2)D.(-1,2)

【考點(diǎn)】交集及其運(yùn)算.

【分析】由指數(shù)函數(shù)的值域和單調(diào)性，化簡(jiǎn)集合B,再由交集的定義，即可得到所求.

【解答】解：集合A={x|x<2}=(-8,2),B={y|y=2x-1,x《A},

由xV2,可得y=2x-lW(-1,3),

即B={y|-l<y<3}=(-1,3),

則AAB=(-1,2).

故選：D.

2.已知復(fù)數(shù)z=l-i(i為虛數(shù)單位)，則2-z2的共規(guī)復(fù)數(shù)是()

Z

A.1-3iB.l+3iC.-l+3iD.-1-3i

【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算.

【分析】把Z代入2_z2,然后利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡(jiǎn)得答案.

Z

【解答]解：；Z=1-i,-z2=7^-(1-i)2i=l+3i.

Z1-1U-1Jkl+lj

??.■l—z2的共輒復(fù)數(shù)為1-3i.

故選：A.

3.有一長(zhǎng)、寬分別為50m、30m的游泳池，一名工作人員在池邊巡視，某時(shí)刻出現(xiàn)在池邊任

一位置的可能性相同.一人在池中心(對(duì)角線交點(diǎn))處呼喚工作人員，其聲音可傳出1圾4

則工作人員能及時(shí)聽(tīng)到呼喚(出現(xiàn)在聲音可傳到區(qū)域)的概率是()

A.3B.WC.二D.生絲

481632

【考點(diǎn)】幾何概型.

【分析】由題意可知所有可能結(jié)果用周長(zhǎng)160表示，事件發(fā)生的結(jié)果可用兩條線段的長(zhǎng)度和

60表示，即可求得.

【解答】解：當(dāng)該人在池中心位置時(shí)，呼喚工作人員的聲音可以傳lW^ir，那么當(dāng)構(gòu)成如圖所

示的三角形時(shí)，工作人員才能及時(shí)的聽(tīng)到呼喚聲，

所有可能結(jié)果用周長(zhǎng)160表示，事件發(fā)生的結(jié)果可用兩條線段的長(zhǎng)度和60表示,

故選B.

4.宋元時(shí)期數(shù)學(xué)名著《算學(xué)啟蒙》中有關(guān)于“松竹并生"的問(wèn)題：松長(zhǎng)五尺，竹長(zhǎng)兩尺，松日

自半，竹日自倍，松竹何日而長(zhǎng)等，如圖是源于其思想的一個(gè)程序框圖，若輸入的a,b分別

為5,2,則輸出的n等于（）

A.2B.3C.4D.5

【考點(diǎn)】程序框圖.

【分析】由已知中的程序框圖可知：該程序的功能是利用循環(huán)結(jié)構(gòu)計(jì)算并輸出變量S的值，模

擬程序的運(yùn)行過(guò)程，分析循環(huán)中各變量值的變化情況，可得答案.

【解答】解：當(dāng)n=l時(shí)，a=萼，b=4,滿(mǎn)足進(jìn)行循環(huán)的條件,

當(dāng)n=2時(shí)，a=尊，b=8滿(mǎn)足進(jìn)行循環(huán)的條件，

當(dāng)n=3時(shí)，a=雪，b=16滿(mǎn)足進(jìn)行循環(huán)的條件，

O

當(dāng)n=4時(shí)，a=罌，b=32不滿(mǎn)足進(jìn)行循環(huán)的條件，

16

故輸出的n值為4,

故選C.

5.已知數(shù)列｛aj的前n項(xiàng)和為Sn，若Sn=l+2an(n22),且ai=2,則S20()

A.219-1B.221-2C.219+1D.221+2

【考點(diǎn)】數(shù)列的求和.

【分析】利用遞推關(guān)系與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求和公式即可得出.

【解答】解：?.?Sn=l+2ari(n22),且ai=2,；.n22時(shí),an=Sn-Sn.i=l+2an-(l+2an-i),化為：

=

an2an-1，

.??數(shù)列｛an｝是等比數(shù)列，公比與首項(xiàng)都為2.

22。二DR-2.

2-1

故選：B.

6.已知圓C：x2+y2=4,點(diǎn)P為直線x+2y-9=0上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P向圓C引兩條切線PA、PB,

A、B為切點(diǎn)，則直線AB經(jīng)過(guò)定點(diǎn)()

A.(J,B.(I，C.(2,0)D.(9,0)

【考點(diǎn)】直線與圓的位置關(guān)系.

【分析】根據(jù)題意設(shè)P的坐標(biāo)為P(9-2m,m),由切線的性質(zhì)得點(diǎn)A、B在以O(shè)P為直徑的

圓C上，求出圓C的方程，將兩個(gè)圓的方程相減求出公共弦AB所在的直線方程，再求出直線

AB過(guò)的定點(diǎn)坐標(biāo).

【解答】解：因?yàn)镻是直線x+2y-9=0的任一點(diǎn)，所以設(shè)P（9-2m,m）,

因?yàn)閳Ax?+y2=4的兩條切線PA、PB,切點(diǎn)分別為A、B,

所以O(shè)A_LPA,0B1PB,

則點(diǎn)A、B在以O(shè)P為直徑的圓上，即AB是圓。和圓C的公共弦，

22

則圓心C的坐標(biāo)是（上碧，白），且半徑的平方是汽=色紅1±1_,

224

22

所以圓C的方程是（X-生答）2+（y-i）2=（絲辿坯①

224

又x2+y2=4,②，

②-①得，（2m-9）x-my+4=0,即公共弦AB所在的直線方程是：（2m-9）x-my+4=0,

即m(2x-y)+(-9x+4)=0,

2x，=0得x],

由

-9x+4=09

所以直線AB恒過(guò)定點(diǎn)（胃，I）,

99

故選A.

7.某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（）

俯次圖

A.隊(duì)行B.W^C.6V3D.85/3

【考點(diǎn)】棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積；由三視圖求面積、體積.

【分析】由已知中的三視圖，可得該幾何體是一個(gè)以俯視圖左下角的三角形為底面的三棱錐和

一個(gè)以俯視圖右上角的三角形為底面的三棱柱相加的組合體，代入棱錐和棱柱的體積公式，可

得答案.

【解答】解：由已知中的三視圖，可得：

該幾何體是一個(gè)以俯視圖左下角的三角形為底面的三棱錐和一個(gè)以俯視圖右上角的三角形為

底面的三棱柱相加的組合體，

棱錐和棱柱的底面面積均為：S=，X2X仔愿，高均為h=3,

故組合體的體積V=Sh+±Sh=4代，

故選：A

8.設(shè)函數(shù)f(x)=logj_(ax2+2x-l),2+2sin(2x母),若不論x2取何值，f(刈)>g(x2)

2gsinx+V3cosx

對(duì)任意3，楙］總是恒成立，則a的取值范圍為()

A.9B.9,卷C.(若，+8)D.濯，春

XUDOUSUD

【考點(diǎn)】函數(shù)恒成立問(wèn)題.

TT

【分析】利用三角恒等變換化簡(jiǎn)得g(x)=2sin(x+g)W2,依題意可得f(Xi)min>g(x2)

max=2,即當(dāng)?時(shí)，0Vax2+2x-lvg恒成立，通過(guò)分類(lèi)討論，即可求得a的取值范圍.

1024

rJT.7T、r

2+2cos(2X+-T")]

【解答】解：?.?函數(shù)《)=1。8上32+2乂-1)2+2sin(2x4^-)___________乙b

g(x)=-2(--sinx+-^-cosx)

2sinx+>/3cosx

9n2

2-2cos(2x+o)2sin(x1r

---------------------------=---------------------=2sin(x+—)W2,即g(X)max=2，

7T7T3

2sin(x+-^-)sin(x+-y)

因?yàn)椴徽揦2取何值，f(Xi)>g(X2)對(duì)任意xR［木，1?］總是恒成立,

所以f(Xi)min>g(X2)max，

即對(duì)任意xcjg，1?］，logJaxZ+Zx-Dx恒成立,

iUZ2

即當(dāng)工?時(shí)，0Vax2+2x-1〈與恒成立，

1024

1。由ax?+2x-IV4導(dǎo)：ax2<--2x,即aV-^y--反（!-且）2-里,

444xzx4x55

令h（X）=4（工-當(dāng)2-卷,

4x55

因?yàn)?/p>

3x7

所以‘當(dāng)W時(shí)」h（X）?-春故a（十

122

2°由0<ax2+2x-1得:

12n

令t（X）=（X）---1）2-1,

XXX

因?yàn)樘ユ?/p>

3x7

所以，當(dāng)乂=.即，t（當(dāng)=-1）2-1=8

239

當(dāng)X唱，即產(chǎn)涉，"+=（半-1）23翳，顯然'-4-0>、--8

499

即[t（x）]max=-黑，故a>-黑；

4949

綜合1。2。知，-黑VaV-言，

495

故選：D.

9.如圖，三個(gè)邊長(zhǎng)為2的等邊三角形有一條邊在同一條直線上，邊B3c3上有10個(gè)不同的點(diǎn)

Pi，P2，...Pio，記rrii=AB2*APX（i=l,2,,10）,則mi+m2+...+mio的值為（）

A.180B.60/3C.45D.1573

【考點(diǎn)】平面向量數(shù)量積的運(yùn)算.

【分析】由題意可得碼IB3C；,然后把皿=西?恒轉(zhuǎn)化為福求得答案.

【解答】解：由圖可知，ZB2AC3=30°,又NAC3B3=60。，

AB?_LB3c3，即AB2，B3c3=0.

則％=成?匹=麗(成+,3、；)二項(xiàng)?/=2?X6X亭=18,

/.mi+m2+...+mio=18X10=180.

故選：A.

10.已知函數(shù)f(x)是定義在R上的單調(diào)函數(shù)，且對(duì)任意的x,yeR都有f(x+y)=f(x)+f

(y),若動(dòng)點(diǎn)P(X,y)滿(mǎn)足等式f(X2+2X+2)+f(y2+8y+3)=0,則x+y的最大值為()

A.2遍-5B.-5C.2遍+5D.5

【考點(diǎn)】抽象函數(shù)及其應(yīng)用.

【分析】由條件可令x=y=0,求得f(0)=0,再由f(x)為單調(diào)函數(shù)且滿(mǎn)足的條件，將f(x2+2x+2)

+f(y2+8y+3)=0化為f(x2+y2+2x+8y+5)=0=f(0),可得x2+y2+2x+8y+5=0,配方后，再令x=

-1+2J5cosa,y=-4+2jmina(aG(0,2n)),運(yùn)用兩角差的余弦公式和余弦函數(shù)的值域，

即可得到所求最大值.

【解答】解：對(duì)任意的x,yeR都有f(x+y)=f(x)+f(y),

令x=0,y=o>都有f(0+0)=f(0)+f(0)=>f(0)=0,

動(dòng)點(diǎn)P(x,y)滿(mǎn)足等式f(x?+2x+2)+f(y2+8y+3)=0,

即有f(x2+y2+2x+8y+5)=0=f(0),

由函數(shù)f(x)是定義在R上的單調(diào)函數(shù)，

可得x2+y2+2x+8y+5=0,

化為(x+1)2+(y+4)2=12,

可令x=-1+2A/5cosa,y=-4+2V3sina(aG(0,2n)),

則x+y=2依(cosa+sina)-5

lJl

=2,6cos(a--)-5,

當(dāng)cos(a--y-)=1即。=多時(shí),x+y取得最大值2%-5,

故選：A.

11.數(shù)列｛aj滿(mǎn)足ai=言，an,i-l=an(an-1)(n《N*)且Sn==f=二+…+白，則Sn的整數(shù)部分

3aia2an

的所有可能值構(gòu)成的集合是()

A.{0,1,2}B.{0,1,2,3}C.{1,2}D.{0,2}

【考點(diǎn)】數(shù)列遞推式.

2

【分析】數(shù)列屈}滿(mǎn)足ai=*an-i-l=an(an-1)(n^N*).可得：an+i-an=(an-l)>0,可

J

得：數(shù)列{an}單調(diào)遞增.可得a2=W，a3=譽(yù)，24=鬻匚9丁=需>1，三不=器〈「另

9816561^315216916

一方面：TTT-二，可得

anan1an+l1

z11xz1lxz11、14、

S=(-------丁)+(----丁)+..?+(；7")=3-7，對(duì)n=l,2,3,n，4,

n-1a-1a_1

a「la22a3Tna肝「1an+i-1

分類(lèi)討論即可得出.

【解答】解：,數(shù)列{an}滿(mǎn)足ai=￡,an+i-l=an(an-1)(n6N*).

o

可得：an+l-an=(an-l)2>0,；.an-i>an,因此數(shù)列{aj單調(diào)遞增.

則a2-14x(%l),可得a2=與，同理可得：a3=^,a4=搐匚

339816561

1—81.._J____6561^1

-a--

a3-l524~16916

另一方面：4=三不一1=?，

anan1an+l1

111,11、,11、,11、]

ala2anal-1a2-1a2-1a3-1an-1ad「1a「l

f3—-

an+lTan+l

當(dāng)n=l時(shí)，Si=—=4.其整數(shù)部分為0;

314

當(dāng)n=2時(shí)，S2=%*1+||,其整數(shù)部分為1；

當(dāng)n=3時(shí)，S3=%去■備2+著-,其整數(shù)部分為2；

4131336561

1

當(dāng)n24時(shí)，Sn=2+1---~re(2,3),其整數(shù)部分為2.

&n+lT

綜上可得：Sn的整數(shù)部分的所有可能值構(gòu)成的集合是{0,1,2}.

故選：A.

12.等腰直角三角形AOB內(nèi)接于拋物線y2=2px(p>0),。為拋物線的頂點(diǎn)，OAJ_OB,AAOB

|0M

的面積是16,拋物線的焦點(diǎn)為F,若M是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，則的最大值為()

IMF

A返B.逅C.D.

3333

【考點(diǎn)】拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì).

【分析】設(shè)等腰直角三角形OAB的頂點(diǎn)A(xi，yi),B(x2,y2),利用OA=OB可求得x】=X2,

進(jìn)而可求得AB=4p,從而可得SMAB.設(shè)過(guò)點(diǎn)N的直線方程為y=k(x+1),代入y2=4x,過(guò)M作

準(zhǔn)線的垂線，垂足為A,則|MF|=|MA|,考慮直線與拋物線相切及傾斜角為0。，即可得出p.設(shè)

M到準(zhǔn)線的距離等于d,由拋物線的定義，化簡(jiǎn)為瞿一粵L』+磐,換元，利用基本不

照dV(irH-l)2

等式求得最大值.

【解答】解：設(shè)等腰直角三角形OAB的頂點(diǎn)A(xi,yi),B(X2,丫2),則y/=2pxi,yz2=2px2.

由OA=OB得：xi2+yi2=X22+y22,

/.Xi2-X22+2pxi-2px2=0,HR(xi-X2)(xi+xz+2p)=0,

Vxi>0,x2>0,2p>0,

「?Xi=X2,即A,B關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng).

???直線。A的方程為：y=xtan45°=x,

與拋物線聯(lián)立，解得上;或代，，

1y=0[y=2p

故AB=4p,

2

.?.SAOAB=yX2pX4p=4p.

?.?△AOB的面積為16,，p=2；

焦點(diǎn)F(1,0),設(shè)M(m,n),則r)2=4m,m>0,設(shè)M到準(zhǔn)線x=-1的距離等于d,

則附用唇

令m+l=t,t>l,則犒一卜今總產(chǎn)居w手(當(dāng)且僅當(dāng)t=3時(shí)，等號(hào)成立).

故耦的最大值為竽，

故選C.

二、填空題(每題5分，滿(mǎn)分20分，將答案填在答題紙上)

’2x-y〉5

13.某校今年計(jì)劃招聘女教師x人，男教師y人，若x、y滿(mǎn)足xr42,則該學(xué)校今年計(jì)劃

x<6

招聘教師最多10人.

【考點(diǎn)】簡(jiǎn)單線性規(guī)劃.

【分析】作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，則目標(biāo)函數(shù)為z=x+y,利用線性規(guī)劃的知識(shí)進(jìn)行求解

即可.

【解答】解:^z=x+y,

作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖：

由z=x+y得y=-x+z,

平移直線y=-x+z,

由圖象可知當(dāng)直線y=-x+z經(jīng)過(guò)點(diǎn)A時(shí)，

直線y=-x+z的截距最大，

此時(shí)z最大.但此時(shí)z最大值取不到，

由圖象當(dāng)直線經(jīng)過(guò)整點(diǎn)E(5,5)時(shí)，z=x+y取得最大值，

代入目標(biāo)函數(shù)z=x+y得z=5+5=10.

即目標(biāo)函數(shù)z=x+y的最大值為10.

故答案為：10.

14.已知函數(shù)f(x)=J-2xsin(-了x)+1的兩個(gè)零點(diǎn)分別為m、n(mVn),則J7dx劣

71

【考點(diǎn)】定積分；函數(shù)零點(diǎn)的判定定理.

【分析】先求出m,n,再利用幾何意義求出定積分.

【解答】解：7?函數(shù)f(x)=x2-2xsin(”-x)+l的兩個(gè)零點(diǎn)分別為m、n(m<n),

??m=-1,n=1,

，JNl-x2dx=J2dx卷兀-12=^-.

故答案為

15.已知四面體ABCD的每個(gè)頂點(diǎn)都在球。的表面上，AB=AC=5,BC=8,ADJ_底面ABC,G為

△ABC的重心，且直線DG與底面ABC所成角的正切值為《則球。的表面積為駕匚.

【考點(diǎn)】球的體積和表面積.

【分析】求出4ABC外接圓的直徑，利用勾股定理求出球。的半徑，即可求出球。的表面積.

【解答】解：由題意，AG=2,AD=1,

?_/CA_25+25-64_7/A<-_24

cos/BAC=2x5x5=_而'°.sinNBNAC=元,

.,.△ABC外接圓的直徑為2r=存孕,

去3

設(shè)球。的半徑為R,，R=

...球。的表面積為嗎匚，

故答案為駕二.

16.已知是定義在R上的函數(shù)，且滿(mǎn)足①f(4)=0；②曲線y=f(x+1)關(guān)于點(diǎn)(-1,0)對(duì)稱(chēng);

X

③當(dāng)xG(-4,0)時(shí)，f(x)=log2(~^y+e-nH-l),若y=f(x)在x《［-4,4］上有5個(gè)零

點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為［-3e“，1)U{-小}.

【考點(diǎn)】函數(shù)零點(diǎn)的判定定理.

【分析】可判斷f(x)在R上是奇函數(shù)，從而可化為當(dāng)xe(-4,0)時(shí)，

x

f(x)=log2(―^j-+e-m1-l),有1個(gè)零點(diǎn)，從而轉(zhuǎn)化為xex+ex-m=0在(-4,0)上有1個(gè)不

同的解，再令g(x)=xex+ex-m,從而求導(dǎo)確定函數(shù)的單調(diào)性及取值范圍，從而解得.

【解答】［-3e31)u{-e2}

解：?.?曲線y=f(x+1)關(guān)于點(diǎn)(-1,0)對(duì)稱(chēng)；

曲線y=f(x)關(guān)于點(diǎn)(0,0)對(duì)稱(chēng)；(x)在R上是奇函數(shù)，

/.f(0)=0,又』(4)=0,Af(-4)=0,

而y=f(x)在x￡［-4,4］上恰有5個(gè)零點(diǎn)，

故xd(-4,0)時(shí)，f(x)=lo§2(—釬有］.個(gè)零點(diǎn)，

xx

x￡(-4,0)時(shí)f(x)=log2(xe+e-m+1),

故xex+ex-m=0在(-4,0)上有1個(gè)不同的解，

令g(x)=xex+ex-m,

gz(x)=ex+xex+ex=ex(x+2),

故g(x)在(-4,-2)上是減函數(shù)，在(-2,0)上是增函數(shù)；

2-2

而g(-4)=-4e4+e4-m,g(o)=1-m=-m,g(-2)=-2e+e-m,

而g(-4)<g(0),

故-2e這+e2-m-l<0<-4e4+e4-m-1,

故-3e4^m<l或m=-e2

故答案為：[-3e-4,1)U{-e-2}

三、解答題(本大題共5小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.)

17.已知向量x,1)，n=(cosWx,cos2Wx+1)，設(shè)函數(shù)f(x)二％+b.

(1)若函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線xTfT對(duì)稱(chēng)，且3W[0,3]時(shí)，求函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間；

(2)在(1)的條件下，當(dāng)x€[0,*]時(shí)，函數(shù)f(x)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)b的取值

范圍.

【考點(diǎn)】三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用；平面向量數(shù)量積的運(yùn)算.

【分析】(1)根據(jù)平面向量數(shù)量積運(yùn)算求解出函數(shù)f(x)=2G+b，利用函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于

直線XT4T對(duì)稱(chēng)，且3￡[0,3]時(shí)，求解3,可求函數(shù)f(X)的單調(diào)增區(qū)間.

0

(2)當(dāng)x€[0,時(shí)，求出函數(shù)f(X)的單調(diào)性，函數(shù)f(x)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，利用其

單調(diào)性求解求實(shí)數(shù)b的取值范圍.

【解答】解：向量m=(6sin3x,1)>n=(cosWx,cos2Wx+1)?函數(shù)f(x)==，；+b.

則

V3i3

f(x)=in,1n+b^VSsinxcosCOx+cos3x+l+bsin23x+,cos23x+1+b

2

sin(2^

TT

(1)?.?函數(shù)f(X)圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，

0

.TT兀兀/1r、

??23?)+7?=k兀+F~(k￡Z)，

662

解得:u)=3k+l(kez),

Va)e[0,3],

u)=l,

K3

??f(x)=sin(2x+-^~)-Ky+b，

解得：k九兀+■卷(k￡Z),

所以函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間為［k兀TTT，k兀+T：T］(kez).

36

TT2

(2)由(1)知f(x)=sin(2x+~x)七7+b，

bZ

???xEEo.旨，

??.2乂亭小，寫(xiě)],

663

?**2x+:W，■?-]?即x€[0,時(shí)，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增；

6626

2x+-^-E冬即x€三弓~]時(shí),函數(shù)f(x)單調(diào)遞減.

bZJbiz

TT

又f(O)=f(.)，

.??當(dāng)(2)或f(3)=0時(shí)函數(shù)f(x)有且只有一個(gè)零點(diǎn).

o1Zo

即sing^W-b-半弋m書(shū)-或l+-^-+b=0?

所以滿(mǎn)足條件的b￡(-2,與與U{￡}?

18.如圖,已知四棱錐S-ABCD中，SA_L平面ABCD,ZABC=ZBCD=90°,且SA=AB=BC=2CD=2,

E是邊SB的中點(diǎn).

(1)求證：CE〃平面SAD；

(2)求二面角D-EC-B的余弦值大小.

【考點(diǎn)】二面角的平面角及求法；直線與平面平行的判定.

【分析】（1）取SA中點(diǎn)F,連結(jié)EF,FD,推導(dǎo)出四邊形EFDC是平行四邊形，由此能證明CE

〃面SAD.

（2）在底面內(nèi)過(guò)點(diǎn)A作直線AM〃BC,則AB_LAM,以AB,AM,AS所在直線分別為x,y,z

軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出二面角D-EC-B的余弦值.

【解答】證明：（1）取SA中點(diǎn)F,連結(jié)EF,FD,

1E是邊SB的中點(diǎn)，

；.EF〃AB,且EF==AB,

XVZABC=ZBCD=90°,

；.AB〃CD,

又?.,AB=2CD,且EF=CD,

...四邊形EFDC是平行四邊形，

，F(xiàn)D〃EC,

又FDu平面SAD,CEC平面SAD,

；.CE〃面SAD.

解：(2)在底面內(nèi)過(guò)點(diǎn)A作直線AM〃BC,則AB_LAM,

又SAJ_平面ABCD,

以AB,AM,AS所在直線分別為x,y,z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

則A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,2,0),D(1,2,0),D(1,2,0),E(1,0,1),

則前=(0,2,0),BE=(-1,0,1),(-1,0,),eg=(-1,-2,1),

設(shè)面BCE的一個(gè)法向量為奈(x,y,z),

則b?嚀2尸0

,取x=l,得旨（1，0,1）,

,n*BE=-x+z=0

同理求得面DEC的一個(gè)法向量為涓（0,1,2）,

cos<n,合=苦"?VTo

In|"Im|

由圖可知二面角D-EC-B是鈍二面角,

二面角D-EC-B的余弦值為-Y里.

5

19.某公司準(zhǔn)備將1000萬(wàn)元資金投入到市環(huán)保工程建設(shè)中，現(xiàn)有甲、乙兩個(gè)建設(shè)項(xiàng)目供選擇,

若投資甲項(xiàng)目一年后可獲得的利潤(rùn)為h（萬(wàn)元）的概率分布列如表所示：

5110120170

Pm0.4n

且h的期望E（&）=120；若投資乙項(xiàng)目一年后可獲得的利潤(rùn)6（萬(wàn)元）與該項(xiàng)目建設(shè)材料的

成本有關(guān)，在生產(chǎn)的過(guò)程中，公司將根據(jù)成本情況決定是否受第二和第三季度進(jìn)行產(chǎn)品的價(jià)格

調(diào)整，兩次調(diào)整相互獨(dú)立，且調(diào)整的概率分別為P（0<p<l）和1-p,乙項(xiàng)目產(chǎn)品價(jià)格一年

內(nèi)調(diào)整次數(shù)X（次）與&的關(guān)系如表所示：

X（次）012

&41.2117.6204.0

（1）求m,n的值；

（2）求&的分布列；

（3）根據(jù)投資回報(bào)率的大小請(qǐng)你為公司決策：當(dāng)p在什么范圍時(shí)選擇投資乙項(xiàng)目，并預(yù)測(cè)投

資乙項(xiàng)目的最大投資回報(bào)率是多少？（投資回報(bào)率=年均利潤(rùn)/投資總額X100%）

【考點(diǎn)】離散型隨機(jī)變量的期望與方差；離散型隨機(jī)變量及其分布列.

【分析】（1）利用概率和為1,期望值列出方程組求解即可.

（2）&的可能取值為41.2,117.6,204.0,求出概率，得到&的分布列；

（3）利用期望關(guān)系，通關(guān)二次函數(shù)求解最值即可.

firrl-O.4+n=l

【解答】解：(1)由題意得:1110in+120X0.4+170n=12C，

得：m=0.5,n=0.1.

(2)6的可能取值為41.2,117.6,204.0,P(&=41.2)=(1-p)[1-(1-p)]=p(1-p)

22

P(g2=117.6)=p[l-(l-p)]+(l-p)(l-p)=p+(l-p)

P(^2=204.0)=p(1-p)

所以&的分布列為

41.2117.6204.0

PP(1-p)P2+(1-p)2P(1-p)

22

(3)由(2)可得：E(2)=41.2Xp(l-p)+117.6X[p+(l-p)]+204.0Xp(l-p)=-

10p2+10p+117.6

根據(jù)投資回報(bào)率的計(jì)算辦法，如果選擇投資乙項(xiàng)目，只需E(￡i)<E(&)，

即120<-10p2+10p+117.6,得0.4<p<0.6.

2

因?yàn)镋(￡2)=-10p+10p+117.6，

所以當(dāng)P弓時(shí)，E(&)取到最大值為120.1,

所以預(yù)測(cè)投資回報(bào)率的最大值為12.01%.

2222

20.如圖，曲線「由曲線Ci：廣1(a〉b〉0,y《0)和曲線C2：尸1(y>0)組成,

a2b2a2b2

其中點(diǎn)Fi，F(xiàn)2為曲線J所在圓錐曲線的焦點(diǎn)，點(diǎn)F3,F4為曲線C2所在圓錐曲線的焦點(diǎn)，

(1)若F2(2,0),F3(-6,0),求曲線「的方程；

(2)如圖，作直線I平行于曲線C2的漸近線，交曲線J于點(diǎn)A、B,求證：弦AB的中點(diǎn)M必

在曲線C2的另一條漸近線上；

(3)對(duì)于(1)中的曲線「，若直線li過(guò)點(diǎn)F4交曲線J于點(diǎn)C、D,求ACDFI面積的最大值.

y

【考點(diǎn)】直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題.

【分析】⑴由F2(2,0),F3(-6,0),可得a+b=36,解出即可；

.a-b^=4

(2)曲線C2的漸近線為y=±卜乂，如圖，設(shè)點(diǎn)A(Xi，yi),B(X2，丫2),M(Xo>yo)>設(shè)直線

a

I：y=—(x-m)>與橢圓方程聯(lián)立化為2x2-2mx+(m2-a2)=0,

a

利用△>(),根與系數(shù)的關(guān)系、中點(diǎn)坐標(biāo)公式，只要證明yo=《xo,即可.

22

(3)由(1)知，曲線Ci：金+猾：i(y<o)，點(diǎn)F4(6,0).設(shè)直線k的方程為x=ny+6(n>

0).與橢圓方程聯(lián)立可得(5+4?)y2+48ny+64=0,利用根與系數(shù)的關(guān)系、弦長(zhǎng)公式、三角形

的面積計(jì)算公式、基本不等式的性質(zhì)即可得出.

【解答】(1)解:VF2(2,0),F3(-6,0),

a2+b2=36

22

ua-b=4

a2=20

解得

>2=16

2222

則曲線「的方程為去+*l(y40)和徐■書(shū)

ZUlbZUlb

(2)證明：曲線C2的