數(shù)字信號(hào)處理 Z域分析

1李建勛---ljx088@第二章時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析Z域分析法

1.連續(xù)時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)： 信號(hào)與系統(tǒng)的頻域分析、復(fù)頻域分析。傅立葉變換，拉譜拉斯變換2.離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)：

Z變換，傅立葉變換。引入Z變換的意義2李建勛---ljx088@1.Z變換的定義一個(gè)離散序列x(n)的Z變換定義為1.1序列的Z變換z是一個(gè)復(fù)變量，它所在的復(fù)平面稱為Z平面。單邊Z變換的定義：本書中均用雙邊Ｚ變換對(duì)信號(hào)進(jìn)行分析和變換。例：級(jí)數(shù)形式對(duì)應(yīng)不同序列在工程中，人們對(duì)右序列感興趣3李建勛---ljx088@只有當(dāng)?shù)膬缂?jí)數(shù)收斂時(shí)，Z變換才有意義。

2.Z變換的收斂域與零極點(diǎn)一般收斂域用環(huán)狀域表示，即

Rx-<|z|<Rx+

收斂域：對(duì)任意x(n)，使其Z變換收斂的所有z值的集合。

常用的Z變換是一個(gè)有理函數(shù)：X(z)的零點(diǎn)：P(z)的根，X(z)的極點(diǎn)：Q(z)的根。收斂域中沒有極點(diǎn)，收斂域總是用極點(diǎn)限定其邊界。

4李建勛---ljx088@Z平面上收斂域的位置和序列有著密切的關(guān)系：（1）有限長(zhǎng)序列有時(shí)將開域(0,∞)稱為“有限Z平面”。其Z變換為其收斂情況5李建勛---ljx088@

（2）右邊序列：右邊序列是指x(n)只在n≥n1時(shí)有值。則右邊序列Z變換的收斂域?yàn)镽x-<|z|<∞

因果序列Z變換收斂域包括|z|=∞是因果序列的特征。6李建勛---ljx088@

（3）左邊序列:左邊序列是指在n≤n2時(shí)x(n)有值如果n2≤0，收斂域應(yīng)包括z=0，即|z|<Rx+。

左邊序列Z變換的收斂域?yàn)?李建勛---ljx088@（4）雙邊序列：一個(gè)雙邊序列可看作一個(gè)右邊序列和一個(gè)左邊序列之和如果Rx-<Rx+，則存在公共收斂區(qū)域：Rx-<|z|<Rx+

收斂域?yàn)閨z|>Rx-;收斂域?yàn)閨z|<RX+8李建勛---ljx088@矩形序列x(n)=RN(n)的Z變換及其收斂域:這是一個(gè)有限項(xiàng)幾何級(jí)數(shù)之和。因此9李建勛---ljx088@例x(n)=anu(n),求其Z變換及收斂域。收斂域：|z|>|a|無窮項(xiàng)等比級(jí)數(shù)求和解這是一個(gè)因果序列，其Z變換為結(jié)論：右邊序列的Z變換如果有N個(gè)有限極點(diǎn)｛z1,z2,…,zN｝，那么收斂域一定在模最大的極點(diǎn)所在的圓外另外，由于X(z)只在z=a處有一極點(diǎn)，整個(gè)收斂域應(yīng)該在極點(diǎn)所在的圓外。10李建勛---ljx088@

例x(n)=-anu(-n-1),求其Z變換及收斂域。此等比級(jí)數(shù)在|a-1z|<1，即|z|<|a|收斂。另外，由于函數(shù)只在z=a處有一極點(diǎn)，整個(gè)收斂域應(yīng)該在極點(diǎn)所在的圓內(nèi)。

解這是一個(gè)左邊序列。其Z變換為11李建勛---ljx088@

對(duì)于左邊序列，如果序列Z變換有N個(gè)有限極點(diǎn)｛z1,z2,…,zN｝，那么收斂域一定在模最小的極點(diǎn)所在的圓內(nèi)結(jié)論：一個(gè)左邊序列與一個(gè)右邊序列的Ｚ變換表達(dá)式是完全一樣的。所以，只給出Z變換的閉合表達(dá)式不能正確得到原序列，需要已知收斂域。12李建勛---ljx088@13李建勛---ljx088@

例x(n)=a|n|,a為實(shí)數(shù)，求其Z變換及收斂域。

解這是一個(gè)雙邊序列，其Z變換為若|a|<1，則存在公共收斂域

若|a|≥1，則無公共收斂域,序列兩端都發(fā)散14李建勛---ljx088@表幾種序列的Z變換15李建勛---ljx088@表幾種序列的Z變換16李建勛---ljx088@1.2Z變換的性質(zhì)1.線性Z變換是一種線性變換，它滿足疊加原理，即若有:Z［x(n)］=X(z)Rx-<|z|<Rx+

Z［y(n)］=Y(z)Ry-<|z|<Ry+

Z［ax(n)+by(n)］=aX(z)+bY(z)Ｒ-<|z|<R+2.序列卷積（卷積定理）17李建勛---ljx088@3.序列的移位位移m可以為正（右移）也可以為負(fù)（左移）。18李建勛---ljx088@例設(shè)x(n)=anu(n),h(n)=bnu(n)-abn-1u(n-1)求y(n)=x(n)*h(n)。解所以19李建勛---ljx088@4.初值定理對(duì)于因果序列x(n)，有5.終值定理設(shè)x(n)為因果序列，且X(z)=Z［x(n)］的極點(diǎn)，除有一個(gè)一階極點(diǎn)可以在z=1上，其余都在單位圓內(nèi)，則20李建勛---ljx088@6.乘以指數(shù)序列（Z域尺度變換）7.X(z)的微分8.復(fù)序列的共軛21李建勛---ljx088@10.序列乘積（復(fù)卷積定理）若9.翻褶序列22李建勛---ljx088@Z變換的主要性質(zhì)23李建勛---ljx088@1.3Z反變換已知函數(shù)X(z)及其收斂域，求序列的變換稱為Z反變換，x(n)=Z-1［X(z)］則若常用方法有三種：留數(shù)法,部分分式展開法和冪級(jí)數(shù)展開法。24李建勛---ljx088@

1.圍線積分法（留數(shù)法）根據(jù)留數(shù)定理，若函數(shù)F(z)=X(z)zn-1在圍線c以內(nèi)有K個(gè)極點(diǎn)zk，則有Res［X(z)zn-1,zk］表示函數(shù)F(z)=X(z)zn-1在極點(diǎn)z=zk上的留數(shù)。或在c以外有M個(gè)極點(diǎn)zm，且分母階次比分子高兩階以上：25李建勛---ljx088@設(shè)zr是X(z)zn-1的單一（一階）極點(diǎn)，則有如果zr是X(z)zn-1的多重極點(diǎn)，如l階極點(diǎn)，則有對(duì)多階極點(diǎn)不作要求26李建勛---ljx088@例已知求Z反變換。解圍線c以內(nèi)包含單階極點(diǎn)a。當(dāng)n<0時(shí)，在z=0處有一個(gè)n階極點(diǎn)。而在圍線c外無極點(diǎn)；27李建勛---ljx088@同一個(gè)X(z)，若收斂域不同，則對(duì)應(yīng)的序列就完全不同。28李建勛---ljx088@例設(shè)求Z反變換

解X(z)有兩個(gè)極點(diǎn)，d1=2和d2=0.5，極點(diǎn)全部是一階的求得系數(shù)為:

2.部分分式展開法29李建勛---ljx088@

2.部分分式展開法在實(shí)際應(yīng)用中，一般X(z)可表示成X(z)=P(z)/Q(z)如果M<N，且所有極點(diǎn)都是一階的利用留數(shù)定理求得Matlab求解30李建勛---ljx088@

部分分式法的Matlab求解MATLAB中的極點(diǎn)留數(shù)計(jì)算函數(shù)residuez，基本調(diào)用格式為：

[r,p,C]=residuez(b,a)其中，b和a為分子和分母的系數(shù)向量，p為分母的根向量，也就是X(z)的極點(diǎn)向量；r為對(duì)應(yīng)于根向量中各個(gè)根的留數(shù)向量C當(dāng)N<M是有用31李建勛---ljx088@計(jì)算下式的反變換[r,p,C]=residuez(b,a)先用函數(shù)poly求出分母多項(xiàng)式的系數(shù)b=1;a=poly([0.9,0.9,-0.7]);r=[0.2461;0.5625;0.1914]p=[0.9000;0.9000;-0.7000]C=[]32李建勛---ljx088@3.冪級(jí)數(shù)展開法（長(zhǎng)除法）當(dāng)X(z)是exp，log,sin等函數(shù)時(shí)，有已知的冪級(jí)數(shù)；當(dāng)X(z)是一個(gè)有理分式，分子分母都是z的多項(xiàng)式時(shí)，用分子多項(xiàng)式除以分母多項(xiàng)式得到冪級(jí)數(shù)展開式。只要在給定的收斂域內(nèi)，把X(z)展成冪級(jí)數(shù)例若

X(z)收斂域在極點(diǎn)所在圓以外，序列應(yīng)該是因果序列，把X(z)展成z的負(fù)冪級(jí)數(shù)，分子分母按的降冪排列，然后長(zhǎng)除求Z反變換。33李建勛---ljx088@所以則2007-934李建勛---ljx088@若X(z)為序列是左邊序列，分子分母按的升冪排列，然后長(zhǎng)除有：35李建勛---ljx088@長(zhǎng)除法既可展成升冪級(jí)數(shù)也可展成降冪級(jí)數(shù)，這完全取決于收斂域。所以在進(jìn)行長(zhǎng)除以前，一定要先根據(jù)收斂域確定是左邊序列還是右邊序列。如果收斂域是|z|<Rx+，則x(n)必然是左邊序列，應(yīng)將X(z)展開成z的正冪級(jí)數(shù)，反之展成Z的負(fù)冪級(jí)數(shù)用MATLAB實(shí)現(xiàn)長(zhǎng)除法：多項(xiàng)式除法是乘法的逆運(yùn)算，其調(diào)用方法為：

[q,r]=deconv(b,a)其中b為分子系數(shù)向量，a為分母系數(shù)向量，q為商的系數(shù)向量，r為余數(shù)的系數(shù)向量長(zhǎng)除的目的是求q,商q的長(zhǎng)度為M-N+1.36李建勛---ljx088@1.4.1序列的傅氏變換與Z變換

單位圓上序列的Z變換為序列的傅里葉變換1.4拉氏變換、傅氏變換與Z變換37李建勛---ljx088@1.4.2拉氏變換與Z變換采樣序列x(n)=xa(nT)的Z變換為當(dāng)z=esT時(shí)，采樣序列的Z變換就等于其理想采樣信號(hào)的拉氏變換38李建勛---ljx088@

rejω=e(σ+jΩ)T=eσT·ejΩT

因此:r=eσT

ω=ΩT

顯然，z的模r對(duì)應(yīng)于s的實(shí)部σ，z的相角ω對(duì)應(yīng)于s的虛部Ω。將S平面用直角坐標(biāo)表示為s=σ+jΩ而Z平面用極坐標(biāo)表示z=re

jω下面來討論這一映射關(guān)系39李建勛---ljx088@S平面與Z平面多值映射關(guān)系r=eσT

ω=ΩT

40李建勛---ljx088@2.6離散時(shí)間系統(tǒng)的頻域分析（Z域）

在時(shí)域中，一個(gè)線性時(shí)不變系統(tǒng)完全由它的單位脈沖響應(yīng)h(n)來表示。其Z變換定義為線性時(shí)不變系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)。

在單位圓上(z=ejω)的系統(tǒng)函數(shù)就是系統(tǒng)的頻率響應(yīng)H(ejω)。

系統(tǒng)函數(shù)：頻響函數(shù)：41李建勛---ljx088@1.5.1因果系統(tǒng)單位脈沖響應(yīng)h(n)為因果序列的系統(tǒng)稱為因果系統(tǒng)，因果系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)H(z)具有包括z=∞點(diǎn)的收斂域，即42李建勛---ljx088@1.5.2穩(wěn)定系統(tǒng)一個(gè)線性時(shí)不變系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件穩(wěn)定系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)H(z)必須在單位圓上收斂，即收斂域包括單位圓|z|=1，H(ejω)存在。它的系統(tǒng)函數(shù)H(z)必須在從單位圓到∞的整個(gè)Z域內(nèi)收斂，也就是說，系統(tǒng)函數(shù)的全部極點(diǎn)必須在單位圓內(nèi)。而Z變換的收斂域由滿足因果穩(wěn)定系統(tǒng)43李建勛---ljx088@1.5.3系統(tǒng)函數(shù)和差分方程的關(guān)系(求解差分方程)N階常系數(shù)線性差分方程的一般形式為若系統(tǒng)起始狀態(tài)為零，直接對(duì)上式兩端取Z變換，利用Z變換的線性特性和移位特性可得系統(tǒng)函數(shù)不能惟一地確定一個(gè)線性系統(tǒng)穩(wěn)定系統(tǒng)44李建勛---ljx088@將其分別進(jìn)行因式分解，可得零點(diǎn)z=ck，極點(diǎn)z=dk都由差分方程的系數(shù)ak和bk決定。除了比例常數(shù)b0/a0以外，系統(tǒng)函數(shù)完全由它的全部零點(diǎn)、極點(diǎn)來確定。

45李建勛---ljx088@例設(shè)有一系統(tǒng)，其輸入輸出關(guān)系由以下差分方程確定

設(shè)系統(tǒng)因果，求輸入x(n)=ejπn的零狀態(tài)響應(yīng)。系統(tǒng)函數(shù)：系統(tǒng)是因果的，故H(z)的收斂域必須包含∞，所以收斂域?yàn)閨z|>1/2。該收斂域又包括單位圓，所以系統(tǒng)也是穩(wěn)定的。46李建勛---ljx088@系統(tǒng)的頻率響應(yīng)為對(duì)單頻輸入信號(hào)，可得輸出響應(yīng)為47李建勛---ljx088@關(guān)于求差分方程的暫態(tài)解

設(shè)x(n)是因果序列，求輸入要用單邊Z變換

因此暫態(tài)解

y(-1)=2

移位序列的單邊z變換：

48李建勛---ljx088@一個(gè)N階的系統(tǒng)函數(shù)H(z)完全可以用它在Z平面上的零、極點(diǎn)確定。