2024年秋新北師大版七年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)教學(xué)課件 5.3.2 古算術(shù)“盈不足”問(wèn)題

3一元一次方程的應(yīng)用第2課時(shí)古算術(shù)“盈不足”問(wèn)題1．經(jīng)歷將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，建立一元一次方程模型，從而解決實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程，掌握方程的基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能，發(fā)展學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)。2．經(jīng)歷運(yùn)用一元一次方程描述實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程，建立初步的方程思想，發(fā)展抽象思維。3．學(xué)會(huì)從數(shù)學(xué)的角度提出問(wèn)題、理解問(wèn)題，并能綜合運(yùn)用所學(xué)的知識(shí)和技能解決“盈不足”問(wèn)題，發(fā)展應(yīng)用意識(shí)，形成解決“盈不足”問(wèn)題的一些基本策略，體驗(yàn)解決問(wèn)題策略的多樣性，發(fā)展實(shí)踐能力與創(chuàng)新精神。重點(diǎn)難點(diǎn)應(yīng)用一元一次方程解決實(shí)際問(wèn)題的一般步驟是什么？舊知回顧1．審——通過(guò)審題找出等量關(guān)系；2．設(shè)——設(shè)出合理的未知數(shù)(直接或間接)，注意單位名稱(chēng)；3．列——依據(jù)找到的等量關(guān)系，列出方程；4．解——求出方程的解(對(duì)間接設(shè)的未知數(shù)切記繼續(xù)求解)；5．檢——檢驗(yàn)求出的值是否為方程的解，并檢驗(yàn)是否符合實(shí)際；6．答——注意單位名稱(chēng)數(shù)學(xué)史導(dǎo)入《九章算術(shù)》成書(shū)于公元一世紀(jì)左右，是古代乃至東方的第一部自成體系的數(shù)學(xué)專(zhuān)著，《九章算術(shù)》的算法體系至今仍在推動(dòng)著計(jì)算機(jī)的發(fā)展和應(yīng)用。我國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中有這樣一個(gè)問(wèn)題：“今有共買(mǎi)物，人出八，盈三；人出七，不足四，問(wèn)人數(shù)、物價(jià)各幾何？”意思是：“幾個(gè)人一起買(mǎi)物品，每人出8元，多3元；每人出7元，少4元，問(wèn)人數(shù)、物品價(jià)格各是多少？”本題考查了列一元一次方程，審清題意找出等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵。問(wèn)題導(dǎo)入同學(xué)們課間操排隊(duì)，如果每排站6名同學(xué)，就缺2名同學(xué)；如果每排站5名同學(xué)，則剩下3名同學(xué)。那么有多少同學(xué)，站成幾排？情境導(dǎo)入請(qǐng)同學(xué)們閱讀教材149－150頁(yè)，思考并完成下面問(wèn)題：1．《九章算術(shù)》“盈不足”章第一題的問(wèn)題中有哪些已知量和未知量？它們之間有怎樣的等量關(guān)系？已知量：每人出8錢(qián)，多3錢(qián)；每人出7錢(qián)，少4錢(qián)；未知量：人數(shù)和物品價(jià)格；人數(shù)×每人出8錢(qián)－3錢(qián)＝物品價(jià)格＝人數(shù)×每人出7錢(qián)＋4錢(qián)2．將教材149頁(yè)(2)(3)補(bǔ)充完整。(2)x；8x；7x；8x－3；7x＋4

(3)8x－3＝7x＋4；7；7；533．把一些圖書(shū)分給某班學(xué)生閱讀，如果每人分3本，則剩余20本；如果每人分4本，則還缺25本，這個(gè)班有多少名學(xué)生？解：設(shè)圖書(shū)有y本。①需要表示的量是什么？(學(xué)生總數(shù))②如何表示？(學(xué)生總數(shù)＝分出書(shū)的總數(shù)÷每人分到的本數(shù))③如果每人分3本，則剩余20本，共分出_________本，每人分3本，學(xué)生總數(shù)為_(kāi)________；④如果每人分4本，則還缺25本，共分出_________本，每人分4本，學(xué)生總數(shù)為_(kāi)________；⑤這個(gè)班的學(xué)生總數(shù)是一個(gè)定值，表示它的兩個(gè)式子相等，列方程為_(kāi)__________________。(y－20)(y＋25)《孫子算經(jīng)》記載：“今有木，不知長(zhǎng)短。引繩度之，余繩四尺五寸；屈繩量之，不足一尺。木長(zhǎng)幾何？”(尺、寸是長(zhǎng)度單位，1尺＝10寸)意思是：現(xiàn)有一根長(zhǎng)木，不知道其長(zhǎng)短。用一根繩子去度量長(zhǎng)木，繩子還剩余4．5尺；將繩子對(duì)折再度量長(zhǎng)木，長(zhǎng)木還剩余1尺。問(wèn)長(zhǎng)木長(zhǎng)多少？設(shè)長(zhǎng)木長(zhǎng)為x尺，則可列方程為(

)A．x＋4．5＝2(x－1)

B．x＋4．5＝2(x＋1)C．x－4．5＝2(x＋1)D．x－4．5＝2(x－1)A小組展示我提問(wèn)我回答我補(bǔ)充我質(zhì)疑提疑惑：你有什么疑惑？越展越優(yōu)秀知識(shí)點(diǎn)：“盈不足”問(wèn)題(重難點(diǎn))1．題目特點(diǎn)：一般未知數(shù)有兩個(gè)，等量關(guān)系也有兩個(gè)。2．解題思路：用其中一個(gè)等量關(guān)系設(shè)未知數(shù)，用另一個(gè)等量關(guān)系列方程。3．《九章算術(shù)》給出的算法：人數(shù)＝兩次剩余錢(qián)數(shù)之差÷兩次每人所出錢(qián)數(shù)之差；物價(jià)＝每人出的較多錢(qián)數(shù)×人數(shù)－剩余錢(qián)數(shù)；物價(jià)＝每人出的較少錢(qián)數(shù)×人數(shù)＋不足錢(qián)數(shù)?！绢}型一】古代問(wèn)題中的“盈不足”例1：《九章算術(shù)》記載了這樣一道題：“以繩測(cè)井，若將繩三折測(cè)之，繩多四尺；若將繩四折測(cè)之，繩多一尺，問(wèn)繩長(zhǎng)井深各幾何？”大意是：用繩子測(cè)量水井深度，如果將繩子折成三等份，那么每等份井外余繩四尺；如果將繩子折成四等份，那么每等份井外余繩一尺。問(wèn)繩長(zhǎng)和井深各多少尺？假設(shè)繩長(zhǎng)為x尺，則可列方程為(

)A例2：我國(guó)古代《算法統(tǒng)宗》里有這樣一首詩(shī)：“我問(wèn)開(kāi)店李三公，眾客都來(lái)到店中，一房七客多六客，一房八客一房空?！痹?shī)中后面兩句的意思是：如果一間客房住7人，那么有6人無(wú)房可?。蝗绻婚g客房住8人，那么就空出一間客房，若設(shè)該店有客房x間，則可列方程為(

)A．7x－6＝8x－1

B．7x－6＝8(x－1)

C．7x＋6＝8x－1

D．7x＋6＝8(x－1)D例3：某班學(xué)生分組，若每組7人，則有2人分不到組里；若每組8人，則最后一組差4人，若計(jì)劃分x組，則可列方程為(

)A．7x＋2＝8x－4B．7x－2＝8x＋4C．7x＋2＝8x＋4D．7x－2＝8x－4【題型二】現(xiàn)代問(wèn)題中的“盈不足”A例4：某校組織七年級(jí)學(xué)生到合肥市園博園研學(xué)旅行，租用同型號(hào)客車(chē)4輛，還剩30人沒(méi)有座位；租用5輛，還空10個(gè)座位。求參加研學(xué)的學(xué)生人數(shù)。解：設(shè)每輛車(chē)能乘坐x人，根據(jù)題意，得4x＋30＝5x－10，解得x＝40，故4x＋30＝190。答：參加研學(xué)的學(xué)生有190人。本節(jié)課我們學(xué)習(xí)了哪些知識(shí)？