新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講與練第15講 等差數(shù)列及前n項和（練）（解析版）

第02講等差數(shù)列及前n項和一、單選題1．已知等差數(shù)列SKIPIF1<0的前n項和為SKIPIF1<0，則n的值為（

）A．8 B．11 C．13 D．17【答案】D【分析】根據(jù)為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0得到SKIPIF1<0，結(jié)合SKIPIF1<0，兩式相加，再利用等差數(shù)列的性質(zhì)得到SKIPIF1<0，利用SKIPIF1<0求出SKIPIF1<0的值.【詳解】SKIPIF1<0①，因為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0②，①+②得：SKIPIF1<0，由等差數(shù)列的性質(zhì)可知：SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故選：D2．已知等差數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)求出公差，再由前n項和公式求出首項，即可得解.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.又SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0，故選：B3．設(shè)等差數(shù)列SKIPIF1<0的前n項和為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0取最小時，SKIPIF1<0（

）A．4045 B．4044 C．2023 D．2022【答案】D【分析】由已知，利用等差數(shù)列前n項和公式及其性質(zhì)得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，進而得出結(jié)論．【詳解】SKIPIF1<0等差數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，公差SKIPIF1<0，則當(dāng)SKIPIF1<0時SKIPIF1<0最?。蔬x：D4．在中國古代詩詞中，有一道“八子分綿”的名題：“九百九十六斤綿，贈分八子做盤纏，次第每人多十七，要將第八數(shù)來言”．題意是把996斤綿分給8個兒子做盤纏，依次每人分到的比前一人多分17斤綿，則第八個兒子分到的綿是（

）A．65斤 B．82斤 C．167斤 D．184斤【答案】D【分析】根據(jù)等差數(shù)列SKIPIF1<0的通項公式以及前SKIPIF1<0項和公式即可求解.【詳解】設(shè)8個兒子依次分綿SKIPIF1<0斤，SKIPIF1<0斤，SKIPIF1<0斤，…，SKIPIF1<0斤，則數(shù)列SKIPIF1<0是公差為17的等差數(shù)列，因為綿的總重量為996斤，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，則第八個兒子分到的綿SKIPIF1<0．故選：D．5．在1和10之間插入SKIPIF1<0個實數(shù)，使得這SKIPIF1<0個數(shù)構(gòu)成遞增的等比數(shù)列，將這SKIPIF1<0個數(shù)的乘積記作SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．11 C．44 D．52【答案】C【分析】由條件結(jié)合等比數(shù)列通項公式求出SKIPIF1<0，再根據(jù)指數(shù)運算性質(zhì)及等差數(shù)列求和公式求出SKIPIF1<0，由此可求SKIPIF1<0，再由等差數(shù)列求和公式求SKIPIF1<0的值.【詳解】設(shè)這SKIPIF1<0個數(shù)構(gòu)成的等比數(shù)列為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．故SKIPIF1<0．故選：C．6．“蘇州碼子”發(fā)源于蘇州，作為一種民間的數(shù)字符號曾經(jīng)流行一時，廣泛應(yīng)用于各種商業(yè)場合．“蘇州碼子”0~9的寫法如下：〇0、〡1、〢2、〣3、〤4、〥5、〦6、〧7、〨8、〩9．為了防止混淆，有時要將“〡”“〢”“〣”橫過來寫．已知某鐵路的里程碑所刻數(shù)字代表距離始發(fā)車站的里程，每隔2公里擺放一個里程碑，若在SKIPIF1<0點處里程碑上刻著“〣〤”，在SKIPIF1<0點處里程碑上刻著“〩〢”，則從SKIPIF1<0點到SKIPIF1<0點的所有里程碑上所刻數(shù)字之和為（

）A．1560 B．1890 C．1925 D．1340【答案】B【分析】根據(jù)規(guī)定確定SKIPIF1<0，SKIPIF1<0兩處的里程碑的數(shù)值，再由等差數(shù)列通項公式確定里程碑的數(shù)量，并利用等差數(shù)列前SKIPIF1<0項和公式求從SKIPIF1<0點到SKIPIF1<0點的所有里程碑上所刻數(shù)字之和.【詳解】根據(jù)題意知，SKIPIF1<0點處里程碑上刻著數(shù)字34，SKIPIF1<0點處里程碑上刻著數(shù)字92，里程碑上刻的數(shù)字成等差數(shù)列，公差為2，因此從SKIPIF1<0點到SKIPIF1<0點的所有里程碑個數(shù)為SKIPIF1<0，從SKIPIF1<0點到SKIPIF1<0點的所有里程碑上所刻數(shù)字之和為SKIPIF1<0，故選：B．7．已知數(shù)列SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為等差數(shù)列，且公差分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則數(shù)列SKIPIF1<0的公差為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】利用SKIPIF1<0即可整理求得公差.【詳解】SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為等差數(shù)列，SKIPIF1<0為等差，設(shè)其公差為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0.故選：D.二、填空題8．在數(shù)列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0______．【答案】200【分析】先由等差數(shù)列的定義求得數(shù)列SKIPIF1<0是等差數(shù)列，進而求得SKIPIF1<0的通項公式，即可求解.【詳解】由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，所以數(shù)列SKIPIF1<0是以SKIPIF1<0為首項，SKIPIF1<0為公差的等差數(shù)列，則有SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0．故答案為：200.9．?dāng)?shù)列{an}滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則數(shù)列{an}的通項公式為___________.【答案】SKIPIF1<0．【分析】已知式兩邊同除以SKIPIF1<0，構(gòu)造一個等差數(shù)列，由等差數(shù)列的通項公式可得結(jié)論．【詳解】∵SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0是等差數(shù)列，而SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．故答案為：SKIPIF1<0．10．已知數(shù)列SKIPIF1<0的前n項和為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0__________．【答案】SKIPIF1<0【分析】利用數(shù)列的遞推式可得SKIPIF1<0，構(gòu)造等比數(shù)列，求得SKIPIF1<0，從而SKIPIF1<0，構(gòu)造等差數(shù)列，求得答案.【詳解】由題意得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，又因為SKIPIF1<0，于是SKIPIF1<0，因此數(shù)列SKIPIF1<0是以SKIPIF1<0為首項、2為公比的等比數(shù)列，故SKIPIF1<0，于是SKIPIF1<0，因此數(shù)列SKIPIF1<0是以1為首項、1為公差的等差數(shù)列，故SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0,故答案為：SKIPIF1<0三、解答題11．已知數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為等差數(shù)列．(1)求SKIPIF1<0的通項公式；(2)求滿足不等式SKIPIF1<0的最大正整數(shù)SKIPIF1<0．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)62【分析】（1）求出首項和公差，進而求出通項公式；（2）利用第一問求出的通項公式，利用累乘法化簡得到SKIPIF1<0，得到不等式，求出最大正整數(shù)解.（1）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0為等差數(shù)列，所以公差SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0（2）由（1）得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以滿足不等式SKIPIF1<0的最大正整數(shù)為62.12．為了凈化環(huán)境，保護水資源，某化工企業(yè)在2020年年底投入100萬元購入一套污水處理設(shè)備．該設(shè)備每年的運轉(zhuǎn)費用是0.5萬元，此外每年都要花費一定的維護費，第一年的維護費為2萬元，由于設(shè)備老化，以后每年的維護費都比上一年增加2萬元．(1)求該企業(yè)使用該設(shè)備x年的年平均污水處理費用y（萬元）；(2)問：該企業(yè)污水處理設(shè)備使用幾年時年平均污水處理費用最低？最低年平均污水處理費用是多少萬元？【答案】(1)SKIPIF1<0(2)該企業(yè)污水處理設(shè)備使用10年時年平均污水處理費用最低，最低年平均污水處理費用是21.5萬元【分析】（1）由已知，可設(shè)設(shè)該企業(yè)第x年使用該設(shè)備的維護費為SKIPIF1<0萬元，根據(jù)題意，可以得到SKIPIF1<0的遞推關(guān)系，然后利用等差數(shù)列的定義判定數(shù)列SKIPIF1<0是等差數(shù)列，然后利用等差數(shù)列的前n項和公式即可完成對總維護費的求解，進而表示出總費用和平均費用；（2）由第（1）問求解出的平均費用的表達式，借助基本不等式即可求解最值.（1）設(shè)該企業(yè)第x年使用該設(shè)備的維護費為SKIPIF1<0萬元，依題意得，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因此數(shù)列SKIPIF1<0是以SKIPIF1<0為首項、2為公差的等差數(shù)列，故該企業(yè)使用該設(shè)備x年的總維護費為SKIPIF1<0萬元，則總費用為SKIPIF1<0萬元，因此SKIPIF1<0．（2）由（1）及SKIPIF1<0，可得，SKIPIF1<0，當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0時，等號成立，即當(dāng)SKIPIF1<0時，y取得最小值．∴該企業(yè)污水處理設(shè)備使用10年時年平均污水處理費用最低，最低年平均污水處理費用是21.5萬元．一、單選題1．對于數(shù)列SKIPIF1<0，定義SKIPIF1<0為數(shù)列SKIPIF1<0的“好數(shù)”，已知某數(shù)列SKIPIF1<0的“好數(shù)”SKIPIF1<0，記數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和為SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0對任意的SKIPIF1<0恒成立，則SKIPIF1<0的取值范圍為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0時，將SKIPIF1<0換為SKIPIF1<0，相減可得SKIPIF1<0，通過SKIPIF1<0．說明數(shù)列SKIPIF1<0為等差數(shù)列，SKIPIF1<0對任意的SKIPIF1<0恒成立可化為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求解即可．【詳解】解：由題意，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，兩式相減得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0對上式也成立，故SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，則數(shù)列SKIPIF1<0為等差數(shù)列，故SKIPIF1<0對任意的SKIPIF1<0恒成立可化為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.故選：D．2．已知數(shù)列SKIPIF1<0的各項均為正數(shù)，且SKIPIF1<0，則數(shù)列的SKIPIF1<0前n項和SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【分析】根據(jù)給定條件，結(jié)合數(shù)列前n項和的意義求出SKIPIF1<0，進而得SKIPIF1<0，再利用等差數(shù)列前n項和公式計算作答.【詳解】因SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0滿足上式，因此SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0是首項為4、公差為4的等差數(shù)列，所以SKIPIF1<0．故選：B3．已知SKIPIF1<0是首項為－24的等差數(shù)列，且從第10項起為正數(shù)，則公差d的取值范圍是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】由題意可得SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，結(jié)合等差數(shù)列的通項公式可得出答案.【詳解】設(shè)SKIPIF1<0的公差為d，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由題意可得，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0．故選：C4．設(shè)數(shù)列SKIPIF1<0的前n項和為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則數(shù)列SKIPIF1<0的前10項和是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】由SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的關(guān)系式，可得出數(shù)列SKIPIF1<0是等差數(shù)列，從而得出數(shù)列SKIPIF1<0的通項公式，再利用裂項相消法求和即可.【詳解】由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0是公差為4的等差數(shù)列，又因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，從而SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以數(shù)列SKIPIF1<0的前10項和為SKIPIF1<0．故選：C5．SKIPIF1<0內(nèi)角SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的對邊分別是SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0成等差數(shù)列，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】根據(jù)條件可得SKIPIF1<0，再結(jié)合余弦定理SKIPIF1<0，即可求出SKIPIF1<0【詳解】解：因為SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0成等差數(shù)列，所以SKIPIF1<0，由余弦定理SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故選：D6．已知數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】根據(jù)數(shù)列的遞推關(guān)系，利用取倒數(shù)法進行轉(zhuǎn)化，構(gòu)造等差數(shù)列，求出通項公式即可．【詳解】因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．又SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，所以數(shù)列SKIPIF1<0是首項為2，公差為1的等差數(shù)列，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0．故選：D．7．“中國剩余定理”講的是一個關(guān)于整除的問題，現(xiàn)有這樣一個整除問題：將1到200這200個數(shù)中，能被4除余2且被6除余2的數(shù)按從小到大的順序排成一列，構(gòu)成數(shù)列SKIPIF1<0，則此數(shù)列各項之和為（

）A．1666 B．1676 C．1757 D．2646【答案】A【分析】根據(jù)題意判斷出SKIPIF1<0是12的倍數(shù)，進而得到SKIPIF1<0是以2為首項，以12為公差的等差數(shù)列，最后通過等差數(shù)列的通項公式及求和公式得到答案.【詳解】由題意可知SKIPIF1<0既是4的倍數(shù)，又是6的倍數(shù)，即SKIPIF1<0是12的倍數(shù)，因此數(shù)列SKIPIF1<0是以2為首項，以12為公差的等差數(shù)列，所以SKIPIF1<0．又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以該數(shù)列有17項，各項之和為SKIPIF1<0．故選：A.二、填空題8．已知首項均為SKIPIF1<0的等差數(shù)列SKIPIF1<0與等比數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0的各項均不相等，設(shè)SKIPIF1<0為數(shù)列SKIPIF1<0的前n項和，則SKIPIF1<0的最大值與最小值之差為__________．【答案】SKIPIF1<0##0.75【分析】由題意可求得SKIPIF1<0，分SKIPIF1<0為奇數(shù)、偶數(shù)討論SKIPIF1<0的單調(diào)性并求出其最大、小值即可.【詳解】解：設(shè)等差數(shù)列SKIPIF1<0的公差為d，等比數(shù)列SKIPIF1<0的公比為q，則SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0,又因為SKIPIF1<0的各項均不相等，所以SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0．當(dāng)n為奇數(shù)時，SKIPIF1<0，易知SKIPIF1<0單調(diào)遞減，最大值為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0；當(dāng)n為偶數(shù)時，SKIPIF1<0，易知SKIPIF1<0單調(diào)遞增，最小值為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0．所以SKIPIF1<0的最大值為SKIPIF1<0，最小值為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的最大值與最小值之差為SKIPIF1<0．故答案為：SKIPIF1<0.9．在平面直角坐標(biāo)系中，已知SKIPIF1<0的坐標(biāo)為SKIPIF1<0，將其繞著原點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)SKIPIF1<0得到SKIPIF1<0，延長SKIPIF1<0到SKIPIF1<0使SKIPIF1<0，再將SKIPIF1<0繞原點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)SKIPIF1<0得到SKIPIF1<0，延長SKIPIF1<0到SKIPIF1<0使SKIPIF1<0，如此繼續(xù)下去，則點SKIPIF1<0的坐標(biāo)為___________.【答案】SKIPIF1<0【分析】設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由條件求出數(shù)列SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的通項公式，由此確定點SKIPIF1<0的坐標(biāo).【詳解】設(shè)SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則由已知可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由規(guī)律可得當(dāng)SKIPIF1<0時，點SKIPIF1<0，將SKIPIF1<0繞原點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)SKIPIF1<0得到SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故數(shù)列SKIPIF1<0為首項為SKIPIF1<0，公差為SKIPIF1<0的等差數(shù)列，SKIPIF1<0為首項為1，公比為2的等比數(shù)列，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故點SKIPIF1<0的橫坐標(biāo)為SKIPIF1<0，點SKIPIF1<0的橫坐標(biāo)為SKIPIF1<0，故點SKIPIF1<0的坐標(biāo)為SKIPIF1<0，故答案為：SKIPIF1<0.10．?dāng)?shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且其前n項和為SKIPIF1<0．若SKIPIF1<0，則正整數(shù)SKIPIF1<0______．【答案】SKIPIF1<0【分析】由SKIPIF1<0，得出SKIPIF1<0為等比數(shù)列，求得SKIPIF1<0，得到SKIPIF1<0，再求得SKIPIF1<0，分m為奇數(shù)和m為偶數(shù)，兩種情況討論，列出方程，即可求解.【詳解】由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0為等比數(shù)列，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又由SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0．①當(dāng)m為奇數(shù)時，SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0；②當(dāng)m為偶數(shù)時，SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0只能為奇數(shù)，所以m為偶數(shù)時無解．綜上所述，SKIPIF1<0．故答案為：SKIPIF1<0.三、解答題11．某校為擴大教學(xué)規(guī)模，從今年起擴大招生，現(xiàn)有學(xué)生人數(shù)為SKIPIF1<0，以后學(xué)生人數(shù)年增長率為SKIPIF1<0.該校今年年初有舊實驗設(shè)備SKIPIF1<0套，其中需要換掉的舊設(shè)備占了一半．學(xué)校決定每年以當(dāng)年年初設(shè)備數(shù)量的10%增加新設(shè)備，同時每年淘汰SKIPIF1<0套舊設(shè)備．(1)如果10年后該校學(xué)生的人均占有設(shè)備的比率正好比目前翻一番，那么每年淘汰的舊設(shè)備是多少套？(2)依照（1）的淘汰速度，共需多少年能更換所有需要更換的舊設(shè)備？參考數(shù)據(jù)：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．【答案】(1)SKIPIF1<0套(2)16（年）【分析】（1）利用配湊法求得明年起第SKIPIF1<0年學(xué)校的實驗設(shè)備的套數(shù)SKIPIF1<0，根據(jù)“10年后該校學(xué)生的人均占有設(shè)備的比率正好比目前翻一番”列方程，從而求得每年淘汰的舊設(shè)備套數(shù).（2）根據(jù)SKIPIF1<0的值以及舊設(shè)備的套數(shù)求得需要的年數(shù).（1）今年學(xué)生人數(shù)為SKIPIF1<0，則10年后學(xué)生人數(shù)為SKIPIF1<0．設(shè)明年起第SKIPIF1<0年（明年為第1年）學(xué)校的實驗設(shè)備的套數(shù)為數(shù)列SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以數(shù)列SKIPIF1<0是首項為SKIPIF1<0，公比為1.1的等比數(shù)列，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．所以SKIPIF1<0，由題意得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0．所以每年淘汰的舊設(shè)備為SKIPIF1<0套．（2）更換所有需要更換的舊設(shè)備共需SKIPIF1<0（年）．12．已知數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.(1)求數(shù)列SKIPIF1<0的通項公式；(2)求數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項的和SKIPIF1<0.【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【分析】（1）分SKIPIF1<0為奇數(shù)和SKIPIF1<0為偶數(shù)，求解通項公式；（2）利用分組求和求解SKIPIF1<0.（1）當(dāng)SKIPIF1<0為奇數(shù)時，SKIPIF1<0，所以所有奇數(shù)項構(gòu)成以SKIPIF1<0為首項，公差為－1的等差數(shù)列，所以SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0為偶數(shù)時，SKIPIF1<0，所以所有偶數(shù)項構(gòu)成以SKIPIF1<0為首項，公比為3的等比數(shù)列，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0SKIPIF1<0.一、單選題1．（2022·全國·高考真題）圖1是中國古代建筑中的舉架結(jié)構(gòu)，SKIPIF1<0是桁，相鄰桁的水平距離稱為步，垂直距離稱為舉，圖2是某古代建筑屋頂截面的示意圖．其中SKIPIF1<0是舉，SKIPIF1<0是相等的步，相鄰桁的舉步之比分別為SKIPIF1<0．已知SKIPIF1<0成公差為0.1的等差數(shù)列，且直線SKIPIF1<0的斜率為0.725，則SKIPIF1<0（

）A．0.75 B．0.8 C．0.85 D．0.9【答案】D【解析】設(shè)SKIPIF1<0，則可得關(guān)于SKIPIF1<0的方程，求出其解后可得正確的選項.【詳解】設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，依題意，有SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，故選：D2．（2022·北京·高考真題）設(shè)SKIPIF1<0是公差不為0的無窮等差數(shù)列，則“SKIPIF1<0為遞增數(shù)列”是“存在正整數(shù)SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0”的（

）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【解析】設(shè)等差數(shù)列SKIPIF1<0的公差為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，利用等差數(shù)列的通項公式結(jié)合充分條件、必要條件的定義判斷可得出結(jié)論.【詳解】設(shè)等差數(shù)列SKIPIF1<0的公差為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，記SKIPIF1<0為不超過SKIPIF1<0的最大整數(shù).若SKIPIF1<0為單調(diào)遞增數(shù)列，則SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0；若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，取SKIPIF1<0，則當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，所以，“SKIPIF1<0是遞增數(shù)列”SKIPIF1<0“存在正整數(shù)SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0”；若存在正整數(shù)SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，取SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，假設(shè)SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，與題設(shè)矛盾，假設(shè)不成立，則SKIPIF1<0，即數(shù)列SKIPIF1<0是遞增數(shù)列.所以，“SKIPIF1<0是遞增數(shù)列”SKIPIF1<0“存在正整數(shù)SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0”.所以，“SKIPIF1<0是遞增數(shù)列”是“存在正整數(shù)SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0”的充分必要條件.故選：C.二、填空題3．（2022·全國·高考真題（文））記SKIPIF1<0為等差數(shù)列SKIPIF1<0的前n項和．若SKIPIF1<0，則公差SKIPIF1<0_______．【答案】2【解析】轉(zhuǎn)化條件為SKIPIF1<0，即可得解.【詳解】由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，化簡得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.故答案為：2.三、解答題4．（2022·天津·高考真題）設(shè)SKIPIF1<0是等差數(shù)列，SKIPIF1<0是等比數(shù)列，且SKIPIF1<0．(1)求SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的通項公式；(2)設(shè)SKIPIF1<0的前n項和為SKIPIF1<0，求證：SKIPIF1<0；(3)求SKIPIF1<0．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)證明見解析(3)SKIPIF1<0【解析】（1）利用等差等比數(shù)列的通項公式進行基本量運算即可得解；（2）由等比數(shù)列的性質(zhì)及通項與前n項和的關(guān)系結(jié)合解析法即可得證；（3）先求得SKIPIF1<0，進而由并項求和可得SKIPIF1<0，再結(jié)合錯位相減法可得解.（1）設(shè)SKIPIF1<0公差為d，SKIPIF1<0公比為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0（SKIPIF1<0舍去），所以SKIPIF1<0；（2）證明：因為SKIPIF1<0所以要證SKIPIF1<0，即證SKIPIF1<0，即證SKIPIF1<0，即證SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0顯然成立，所以SKIPIF1<0；（3）因為SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，作差得SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0.5．（2022·全國·高考真題）已知SKIPIF1<0為等差數(shù)列，SKIPIF1<0是公比為2的等比數(shù)列，且SKIPIF1<0．(1)證明：SKIPIF1<0；(2)求集合SKIPIF1<0中元素個數(shù)．【答案】(1)證明見解析；(2)SKIPIF1<0．【解析】（1）設(shè)數(shù)列SKIPIF1<0的公差為SKIPIF1<0，根據(jù)題意列出方程組即可證出；（2）根據(jù)題意化簡可得SKIPIF1<0，即可解出．（1）設(shè)數(shù)列SKIPIF1<0的公差為SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，即可解得，SKIPIF1<0，所以原命題得證．（2）由（1）知，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，亦即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以滿足等式的解SKIPIF1<0，故集合SKIPIF1<0中的元素個數(shù)為SKIPIF1<0．6．（2022·全國·高考真題）記SKIPIF1<0為數(shù)列SKIPIF1<0的前n項和，已知SKIPIF1<0是公差為SKIPIF1<0的等差數(shù)列．(1)求SKIPIF1<0的通項公式；(2)證明：SKIPIF1<0．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)見解析【解析】（1）利用等差數(shù)列的通項公式求得SKIPIF1<0，得到SKIPIF1<0，利用和與項的關(guān)系得到當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0,進而得：SKIPIF1<0，利用累乘法求得SKIPIF1<0，檢驗對于SKIPIF1<0也成立，得到SKIPIF1<0的通項公式SKIPIF1<0；（2）由（1）的結(jié)論，利用裂項求和法得到SKIPIF1<0，進而證得.（1）∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0,∴SKIPIF1<0,又∵SKIPIF1<0是公差為SKIPIF1<0的等差數(shù)列，∴SKIPIF1<0,∴SKIPIF1<0,∴當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0,整理得：SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0,∴SKIPIF1<0SKIPIF1<0，顯然對于SKIPIF1<0也成立，∴SKIPIF1<0的通項公式SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0SKIPIF1<07．（2022·全國·高考真題（理））記SKIPIF1<0為數(shù)列SKIPIF1<0的前n項和．已知SKIPIF1<0．(1)證明：SKIPIF1<0是等差數(shù)列；(2)若SKIPIF1<0成等比數(shù)列，求SKIPIF1<0的最小值．【解析】（1）因為SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0①，當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0②，①SKIPIF1<0②得，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0是以SKIPIF1<0為公差的等差數(shù)列．（2）解：由（1）可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0成等比數(shù)列，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以，當(dāng)SKIPIF1<0或SKIPIF1<0時SKIPIF1<0．8．（2022·浙江·高考真題）已知等差數(shù)列SKIPIF1<0的首項SKIPIF1<0，公差SKIPIF1<0．記SKIPIF1<0的前n項和為SKIPIF1<0．(1)若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0；(2)若對于每個SKIPIF1<0，存在實數(shù)SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0成等比數(shù)列，求d的取值范圍．【解析】（1）因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，（2）因為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0成等比數(shù)列，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由已知方程SKIPIF1<0的判別式大于等于0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0對于任意的SKIPIF1<0恒成立，所以SKIPIF1<0對于任意的SKIPIF1<0恒成立，當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時，由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0所以SKIPIF1<09．（2021·天津·高考真題）已知SKIPIF1<0是公差為2的等差數(shù)列，其前8項和為64．SKIPIF1<0是公比大于0的等比數(shù)列，SKIPIF1<0．（I）求SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的通項公式；（II）記SKIPIF1<0，（i）證明SKIPIF1<0是等比數(shù)列；（ii）證明SKIPIF1<0【解析】（I）因為SKIPIF1<0是公差為2的等差數(shù)列，其前8項和為64．所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0