新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講與練第25講 圓錐曲線的綜合問題(講)(原卷版)_第1頁
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第04講圓錐曲線的綜合問題本講為高考命題熱點,分值22-27分,題型多變,選擇題,填空題,解答題都會出現(xiàn),選擇填空題??紙A錐曲線橢圓雙曲線的離心率,幾何關(guān)系等問題,大題題型多變,但多以最值,定值,范圍,存在性問題,考察邏輯推理能力與運算求解能力.高頻考點一圓錐曲線的定值定點問題【例1】[例1]已知拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點F(1,0),O為坐標原點,A,B是拋物線C上異于O的兩點.(1)求拋物線C的方程;(2)若直線OA,OB的斜率之積為-eq\f(1,2),求證:直線AB過x軸上一定點.[破題思路]第(1)問求什么想什么求拋物線C的方程,想到求p的值給什么用什么給出焦點F的坐標,利用焦點坐標與p的關(guān)系求p第(2)問求什么想什么求證:直線AB過x軸上一定點,想到直線AB的方程給什么用什么題目條件中給出“A,B是拋物線C上異于點O的兩點”以及“直線OA,OB的斜率之積為-eq\f(1,2)”,可設(shè)A,B兩點的坐標,也可設(shè)直線AB的方程差什么找什么要求直線AB的方程,還需要知道直線AB的斜率是否存在,可分類討論解決

【方法技巧】[題后悟通]思路受阻分析不能正確應(yīng)用條件“直線OA,OB的斜率之積為-eq\f(1,2)”是造成不能解決本題的關(guān)鍵技法關(guān)鍵點撥定點問題實質(zhì)及求解步驟解析幾何中的定點問題實質(zhì)是:當動直線或動圓變化時,這些直線或圓相交于一點,即這些直線或圓繞著定點在轉(zhuǎn)動.這類問題的求解一般可分為以下三步:【跟蹤訓(xùn)練】已知橢圓C:eq\f(x2,a2)+eq\f(y2,b2)=1(a>b>0)的右焦點F(eq\r(3),0),長半軸長與短半軸長的比值為2.(1)求橢圓C的標準方程;(2)設(shè)不經(jīng)過點B(0,1)的直線l與橢圓C相交于不同的兩點M,N,若點B在以線段MN為直徑的圓上,證明:直線l過定點,并求出該定點的坐標.高頻考點二圓錐曲線的最值問題【例2】在平面直角坐標系中O為坐標原點,圓O交x軸于點F1,F(xiàn)2,交y軸于點B1,B2.以B1,B2為頂點,F(xiàn)1,F(xiàn)2分別為左、右焦點的橢圓E恰好經(jīng)過點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1,\f(\r(2),2))).(1)求橢圓E的標準方程;(2)設(shè)經(jīng)過點(-2,0)的直線l與橢圓E交于M,N兩點,求△F2MN面積的最大值.[破題思路]第(1)問求什么想什么求橢圓E的標準方程,想到求橢圓長半軸a和短半軸b的值給什么用什么題目條件給出圓O交x軸于點F1,F(xiàn)2,交y軸于點B1,B2,易知b=c,又橢圓過點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1,\f(\r(2),2))),從而可求出a,b的值第(2)問求什么想什么求△F2MN面積的最大值,想到面積公式給什么用什么題干中給出直線l過點(-2,0),可設(shè)出直線l的方程,利用弦長公式求|MN|,利用點到直線的距離求d,從而可求△F2MN的面積差什么找什么要求△F2MN面積的最值,需建立相關(guān)函數(shù)模型求解【方法技巧】[解題技法]求橢圓離心率的三種方法1.直接求出a,c來求解e.通過已知條件列方程組,解出a,c的值.2.構(gòu)造a,c的齊次式,解出e.由已知條件得出關(guān)于a,c的二元齊次方程,然后轉(zhuǎn)化為關(guān)于離心率e的一元二次方程求解.3.通過取特殊值或特殊位置,求出離心率.[提醒]在解關(guān)于離心率e的二次方程時,要注意利用橢圓的離心率e∈(0,1)進行根的取舍,否則將產(chǎn)生增根.高頻考點三證明問題【例3】(2018·全國卷Ⅰ)設(shè)橢圓C:eq\f(x2,2)+y2=1的右焦點為F,過F的直線l與C交于A,B兩點,點M的坐標為(2,0).(1)當l與x軸垂直時,求直線AM的方程;(2)設(shè)O為坐標原點,證明:∠OMA=∠OMB.[破題思路]第(1)問求什么想什么求直線AM的方程,想到求直線AM的斜率或直線上的點的坐標給什么用什么題目給出M的坐標及l(fā)與x軸垂直可利用l與x軸垂直求出l的方程,進而求出A點坐標,并求出直線AM的方程第(2)問求什么想什么證明∠OMA=∠OMB.可轉(zhuǎn)化為證明直線MA與MB的斜率間的關(guān)系給什么用什么題目中給出O點及M點的坐標,可求得l與x軸重合、垂直兩種特殊情況下∠OMA=∠OMB缺什么找什么缺少直線(不與x軸重合或垂直時),直線l的方程及直線l與橢圓交點A,B的坐標,可設(shè)直線l的方程及A,B兩點的坐標求解【方法技巧】(一)思路受阻分析解決本例(2)的關(guān)鍵是建立△F2MN的面積S關(guān)于斜率k的關(guān)系式,然后通過換元構(gòu)造一元二次函數(shù)求解,而很多同學(xué)因不會構(gòu)造函數(shù)造成思路受阻無法繼續(xù)求解.(二)技法關(guān)鍵點撥求圓錐曲線中范圍、最值的2種方法幾何法若題目中的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征和意義,則考慮利用圖形性質(zhì)來求解代數(shù)法若題目中的條件和結(jié)論能體現(xiàn)一種明確的函數(shù)關(guān)系,則可先建立起目標函數(shù),再求這個函數(shù)的最值、范圍.常用的方法有基本不等式法、導(dǎo)數(shù)法、判別式法等【跟蹤訓(xùn)練】1.設(shè)橢圓E的方程為eq\f(x2,a2)+eq\f(y2,b2)=1(a>b>0),點O為坐標原點,點A的坐標為(a,0),點B的坐標為(0,b),點M在線段AB上,滿足|BM|=2|MA|,直線OM的斜率為eq\f(\r(5),10).(1)求E的離心率e;(2)設(shè)點C的坐標為(0,-b),N為線段AC的中點,證明:MN⊥AB.2.在平面直角坐標系xOy中,點F的坐標為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c

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