新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講與練第25講 圓錐曲線的綜合問(wèn)題（講）（原卷版）

第04講圓錐曲線的綜合問(wèn)題本講為高考命題熱點(diǎn)，分值22-27分，題型多變，選擇題，填空題，解答題都會(huì)出現(xiàn)，選擇填空題?？紙A錐曲線橢圓雙曲線的離心率，幾何關(guān)系等問(wèn)題，大題題型多變，但多以最值，定值，范圍，存在性問(wèn)題，考察邏輯推理能力與運(yùn)算求解能力.高頻考點(diǎn)一圓錐曲線的定值定點(diǎn)問(wèn)題【例1】[例1]已知拋物線C：y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)F(1,0)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，A，B是拋物線C上異于O的兩點(diǎn)．(1)求拋物線C的方程；(2)若直線OA，OB的斜率之積為－eq\f(1,2)，求證：直線AB過(guò)x軸上一定點(diǎn)．[破題思路]第(1)問(wèn)求什么想什么求拋物線C的方程，想到求p的值給什么用什么給出焦點(diǎn)F的坐標(biāo)，利用焦點(diǎn)坐標(biāo)與p的關(guān)系求p第(2)問(wèn)求什么想什么求證：直線AB過(guò)x軸上一定點(diǎn)，想到直線AB的方程給什么用什么題目條件中給出“A，B是拋物線C上異于點(diǎn)O的兩點(diǎn)”以及“直線OA，OB的斜率之積為－eq\f(1,2)”，可設(shè)A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，也可設(shè)直線AB的方程差什么找什么要求直線AB的方程，還需要知道直線AB的斜率是否存在，可分類討論解決

【方法技巧】[題后悟通]思路受阻分析不能正確應(yīng)用條件“直線OA，OB的斜率之積為－eq\f(1,2)”是造成不能解決本題的關(guān)鍵技法關(guān)鍵點(diǎn)撥定點(diǎn)問(wèn)題實(shí)質(zhì)及求解步驟解析幾何中的定點(diǎn)問(wèn)題實(shí)質(zhì)是：當(dāng)動(dòng)直線或動(dòng)圓變化時(shí)，這些直線或圓相交于一點(diǎn)，即這些直線或圓繞著定點(diǎn)在轉(zhuǎn)動(dòng)．這類問(wèn)題的求解一般可分為以下三步：【跟蹤訓(xùn)練】已知橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的右焦點(diǎn)F(eq\r(3)，0)，長(zhǎng)半軸長(zhǎng)與短半軸長(zhǎng)的比值為2.(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)不經(jīng)過(guò)點(diǎn)B(0,1)的直線l與橢圓C相交于不同的兩點(diǎn)M，N，若點(diǎn)B在以線段MN為直徑的圓上，證明：直線l過(guò)定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)．高頻考點(diǎn)二圓錐曲線的最值問(wèn)題【例2】在平面直角坐標(biāo)系中O為坐標(biāo)原點(diǎn)，圓O交x軸于點(diǎn)F1，F(xiàn)2，交y軸于點(diǎn)B1，B2.以B1，B2為頂點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為左、右焦點(diǎn)的橢圓E恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(\r(2),2))).(1)求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)經(jīng)過(guò)點(diǎn)(－2,0)的直線l與橢圓E交于M，N兩點(diǎn)，求△F2MN面積的最大值．[破題思路]第(1)問(wèn)求什么想什么求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程，想到求橢圓長(zhǎng)半軸a和短半軸b的值給什么用什么題目條件給出圓O交x軸于點(diǎn)F1，F(xiàn)2，交y軸于點(diǎn)B1，B2，易知b＝c，又橢圓過(guò)點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(\r(2),2)))，從而可求出a，b的值第(2)問(wèn)求什么想什么求△F2MN面積的最大值，想到面積公式給什么用什么題干中給出直線l過(guò)點(diǎn)(－2,0)，可設(shè)出直線l的方程，利用弦長(zhǎng)公式求|MN|，利用點(diǎn)到直線的距離求d，從而可求△F2MN的面積差什么找什么要求△F2MN面積的最值，需建立相關(guān)函數(shù)模型求解【方法技巧】[解題技法]求橢圓離心率的三種方法1．直接求出a，c來(lái)求解e.通過(guò)已知條件列方程組，解出a，c的值．2．構(gòu)造a，c的齊次式，解出e.由已知條件得出關(guān)于a，c的二元齊次方程，然后轉(zhuǎn)化為關(guān)于離心率e的一元二次方程求解．3．通過(guò)取特殊值或特殊位置，求出離心率．[提醒]在解關(guān)于離心率e的二次方程時(shí)，要注意利用橢圓的離心率e∈(0,1)進(jìn)行根的取舍，否則將產(chǎn)生增根．高頻考點(diǎn)三證明問(wèn)題【例3】(2018·全國(guó)卷Ⅰ)設(shè)橢圓C：eq\f(x2,2)＋y2＝1的右焦點(diǎn)為F，過(guò)F的直線l與C交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)M的坐標(biāo)為(2,0)．(1)當(dāng)l與x軸垂直時(shí)，求直線AM的方程；(2)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，證明：∠OMA＝∠OMB.[破題思路]第(1)問(wèn)求什么想什么求直線AM的方程，想到求直線AM的斜率或直線上的點(diǎn)的坐標(biāo)給什么用什么題目給出M的坐標(biāo)及l(fā)與x軸垂直可利用l與x軸垂直求出l的方程，進(jìn)而求出A點(diǎn)坐標(biāo)，并求出直線AM的方程第(2)問(wèn)求什么想什么證明∠OMA＝∠OMB.可轉(zhuǎn)化為證明直線MA與MB的斜率間的關(guān)系給什么用什么題目中給出O點(diǎn)及M點(diǎn)的坐標(biāo)，可求得l與x軸重合、垂直兩種特殊情況下∠OMA＝∠OMB缺什么找什么缺少直線(不與x軸重合或垂直時(shí))，直線l的方程及直線l與橢圓交點(diǎn)A，B的坐標(biāo)，可設(shè)直線l的方程及A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)求解【方法技巧】(一)思路受阻分析解決本例(2)的關(guān)鍵是建立△F2MN的面積S關(guān)于斜率k的關(guān)系式，然后通過(guò)換元構(gòu)造一元二次函數(shù)求解，而很多同學(xué)因不會(huì)構(gòu)造函數(shù)造成思路受阻無(wú)法繼續(xù)求解．(二)技法關(guān)鍵點(diǎn)撥求圓錐曲線中范圍、最值的2種方法幾何法若題目中的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征和意義，則考慮利用圖形性質(zhì)來(lái)求解代數(shù)法若題目中的條件和結(jié)論能體現(xiàn)一種明確的函數(shù)關(guān)系，則可先建立起目標(biāo)函數(shù)，再求這個(gè)函數(shù)的最值、范圍．常用的方法有基本不等式法、導(dǎo)數(shù)法、判別式法等【跟蹤訓(xùn)練】1．設(shè)橢圓E的方程為eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(a,0)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(0，b)，點(diǎn)M在線段AB上，滿足|BM|＝2|MA|，直線OM的斜率為eq\f(\r(5),10).(1)求E的離心率e；(2)設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0，－b)，N為線段AC的中點(diǎn)，證明：MN⊥AB.2．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)F的坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c