2024-2025版高中數(shù)學(xué)第二章數(shù)列2.3.2等差數(shù)列習(xí)題課素養(yǎng)評(píng)價(jià)檢測(cè)含解析新人教A版必修5

PAGE等差數(shù)列習(xí)題課(20分鐘35分)1.(2024·漢中檢測(cè))數(shù)列{an}的前n項(xiàng)的平均值是n+1,則這個(gè)數(shù)列的第18項(xiàng)是 ()A.13 B.33 C.36 D.37【解析】選C.由數(shù)列{an}的前n項(xiàng)的平均值是n+1,所以Sn=n(n+1)=n2+n,所以Sn-1=n(n-1)=n2-n,n≥2,所以an=Sn-Sn-1=2n,n≥2,所以這個(gè)數(shù)列的第18項(xiàng)是a18=2×18=36.【補(bǔ)償訓(xùn)練】已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=n2+n,則過P(1,a1),Q(2,a2)兩點(diǎn)的直線的斜率是 ()A.1 B.2 C.3 D.4【解析】選B.因?yàn)镾n=n2+n,所以a1=S1=2,a2=S2-S1=6-2=4.所以過P,Q兩點(diǎn)直線的斜率k=QUOTE=QUOTE=2.2.數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an=QUOTE,若前n項(xiàng)和為10,則項(xiàng)數(shù)為 ()A.11 B.99 C.120 D.121【解析】選C.因?yàn)閍n=QUOTE=QUOTE-QUOTE,所以Sn=a1+a2+…+an=(QUOTE-1)+(QUOTE-QUOTE)+…+(QUOTE-QUOTE)=QUOTE-1,令QUOTE-1=10,得n=120.3.據(jù)科學(xué)計(jì)算,運(yùn)載“嫦娥”號(hào)探月飛船的“長(zhǎng)征”二號(hào)系列火箭,在點(diǎn)火后1分鐘通過的路程為2km,以后每分鐘通過的路程增加2km,在達(dá)到離地面240km的高度時(shí),火箭與飛船分別,則這一過程大約須要的時(shí)間是 ()A.10分鐘 B.13分鐘C.15分鐘 D.20分鐘【解析】選C.由題意知火箭在這個(gè)過程中路程隨時(shí)間的改變成等差數(shù)列,設(shè)第n分鐘后通過的路程為an,則a1=2,公差d=2,an=2n,Sn=QUOTE·n=240,解得n=15或n=-16(舍去).4.已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且滿意Sn=2n+2-3,則an=.

【解析】依據(jù)題意,數(shù)列{an}滿意Sn=2n+2-3,當(dāng)n≥2時(shí),有an=Sn-Sn-1=(2n+2-3)-(2n+1-3)=2n+1,當(dāng)n=1時(shí)有a1=S1=8-3=5,不符合an=2n+1,故an=QUOTE.答案:QUOTE5.(2024·大慶高一檢測(cè))已知在數(shù)列{an}中,若a1=-60,an+1=an+3,則|a1|+|a2|+…+|a30|=.

【解析】由已知可以推斷數(shù)列{an}是以-60為首項(xiàng),3為公差的等差數(shù)列,因此an=3n-63.因?yàn)閍1<0,d>0,a21=0,a22>0,所以數(shù)列前30項(xiàng)的肯定值之和為S30-2S21=30×(-60)+QUOTE×3-2×QUOTE=765.答案:7656.已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)的和為Sn,a3=5,S10=100.(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.(2)設(shè)bn=QUOTE,求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn.【解析】(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,由題意知QUOTE解得a1=1,d=2.所以數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=2n-1.(2)bn=QUOTE=QUOTE=QUOTE所以Tn=QUOTE=QUOTE=QUOTE-QUOTE.(30分鐘60分)一、選擇題(每小題5分,共25分)1.已知公差不為0的等差數(shù)列{an}滿意QUOTE=a1·a4,Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,則QUOTE的值為 ()A.-2 B.-3 C.2 D.3【解析】選C.因?yàn)楣頳≠0的等差數(shù)列{an}滿意QUOTE=a1·a4,所以(a1+2d)2=a1(a1+3d),即a1=-4d,則QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE=2.2.數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=(-1)n-1·(4n-3),則它的前100項(xiàng)之和S100等于 ()A.200 B.-200 C.400 D.-400【解析】選B.由題意可得數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=(-1)n-1·(4n-3),所以a1=1,a2=-5,a3=9,a4=-13,…,a99=393,a100=-397.所以S100=(a1+a2)+(a3+a4)+…+(a99+a100)=-4×50=-200.3.(2024·大慶高一檢測(cè))中國(guó)古代詞中,有一道“八子分綿”的數(shù)學(xué)名題:“九百九十六斤綿,贈(zèng)分八子做盤纏,次第每人多十七,要將第八數(shù)來言”.題意是:把996斤綿分給8個(gè)兒子作盤纏,依據(jù)年齡從大到小的依次依次分綿,年齡小的比年齡大的多17斤綿,那么第8個(gè)兒子分到的綿是 ()A.174斤 B.184斤 C.191斤 D.201斤【解析】選B.用a1,a2,…,a8表示8個(gè)兒子依據(jù)年齡從大到小得到的綿數(shù),由題意得數(shù)列a1,a2,…,a8是公差為17的等差數(shù)列,且這8項(xiàng)的和為996,所以8a1+QUOTE×17=996,解得a1=65.所以a8=65+7×17=184.4.已知數(shù)列{an}:QUOTE,QUOTE+QUOTE,QUOTE+QUOTE+QUOTE,QUOTE+QUOTE+QUOTE+QUOTE,…,那么數(shù)列{bn}=QUOTE的前n項(xiàng)和Sn為 ()A.4QUOTE B.4QUOTEC.1-QUOTE D.QUOTE-QUOTE【解析】選A.因?yàn)閍n=QUOTE=QUOTE=QUOTE,所以bn=QUOTE=QUOTE=4QUOTE.所以Sn=41-QUOTE+QUOTE-QUOTE+QUOTE-QUOTE+…+QUOTE-QUOTE=4QUOTE.5.正項(xiàng)數(shù)列{an},a1=1,前n項(xiàng)和Sn滿意Sn·QUOTE-Sn-1·QUOTE=2QUOTE(n≥2),則a10= ()A.72 B.80 C.90 D.82【解析】選A.由Sn·QUOTE-Sn-1·QUOTE=2QUOTE(n≥2),兩邊同除以QUOTE,得QUOTE-QUOTE=2;而S1=a1=1,所以QUOTE=1+2(n-1)=2n-1,所以Sn=4n2-4n+1;再依據(jù)an=Sn-Sn-1,得an=8n-8,所以a10=8×10-8=72.【補(bǔ)償訓(xùn)練】已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=n2-4n+1,則|a1|+|a2|+…+|a10|的值為 ()A.61 B.62 C.65 D.67【解析】選D.對(duì)n分狀況探討當(dāng)n=1時(shí),S1=a1=-2.當(dāng)n≥2時(shí),an=Sn-Sn-1=(n2-4n+1)-[(n-1)2-4(n-1)+1]=2n-5,所以an=QUOTE由通項(xiàng)公式得a1<a2<0<a3<a4<…<a10,所以|a1|+|a2|+…+|a10|=-(a1+a2)+(a3+a4+…+a10)=S10-2S2=102-4×10+1-2×(-3)=67.二、填空題(每小題5分,共15分)6.數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an=ncosQUOTE,其前n項(xiàng)和為Sn,則S2019等于.

【解析】由題意知,a1+a2+a3+a4=2,a5+a6+a7+a8=2,…,a4k+1+a4k+2+a4k+3+a4k+4=2,k∈N,故S2019=504×2+a2017+a2018+a2019=1008+0-2018+0=-1010.答案:-10107.(2024·鄭州高二檢測(cè))若數(shù)列{an}滿意a1=12,a1+2a2+3a3+…+nan=n2an,則a2019=.

【解析】數(shù)列{an}滿意a1=12,a1+2a2+3a3+…+nan=n2an,①當(dāng)n≥2時(shí),a1+2a2+3a3+…+(n-1)an-1=(n-1)2an-1,②①-②得(n-1)2an-1=(n2-n)an,所以QUOTE=QUOTE,…,QUOTE=QUOTE,全部的式子相乘得QUOTE=QUOTE,所以an=QUOTE(n≥2),因?yàn)閍1=QUOTE=12,即首項(xiàng)符合通項(xiàng)公式,故an=QUOTE,所以a2019=QUOTE=QUOTE.答案:QUOTE【補(bǔ)償訓(xùn)練】已知數(shù)列{an}滿意a1+2a2+…+nan=n(n+1)(n+2),則an=.

【解析】由a1+2a2+…+nan=n(n+1)(n+2),①當(dāng)n≥2,n∈N*時(shí),得a1+2a2+…+(n-1)an-1=(n-1)n(n+1),②①-②,得nan=n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)=n(n+1)[(n+2)-(n-1)]=3n(n+1),所以an=3(n+1)(n≥2,n∈N*).又當(dāng)n=1時(shí),a1=1×2×3=6也適合上式,所以an=3(n+1),n∈N*.答案:3(n+1)(n∈N*)8.已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,a1=1,a2=2,且對(duì)于隨意n>1,n∈N*,滿意Sn+1+Sn-1=2(Sn+1),則S10=.

【解析】當(dāng)n=2時(shí),S3+S1=2(S2+1),即2a1+a2+a3=2(a1+a2+1),又a1=1,a2=2,解得a3=4.當(dāng)n>1,n∈N*時(shí),Sn+1+Sn-1=2(Sn+1),Sn+2+Sn=2(Sn+1+1),兩式相減得an+2+an=2an+1,故數(shù)列{an}從其次項(xiàng)起是首項(xiàng)為2,公差為2的等差數(shù)列,所以S10=1+2×9+QUOTE×2=91.答案:91三、解答題(每小題10分,共20分)9.數(shù)列{an}滿意an=6-QUOTE(n∈N*,n≥2).(1)求證:數(shù)列QUOTE是等差數(shù)列.(2)若a1=6,求數(shù)列{lgan}的前999項(xiàng)的和S.【解析】(1)數(shù)列{an}滿意,an=6-QUOTE(n∈N*,n≥2),所以QUOTE-QUOTE=QUOTE-QUOTE=QUOTE=QUOTE,所以數(shù)列QUOTE是等差數(shù)列.(2)因?yàn)閍1=6,所以QUOTE=QUOTE.由(1)知:QUOTE=QUOTE+QUOTE=QUOTE,所以an=QUOTE,所以lgan=lg3+lg(n+1)-lgn.所以數(shù)列{lgan}的前999項(xiàng)和S=999lg3+(lg2-lg1+lg3-lg2+…+lg1000-lg999)=999lg3+lg1000=999lg3+3.10.設(shè)Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,Sn=λan-1(λ為常數(shù),n=1,2,3,…).(1)若a3=QUOTE,求λ的值;(2)是否存在實(shí)數(shù)λ,使得數(shù)列{an}是等差數(shù)列?若存在,求出λ的值;若不存在,請(qǐng)說明理由.【解析】(1)因?yàn)镾n=λan-1,所以a1=λa1-1,a2+a1=λa2-1,a3+a2+a1=λa3-1.由a1=λa1-1,可知λ≠1,所以a1=QUOTE,a2=QUOTE,a3=QUOTE.因?yàn)閍3=QUOTE,所以QUOTE=QUOTE,解得λ=0或λ=2.(2)假設(shè)存在實(shí)數(shù)λ,使得數(shù)列{an}是等差數(shù)列,則2a2=a1+a3,由(1)可得QUOTE=QUOTE+QUOTE,所以QUOTE=QUOTE=QUOTE+QUOTE,即QUOTE=0,明顯不成立,所以不存在實(shí)數(shù)λ,使得數(shù)列{an}是等差數(shù)列.1.已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,a1=1,an+an+1=2n+1(n∈N*),則S21的值為.

【解析】將n=1代入an+an+1=2n+1得a2=3-1=2,由an+an+1=2n+1①,可以得到an+1+an+2=2n+3②,②-①得an+2-an=2,所以數(shù)列{an}的奇數(shù)項(xiàng)、偶數(shù)項(xiàng)都是以2為公差的等差數(shù)列,則a21=1+10×2=21,a20=2+9×2=20,所以S21=(a1+a3+a5+…+a21)+(a2+a4+a6+…+a20)=QUOTE+QUOTE=231.答案:2312.在如圖所示的數(shù)表中,已知每行、每列中的數(shù)都構(gòu)成等