2024秋高中數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)檢測3課時(shí)作業(yè)含解析新人教A版選修2-1

PAGE1-第三章學(xué)業(yè)質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)檢測時(shí)間120分鐘，滿分150分。一、選擇題(本大題共8個(gè)小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中只有一個(gè)是符合題目要求的)1．已知向量a＝(1,1,0)，b＝(－1,0,2)，且ka＋b與2a－b相互垂直，則k的值是(D)A．1 B．eq\f(1,5)C．eq\f(3,5) D．eq\f(7,5)[解析]因?yàn)閗a＋b＝(k－1，k,2)，2a－b＝(3,2，－2)，且ka＋b與2a－b相互垂直，所以(ka＋b)·(2a－b)＝3(k－1)＋2k－4＝0?k＝eq\f(7,5).2．若a＝(2,2,0)，b＝(1,3，z)，〈a，b〉＝eq\f(π,3)，則z等于(C)A．eq\r(22) B．－eq\r(22)C．±eq\r(22) D．±eq\r(42)[解析]cos〈a，b〉＝coseq\f(π,3)＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(2×1＋2×3＋0×z,\r(22＋22＋02)×\r(12＋32＋z2))＝eq\f(1,2)，∴z＝±eq\r(22).3．已知A(2，－5,1)，B(2，－4，2)，C(1，－4,1)，則eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(AC,\s\up6(→))的夾角為(B)A．30° B．60°C．45° D．90°[解析]由題意得eq\o(AB,\s\up6(→))＝(0,1,1)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(－1,1,0)，cos〈Aeq\o(B,\s\up6(→))，Aeq\o(C,\s\up6(→))〉＝eq\f(A\o(B,\s\up6(→))·A\o(C,\s\up6(→)),|A\o(B,\s\up6(→))||A\o(C,\s\up6(→))|)＝eq\f(1,\r(2)×\r(2))＝eq\f(1,2)，所以Aeq\o(B,\s\up6(→))與Aeq\o(C,\s\up6(→))的夾角為60°.4．已知平面α的法向量為n＝(2，－2,4)，eq\o(AB,\s\up6(→))＝(－3,1,2)，點(diǎn)A不在α內(nèi)，則直線AB與平面α的位置關(guān)系為(D)A．AB⊥α B．AB?αC．AB與α相交不垂直 D．AB∥α[解析]∵n·eq\o(AB,\s\up6(→))＝(2，－2,4)·(－3,1,2)＝－6－2＋8＝0，∴n⊥eq\o(AB,\s\up6(→))，而點(diǎn)A不在α內(nèi)，故AB∥α.5．已知四面體ABCD的全部棱長都是2，點(diǎn)E、F分別是AD、DC的中點(diǎn)，則eq\o(EF,\s\up6(→))·eq\o(BA,\s\up6(→))＝(B)A．1 B．－1C．eq\r(3) D．－eq\r(3)[解析]如圖所示，eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))，所以eq\o(EF,\s\up6(→))·Beq\o(A,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)Aeq\o(C,\s\up6(→))·(－eq\o(AB,\s\up6(→)))＝－eq\f(1,2)×2×2cos60°＝－1，故選B．6．如圖所示，在長方體ABCD－A1B1C1D1中，B1C和C1D與底面所成的角分別為60°和45°，則異面直線B1C和CA．eq\f(\r(6),4) B．eq\f(\r(6),3)C．eq\f(\r(2),6) D．eq\f(\r(2),3)[解析]如圖所示：∵B1B⊥平面ABCD，∴∠BCB1是B1C∴∠BCB1＝60°.∵C1C⊥底面ABCD，∴∠CDC1是C1D∴∠CDC1＝45°.連接A1D，A1C1，則A1D∥B1∴∠A1DC1或其補(bǔ)角為異面直線B1C與C1D不妨設(shè)BC＝1，則CB1＝DA1＝2，BB1＝CC1＝eq\r(3)＝CD，∴C1D＝eq\r(6)，A1C1＝2.在等腰△A1C1D中，cos∠A1DC1＝eq\f(\f(1,2)C1D,A1D)＝eq\f(\r(6),4).故選A．7．(山東濰坊2024－2024學(xué)年高二期末)已知正四棱柱ABCD－A1B1C1D1的體積為eq\r(3)，底面ABCD的邊長為1，則二面角A－CD1－D的余弦值為(C)A．eq\f(\r(3),7) B．eq\f(\r(7),7)C．eq\f(\r(21),7) D．eq\f(2\r(7),7)[解析]過D作DO⊥CD1于O，連接AO，則∠AOD就是二面角A－CD1－D的平面角．∵正四棱柱ABCD－A1B1C1D1的體積為eq\r(3)，底面ABCD的邊長為1，∴AA1＝eq\r(3).在Rt△CDD1中，CD＝1，DD1＝eq\r(3)，可得CD1＝2，DO＝eq\f(\r(3),2).在Rt△ADO中，AO＝eq\r(AD2＋DO2)＝eq\f(\r(7),2)，cos∠AOD＝eq\f(OD,AO)＝eq\f(\r(3),2)×eq\f(2,\r(7))＝eq\f(\r(21),7).故選C．8．如圖，在長方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝eq\r(2)，E、F分別是面A1B1C1D1、面BCC1B1的中心，則E、F兩點(diǎn)間的距離為(C)A．1 B．eq\f(\r(5),2)C．eq\f(\r(6),2) D．eq\f(3,2)[解析]以點(diǎn)A為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則E(1,1，eq\r(2))、F(2,1，eq\f(\r(2),2))，所以|EF|＝eq\r(1－22＋1－12＋\r(2)－\f(\r(2),2)2)＝eq\f(\r(6),2)，故選C．二、多項(xiàng)選擇題(本大題共4個(gè)小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得3分．)9．下列說法中正確的是(ABC)A．平面α的法向量垂直于與平面α共面的全部向量B．一個(gè)平面的全部法向量相互平行C．假如兩個(gè)平面的法向量垂直，那么這兩個(gè)平面也垂直D．假如a、b與平面α共面且n⊥a，n⊥b，那么n就是平面α的一個(gè)法向量[解析]只有當(dāng)a、b不共線且a∥α，b∥α?xí)r，D才正確．故選ABC．10．下列各組向量不平行的是(BCD)A．a(chǎn)＝(1,1，－2)，b＝(－3，－3,6)B．a(chǎn)＝(0,1,0)，b＝(1,0,1)C．a(chǎn)＝(0,1，－1)，b＝(0，－2,1)D．a(chǎn)＝(1,0,0)，b＝(0,0,1)[解析]對(duì)A，a＝－3b，∴A正確；對(duì)B、C、D，不存在λ，使a＝λb，∴a、b不共線，B、C、D不正確．故選BCD．11．有下列四個(gè)命題，其中不正確的是命題有(ACD)A．已知A，B，C，D是空間隨意四點(diǎn)，則eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(DA,\s\up6(→))＝0B．若兩個(gè)非零向量eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(CD,\s\up6(→))滿意eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝0，則eq\o(AB,\s\up6(→))∥eq\o(CD,\s\up6(→))C．分別表示空間向量的有向線段所在的直線是異面直線，則這兩個(gè)向量不是共面對(duì)量D．對(duì)于空間的隨意一點(diǎn)O和不共線的三點(diǎn)A，B，C，若eq\o(OP,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))＋zeq\o(OC,\s\up6(→))(x，y∈R)，則P，A，B，C四點(diǎn)共面．[解析]對(duì)于A，已知A，B，C，D是空間隨意四點(diǎn)，則eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(DA,\s\up6(→))＝0，錯(cuò)誤；對(duì)于B，若兩個(gè)非零向量eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(CD,\s\up6(→))滿意eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝0，則eq\o(AB,\s\up6(→))∥eq\o(CD,\s\up6(→))，正確；對(duì)于C，分別表示空間向量的有向線段所在的直線是異面直線，則這兩個(gè)向量可以是共面對(duì)量，不正確；對(duì)于D，對(duì)于空間的隨意一點(diǎn)O和不共線的三點(diǎn)A，B，C，若eq\o(OP,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))＋zeq\o(OC,\s\up6(→))(x，y，z∈R)，僅當(dāng)x＋y＋z＝1時(shí)，P，A，B，C四點(diǎn)共面，故錯(cuò)誤．12．如圖，正三棱柱ABC－A1B1C1中，BC1⊥AB1，點(diǎn)D為AC的中點(diǎn)，點(diǎn)E為四邊形BCC1B1A．eq\o(DA,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(A1A,\s\up6(→))－eq\o(B1A,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→)))B．若DE∥平面ABB1A1，則動(dòng)點(diǎn)E的軌跡的長度等于eq\f(\r(2),2)ACC．異面直線AD與BC1所成角的余弦值為eq\f(\r(6),6)D．若點(diǎn)E到平面ACC1A1的距離等于eq\f(\r(3),2)EB，則動(dòng)點(diǎn)E的軌跡為拋物線的一部分[解析]對(duì)于選項(xiàng)A，eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(A1A,\s\up6(→))－eq\o(B1A,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→)))，選項(xiàng)A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B，過點(diǎn)D作AA1的平行線交A1C1于點(diǎn)D1以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，eq\o(DA,\s\up6(→))，eq\o(DB,\s\up6(→))，eq\o(DD1,\s\up6(→))分別為x，y，z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系Dxyz.設(shè)棱柱底面邊長為a，側(cè)棱長為b，則Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)，0，0))，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(3),2)a，0))，B1eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(3),2)a，b))，C1eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(a,2)，0，b))，所以eq\o(BC1,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(a,2)，－\f(\r(3),2)a，b))，eq\o(AB1,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(a,2)，\f(\r(3),2)a，b)).∵BC1⊥AB1，∴eq\o(BC1,\s\up6(→))·eq\o(AB1,\s\up6(→))＝0，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(a,2)))2－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)a))2＋b2＝0，解得b＝eq\f(\r(2),2)a.因?yàn)镈E∥平面ABB1A1，分別取BC，B1C1的中點(diǎn)E1，M，則ME1∥BB1，所以平面D1DE1M∥平面ABB1A1，則動(dòng)點(diǎn)E的軌跡是線段ME1，ME1的長度等于|BB1|＝eq\f(\r(2),2)|AC對(duì)于選項(xiàng)C，在選項(xiàng)B的基礎(chǔ)上，C1eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(a,2)，0，\f(\r(2),2)a))，所以eq\o(DA,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)，0，0))，eq\o(BC1,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(a,2)，－\f(\r(3),2)a，\f(\r(2),2)a))，因?yàn)閏os〈eq\o(BC1,\s\up6(→))，eq\o(DA,\s\up6(→))〉＝eq\f(\o(BC1,\s\up6(→))·\o(DA,\s\up6(→)),|\o(BC1,\s\up6(→))||\o(DA,\s\up6(→))|)＝eq\f(－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)))2,\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)))\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),2)a)))＝－eq\f(\r(6),6)，所以異面直線BC1與DA所成角的余弦值為eq\f(\r(6),6)，選項(xiàng)C正確．對(duì)于選項(xiàng)D，設(shè)點(diǎn)E在底面ABC的射影為N，作NF垂直于AC，垂足為F，若點(diǎn)E到平面ACC1A1的距離等于eq\f(\r(3),2)EB，即有NF＝eq\f(\r(3),2)EB，又因?yàn)樵凇鰿NF中，NF＝eq\f(\r(3),2)NC，得EB＝NC，其中NC等于點(diǎn)E到直線CC1的距離，故點(diǎn)E滿意拋物線的定義，另外點(diǎn)E為四邊形BCC1B1內(nèi)(包含邊界)的動(dòng)點(diǎn)，所以動(dòng)點(diǎn)E的軌跡為拋物線的一部分，故D正確．三、填空題(本大題共4個(gè)小題，每小題5分，共20分，把正確答案填在題中橫線上)15．已知a＝(2,1,3)，b＝(－4,5，x)，若a⊥b，則x＝__1__.[解析]∵a⊥b，∴a·b＝0，即2×(－4)＋1×5＋3x＝0，∴x＝1.14．(福建省南平市2024－2024學(xué)年高二期末)在棱長為1的正方體ABCD－A1B1C1D1中，BD1與平面ABCD所成角的正弦值為__eq\f(\r(3),3)__.[解析]正方體AC1中，∵DD1⊥底面ABCD，∴∠DBD1即為BD1與底面ABCD所成角，易知BD1＝eq\r(3)，∴sin∠DBD1＝eq\f(\r(3),3)，故答案為eq\f(\r(3),3).15．已知正四棱臺(tái)ABCD－A1B1C1D1中，上底面A1B1C1D1邊長為1，下底面ABCD邊長為2，側(cè)棱與底面所成的角為60°，則tan∠B1BD＝__eq\r(3)__異面直線AD1與B1C所成角的余弦值為__eq\f(1,4)__.[解析]設(shè)上、下底面中心分別為O1、O，則OO1⊥平面ABCD，以O(shè)為原點(diǎn)，直線BD、AC、OO1分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系．∵AB＝2，A1B1＝1，∴AC＝BD＝2eq\r(2)，A1C1＝B1D1＝eq\r(2)，∵平面BDD1B1⊥平面ABCD，∴∠B1BO為側(cè)棱與底面所成的角，∴∠B1BO＝60°，tan∠B1BD＝tan60°＝eq\r(3).設(shè)棱臺(tái)高為h，則tan60°＝eq\f(h,\r(2)－\f(\r(2),2))，∴h＝eq\f(\r(6),2)，∴A(0，－eq\r(2)，0)，D1(－eq\f(\r(2),2)，0，eq\f(\r(6),2))，B1(eq\f(\r(2),2)，0，eq\f(\r(6),2))，C(0，eq\r(2)，0)，∴eq\o(AD1,\s\up6(→))＝(－eq\f(\r(2),2)，eq\r(2)，eq\f(\r(6),2))，eq\o(B1C,\s\up6(→))＝(－eq\f(\r(2),2)，eq\r(2)，－eq\f(\r(6),2))，∴cos〈eq\o(AD1,\s\up6(→))，eq\o(B1C,\s\up6(→))〉＝eq\f(\o(AD1,\s\up6(→))·\o(B1C,\s\up6(→)),|\o(AD1,\s\up6(→))|·|\o(B1C,\s\up6(→))|)＝eq\f(1,4)，故異面直線AD1與B1C所成角的余弦值為eq\f(1,4).16．已知矩形ABCD中，AB＝1，BC＝eq\r(3)，將矩形ABCD沿對(duì)角線AC折起，使平面ABC與平面ACD垂直，則B與D之間的距離為__eq\f(\r(10),2)__.[解析]如圖，過B、D分別向AC作垂線，垂足分別為M、N.則可求得AM＝eq\f(1,2)、BM＝eq\f(\r(3),2)、CN＝eq\f(1,2)、DN＝eq\f(\r(3),2)、MN＝1.由于eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(BM,\s\up6(→))＋eq\o(MN,\s\up6(→))＋eq\o(ND,\s\up6(→))，∴|eq\o(BD,\s\up6(→))|2＝(eq\o(BM,\s\up6(→))＋eq\o(MN,\s\up6(→))＋eq\o(ND,\s\up6(→)))2＝|eq\o(BM,\s\up6(→))|2＋|eq\o(MN,\s\up6(→))|2＋|eq\o(ND,\s\up6(→))|2＋2(eq\o(BM,\s\up6(→))·eq\o(MN,\s\up6(→))＋eq\o(MN,\s\up6(→))·eq\o(ND,\s\up6(→))＋eq\o(BM,\s\up6(→))·eq\o(ND,\s\up6(→)))＝(eq\f(\r(3),2))2＋12＋(eq\f(\r(3),2))2＋2(0＋0＋0)＝eq\f(5,2)，∴|eq\o(BD,\s\up6(→))|＝eq\f(\r(10),2).四、解答題(本大題共6個(gè)大題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟)17．(本小題滿分10分)在四棱錐P－ABCD中，ABCD為平行四邊形，AC與BD交于O，G為BD上一點(diǎn)，BG＝2GD，eq\o(PA,\s\up6(→))＝a，eq\o(PB,\s\up6(→))＝b，eq\o(PC,\s\up6(→))＝c，試用基底{a，b，c}表示向量eq\o(PG,\s\up6(→)).[解析]∵BG＝2GD，∴eq\o(BG,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(BD,\s\up6(→)).又eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(PA,\s\up6(→))－eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))－eq\o(PB,\s\up6(→))＝a＋c－2b，∴eq\o(PG,\s\up6(→))＝eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(BG,\s\up6(→))＝b＋eq\f(2,3)(a＋c－2b)＝eq\f(2,3)a－eq\f(1,3)b＋eq\f(2,3)c.18．(本小題滿分12分)如圖，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ABC＝eq\f(π,2)，D是棱AC的中點(diǎn)，且AB＝BC＝BB1＝2.(1)求證：AB1∥平面BC1D；(2)求異面直線AB1與BC1所成的角．[解析](1)如圖，連接B1C交BC1于點(diǎn)O，連接OD∵O為B1C的中點(diǎn)，D為AC的中點(diǎn)，∴OD∥AB1∵AB1?平面BC1D，OD?平面BC1D，∴AB1∥平面BC1D.(2)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系B－xyz.則B(0,0,0)、A(0,2,0)、C1(2,0,2)、B1(0,0,2)．∴eq\o(AB1,\s\up6(→))＝(0，－2,2)、eq\o(BC1,\s\up6(→))＝(2,0,2)．cos〈eq\o(AB1,\s\up6(→))，eq\o(BC1,\s\up6(→))〉＝eq\f(\o(AB1,\s\up6(→))·\o(BC1,\s\up6(→)),|\o(AB1,\s\up6(→))|·|\o(BC1,\s\up6(→))|)＝eq\f(0＋0＋4,2\r(2)×2\r(2))＝eq\f(1,2)，設(shè)異面直線AB1與BC1所成的角為θ，則cosθ＝eq\f(1,2)，∵θ∈(0，eq\f(π,2)]，∴θ＝eq\f(π,3).19．(本小題滿分12分)如圖，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，已知AB＝2，AA1＝5，E、F分別為D1D、B1B上的點(diǎn)，且DE＝B1(1)求證：BE⊥平面ACF；(2)求點(diǎn)E到平面ACF的距離．[解析](1)證明：以D為原點(diǎn)，DA、DC、DD1所在直線分別為x、y、z軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則D(0,0,0)、A(2,0,0)、B(2,2,0)、C(0,2,0)、D1(0,0,5)、E(0,0,1)、F(2,2,4)．∴eq\o(AC,\s\up6(→))＝(－2,2,0)、eq\o(AF,\s\up6(→))＝(0,2,4)、eq\o(BE,\s\up6(→))＝(－2，－2,1)、eq\o(AE,\s\up6(→))＝(－2，0,1)．∵eq\o(BE,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝0，eq\o(BE,\s\up6(→))·eq\o(AF,\s\up6(→))＝0，∴BE⊥AC，BE⊥AF，且AC∩AF＝A.∴BE⊥平面ACF.(2)由(1)知，eq\o(BE,\s\up6(→))為平面ACF的一個(gè)法向量，∴點(diǎn)E到平面ACF的距離d＝eq\f(|\o(AE,\s\up6(→))·\o(BE,\s\up6(→))|,|\o(BE,\s\up6(→))|)＝eq\f(5,3).故點(diǎn)E到平面ACF的距離為eq\f(5,3).20．(本小題滿分12分)(2024·全國Ⅱ卷理，17)如圖，長方體ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，點(diǎn)E在棱AA1上，BE⊥EC1(1)證明：BE⊥平面EB1C1(2)若AE＝A1E，求二面角B－EC－C1的正弦值．[解析](1)證明：由已知得，B1C1⊥平面ABB1A1，BE?平面ABB1故B1C1⊥BE又BE⊥EC1，B1C1∩EC1＝C1所以BE⊥平面EB1C1(2)解：由(1)知∠BEB1＝90°.由題設(shè)知Rt△ABE≌Rt△A1B1E，所以∠AEB＝45°，故AE＝AB，AA1＝2AB.以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，eq\o(DA,\s\up6(→))的方向?yàn)閤軸正方向，|eq\o(DA,\s\up6(→))|為單位長度，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系D－xyz，則C(0,1,0)，B(1,1,0)，C1(0,1,2)，E(1,0,1)，eq\o(CB,\s\up6(→))＝(1,0,0)，eq\o(CE,\s\up6(→))＝(1，－1,1)，CC1＝(0,0,2)．設(shè)平面EBC的法向量為n＝(x1，y1，z1)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\o(CB,\s\up6(→))·n＝0，,\o(CE,\s\up6(→))·n＝0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x1＝0，,x1－y1＋z1＝0，))所以可取n＝(0，－1，－1)．設(shè)平面ECC1的法向量為m＝(x2，y2，z2)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(CC1·m＝0，,\o(CE,\s\up6(→))·m＝0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2z2＝0，,x2－y2＋z2＝0，))所以可取m＝(1,1,0)．于是cosn，m＝eq\f(n·m,|n||m|)＝－eq\f(1,2).所以，二面角B－EC－C1的正弦值為eq\f(\r(3),2).21．(本小題滿分12分)(2024－2024湖北恩施州高二期末)如圖，四棱錐P－ABCD中，AB∥CD，∠BCD＝eq\f(π,2)，PA⊥BD，AB＝2，PA＝PD＝CD＝BC＝1.(1)求證：平面PAD⊥平面ABCD；(2)求直線PA與平PBC所成角的正弦值．[解析](1)∵AB∥CD，∠BCD＝eq\f(π,2)，PA＝PD＝CD＝BC＝1，∴BD＝eq\r(2)，∠ABC＝eq\f(π,2)，∠DBC＝eq\f(π,4)，∴∠ABD＝eq\f(π,4)，∵AB＝2，∴AD＝eq\r(2)，∴AB2＝AD2＋BD2，∴AD⊥BD，∵PA⊥BD，PA∩AD＝A，∴BD⊥平面PAD，∵BD?平面ABCD，∴平面PAD⊥平面ABCD.(2)取AD中點(diǎn)O，連結(jié)PO，則PO⊥AD，且PO＝eq\f(\r(2),2)，由平面PAD⊥平面ABCD，知PO⊥平面ABCD，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以過點(diǎn)O且平行于BC的直線為x軸，過點(diǎn)O且平行于AB的直線為y軸，直線PO為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則A(eq\f(1,2)，－eq\f(1,2)，0)，B(eq\f(1,2)，eq\f(3,2)，0)，C(－eq\f(1,2)，eq\f(3,2)，0)，P(0,0，eq\f(\r(2),2))，eq\o(BC,\s\up6(→))(－1,0,0)，eq\o(BP,\s\up6(→))＝(－eq\f(1,2)，－eq\f(3,2)，eq\f(\r(2),2))，設(shè)平面PBC的法向量n＝(x，y，z)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n·\o(BC,\s\up6(→))＝－x＝0,n·\o(BP,\s\up6(→))＝－\f(1,2)x－\f(3,2)y＋\f(\r(2),2)z＝0))，取z＝eq\r(2)，得eq\o(n,\s\up6(→))＝(0，eq\f(2,3)，eq\r(2))，∵eq\o(PA,\s\up6(→))＝(eq\f(1,2)，－eq\f(1,2)，－eq\f(\r(2),2))，∴cos〈n，eq\o(PA,\s\up6(→))〉＝eq\f(n·\o(PA,\s\up6(→)),|n|·|\o(PA,\s\up6(→))|)＝－eq\f(2\r(22),11)，∴直線PA與平面PBC所成角的正弦值為eq\f(2\r(22),11).22．(本小題滿分12分)如圖，在三棱錐P－ABC中，PA⊥底面ABC，∠BAC＝90°.點(diǎn)D，E，N分別為棱PA，PC，BC的中點(diǎn)，M是線段AD的中點(diǎn)，PA＝AC＝4，AB＝2.(1)求證：MN∥平面BDE；(2)求二面角C－EM－N的正弦值；(3)已知點(diǎn)H在棱PA上，且直線NH與直線BE所成角的余弦值為eq\f(\r(7),21)，求線