河北省張家口市張垣聯(lián)盟2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期階段檢測試題含解析

PAGE河北省張家口市張垣聯(lián)盟2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期階段檢測試題（含解析）留意事項(xiàng)：1.本試卷分第I卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）.2.考試時間為120分鐘，滿分150分.3.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡相應(yīng)的位置.4.全部答案在答題卡上完成，答在本試卷上無效.第Ⅰ卷（選擇題共60分）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知，動點(diǎn)P滿意，當(dāng)分別為4和12時，點(diǎn)P的軌跡分別為（）A.雙曲線和一條直線 B.雙曲線和一條射線C.雙曲線的一支和一條射線 D.雙曲線的一支和一條直線【答案】C【解析】【分析】依據(jù)以及，結(jié)合雙曲線的定義對點(diǎn)的軌跡進(jìn)行推斷即可.【詳解】由題意，得當(dāng)時，，可知點(diǎn)P的軌跡為雙曲線左支；當(dāng)時，，可知點(diǎn)P的軌跡為以為端點(diǎn)的一條射線.故選：C2.拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】將拋物線化簡成標(biāo)準(zhǔn)形式再分析即可.【詳解】即,故拋物線焦點(diǎn)在軸上,,焦點(diǎn)縱坐標(biāo)為.故焦點(diǎn)坐標(biāo)故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查了拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo),須要將拋物線化成標(biāo)準(zhǔn)形式再推斷,屬于基礎(chǔ)題.3.雙曲線的左焦點(diǎn)到雙曲線的漸近線的距離為（）A.1 B. C. D.2【答案】A【解析】【分析】先求出左焦點(diǎn)坐標(biāo)和雙曲線的漸近線方程，由點(diǎn)到直線的距離可得答案.【詳解】，其中，所以，，左焦點(diǎn)為，漸近線的方程為，所以左焦點(diǎn)到直線的距離為.故選：A4.已知橢圓，圓過橢圓的上頂點(diǎn)，則橢圓離心率是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由于圓過橢圓的上頂點(diǎn)，則，故離心率可求.【詳解】圓過橢圓的上頂點(diǎn)，則，所以，，故選：B5.已知雙曲線的一條漸近線方程，且過點(diǎn)，則雙曲線的方程為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由漸近線為可得，再將點(diǎn)坐標(biāo)代入可得，聯(lián)立求解可得答案.【詳解】雙曲線的漸近線方程為由雙曲線的一條漸近線方程所以，又雙曲線過點(diǎn)，則兩式聯(lián)立解得：故選：A6.已知橢圓的上、下焦點(diǎn)分別為、，為上的隨意一點(diǎn)，則的一個充分不必要條件是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】依據(jù)求出的取值范圍，可求得的取值范圍，進(jìn)而結(jié)合集合的包含關(guān)系可得出結(jié)論.【詳解】在橢圓中，，，，可得，因此，的一個充分不必要條件是.故選：D.7.設(shè)P是橢圓上一點(diǎn)，分別是圓：和上的一動點(diǎn)，則的最小值為（）A.5 B.6 C.7 D.8【答案】B【解析】【分析】由題可得兩個圓心恰好是橢圓的焦點(diǎn)，結(jié)合橢圓的定義，橢圓上的點(diǎn)到兩個焦點(diǎn)距離之和為定值，再依據(jù)圓外一點(diǎn)到圓上點(diǎn)距離的最小值為點(diǎn)到圓心距離減去半徑即可求解.【詳解】橢圓的兩個焦點(diǎn)坐標(biāo)為且恰好為兩個圓的圓心坐標(biāo)，兩個圓的半徑相等且等于1，則由橢圓的定義可得故橢圓上動點(diǎn)與焦點(diǎn)連線與圓相交于,時，最小，所以.故選：B8.已知拋物線的焦點(diǎn)為為該拋物線上一點(diǎn)，若以M為圓心的圓與C的準(zhǔn)線相切于點(diǎn)，則拋物線的方程為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】過點(diǎn)M作軸于B，利用拋物線定義得到，在Rt△MBF中，利用邊長關(guān)系求出p,得到拋物線的方程【詳解】過點(diǎn)M作軸于B.由題可知.因?yàn)?，所以，在Rt△MBF中，∵，∴即，解得拋物線方程為.故選B.【點(diǎn)睛】解析幾何問題解題的關(guān)鍵：解析幾何歸根結(jié)底還是幾何，依據(jù)題意畫出圖形，借助于圖形找尋幾何關(guān)系可以簡化運(yùn)算．二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得3分，有選錯的得0分.9.已知雙曲線，則（）A.C的焦距為 B.C的虛軸長是實(shí)軸長的倍C.雙曲線與C的漸近線相同 D.直線上存在一點(diǎn)在C上【答案】BC【解析】【分析】多項(xiàng)選擇題須要對選項(xiàng)一一驗(yàn)證．對于A：干脆求焦距；對于B：求出實(shí)軸長和虛軸長；對于C：求出兩個漸近線比較；對于D：推斷直線與雙曲線位置關(guān)系即可.【詳解】因?yàn)?，所以，則，所以A錯誤，B正確；與C的漸近線均為，C正確；C的漸近線的斜率小于2，所以直線與C相離，所以D錯誤.故選：BC.10.下列敘述正確的是（）A.點(diǎn)在圓外B.圓在處的切線方程為C.圓上有且僅有3個點(diǎn)到直線的距離等于D.曲線與曲線相切【答案】ABC【解析】【分析】A.求得點(diǎn)P與圓心的距離與圓的半徑比較推斷；B.先求得圓心與點(diǎn)連線的斜率，再寫出在處的切線方程推斷；C.求得圓心到直線的距離推斷；D.干脆利用兩圓的位置關(guān)系推斷.【詳解】A.點(diǎn)P與圓心的距離為，所以點(diǎn)P在圓外，故正確；B.圓心與點(diǎn)連線的斜率為，所以在處的切線方程為，即，故正確；C.圓心到直線的距離為，故圓上有三個點(diǎn)到直線的距離等于，故正確；D.的圓心為半徑為的圓心為半徑為，所以兩圓相交，故錯誤.故選：ABC11.以下四個命題表述正確的是（）A.直線恒過定點(diǎn)B.已知直線過點(diǎn)，且在軸上截距相等，則直線的方程為C.，“直線與直線垂直”是“”的必要不充分條件D.直線的距離為【答案】ACD【解析】【分析】對于A，求出直線所過定點(diǎn)即可推斷，對于B，漏掉了過原點(diǎn)的直線，對于C，兩條直線垂直求出的值有2個，對于D，求出兩條平行線的距離可推斷.【詳解】對于A，，即，直線恒過與的交點(diǎn)，解得，恒過定點(diǎn)，A正確；對于B，直線過點(diǎn)，在軸上截距相等，當(dāng)截距不為0時為，截距為0時為，故B錯誤；對于C，由題意，“直線與直線垂直”則，解得或，所以“直線與直線垂直”是“”的必要不充分條件，C正確；對于D，直線的距離為，故D正確；故選：ACD12.已知拋物線的焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)F傾斜角為的直線與拋物線C交于兩點(diǎn)（點(diǎn)A在第一象限），與拋物線的準(zhǔn)線交于D，則以下結(jié)論正確的是（）A. B.F為的中點(diǎn) C. D.【答案】AB【解析】【分析】過點(diǎn)作拋物線C的準(zhǔn)線m的垂線，結(jié)合拋物線定義，易得為正三角形，然后再依據(jù)條件逐項(xiàng)求解推斷.【詳解】如圖，分別過點(diǎn)作拋物線C的準(zhǔn)線m的垂線，垂足分別為點(diǎn)，拋物線的準(zhǔn)線m與x軸交于點(diǎn)P，則，因?yàn)橹本€的傾斜角為，軸，由拋物線定義可知，，則為正三角形，所以，則，所以，故A正確；，所以點(diǎn)F為的中點(diǎn)，故B正確；因?yàn)椋?，所以，，故C錯誤，，故D錯誤故選：AB第Ⅱ卷（非選擇題共90分）三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.若，則____________.【答案】【解析】【分析】依據(jù)全稱命題的命題為特稱命題，可得答案.【詳解】命題為全稱命題.由全稱命題的命題為特稱命題，所以.故答案為：14.若實(shí)數(shù)，滿意不等式組，則的最大值為____________.【答案】5【解析】【分析】由題意首先畫出不等式組表示的平面區(qū)域，然后結(jié)合目標(biāo)函數(shù)的幾何意義求解其最大值即可.【詳解】繪制不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示，結(jié)合目標(biāo)函數(shù)幾何意義可知目標(biāo)函數(shù)在點(diǎn)C處取得最大值，聯(lián)立直線方程：，可得點(diǎn)的坐標(biāo)為：，據(jù)此可知目標(biāo)函數(shù)的最大值為：.故答案為5．【點(diǎn)睛】求線性目標(biāo)函數(shù)z＝ax＋by(ab≠0)的最值，當(dāng)b＞0時，直線過可行域且在y軸上截距最大時，z值最大，在y軸截距最小時，z值最小；當(dāng)b＜0時，直線過可行域且在y軸上截距最大時，z值最小，在y軸上截距最小時，z值最大.15.設(shè)F為拋物線的焦點(diǎn)，過F且傾斜角為的直線交C于兩點(diǎn)，則__________.【答案】32【解析】【分析】先求出AB的方程，再用“設(shè)而不求法”和弦長公式求弦長.【詳解】∵F為拋物線的焦點(diǎn)，所以F（4，0）由過F且傾斜角為的直線交C于兩點(diǎn)，可設(shè)直線設(shè)，，則：消去y得：∴∴即弦長故答案：32【點(diǎn)睛】"設(shè)而不求"是一種在解析幾何中常見解題方法，可以解決直線與二次曲線相交的問題.16.已知橢圓和雙曲線有共同焦點(diǎn)是它們的一個交點(diǎn)，且，則雙曲線的離心率為_____________.【答案】【解析】【分析】先求出橢圓的長半軸長以及半焦距長，再由雙曲線和橢圓的定義求出的長度，利用余弦定理即可求解.【詳解】橢圓的長半軸長為5，雙曲線的半實(shí)軸長為，依據(jù)橢圓及雙曲線的定義：，所以，，由余弦定理可得，，整理得，.故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：該題考查的是有關(guān)雙曲線的離心率的求解問題，正確解題的關(guān)鍵是要嫻熟駕馭橢圓及雙曲線的定義，留意在三角形中建立等量關(guān)系式.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.在①，且的右支上隨意一點(diǎn)到左焦點(diǎn)的距離的最小值為，②的焦距為，③上一點(diǎn)到兩焦點(diǎn)距離之差的肯定值為，這三個條件中任選一個，補(bǔ)充在下面的問題中.問題：已知雙曲線，___________，求的方程.注：假如選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.【答案】答案詳見解析【解析】【分析】若選①，則可通過雙曲線方程得出、，然后依據(jù)的右支上隨意一點(diǎn)到左焦點(diǎn)的距離的最小值為求出，即可得出結(jié)果；若選②：可分為、兩種狀況進(jìn)行探討，通過雙曲線方程以及焦距為求出的值，即可得出結(jié)果；若選③：可分為、兩種狀況進(jìn)行探討，通過雙曲線方程以及上一點(diǎn)到兩焦點(diǎn)距離之差的肯定值為求出的值，即可得出結(jié)果.【詳解】選①：因?yàn)椋?，，，則，，因?yàn)榈挠抑想S意一點(diǎn)到左焦點(diǎn)的距離的最小值為，所以，解得，的方程為.選②：若，則，，，，因?yàn)榈慕咕酁?，所以，，的方程為；若，則，，，，因?yàn)榈慕咕酁?，所以，，的方程為，綜上所述，的方程為或.選③：若，則，，因?yàn)樯弦稽c(diǎn)到兩焦點(diǎn)距離之差的肯定值為，所以，，的方程為；若，則，，因?yàn)樯弦稽c(diǎn)到兩焦點(diǎn)距離之差的肯定值為，所以，，的方程為，綜上所述，的方程為或.18.已知集合且.（1）若“命題”是真命題，求m的取值范圍；（2）若是的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）先化簡集合，再依據(jù)P為真，由，且求解..（2）依據(jù)是的充分不必要條件，由B是A的真子集，且求解.【詳解】解得，則，（1），；由p為真，則，或或，.（2）因?yàn)槭堑某浞植槐匾獥l件，所以B是A的真子集，且所以，解得19.已知圓，動圓N與圓M外切，且與直線相切.（1）求動圓圓心N的軌跡C的方程；（2）過（1）中的軌跡C上的點(diǎn)作兩條直線分別與軌跡C相交于兩點(diǎn)，摸索究：當(dāng)直線的斜率存在且傾角互補(bǔ)時，直線的斜率是否為定值？若是，求出這個值，若不是，請說明理由.【答案】（1）；（2）為定值，1.【解析】【分析】（1）由題意分析點(diǎn)N的軌跡C為拋物線，寫出軌跡方程；（2）用“點(diǎn)差法”表示出，用“設(shè)而不求法”分別表示出，求出.【詳解】（1）設(shè)動圓N的半徑為，因動圓N與相切，所以點(diǎn)N到直線的距離.因動圓N與圓M相外切因?yàn)?，因?yàn)楸硎军c(diǎn)N到直線的距離，所以N到直線的距離等于N到的距離，由拋物線的定義可知，N的軌跡C為拋物線，C的方程為；（2）由題知，兩式相減得，所以，設(shè)直線的斜率為k，則直線的斜率為，所以，，則由得，所以同理，，故直線的斜率為定值1.【點(diǎn)睛】（1）求二次曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程通常用待定系數(shù)法、代入法、定義法等；（2）“中點(diǎn)弦”問題通常用“點(diǎn)差法”處理；（3）“設(shè)而不求”是一種在解析幾何中常見的解題方法，可以解決直線與二次曲線相交的問題.20.如圖，在四棱錐中，是邊長為2的正方形，平面分別為的中點(diǎn).（1）證明：平面；（2）若，求二面角的余弦值.【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】【分析】（1）記的中點(diǎn)為，連接，通過證明，且推出四邊形為平行四邊形，則，由線線平行推出線面平行；（2）以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，分別求出平面、平面的法向量，代入即可求得二面角的余弦值從而求余弦值.【詳解】（1）證明：記的中點(diǎn)為G，連接.因?yàn)榉謩e為的中點(diǎn)，則，且.因?yàn)椋?，所以，且，所以四邊形為平行四邊形，則.又平面平面，所以平面（2）以C為原點(diǎn)，分別以為x軸、y軸、z軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)平面的法向量，則令，則設(shè)平面的法向量為，則令，則，即二面角的余弦值為【點(diǎn)睛】本題的核心在考查空間向量的應(yīng)用，須要留意以下問題：(1)求解本題要留意兩點(diǎn)：一是兩平面的法向量的夾角不肯定是所求的二面角，二是利用方程思想進(jìn)行向量運(yùn)算，要仔細(xì)細(xì)心，精確計算．(2)設(shè)分別為平面α，β的法向量，則二面角θ與互補(bǔ)或相等.求解時肯定要留意結(jié)合實(shí)際圖形推斷所求角是銳角還是鈍角．21.如圖所示，圓C的圓心在直線上且與x軸正半軸相切，與y軸正半軸相交于兩點(diǎn)（點(diǎn)M在點(diǎn)N的下方），且.（1）求圓C的方程；（2）過點(diǎn)M隨意作一條直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，連接，摸索究與的關(guān)系，并給出證明.【答案】（1）；（2），證明見解析.【解析】【分析】（1）依據(jù)圓心在直線上，設(shè)圓心C的坐標(biāo)為，再由圓C與x軸正半軸相切，得到圓C的半徑，然后由求解.（2）先令求得M的坐標(biāo)，由軸時易得，當(dāng)與x軸不垂直，設(shè)直線的方程為，與橢圓方程聯(lián)立，結(jié)合韋達(dá)定理，論證即可.【詳解】（1）設(shè)圓心C的坐標(biāo)為，因?yàn)閳AC與x軸正半軸相切