八年級數學人教版（上冊）第1課時 等腰三角形的性質

13.3等腰三角形第十三章軸對稱第1課時等腰三角形的性質目錄頁講授新課當堂練習課堂小結新課導入新課導入教學目標教學重點學習重點學習難點了解等腰三角形的概念，掌握等腰三角形的性質理解并掌握等腰三角形的性質經歷等腰三角形的性質的探究過程，能初步運用等腰三角形的性質解決有關問題

學習目標新課導入情境引入新課導入新課導入新課導入定義及相關概念有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形.

等腰三角形中，相等的兩邊叫做腰，另一邊叫做底邊，兩腰的夾角叫做頂角，腰和底邊的夾角叫做底角.ACB腰腰底邊頂角底角底角講授新課典例精講歸納總結講授新課等腰三角形的性質剪一剪：把一張長方形的紙按圖中的紅線對折，并剪去陰影部分（一個直角三角形），再把得到的直角三角形展開，得到的三角形ABC有什么特點？互動探究講授新課ABCAB=AC等腰三角形講授新課折一折：△ABC是軸對稱圖形嗎？它的對稱軸是什么？ACDB折痕所在的直線是它的對稱軸.等腰三角形是軸對稱圖形.講授新課找一找：把剪出的等腰三角形ABC沿折痕對折，找出其中重合的線段和角.重合的線段重合的角

ACBDAB與AC

BD與CD

AD與AD∠B

與∠C.∠BAD

與∠CAD∠ADB與∠ADC

猜一猜：

由這些重合的角，你能發(fā)現等腰三角形的性質嗎？說一說你的猜想.講授新課ABC已知：△ABC中，AB=AC,求證：∠B=C.思考：如何構造兩個全等的三角形？猜想:等腰三角形的兩個底角相等如何證明兩個角相等呢？可以運用全等三角形的性質“對應角相等”來證講授新課已知：如圖，在△ABC中，AB=AC.求證：∠B=∠C.ABCD證明：作底邊的中線AD，則BD=CD.AB=AC(已知)，BD=CD(已作)，AD=AD(公共邊)，

∴△BAD≌△CAD(SSS).∴∠B=∠C(全等三角形的對應角相等).在△BAD和△CAD中方法一：作底邊上的中線還有其他的證法嗎？講授新課已知：如圖，在△ABC中，AB=AC.求證：∠B=∠C.ABCD證明：作頂角的平分線AD，則∠BAD=∠CAD.AB=AC(已知),∠BAD=∠CAD(已作),AD=AD(公共邊),∴△BAD≌△CAD(SAS).∴∠B=∠C(全等三角形的對應角相等).方法二：作頂角的平分線在△BAD和△CAD中講授新課想一想：由△BAD≌

△CAD，除了可以得到∠B=∠C之外，你還可以得到那些相等的線段和相等的角？和你的同伴交流一下，看看你有什么新的發(fā)現？

解：∵△BAD≌

△CAD，由全等三角形的性質易得BD=CD,∠ADB=∠ADC，∠BAD=∠CAD.又∵

∠ADB+∠ADC=180°，∴

∠ADB=∠ADC=

90°，即AD是等腰△ABC底邊BC上的中線、頂角∠BAC的角平分線、底邊BC上的高線.

ABCD講授新課性質1:等腰三角形的兩個底角相等(等邊對等角).ACB如圖,在△ABC中,∵AB=AC(已知),∴∠B=∠C(等邊對等角).證明后的結論,以后可以直接運用.總結歸納性質2:等腰三角形頂角的平分線、底邊上的中線及底邊上的高線互相重合(三線合一）.講授新課ACBD12∵AB=AC,∠1=∠2(已知)，∴BD=CD,AD⊥BC（等腰三角形三線合一）.∵AB=AC,BD=CD(已知)，∴∠1=∠2,AD⊥BC（等腰三角形三線合一）.∵AB=AC,AD⊥BC(已知)，∴BD=CD,∠1=∠2（等腰三角形三線合一）.綜上可得：如圖,在△ABC中,講授新課畫出任意一個等腰三角形的底角平分線、這個底角所對的腰上的中線和高，看看它們是否重合？不重合！三線合一為什么不一樣?講授新課1.等腰三角形的頂角一定是銳角.2.等腰三角形的底角可能是銳角或者直角、鈍角都可以.3.鈍角三角形不可能是等腰三角形.

4.等腰三角形的頂角平分線一定垂直底邊.5.等腰三角形的角平分線、中線和高互相重合.6.等腰三角形底邊上的中線一定平分頂角.（X）（X）（X）（X）（√）明辨是非（√）講授新課例題ABCD

如圖，在△ABC中，AB=AC，點D在AC上，且BD=BC=AD，求△ABC各角的度數.分析：（1）找出圖中所有相等的角；（2）指出圖中有幾個等腰三角形？∠A=∠ABD,∠C=∠BDC=∠ABC；△ABC,△ABD,△BCD.講授新課ABCDx⌒2x⌒2x⌒⌒2x（3）觀察∠BDC與∠A、∠ABD的關系，∠ABC、∠C呢？∠BDC=∠A+∠ABD=2∠A=2∠ABD,∠ABC=∠BDC=2∠A,∠C=∠BDC=2∠A.（4）設∠A=x°,請把△ABC的內角和用含x的式子表示出來.∵∠A+∠ABC+∠C=180°，∴x+2x+2x=180°,講授新課ABCD解：∵AB=AC，BD=BC=AD，∴∠ABC=∠C=∠BDC，∠A=∠ABD.設∠A=x,則∠BDC=∠A+∠ABD=2x,從而∠ABC=∠C=∠BDC=2x,于是在△ABC中，有∠A+∠ABC+∠C=x+2x+2x=180°，解得x=36°，在△ABC中，∠A=36°，∠ABC=∠C=72°.x⌒2x⌒2x⌒⌒2x

在含多個等腰三角形的圖形中求角時，常常利用方程思想，通過內角、外角之間的關系進行轉化求解.歸納講授新課例題

如圖，在△ABC中，AB=AD=DC，∠BAD=26°，求∠B和∠C的度數.解：∵AB=AD=DC∴∠B=∠ADB，∠C=∠DAC設∠C=x，則∠DAC=x，∠B=∠ADB=∠C+∠DAC=2x，在△ABC中，根據三角形內角和定理，得2x+x+26°+x=180°，解得x=38.5°.∴∠C=x=38.5°，

∠B=2x=77°.講授新課例題

等腰三角形的一個內角是50°，則這個三角形的底角的大小是(

)A．65°或50°B．80°或40°C．65°或80°D．50°或80°解析：當50°的角是底角時，三角形的底角就是50°；當50°的角是頂角時，兩底角相等，根據三角形的內角和定理易得底角是65°.故選A.A講授新課方法總結：等腰三角形的兩個底角相等，已知一個內角，則這個角可能是底角也可能是頂角，要分兩種情況討論．講授新課1.（1）等腰三角形一個底角為50°,它的另外兩個角為____________.（2）等腰三角形一個角為70°,它的另外兩個角為___________________.（3）等腰三角形一個角為120°,它的另外兩個角為________.50°,80°70°,40°或55°,55°30°,30°2.（1）等腰三角形的兩邊長為6和8，則此三角形的周長是_______.（2）等腰三角形的兩邊長為5和10，則此三角形的周長是_____.20或2225練一練講授新課例題

如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC邊上

的中線，∠ABC的平分線BG交AC于點G，交AD于點E，EF⊥AB，垂足為F.(1)若∠BAD＝25°，求∠C的度數；(2)求證：EF＝ED.講授新課(1)解：∵AB＝AC，AD是BC邊上的中線，

∴∠BAD＝∠CAD，∴∠BAC＝2∠BAD＝50°.∵AB＝AC，

∴∠C＝∠ABC

＝(180°－∠A)

＝(180°－50°)＝65°.(2)證明：∵AB＝AC，AD是BC邊上的中線，

∴ED⊥BC，

又∵BG平分∠ABC，EF⊥AB，

∴EF＝ED.講授新課例題

已知點D、E在△ABC的邊BC上，AB＝AC.(1)如圖①，若AD＝AE，求證：BD＝CE；(2)如圖②，若BD＝CE，F為DE的中點，求證：AF⊥BC.圖②圖①講授新課證明：(1)如圖①，過A作AG⊥BC于G.∵AB＝AC，AD＝AE，∴BG＝CG，DG＝EG，∴BG－DG＝CG－EG，∴BD＝CE；(2)∵BD＝CE，F為DE的中點，∴BD＋DF＝CE＋EF，∴BF＝CF.∵AB＝AC，∴AF⊥BC.圖②圖①G講授新課總

結(1)等腰三角形的“三線合一”的性質是證明角相等、

線段相等和垂直關系的既重要又簡便的方法；因

為題目的證明或計算所求結果大多都是單一的，

所以“三線合一”的性質的應用也是單一的，一

般得出一個結論，因此應用要靈活．(2)在等腰三角形中，作“三線”中“一線”，利用

“三線合一”是等腰三角形中常用的方法．當堂練習當堂反饋即學即用當堂練習2.如圖，在△ABC中，AB=AC，過點A作AD∥BC，若∠1=70°，則∠BAC的大小為（）A．40°B．30°C．70°D．50°A1.等腰三角形有一個角是90°，則另兩個角分別是（）A．30°，60°B．45°，45°C．45°，90°D．20°，70°B當堂練習3.如圖，在△ABC中，AB＝AC，D為BC的中點，∠BAD＝35°，則∠C的度數

為(

)A．35°B．45°C．55°D．60°C當堂練習4.如圖，在△ABC中，AB＝AC，點D是BC邊的中

點，點E在AD上，那么下列結論不一定正確的

是(

)A．AD⊥BC

B．∠EBC＝∠ECBC．∠ABE