八年級數學人教版（上冊）13.4 課題學習 最短路徑問題

13.4

課題學習最短路徑問題第十三章軸對稱目錄頁講授新課當堂練習課堂小結新課導入新課導入教學目標教學重點學習重點學習難點能利用軸對稱解決簡單的最短路徑問題能利用軸對稱解決簡單的最短路徑問題體會圖形的變化在解決最值問題中的作用，感悟轉化思想

學習目標新課導入溫故而知新1.如圖，連接A、B兩點的所有連線中，哪條最短？為什么？AB①②③②最短，因為兩點之間，線段最短2.如圖，點P是直線l外一點，點P與該直線l上各點連接的所有線段中，哪條最短？為什么？PlABCDPC最短，因為垂線段最短新課導入3.在我們前面的學習中，還有哪些涉及比較線段大小的基本事實？三角形三邊關系：兩邊之和大于第三邊；斜邊大于直角邊.4.如圖，如何做點A關于直線l的對稱點？AlA′講授新課典例精講歸納總結講授新課將軍飲馬問題“兩點的所有連線中，線段最短”“連接直線外一點與直線上各點的所有線段中，垂線段最短”等的問題，我們稱之為最短路徑問題.

現實生活中經常涉及到選擇最短路徑問題，本節(jié)將利用數學知識探究數學史的著名的“將軍飲馬問題”及“造橋選址問題”.AB①②③PlABCD講授新課

如圖，將軍從點A地出發(fā)，到一條筆直的河邊l飲馬，然后到B地，將軍到河邊的什么地方飲馬，可使所走的路徑最短？C抽象成ABl數學問題作圖問題：在直線l上求作一點C,使AC+BC最短問題.實際問題ABl講授新課問題1

現在假設點A,B分別是直線l異側的兩個點，如何在l上找到一個點，使得這個點到點A，點B的距離的和最短？AlBC根據是“兩點之間，線段最短”，可知這個交點即為所求.連接AB,與直線l相交于一點C.講授新課問題2

如果點A,B分別是直線l同側的兩個點，又應該如何解決？想一想：對于問題2，如何將點B“移”到l

的另一側B′處，滿足直線l

上的任意一點C，都保持CB與CB′的長度相等？ABl利用軸對稱，作出點B關于直線l的對稱點B′.講授新課方法揭曉作法：（1）作點B

關于直線l的對稱點B′；（2）連接AB′，與直線l

相交于點C．則點C即為所求．ABlB′C講授新課問題3你能用所學的知識證明AC+BC最短嗎？證明：如圖，在直線l上任取一點C′(與點C

不重合)，連接AC′，BC′，B′C′．由軸對稱的性質知，

BC=B′C，BC′=B′C′．∴

AC+BC=AC+B′C=AB′，

∴

AC′+BC′=AC′+B′C′．在△AB′C′中，AB′＜AC′+B′C′，∴AC+BC＜AC′+BC′．即

AC+BC

最短．ABlB′CC′講授新課

如圖，直線l是一條河，P、Q是兩個村莊.欲在l上的某處修建一個水泵站，向P、Q兩地供水，現有如下四種鋪設方案，圖中實線表示鋪設的管道，則所需要管道最短的是（）PQlAMPQlBMPQlCMPQlDMD例題講授新課

如圖，已知點D、點E分別是等邊三角形ABC中BC、AB邊的中點，AD=5，點F是AD邊上的動點，則BF+EF的最小值為（）A．7.5B．5C．4D．不能確定解析：△ABC為等邊三角形，點D是BC邊的中點，即點B與點C關于直線AD對稱.∵點F在AD上，故BF=CF.即BF+EF的最小值可轉化為求CF+EF的最小值，故連接CE即可，線段CE的長即為BF+EF的最小值.B例題講授新課方法總結：此類求線段和的最小值問題，找準對稱點是關鍵，而后將求線段長的和轉化為求某一線段的長，而再根據已知條件求解.講授新課

如圖，在直角坐標系中，點A，B的坐標分別為（1，4）和（3，0），點C是y軸上的一個動點，且A，B，C三點不在同一條直線上，當△ABC的周長最小時點C的坐標是（）A．（0，3）B．（0，2）C．（0，1）D．（0，0）解析：作B點關于y軸對稱點B′，連接AB′，交y軸于點C′，此時△ABC的周長最小，然后依據點A與點B′的坐標可得到BE、AE的長，然后證明△B′C′O為等腰直角三角形即可．B′C′EA例題講授新課方法總結：求三角形周長的最小值，先確定動點所在的直線和固定點，而后作某一固定點關于動點所在直線的對稱點，而后將其與另一固定點連線，連線與動點所在直線的交點即為三角形周長最小時動點的位置.講授新課

如圖，A和B兩地在一條河的兩岸，現要在河上造一座橋MN.橋造在何處可使從A到B的路徑AMNB最短（假定河的兩岸是平行的直線，橋要與河垂直）？BAABNM造橋選址問題講授新課BA

?NMNMNM折移

如圖假定任選位置造橋MN，連接AM和BN，從A到B的路徑是AM+MN+BN，那么怎樣確定什么情況下最短呢？講授新課我們能否在不改變AM+MN+BN的前提下把橋轉化到一側呢？什么圖形變換能幫助我們呢？思維火花各抒己見1.把A平移到岸邊.2.把B平移到岸邊.3.把橋平移到和A相連.4.把橋平移到和B相連.BAＭＮ講授新課BAＭＮA'B'1.把A平移到岸邊.AM+MN+BN長度改變了2.把B平移到岸邊.AM+MN+BN長度改變了講授新課BAＭＮ3.把橋平移到和A相連.4.把橋平移到和B相連.AM+MN+BN長度有沒有改變呢？講授新課問題解決BAA1MN如圖，平移A到A1，使AA1等于河寬，連接A1B交河岸于N作橋MN，此時路徑AM+MN+BN最短.理由:另任作橋M1N１，連接AM１，BN１，A１N１.Ｎ１Ｍ１由平移性質可知，AM＝A１N，AA１＝MN＝M１N１，AM１＝A１N１.AM+MN+BN轉化為ＡＡ１＋Ａ１Ｂ，而ＡＭ１＋Ｍ１Ｎ１＋ＢＮ１轉化為ＡＡ１＋Ａ１Ｎ１＋ＢＮ１.在△A１N１B中，因為A1N1+BN1＞A1B.因此ＡＭ１＋Ｍ１Ｎ１＋ＢＮ１＞AM+MN+BN.講授新課A·BMNECD證明：由平移的性質，得BN∥EM

且BN=EM,MN=CD,BD∥CE,BD=CE,所以A到B的路徑長為AM+MN+BN=AM+MN+EM=AE+MN,若橋的位置建在CD處，連接AC,CD,DB,CE,則A到B的路徑長為AC+CD+DB=AC+CD+CE=AC+CE+MN,在△ACE中，∵AC+CE＞AE,∴AC+CE+MN＞AE+MN,即AC+CD+DB

＞AM+MN+BN，所以橋的位置建在MN處，A到B的路徑最短.講授新課方法歸納解決最短路徑問題的方法

在解決最短路徑問題時，我們通常利用軸對稱、平移等變換把未知問題轉化為已解決的問題，從而作出最短路徑的選擇.當堂練習當堂反饋即學即用當堂練習1.如圖，直線m同側有A、B兩點，A、A′關于直線m對稱，A、B關于直線n對稱，直線m與A′B和n分別交于P、Q，下面的說法正確的是（）A．P是m上到A、B距離之和最短的點，Q是m上到A、B距離相等的點B．Q是m上到A、B距離之和最短的點，P是m上到A、B距離相等的點C．P、Q都是m上到A、B距離之和最短的點D．P、Q都是m上到A、B距離相等的點A當堂練習2.如圖，∠AOB=30°，∠AOB內有一定點P，且OP=10．在OA上有一點Q，OB上有一點R．若△PQR周長最小，則最小周長是（）A．10B．15C．20D．30A當堂練習3.如圖，牧童在A處放馬，其家在B處，A、B到河岸的距離分別為AC和BD，且AC=BD,若點A到河岸CD的中點的距離為500米，則牧童從A處把馬牽到河邊飲水再回家，所走的最短距離是

米.ACBD河1000當堂練習4.如圖，邊長為1的正方形組成的網格中，△AOB的頂點均在格點上，點A、B的坐標分別是A（3，2），B（1，3）．點P在x軸上，當PA+PB的值最小時，在圖中畫出點P．xyOBAB'P當堂練習5.如圖，荊州古城河在CC′處直角轉彎，河寬相同，從A處到B處，須經兩座橋：DD′,EE′（橋寬不計），設護城河以及兩座橋都是東西、南北方向的，怎樣架橋可使ADD′E′EB的路程最短？ADD′CC′EE′B當堂練習解：作AF⊥CD,且AF=河寬，作BG⊥CE，且BG=河寬，連接GF,與河岸相交于E′,D′.作DD′,EE′即為橋.理由：由作圖法可知，AF//DD′，AF=DD′，則四邊形AFD′D為平行四邊形，于是AD=FD′,同理，BE=GE′，由兩點之間線段最短可知，GF最小.AD′CC′EE′BFGD當堂練習6.（1）如圖①，在AB直線一側C、D兩點，在AB上找一點P，使C、D、P三點組成的三角形的周長最短，找出此點并說明理由．（2）如圖②，在∠AOB內部有一點P，是否在OA、OB上分別存在點E、F，使得E、F、P三點組成的三角形的周長最短，找出E、F兩點，并說明理由．（3）如圖③，在∠AOB內部有兩點M、N，是否在OA、OB上分別存在點E、F，使得E、F、M、N，四點組成的四邊形的周長最短，找出E、F兩點，并說明理由．ABCDPOA