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第十二章全等三角形12.1全等三角形新課導(dǎo)入教學(xué)目標(biāo)教學(xué)重點學(xué)習(xí)目標(biāo)1.理解并掌握全等三角形的概念及其基本性質(zhì).(重點)2.能找準(zhǔn)全等三角形的對應(yīng)邊,理解全等三角形的對應(yīng)角相等.(難點)3.能進行簡單的推理和計算,并解決一些實際問題.(難點)新課導(dǎo)入下列各組圖形的形狀與大小有什么特點?(1)(2)(3)(4)(5)觀察與思考講授新課典例精講歸納總結(jié)講授新課1全等圖形的定義及性質(zhì)問題1:觀察思考:每組中的兩個圖形有什么特點?問題2:觀察思考:每組中的兩個圖形有什么特點?①②③
④⑤
講授新課全等圖形定義:
形狀、大小相同的圖形放在一起能夠完全重合.能夠完全重合的兩個圖形叫做全等形.
一個圖形經(jīng)過平移,翻折,旋轉(zhuǎn)后,位置變化了,但___和___都沒有改變,即平移,翻折,旋轉(zhuǎn)前后的圖形___________.完全重合形狀大小全等形性質(zhì):如果兩個圖形全等,它們的形狀和大小一定都相等.歸納總結(jié)例1
下列圖中是全等形是
.
導(dǎo)引:上述圖形中,⑤和⑦形狀相同,但大小不同,⑥和⑩大小、形狀都不同;①和⑨、②和③、?和?盡管方向不同,但大小、形狀完全相同,∴它們是全等形,④和⑧都是五角星,大小、形狀都相同,是全等形.①和⑨、②和③、④和⑧、?和?總結(jié)(1)此題運用定義識別全等形,確定兩個圖形全等要
符合兩個條件:①形狀相同,②大小相等;是否
是全等形與位置無關(guān).(2)判斷兩個全等形還可以通過平移、旋轉(zhuǎn)、翻折等
方法把兩個圖形疊合在一起,看它們能否完全重
合,即用疊合法判斷.全等三角形及對應(yīng)元素2能夠完全重合的兩個三角形,叫做____________.ABCEDF記作:△ABC≌△DEF讀作:△ABC全等于△DEF互相重合的頂點叫對應(yīng)頂點.互相重合的邊叫對應(yīng)邊.互相重合的角叫對應(yīng)角.全等三角形點A與點D、點B與點E、點C與點F重合,稱為對應(yīng)頂點;邊AB與DE、邊BC與EF、邊AC與DF重合,稱為對應(yīng)邊;∠A與∠D、∠B與∠E、∠C與∠F重合,稱為對應(yīng)角.ABCEDFAACBDEABDCABCDBCNMFE思考:把一個三角形平移、旋轉(zhuǎn)、翻折,變換前后的兩個三角形全等嗎?
一個圖形經(jīng)過平移、翻折、旋轉(zhuǎn)后,_____變化了,但______和______都沒有改變,即平移、翻折、旋轉(zhuǎn)前后的兩個圖形________.形狀大小全等位置全等變化歸納總結(jié)△ABC≌△FDEA
BCEDF注意:記兩個三角形全等時,通常把表示對應(yīng)頂點的字母寫在對應(yīng)的位置上.全等的表示方法“全等”用符號“≌”表示,讀作“全等于”.
如圖,已知△ABD≌△CDB,∠ABD=∠CDB,
寫出其對應(yīng)邊和對應(yīng)角.
導(dǎo)引:在△ABD和△CDB中,∠ABD=∠CDB,則∠ABD,∠CDB所對的邊AD與CB是對應(yīng)邊,公共邊BD與DB
是對應(yīng)邊,余下的一對邊AB與CD是對應(yīng)邊.由對應(yīng)邊所對的角是對應(yīng)角可確定其他兩組對應(yīng)角.
解:BD與DB,AD與CB,AB與CD是對應(yīng)邊;∠A與∠C,∠ABD與∠CDB,∠ADB與∠CBD是對應(yīng)角.例2ADFCEB12ABDC1423EABCF1234找一找下列全等圖形的對應(yīng)元素?ABCDF對應(yīng)元素的確定方法:(1)字母順序確定法:根據(jù)書寫規(guī)范,按照對應(yīng)頂點確定對應(yīng)邊、對應(yīng)角,如△CAB≌△FDE,則AB與DE、AC與DF、BC與EF是對應(yīng)邊,∠A和∠D、∠B和∠E、∠C和∠F是對應(yīng)角;(2)圖形位置確定法:①公共邊一定是對應(yīng)邊,②公共角一定是對應(yīng)角;③對頂角一定是對應(yīng)角;(3)圖形大小確定法:兩個全等三角形的最大的邊(角)是對應(yīng)邊(角),最小的邊(角)是對應(yīng)邊(角).歸納總結(jié)全等三角形的性質(zhì)3圖中,△ABC≌△DEF,對應(yīng)邊有什么關(guān)系?對應(yīng)角有什么關(guān)系?還具備:全等三角形對應(yīng)邊上的中線相等,對應(yīng)邊上的高相等,對應(yīng)角平分線相等;全等三角形的周長相等、面積也相等.全等三角形的對應(yīng)邊相等,全等三角形的對應(yīng)角相等。全等三角形的性質(zhì)
如圖,已知點A,D,B,F(xiàn)在同一條直線上,△ABC≌△FDE,AB=8cm,BD=6cm.求FB的長.例3導(dǎo)引:由全等三角形的性質(zhì)知AB=FD,由等式的性質(zhì)可得AD=FB,∴要求FB的長,只需求AD的長.解:∵△ABC≌△FDE,∴AB=FD.∴AB-DB=FD-DB,即AD=FB.∵AB=8cm,BD=6cm,∴AD=AB-DB=8-6=2(cm).∴FB=AD=2cm.在應(yīng)用全等三角形性質(zhì)時,要先確定兩個條件:①兩個三角形全等;②找對應(yīng)元素;全等三角形的性質(zhì)是證明線段、角相等的常用方法.總結(jié)∵△ABC≌△FDE∴AB=FD,AC=FE,BC=DE(全等三角形對應(yīng)邊相等)∠A=∠F,∠B=∠D,∠C=∠E(全等三角形對應(yīng)角相等)A
BCEDF全等三角形的性質(zhì)的幾何語言
如圖,△ABC與△ADC全等,請用數(shù)學(xué)符號表示出這兩個三角形全等,并寫出相等的邊和角.解:△ABC≌△ADC;相等的邊為:AB=AD,AC=AC,BC=DC;相等的角為:∠BAC=∠DAC,∠B=∠D,∠ACB=∠ACD.例4
如圖,△ABC≌△DEF,∠A=70°,∠B=50°,BF=4,EF=7,求∠DEF的度數(shù)和CF的長.解:∵△ABC≌△DEF,∠A=70°,∠B=50°,BF=4,EF=7,∴∠DEF=∠B=50°,BC=EF=7.∴CF=BC-BF=7-4=3.例5
如圖,△EFG≌△NMH,EF=2.1cm,EH=1.1cm,NH=3.3cm.(1)試寫出兩三角形的對應(yīng)邊、對應(yīng)角;解:(1)對應(yīng)邊有EF和NM,F(xiàn)G和MH,EG和NH;對應(yīng)角有∠E和∠N,∠F和∠M,∠EGF和∠NHM.例6(2)求線段NM及HG的長度;
(3)觀察圖形中對應(yīng)線段的數(shù)量或位置關(guān)系,試提出一個正確的結(jié)論并證明.解:∵△EFG≌△NMH,∴NM=EF=2.1cm,
EG=NH=3.3cm.∴HG=EG–EH=3.3-1.1=2.2(cm).解:結(jié)論:EF∥NM證明:∵△EFG≌△NMH,∴∠E=∠N.
∴EF∥NM.想一想:你還能得出其他結(jié)論嗎?當(dāng)堂練習(xí)當(dāng)堂反饋即學(xué)即用當(dāng)堂練習(xí)1、下列四組圖形中,是全等圖形的一組是(
)D2、如圖,有6個條形方格圖,圖中由實線圍成的圖形中,全等形有:(1)與________;(2)與_________.(6)(3)(5)當(dāng)堂練習(xí)3、如圖,△ABC≌△BAD,(1)如果AB=5cm,BD=4cm,AD=6cm,那么BC的長是()A.6cmB.5cmC.4cmD.無法確定(2)∠CAB的對應(yīng)角是()A.∠DAB
B.∠DBAC.∠DBCD.∠CADAOCDBAB當(dāng)堂練習(xí)4、若△ABC與△DEF全等,點A和點E,點B和點D
分別是對應(yīng)點,則下列結(jié)論錯誤的是(
)A.BC=EFB.∠B=∠DC.∠C=∠FD.AC=EF5、如圖,△ABC≌△ADE,若∠D=∠B,∠C=∠AED,則∠DAE=
;∠DAB=
.∠BAC∠EACABCDE
A當(dāng)堂練習(xí)6、如圖,△ABC≌△AED,AB是△ABC的最大邊,AE是△AED的最大邊,∠BAC
與∠EAD是對應(yīng)角,且∠BAC=25°,∠B=35°,AB=3cm,BC=1cm,求出∠E,∠ADE的度數(shù)和線段DE,AE的長度.BCEDA解:∵△ABC≌△AED,(已知)∴∠E=∠B=35°,(全等三角形對應(yīng)角相等)∠ADE=∠ACB=180°-25°-35°
=120°,
(全等三角形對應(yīng)角相等)DE=BC=1c
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