專題3.8 軸對稱與坐標(biāo)變化（專項練習(xí)）（培優(yōu)練）-2024-2025學(xué)年八年級數(shù)學(xué)上冊基礎(chǔ)知識專項突破講與練（北師大版）

試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁專題3.8軸對稱與坐標(biāo)變化（專項練習(xí)）（培優(yōu)練）一、單選題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）1．（23-24八年級上·山東棗莊·期中）如果點和點關(guān)于直線（平行于y軸的直線，直線上的每個點的橫坐標(biāo)都是1）對稱，則的值是（）A． B．1 C． D．52．（22-23八年級上·甘肅平?jīng)觥て谥校┮阎c與點關(guān)于y軸對稱，則的值為（

）A． B．5 C．2 D．33．（23-24八年級上·陜西寶雞·期中）已知在平面直角坐標(biāo)系中，點與點關(guān)于軸對稱，則的值為（精確到）（）A． B． C． D．4．（24-25八年級上·全國·課后作業(yè)）已知點P的坐標(biāo)是，過點P作x軸的垂線l，則點關(guān)于直線l對稱的點N的坐標(biāo)是（）A． B． C． D．5．（22-23八年級上·貴州黔西·期末）如圖，已知正方形，頂點，，，規(guī)定“把正方形先沿軸翻折，再向左平移個單位”為一次變換，如此這樣，連續(xù)經(jīng)過次變換后，正方形的對角線交點的坐標(biāo)變?yōu)椋?/p>

）A． B． C． D．6．（23-24八年級上·河南鄭州·期末）下列說法正確的是（

）A．點在x軸上 B．點關(guān)于x軸對稱的點是C．點在第四象限 D．點到y(tǒng)軸的距離是37．（23-24七年級上·山東煙臺·期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)中，，，平分，點關(guān)于x軸的對稱點是（

）A． B． C． D．8．（22-23八年級上·陜西漢中·期末）已知在平面直角坐標(biāo)系中，點的坐標(biāo)為，點與點分別是直線及軸上的動點，則周長的最小值為（

）A．6 B．8 C．10 D．9．（22-23八年級上·全國·期末）如圖，已知正六邊形的邊長為2，，分別是和的中點，是上的動點，連接，，則的值最小時，與的夾角（銳角）度數(shù)為（

）A． B． C． D．10．（23-24七年級下·福建三明·期末）如圖，長方形，E是的中點，點F在AD上，且，，G是的中點，H為上的動點，連接，，若，，則周長的最小值是（

）A． B． C． D．二、填空題（本大題共8小題，每小題4分，共32分）11．（23-24八年級上·四川達(dá)州·期末）若點在軸上，則點關(guān)于軸對稱的點為．12．（23-24八年級上·浙江寧波·期中）在平面直角坐標(biāo)系中，將點向右平移個單位長度得到點，則點關(guān)于軸的對稱點的坐標(biāo)是．13．（23-24八年級上·內(nèi)蒙古呼和浩特·期中）課間，頑皮的小剛拿著老師的等腰直角三角板放在黑板上畫好了的平面直角坐標(biāo)系內(nèi)（如圖），已知直角頂點的坐標(biāo)為，另一個頂點的坐標(biāo)為，則點關(guān)于軸對稱點的坐標(biāo)為．14．（2021·山東濟(jì)寧·一模）如圖，在△ABC中，點A的坐標(biāo)為（﹣1，1），點B的坐標(biāo)為（3，1），點C的坐標(biāo)為（﹣2，3），如果要使以A，B，D為頂點的三角形與△ABC全等（點D不與點C重合），那么點D的坐標(biāo)是．15．（23-24八年級下·云南昭通·期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，，是直線上的兩點，點P是x軸上的一個動點，則的最小值為．16．（21-22九年級下·上?！ぷ灾髡猩┤鐖D，在平面直角坐標(biāo)系中，、，動點在直線上，動點在軸上，則的最小值為．17．（22-23八年級上·四川達(dá)州·期末）在平面直角坐標(biāo)系中，對進(jìn)行循環(huán)往復(fù)的軸對稱變換，若原來點的坐標(biāo)是則經(jīng)過第2022次變換后所得的點的坐標(biāo)是．

18．（22-23七年級下·重慶九龍坡·期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點，點，點的坐標(biāo)分別是，，，點與點關(guān)于軸對稱，順次連接，，，四點得到四邊形，點是四邊形邊上的一個動點，連接，若將四邊形的面積分為1：4的兩部分，則點的坐標(biāo)為．

三、解答題（本大題共6小題，共58分）19．（8分）（23-24八年級上·四川達(dá)州·期末）如圖的平面直角坐標(biāo)系中：（每個小正方形的邊長為單位“1”）．（1）請畫出關(guān)于x軸對稱的圖形，其中點A，B，C的對稱點分別為點、、．（2）請寫出：點A關(guān)于y軸對稱的點的坐標(biāo)________；點B關(guān)于y軸對稱的點的坐標(biāo)________；點C關(guān)于y軸對稱的點的坐標(biāo)________；（3）試計算：的周長．20．（8分）（23-24八年級上·全國·單元測試）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線經(jīng)過和B?2,0兩點．（1）在同一坐標(biāo)系中描出點，直接寫出點關(guān)于軸的對稱點的坐標(biāo)______；（2）點在坐標(biāo)軸上，且與全等，則點的坐標(biāo)為______；（3）若已知點，則的面積為______．21．（10分）（23-24七年級下·天津河西·期末）在平面直角坐標(biāo)系中有A，B，C，D四點，其中，其中．（1）當(dāng)時，①在圖中描出A，B，C，D，再連接，，，，；②直接寫出線段的長度__________；的長度__________；③求出四邊形的面積；（2）若有點，且，使得四邊形的面積是四邊形面積的，求點M的坐標(biāo)．22．（10分）（22-23七年級上·山東淄博·階段練習(xí)）如圖，，點M，N分別是邊，上的定點，點P，Q分別是邊、上的動點．

（1）畫圖說明，當(dāng)最小時，找出P和Q的位置．（2）記，，當(dāng)最小時，求的值．23．（10分）（22-23八年級上·浙江湖州·階段練習(xí)）（1）呈現(xiàn)：如圖1，等腰直角三角形的直角頂點在直線上，分別過點作于，于，則有．請你證明這個結(jié)論；（2）應(yīng)用：如圖2，已知，，把線段繞點順時針方向旋轉(zhuǎn)后得到線段，求點的坐標(biāo)；（3）拓展：如圖3，直線直線，垂足為，點A是直線上一定點，且，點在直線上運動，以為邊作等腰，（點呈順時針排列），當(dāng)點在直線上運動時，點也隨之運動．在點的運動過程中，的最小值為______．

24．（12分）（22-23八年級下·江蘇鹽城·階段練習(xí)）“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河”．這里包含了一個有趣的數(shù)學(xué)問題，通常稱之為“將軍飲馬”．【問題描述】如圖，在直線上找一點使得最??？【問題解決】作點關(guān)于直線的對稱點，連接，則，所以，當(dāng)三點共線的時候，，此時為最小值（兩點之間線段最短）【應(yīng)用模型】（1）如圖，在中，，，點在邊上，且，點為的中點，點為邊上的動點，當(dāng)點在上移動時，求使四邊形周長最小的點的坐標(biāo)？（2）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形的頂點在原點，點在坐標(biāo)軸上，點的坐標(biāo)為，為的中點，點為邊上兩個動點，且，要使四邊形的周長最小，求點的坐標(biāo)？（3）如圖，矩形中，，，點分別在矩形各邊上，且，，求四邊形周長的最小值？【拓展延伸】如圖，已知正比例函數(shù)的圖象與軸相交所成的銳角為，定點的坐標(biāo)為0,4，為軸上的一個動點，為函數(shù)的圖象上的兩個動點，則的最小值為____________．參考答案：1．A【分析】本題考查軸對稱的坐標(biāo)變換，掌握關(guān)于平行于y軸的直線對稱點的坐標(biāo)變換規(guī)律是解題的關(guān)鍵．根據(jù)軸對稱的性質(zhì)可得關(guān)于直線對稱的兩點，到直線的距離相等，縱坐標(biāo)相等．據(jù)此得到，，即可求得a、b值，即可求解．【詳解】解：∵點和點關(guān)于直線對稱，∴，，解得：，∴，故選：A．2．B【分析】本題考查對稱的坐標(biāo)特點，以及代數(shù)式求值，根據(jù)點與點關(guān)于y軸對稱，可知點與點橫坐標(biāo)相反，縱坐標(biāo)相同，進(jìn)而得到、的值，即可算出的值．【詳解】解：點與點關(guān)于y軸對稱，，，，故選：B．3．D【分析】此題主要考查了關(guān)于軸對稱點的性質(zhì)，正確得出，的值是解題關(guān)鍵．直接利用關(guān)于軸對稱點的性質(zhì)得出，的值，進(jìn)而求出答案．【詳解】解：點與點關(guān)于軸對稱，，，解得：，，則．故選：D．4．B【分析】本題考查了關(guān)于坐標(biāo)與圖形變化對稱，利用軸對稱的性質(zhì)求解是解題的關(guān)鍵．利用關(guān)于直線對稱的點的坐標(biāo)特征即可求解．【詳解】解：如圖：點的坐標(biāo)為，過點作軸的垂線1，直線為，點，點、點關(guān)于直線對稱，．故選：B．5．C【分析】本題考查翻折變換，坐標(biāo)與圖形變化對稱，坐標(biāo)與圖形變化平移，關(guān)鍵是能發(fā)現(xiàn)圖形變換的規(guī)律．由題目規(guī)定“把正方形先沿軸翻折，再向左平移1個單位長度”為一次變換，得到正方形連續(xù)經(jīng)過2022次變換后，橫坐標(biāo)是，翻折偶數(shù)次后縱坐標(biāo)是2，即可得到變換后的的坐標(biāo)．【詳解】解：由題意知正方形的邊長是2，是正方形對角線的交點，可得的坐標(biāo)是，正方形連續(xù)經(jīng)過2023次變換后，向左平移2023個單位長度，正方形連續(xù)經(jīng)過2023次變換后，橫坐標(biāo)是，翻折一次后縱坐標(biāo)是，翻折二次后縱坐標(biāo)是2，翻折三次后縱坐標(biāo)是，翻折四次后縱坐標(biāo)是2，翻折奇數(shù)次后縱坐標(biāo)是，正方形連續(xù)經(jīng)過2023次變換后，縱坐標(biāo)是，連續(xù)經(jīng)過2023次變換后，正方形的對角線交點的坐標(biāo)變?yōu)椋蔬x：C6．B【分析】本題考查平面直角坐標(biāo)系中點的坐標(biāo)特點，關(guān)于坐標(biāo)軸對稱的點的坐標(biāo)變化．分別根據(jù)坐標(biāo)系中點的坐標(biāo)特點判斷選項A、C、D，根據(jù)關(guān)于坐標(biāo)軸對稱的點的坐標(biāo)變化判斷選項B．【詳解】A選項：點在y軸上，故本選項錯誤；B選項：點關(guān)于x軸對稱的點是，故本選項正確；C選項：點在第二象限，故本選項錯誤；D選項：點到y(tǒng)軸的距離是2，故本選項錯誤．故選：B7．C【分析】本題考查角平分線，全等三角形的判定和性質(zhì)，關(guān)于x軸對稱的點坐標(biāo)的特征．作輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．過B點作軸于點，則，即，可求B點坐標(biāo)，最后求出關(guān)于軸的對稱點的坐標(biāo)即可．【詳解】解：如圖，過B點作軸于點，則，∴，∵平分，∴，又∵，∴∴，∴，即，，∴，∴關(guān)于軸的對稱點的坐標(biāo)為，故選：C．8．D【分析】本題考查了軸對稱的性質(zhì)、勾股定理，作點關(guān)于軸的對稱點，關(guān)于直線的對稱點，連接，交直線于點，交軸于點，則，，當(dāng)點、、、在同一直線上時，的周長最小，最小值為的長，根據(jù)點，可知點在直線上運動，據(jù)此解答即可，熟練掌握以上知識點并靈活運用是解此題的關(guān)鍵．【詳解】解：如圖，作點關(guān)于軸的對稱點，關(guān)于直線的對稱點，連接，交直線于點，交軸于點，，則，，的周長，當(dāng)點、、、在同一直線上時，的周長最小，周長的最小值為的長，點，點在直線上運動，令直線于軸交于點，交軸于，連接，在中，當(dāng)時，，當(dāng)時，，解得，，，，是等腰直角三角形，，由軸對稱的性質(zhì)可得：，，，，，，，，，，，故選：D．9．C【分析】連接，，交于點，連接，首先證明當(dāng)點與點重合時，的最小值，利用等腰三角形的性質(zhì)求出即可解決問題．【詳解】解：如圖，連接，，交于點，連接．正六邊形中，，分別是和的中點，所在直線是正六邊形的對稱軸，，，，當(dāng)點與點重合時，的值最小，，，，，，故選：C．【點撥】本題考查正多邊形與軸對稱的最短問題等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會利用三角形的性質(zhì)以及三邊關(guān)系解決最短問題，屬于中考?？碱}型．10．D【分析】本題考查了軸對稱的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形三邊關(guān)系，解決問題的關(guān)鍵是作輔助線，利用兩邊之和大于第三邊解決問題；取的中點M，連接、，可得首先證明和得，根據(jù)，當(dāng)E，H，M三點共線時，的值最小，再根據(jù)G是的中點，M是的中點，得，即可得出周長的最小值。【詳解】取的中點M，連接、，在和中，，在和中，，,，四邊形是長方形，E是的中點，M是的中點，四邊形是長方形，，.，當(dāng)E，H，M三點共線時，的值最小，最小值為，G是的中點，M是的中點，，,周長的最小值是，故選：D.11．【分析】本題考查了關(guān)于x軸、y軸對稱點的坐標(biāo)，解決本題的關(guān)鍵是掌握好對稱點的坐標(biāo)規(guī)律：（1）關(guān)于x軸對稱的點，橫坐標(biāo)相同，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)；（2）關(guān)于y軸對稱的點，縱坐標(biāo)相同，橫坐標(biāo)互為相反數(shù)；（3）關(guān)于原點對稱的點，橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)都互為相反數(shù)．根據(jù)x軸上的點的縱坐標(biāo)為0列式求出m的值，從而求得點A的坐標(biāo)，再根據(jù)“關(guān)于x軸對稱的點，橫坐標(biāo)相同，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)”解答．【詳解】解：∵點在x軸上，∴，解得，∴，，∴點A的坐標(biāo)為，∴點A關(guān)于x軸對稱的點為．故答案為：．12．【分析】本題主要考查了點的平移和關(guān)于軸的對稱點的坐標(biāo)特點，首先根據(jù)橫坐標(biāo)右移加，左移減可得點坐標(biāo)，然后再關(guān)于軸對稱點的坐標(biāo)特點：橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，縱坐標(biāo)不變可得答案．【詳解】解：點向右平移個單位長度得到的的坐標(biāo)為，即，則點關(guān)于軸的對稱點的坐標(biāo)是：．故答案為：．13．【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，關(guān)于軸對稱點的坐標(biāo)特征，掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．根據(jù)余角的性質(zhì)，得到，根據(jù)全等三角形的判定與性質(zhì)，得到，，由此得到答案．【詳解】如圖，作軸，軸，，，，又，，在和中，，，，，，，點關(guān)于軸對稱點的坐標(biāo)為：．故答案為：．14．（﹣2，﹣1）或（4，3）或（4，﹣1）【分析】分三種情況畫圖，即可分別求得．【詳解】符合題意的有3個，如圖，∵點A、B、C坐標(biāo)為（﹣1，1），（3，1），（﹣2，3），∴D1的坐標(biāo)是（﹣2，﹣1），D2的坐標(biāo)是（4，3），D3的坐標(biāo)是（4，﹣1），故答案為：（﹣2，﹣1）或（4，3）或（4，﹣1）．【點撥】本題考查了全等三角形的性質(zhì)和畫法，分類討論是解決本題的關(guān)鍵．15．【分析】本題考查了線段和最小值問題，兩點間連線段最短，點關(guān)于坐標(biāo)軸對稱，勾股定理；作關(guān)于軸的對稱點，連接交軸于，此時取得最小值，，由勾股定理即可求解；利用兩點間連線段最短找出取得最小值的條件是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：作關(guān)于軸的對稱點，連接交軸于，由對稱得：，，此時取得最小值，，，故答案：．16．【分析】作點關(guān)于軸的對稱點，作A點關(guān)于直線的對稱點，連接交軸于點，交直線于點P，連接，根據(jù)軸對稱的性質(zhì)和由兩點之間線段最短可知此時最短，最小值，由勾股定理求出，即可求解．【詳解】解：作點關(guān)于軸的對稱點，作A點關(guān)于直線的對稱點，連接交軸于點，交直線于點P，連接，如圖，∵點關(guān)于軸的對稱點，∴，，∵A點關(guān)于直線的對稱點，，∴，，∴，此時，值最小，最小值，∵，，∴．∴最小值為．故答案為：．【點撥】本題主要考查的是最短線路問題，勾股定理，熟知利用軸對稱求最短距離、兩點之間線段最短是解答此題的關(guān)鍵．17．【分析】觀察圖形可知每四次對稱為一個循環(huán)組依次循環(huán)，用除以，然后根據(jù)商和余數(shù)的情況確定出變換后的點所在的象限，然后解答即可．【詳解】解：∵點第一次關(guān)于軸對稱后在第四象限，坐標(biāo)為點第二次關(guān)于軸對稱后在第三象限，坐標(biāo)為點第三次關(guān)于軸對稱后在第二象限，坐標(biāo)為點第四次關(guān)于軸對稱后在第一象限，即點回到原始位置，坐標(biāo)為∴每四次對稱為一個循環(huán)組依次循環(huán)，∵，∴經(jīng)過第2022次變換后所得的點與第二次變換的位置相同，在第三象限．故答案為：．【點撥】本題考查了軸對稱的性質(zhì)，點的坐標(biāo)變換規(guī)律，讀懂題目信息，觀察出每四次對稱為一個循環(huán)組依次循環(huán)是解題的關(guān)鍵，也是本題的難點．18．或【分析】先根據(jù)各坐標(biāo)求出四邊形的面積，再分情況討論當(dāng)點在上和上的點坐標(biāo)．【詳解】解：作于，點與點關(guān)于軸對稱，點，點坐標(biāo)為，點，點的坐標(biāo)分別是，，，，，，，，，如圖1，當(dāng)點在上時，，，，，，點坐標(biāo)為：，；

如圖2，當(dāng)點在上時，，，，，，點坐標(biāo)為：

綜上，點坐標(biāo)為或，故答案為：或．【點撥】本題考查了坐標(biāo)系中圖形的面積的求法，分情況討論點的位置是解題關(guān)鍵．19．(1)見解析(2)，，；(3)【分析】本題主要考查了坐標(biāo)與圖形變化——軸對稱，勾股定理，熟知關(guān)于坐標(biāo)軸對稱的點的坐標(biāo)特點是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)關(guān)于y軸對稱的點橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，縱坐標(biāo)相同，先找到點，，的對稱點的位置，然后順次連接即可；（2）根據(jù)關(guān)于x軸對稱的點橫坐標(biāo)相同，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)進(jìn)行求解即可；（3）利用勾股定理求出三邊的長即可得到答案．【詳解】（1）解：如圖所示，即為所求；（2）解：點關(guān)于軸對稱的點的坐標(biāo)為?1,1；點關(guān)于軸對稱的點的坐標(biāo)為?3,2；點關(guān)于軸對稱的點的坐標(biāo)；故答案為：?1,1，?3,2，；（3）解：∵，∴，，，∴的周長．所以的周長20．(1)圖見解析，(2)或(3)4【分析】本題考查軸對稱的性質(zhì)，坐標(biāo)與圖象的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，學(xué)會用分類討論的思想思考問題，學(xué)會利用分割法求三角形的面積．（1）利用描點法以及軸對稱的性質(zhì)即可解決問題；（2）利用全等三角形的判定和性質(zhì)即可解決問題；（3）利用分割法求三角形的面積即可．【詳解】（1）解：點的坐標(biāo)如圖1中所示，點關(guān)于軸的對稱點的坐標(biāo)為；故答案為：；（2）解：點在坐標(biāo)軸上，且與全等，觀察圖1所示，滿足條件的點的坐標(biāo)為或故答案為：或；（3）解：如圖2中，，故答案為：4．21．(1)①見詳解

②，4．③(2)【分析】（1）①根據(jù)點的坐標(biāo)，描點，連線即可．②根據(jù)兩點之間的距離公式即可求解．③設(shè)與相交于點E，根據(jù)點B與點D的坐標(biāo)可知，點B與點D關(guān)于對稱，從而可得出，根據(jù)代入求解即可．（2）由題意可得出四邊形的面積為，又四邊形的面積為，根據(jù)四邊形的面積是四邊形面積的為等量關(guān)系，列出關(guān)與t的一元一次方程求解即可．【詳解】（1）解：①當(dāng)時，則，∴按照題意畫圖如下：②，，故答案為：，4．③設(shè)與相交于點E，根據(jù)點B與點D的坐標(biāo)可知，點B與點D關(guān)于對稱，∴，∴（2）∵四邊形的面積為的面積加上的面積，即又四邊形的面積為，∴由題意得：，解得：，∴．【點撥】本題主要考查了基本作圖，兩點之間的距離，以及軸對稱的性質(zhì)，一元一次方程的應(yīng)用等知識，畫圖圖形是解題的關(guān)鍵．22．(1)見詳解(2)【分析】（1）根據(jù)軸對稱的性質(zhì)，得，，點，，Q，四點共線，即兩點間線段最短，則最小，作圖即可；（2）根據(jù)軸對稱的性質(zhì)和三角形的外角的性質(zhì)和平角的定義即可得到結(jié)論．【詳解】（1）解：如圖，作M關(guān)于的對稱點，N關(guān)于的對稱點，連接交于Q，交于P，則最小，如圖所示：

（2）解：由（1）知M關(guān)于的對稱點，N關(guān)于的對稱點，∴，，∴，∴，∴．【點撥】本題考查軸對稱?最短問題、三角形的內(nèi)角和定理，三角形的外角的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運用所學(xué)知識解決問題．23．（1）見解析（2）（3）的最小值為【分析】（1）根據(jù)，，三角形是等腰直角三角形證明即可；（2）過A點作軸，分別過B、C作，，根據(jù)（1）中結(jié)論即可求解；（3）過A點作，分別過B、C作，，作點A關(guān)于的對稱點，連接，則點在直線l上，當(dāng)O，C，三點共線時，有最小值．【詳解】（1）解：∵，，三角形是等腰直角三角形，∴，，∴，∵，，，∴；（2）解：過A點作軸，分別過B、C作，，如圖，

由（1）得：，∵，，設(shè)，∴；（3）解：過A點作，分別過B、C作，，如圖，

，，，∵，，，∴，，∵，，作點A關(guān)于的對稱點，連接，則點在直線l上，，，，∴當(dāng)O，C，三點共線時，有