2019-2020學(xué)年高中數(shù)學(xué)第一章立體幾何初步1.1.3.1圓柱、圓錐、圓臺(tái)練習(xí)(含解析)新人教B版必修2

PAGE1-第1課時(shí)圓柱、圓錐、圓臺(tái)對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(shū)P7知識(shí)點(diǎn)一旋轉(zhuǎn)體的有關(guān)概念1．下列說(shuō)法正確的是()A．直線(xiàn)繞定直線(xiàn)旋轉(zhuǎn)形成柱面B．半圓繞定直線(xiàn)旋轉(zhuǎn)形成球體C．有兩個(gè)面互相平行，其余四個(gè)面都是等腰梯形的六面體是棱臺(tái)D．圓柱的任意兩條母線(xiàn)所在的直線(xiàn)是相互平行的答案D解析兩直線(xiàn)平行時(shí)，直線(xiàn)繞定直線(xiàn)旋轉(zhuǎn)才形成柱面，故A錯(cuò)誤；半圓以直徑所在直線(xiàn)為軸旋轉(zhuǎn)才形成球體，故B錯(cuò)誤；C不符合棱臺(tái)的定義．所以應(yīng)選D．2．下列命題正確的是()A．梯形繞一邊所在直線(xiàn)旋轉(zhuǎn)得到的旋轉(zhuǎn)體是圓臺(tái)B．夾在圓柱的兩個(gè)平行截面間的幾何體是圓柱C．棱錐截去一個(gè)小棱錐后剩余部分是棱臺(tái)D．圓錐截去一個(gè)小圓錐后剩余部分是圓臺(tái)答案D解析繞梯形的一邊所在直線(xiàn)旋轉(zhuǎn)得到的旋轉(zhuǎn)體也可能是組合體．當(dāng)夾在圓柱的兩個(gè)平行截面不與圓柱的底面平行時(shí)，不是圓柱．用與棱錐的底面不平行的平面截去一個(gè)小棱錐后，剩余部分不是棱臺(tái)．圓錐是直角三角形繞其一條直角邊所在的直線(xiàn)旋轉(zhuǎn)而成的，圓錐截去一個(gè)小圓錐后剩余部分是圓臺(tái)．知識(shí)點(diǎn)二圓柱、圓錐、圓臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征3．一個(gè)圓柱的母線(xiàn)長(zhǎng)為5，底面半徑為2，則圓柱的軸截面的面積是()A．10B．20C．30D．40答案B解析如圖軸截面為矩形，所以面積為(2＋2)×5＝20．4．下列說(shuō)法中，不正確的是()A．圓桂的側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)矩形B．圓錐中過(guò)軸的截面是一個(gè)等腰三角形C．等腰直角三角形繞它的一條邊所在的直線(xiàn)旋轉(zhuǎn)一周形成的曲面圍成的幾何體是圓錐D．圓臺(tái)中平行于底面的截面是圓面答案C解析等腰直角三角形繞它的一條直角邊所在的直線(xiàn)旋轉(zhuǎn)一周才能形成圓錐，此處必須說(shuō)明是繞它的一條直角邊所在的直線(xiàn)．若換成直角三角形的斜邊，則旋轉(zhuǎn)后產(chǎn)生的幾何體不是圓錐，而是兩個(gè)圓錐的組合體，且這兩個(gè)圓錐同底．5．圓臺(tái)的一個(gè)底面周長(zhǎng)是另一個(gè)底面周長(zhǎng)的3倍，軸截面的面積為392cm2，母線(xiàn)與軸的夾角為45°，求這個(gè)圓臺(tái)的高、母線(xiàn)長(zhǎng)和底面半徑．解圓臺(tái)的軸截面如圖所示，根據(jù)題意可設(shè)圓臺(tái)的上、下底面半徑分別為xcm和3xcm，即A′O′＝xcm，AO＝3xcm(O′，O分別為上、下底面圓心)，過(guò)A′作AB的垂線(xiàn)，垂足為點(diǎn)D．在Rt△AA′D中，∠AA′D＝45°，AD＝AO－A′O′＝2xcm，所以A′D＝AD＝2xcm，又S軸截面＝eq\f(1,2)(A′B′＋AB)·A′D＝eq\f(1,2)×(2x＋6x)×2x＝392(cm2)，所以x＝7．綜上，圓臺(tái)的高OO′＝14cm，母線(xiàn)長(zhǎng)AA′＝eq\r(2)OO′＝14eq\r(2)cm，上、下底面的半徑分別為7cm和21cm．對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(shū)P7一、選擇題1．下列命題正確的個(gè)數(shù)為()①圓柱的軸是過(guò)圓柱上、下底面圓的圓心的直線(xiàn)；②圓柱的母線(xiàn)是連接圓柱上底面上一點(diǎn)和下底面上一點(diǎn)的直線(xiàn)；③矩形的任意一條邊所在直線(xiàn)都可以作為軸，其他邊繞其旋轉(zhuǎn)形成圓柱；④矩形繞任何一條直線(xiàn)旋轉(zhuǎn)，都可以圍成圓柱．A．1B．2C．3D．4答案B解析根據(jù)圓柱的定義可知命題①③正確，命題②④錯(cuò)誤．2．一個(gè)圓錐的母線(xiàn)長(zhǎng)為2，圓錐的軸截面的面積為eq\r(3)，則母線(xiàn)與軸的夾角為()A．30°B．60°C．30°或60°D．60°或75°答案C解析設(shè)圓錐的高為h，則底面圓的半徑為eq\r(4－h(huán)2)，由題意，得S＝eq\f(1,2)h×2eq\r(4－h(huán)2)＝eq\r(3)，平方整理得h4－4h2＋3＝0，解得h2＝1或h2＝3，∴h＝1或h＝eq\r(3)．母線(xiàn)與軸的夾角為30°或60°．3．上、下底面面積分別為36π和49π，母線(xiàn)長(zhǎng)為5的圓臺(tái)，其兩底面之間的距離為()A．4B．3eq\r(2)C．2eq\r(3)D．2eq\r(6)答案D解析設(shè)圓臺(tái)的母線(xiàn)為l，高為h，上、下兩底面圓的半徑分別為r，R，則滿(mǎn)足關(guān)系式l2＝h2＋(R－r)2，根據(jù)題意可得h＝2eq\r(6)，即兩底面之間的距離為2eq\r(6)．4．“兩底面直徑之差等于母線(xiàn)長(zhǎng)”的圓臺(tái)()A．是不存在的B．其母線(xiàn)與高線(xiàn)必成60°角C．其母線(xiàn)與高線(xiàn)必成30°角D．其母線(xiàn)與高線(xiàn)所成的角不是定值答案C解析設(shè)圓臺(tái)上、下底面半徑分別為r1，r2，母線(xiàn)長(zhǎng)為l，則由題意可得2r2－2r1＝l，∴eq\f(r2－r1,l)＝eq\f(1,2)，再設(shè)母線(xiàn)與高線(xiàn)所成的角為θ，∴sinθ＝eq\f(1,2)，θ＝30°．5．用平行于圓錐底面的平面截圓錐，所得截面面積與底面面積的比為1∶3，則截面把圓錐的母線(xiàn)分為上下兩段的比是()A．1∶3B．1∶9C．1∶eq\r(3)D．(1＋eq\r(3))∶2答案D解析圓錐的上底面半徑與下底面半徑之比為1∶eq\r(3)，故截去小圓錐的母線(xiàn)與大圓錐的母線(xiàn)之比為1∶eq\r(3)，截面把圓錐的母線(xiàn)分為上下兩段的比是1∶(eq\r(3)－1)＝(1＋eq\r(3))∶2．二、填空題6．圓錐軸截面的頂角為120°，過(guò)頂點(diǎn)的截面三角形的最大面積為2，則圓錐的母線(xiàn)長(zhǎng)為_(kāi)_______．答案2解析對(duì)于該圓錐，過(guò)頂點(diǎn)的截面三角形中面積最大的三角形為等腰直角三角形，其腰為母線(xiàn)，所以母線(xiàn)長(zhǎng)為2．7．用一張(6×10)cm2的矩形硬紙卷成圓柱的側(cè)面，則圓柱軸截面的面積等于________，軸截面的周長(zhǎng)等于________．答案eq\f(60,π)cm212＋eq\f(20,π)cm或20＋eq\f(12,π)cm解析若圓柱的母線(xiàn)長(zhǎng)為6，則底面直徑為eq\f(10,π)，軸截面的面積為eq\f(60,π)cm2，周長(zhǎng)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(12＋\f(20,π)))cm；若圓柱的母線(xiàn)長(zhǎng)為10，則底面直徑為eq\f(6,π)，軸截面的面積為eq\f(60,π)cm2，周長(zhǎng)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(20＋\f(12,π)))cm．8．給出下列命題：①圓柱的母線(xiàn)與它的軸可以不平行；②圓錐的頂點(diǎn)、圓錐底面圓周上任意一點(diǎn)及底面圓的圓心三點(diǎn)的連線(xiàn)都可以構(gòu)成直角三角形；③在圓臺(tái)的上、下兩底面圓周上各取一點(diǎn)，則這兩點(diǎn)的連線(xiàn)是圓臺(tái)的母線(xiàn)；④圓柱的任意兩條母線(xiàn)所在的直線(xiàn)是互相平行的．其中正確的是________．答案②④解析由圓柱、圓錐、圓臺(tái)的定義及母線(xiàn)的性質(zhì)可知②④正確，①③錯(cuò)誤．三、解答題9．軸截面為正方形的圓柱叫做等邊圓柱，已知某等邊圓柱的軸截面面積為16cm2，求其底面周長(zhǎng)和高．解如圖所示，作出等邊圓柱的軸截面ABCD，由題意知，四邊形ABCD為正方形，設(shè)圓柱的底面半徑為r，則AB＝AD＝2r．由題意可得軸截面的面積S＝AB×AD＝2r×2r＝4r2＝16，解得r＝2．所以其底面周長(zhǎng)C＝2πr＝2π×2＝4π(cm)，高h(yuǎn)＝2r＝4(cm)．10．如圖所示，已知圓錐SO中，底面半徑r＝1，母線(xiàn)長(zhǎng)l＝4，M為母線(xiàn)SA上的一個(gè)點(diǎn)，且SM＝x，從點(diǎn)M拉一根繩子，圍繞圓錐側(cè)面轉(zhuǎn)到點(diǎn)A．求：(1)繩子的最短長(zhǎng)度的平方f(x)；(2)繩子最短時(shí)，頂點(diǎn)到繩子的最短距離；(3)f(x)的最大值．解將圓錐的側(cè)面沿SA展開(kāi)在平面上，如圖所示，則該圖為扇形，且弧AA′的長(zhǎng)度L就是圓O的周長(zhǎng)，∴L＝2πr＝2π．∴∠ASM＝eq\f(L,2πl(wèi))×360°＝eq\f(2π,2π×4)×360°＝90°．(1)由題意知繩子長(zhǎng)度的最小值為展開(kāi)圖中的AM，其值為AM＝eq\r(x2＋16)(0≤x≤4)．∴f(x)＝AM2＝x2＋16(0≤x≤4)．(2)繩子最短時(shí)，在展開(kāi)圖中作SR⊥AM，垂足為R，則SR的長(zhǎng)度為頂點(diǎn)S到繩子的最短距離，在△SAM中，∵S△