2021年山東中考數(shù)學(xué)提優(yōu)集錦

2021年山東中考數(shù)學(xué)提優(yōu)集錦

一.選擇題(共9小題)

1.新定義：在平面直角坐標(biāo)系中，對(duì)于點(diǎn)P(m,〃)和點(diǎn)P(m,n1),若滿足加20時(shí),

n'—n-4；m<0時(shí)，--n,則稱點(diǎn)P'(m,n')是點(diǎn)P(m,n)的限變點(diǎn).例

如：點(diǎn)尸1(2,5)的限變點(diǎn)是P'(2,1),點(diǎn)P2(-2,3)的限變點(diǎn)是放'(-2,

-3).若點(diǎn)尸(血，〃)在二次函數(shù)y=-/+4x+2的圖象上，則當(dāng)-1WsW3時(shí)，其限變

點(diǎn)P的縱坐標(biāo)"'的取值范圍是()

A.-2W"'W2B.1W〃'W3C.IWfi'W2D.-2W〃'W3

2.如圖，在△ABC中，ZXBC=90°,ZC=30°,以點(diǎn)A為圓心，以AB的長(zhǎng)為半徑作弧

交AC于點(diǎn)。，連接8。，再分別以點(diǎn)B,。為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧交

2

于點(diǎn)P，作射線AP交BC于點(diǎn)E,連接。E,則下列結(jié)論中不正確的是()

B.OE垂直平分線段AC

C.SAgP￡D.B0=BC，BE

^AABC3

3.如圖，在四邊形紙片ABCD中，AD//BC,AB=10,ZB=60°,將紙片折疊，使點(diǎn)B

落在A。邊上的點(diǎn)G處，折痕為EF,若/BFE=45°,則BF的長(zhǎng)為()

4.已知反比例函數(shù)尸也?的圖象如圖所示，則一次函數(shù)y=cx+a和二次函數(shù)y=a/+〃x+c在

X

同一平面直角坐標(biāo)系中的圖象可能是()

5.如圖，在矩形ABC。中，AB=5,BC=5?,點(diǎn)P在線段BC上運(yùn)動(dòng)（含8、C兩點(diǎn)），

連接AP,以點(diǎn)A為中心，將線段AP逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°到A。，連接。。，則線段。。的

最小值為（）

6.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形的邊OB與x軸的正半軸重合，AD//OB,

OB_Lr軸，對(duì)角線AB,交于點(diǎn)M.已知AO：。8=2：3,△4WO的面積為4.若反

比例函數(shù)y=K的圖象恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)M,則k的值為（）

X

A.ALB.21C.四D.12

555

7.如圖，AABC是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形，D、E為線段AC上兩動(dòng)點(diǎn)，且N￡)BE=30°,

過(guò)點(diǎn)￡>、E分別作AB、BC的平行線相交于點(diǎn)凡分別交8C、AB于點(diǎn)H、G.現(xiàn)有以下

結(jié)論：①SAABC=亨；②當(dāng)點(diǎn)。與點(diǎn)C重合時(shí)，F(xiàn)//=-l；③AE+C￡>=?DE；④當(dāng)AE

=8時(shí)，四邊形B7/FG為菱形，其中正確結(jié)論為()

A.①②③B.①②④C.①②③④D.②③④

8.拋物線>=/+灰+c(aWO)的對(duì)稱軸是直線x=-l,其圖象如圖所示.下列結(jié)論：①

abc<0；②(4?+c)2<(2b)2；③若(xi,yi)和(必”)是拋物線上的兩點(diǎn)，則當(dāng)|xi+l|

>|x2+l|時(shí)，yi<”；④拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(-1,m),則關(guān)于x的方程o^+Ox+cu，〃-

1無(wú)實(shí)數(shù)根.其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是()

9.記實(shí)數(shù)XI,X2，…,X”中的最小數(shù)為加〃{XI,X2f…，Xn)9例如疝〃{-1,1,2}=-1,

則函數(shù)y=mi〃{2x-1,x,4-x}的圖象大致為()

3

2

1

A.B.

二.填空題（共9小題）

10.已知正方形A8CC的邊長(zhǎng)為3,E為CD上一點(diǎn)、,連接AE并延長(zhǎng)，交BC的延長(zhǎng)線于

點(diǎn)F,過(guò)點(diǎn)。作QGLAF,交AF于點(diǎn)”，交BF于點(diǎn)、G,N為EF的中點(diǎn)，M為上

q

一動(dòng)點(diǎn)，分別連接MC,MN.若功。則MN+MC的最小值為

2AFCE4

11.如圖，點(diǎn)Bi在直線/：y=L上，點(diǎn)Bi的橫坐標(biāo)為2,過(guò)點(diǎn)Bi作BiAi，/,交x軸于

2

點(diǎn)4,以4B1為邊，向右作正方形4&B2cI,延長(zhǎng)82cl交x軸于點(diǎn)42；以42B2為邊,

向右作正方形A28283c2，延長(zhǎng)B3c2交X軸于點(diǎn)A3；以A3B3為邊，向右作正方形A38384c3,

延長(zhǎng)84c3交X軸于點(diǎn)A4；…；照這個(gè)規(guī)律進(jìn)行下去，則第〃個(gè)正方形的邊

長(zhǎng)為（結(jié)果用含正整數(shù)"的代數(shù)式表示）.

12.兩張寬為3c,"的紙條交叉重疊成四邊形ABCQ,如圖所示.若Na=30°,則對(duì)角線

上的動(dòng)點(diǎn)P到A,B,C三點(diǎn)距離之和的最小值是.

D

13.數(shù)學(xué)知識(shí)在生產(chǎn)和生活中被廣泛應(yīng)用，下列實(shí)例所應(yīng)用的最主要的幾何知識(shí)，說(shuō)法正確

的是（只填寫序號(hào)）.

①射擊時(shí)，瞄準(zhǔn)具的缺口、準(zhǔn)星和射擊目標(biāo)在同一直線上，應(yīng)用了“兩點(diǎn)確定一條直線”;

②車輪做成圓形，應(yīng)用了“圓是中心對(duì)稱圖形”;

③學(xué)校門口的伸縮門由菱形而不是其他四邊形組成，應(yīng)用了“菱形的對(duì)角線互相垂直平

分

④地板磚可以做成矩形，應(yīng)用了“矩形對(duì)邊相等”.

14.如圖，正方形ABCB1中，AB=gAB與直線/所夾銳角為60°,延長(zhǎng)CBi交直線/

于點(diǎn)A1,作正方形4181C182,延長(zhǎng)C182交直線/于點(diǎn)A2,作正方形A282c2a,延長(zhǎng)C2B3

交直線/于點(diǎn)A3，作正方形A383c3及…，依此規(guī)律，則線段A2020A2021=.

交x軸于點(diǎn)&作84〃0A,交反比例函數(shù)圖象于點(diǎn)4；過(guò)點(diǎn)Ai作A181L48交X軸于

點(diǎn)8；再作B|A2〃8A1,交反比例函數(shù)圖象于點(diǎn)A2,依次進(jìn)行下去，…，則點(diǎn)A2021的橫

坐標(biāo)為_______

16.在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)4從原點(diǎn)出發(fā)，沿如圖所示的方向運(yùn)動(dòng)，到達(dá)位置的坐標(biāo)依次為:

A2(1,0),A3(1,1),A4(-1,1),As(-1,-1),46(2,-1),A1(2,2),若

到達(dá)終點(diǎn)4(506,-505),則"的值為.

5-

17.如圖，在直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，函數(shù)y=且與>=電(a>6>0)在第一象限的

XX

圖象分別為曲線。，C2,點(diǎn)尸為曲線。上的任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)尸作)，軸的垂線交C2于點(diǎn)

A,作x軸的垂線交C2于點(diǎn)3,則陰影部分的面積SzxAOB=.(結(jié)果用a,6表示)

18.綜合實(shí)踐活動(dòng)課上，小亮將一張面積為24cm2,其中一邊5c為8c機(jī)的銳角三角形紙片

(如圖1),經(jīng)過(guò)兩刀裁剪，拼成了一個(gè)無(wú)縫隙、無(wú)重疊的矩形5CDE(如圖2),則矩形

的周長(zhǎng)為cm.

圖1圖2

三.解答題(共23小題)

19.拋物線y=o?+fec+3過(guò)點(diǎn)A(-1,0),點(diǎn)B(3,0),頂點(diǎn)為C.

(1)求拋物線的表達(dá)式及點(diǎn)C的坐標(biāo)；

(2)如圖1,點(diǎn)P在拋物線上，連接CP并延長(zhǎng)交x軸于點(diǎn)。，連接AC,若4c是

以AC為底的等腰三角形，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

(3)如圖2,在(2)的條件下，點(diǎn)E是線段AC上(與點(diǎn)A,C不重合)的動(dòng)點(diǎn)，連接

PE,作邊E尸交x軸于點(diǎn)F,設(shè)點(diǎn)F的橫坐標(biāo)為〃?，求機(jī)的取值范圍.

3

。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至。E,記旋轉(zhuǎn)角為a,連接BE,CE,以CE為斜邊在其一側(cè)作等腰直角

三角形CEF,連接AF.

(1)如圖1,當(dāng)a=180°時(shí)，請(qǐng)直接寫出線段AF與線段BE的數(shù)量關(guān)系；

(2)當(dāng)0°<a<180"時(shí)，

①如圖2,(1)中線段A廠與線段BE的數(shù)量關(guān)系是否仍然成立？請(qǐng)說(shuō)明理由；

②如圖3,當(dāng)B,E,尸三點(diǎn)共線時(shí)，連接4E,判斷四邊形AEC尸的形狀，并說(shuō)明理由.

21.已知：如圖，在矩形ABC。和等腰中，48=8cs,AD^AE^6cm,/D4E=

90°.點(diǎn)P從點(diǎn)8出發(fā)，沿8A方向勻速運(yùn)動(dòng)，速度為kvn/s；同時(shí)，點(diǎn)。從點(diǎn)。出發(fā),

沿QB方向勻速運(yùn)動(dòng)，速度為lc,"/s.過(guò)點(diǎn)。作QM〃BE,交A。于點(diǎn)從交DE于點(diǎn)、M,

過(guò)點(diǎn)。作QN〃8C,交C。于點(diǎn)N.分別連接PQ,PM,設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為f(s)(0<f<8).解

答下列問(wèn)題：

(1)當(dāng)PQJ_B。時(shí)，求f的值；

(2)設(shè)五邊形的面積為S(c〃？)，求S與，之間的函數(shù)關(guān)系式：

(3)當(dāng)PQ=PM時(shí)，求f的值；

(4)若PM與AO相交于點(diǎn)W,分別連接QW和EW.在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，是否存在某一時(shí)

刻f,使/AWE=/QWD?若存在，求出f的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

最長(zhǎng)邊長(zhǎng)為128的整數(shù)邊三角形有多少個(gè)？(整數(shù)邊三角形是指三邊長(zhǎng)度都是整數(shù)的三

角形.)

問(wèn)題探究：

為了探究規(guī)律，我們先從最簡(jiǎn)單的情形入手，從中找到解決問(wèn)題的方法，最后得出一般

性的結(jié)論.

(1)如表①，最長(zhǎng)邊長(zhǎng)為1的整數(shù)邊三角形，顯然，最短邊長(zhǎng)是1,第三邊長(zhǎng)也是1.按

照(最長(zhǎng)邊長(zhǎng)，最短邊長(zhǎng)，第三邊長(zhǎng))的形式記為(1,1,1),有1個(gè)，所以總共有1

Xl=l個(gè)整數(shù)邊三角形.

表①

最長(zhǎng)邊長(zhǎng)最短邊長(zhǎng)（最長(zhǎng)邊整數(shù)邊三計(jì)算方法算式

長(zhǎng)，最短角形個(gè)數(shù)

邊長(zhǎng)，第

三邊長(zhǎng)）

11(1,1,1)11個(gè)11X1

（2）如表②，最長(zhǎng)邊長(zhǎng)為2的整數(shù)邊三角形，最短邊長(zhǎng)是1或2.根據(jù)三角形任意兩邊

之和大于第三邊，當(dāng)最短邊長(zhǎng)為1時(shí)，第三邊長(zhǎng)只能是2,記為（2,1,2）,有1個(gè)；當(dāng)

最短邊長(zhǎng)為2時(shí)，顯然第三邊長(zhǎng)也是2,記為（2,2,2）,有1個(gè)，所以總共有1+1=1

X2=2個(gè)整數(shù)邊三角形.

表②

最長(zhǎng)邊長(zhǎng)最短邊長(zhǎng)（最長(zhǎng)邊整數(shù)邊三計(jì)算方法算式

長(zhǎng)，最短角形個(gè)數(shù)

邊長(zhǎng)，第

三邊長(zhǎng)）

21(2,1,2)12個(gè)11X2

2(2,2,2)1

（3）下面在表③中總結(jié)最長(zhǎng)邊長(zhǎng)為3的整數(shù)邊三角形個(gè)數(shù)情況:

表③

最長(zhǎng)邊長(zhǎng)最短邊長(zhǎng)（最長(zhǎng)邊長(zhǎng)，整數(shù)邊三計(jì)算方法算式

最短邊長(zhǎng)，第角形個(gè)數(shù)

三邊長(zhǎng)

31(3,1,3)12個(gè)22X2

2(3,2,2),(3,2

2,3)

3(3,3,3)1

（4）下面在表④中總結(jié)最長(zhǎng)邊長(zhǎng)為4的整數(shù)邊三角形個(gè)數(shù)情況：

表④

最長(zhǎng)邊長(zhǎng)最短邊長(zhǎng)（最長(zhǎng)邊長(zhǎng)，最整數(shù)邊三計(jì)算方法算式

短邊長(zhǎng)，第三邊角形個(gè)數(shù)

長(zhǎng)）

41(4,1,4)13個(gè)22X3

2(4,2,3),(4,2

2,4)

3(4,3,3),(4,2

3,4)

4(4,4,4)1

（5）請(qǐng)?jiān)诒恝葜锌偨Y(jié)最長(zhǎng)邊長(zhǎng)為5的整數(shù)邊三角形個(gè)數(shù)情況并填空:

表⑤

最長(zhǎng)邊長(zhǎng)最短邊長(zhǎng)（最長(zhǎng)邊整數(shù)邊三計(jì)算方法算式

長(zhǎng)，最短邊角形個(gè)數(shù)

長(zhǎng)，三邊長(zhǎng)

51(5,1,5)1____—

2(5,2,4)2

(5,2,5)

3——

4(5,4,4)2

(5,4,5)

5(5,5,5)1

問(wèn)題解決:

（1）最長(zhǎng)邊長(zhǎng)為6的整數(shù)邊三角形有個(gè).

（2）在整數(shù)邊三角形中，設(shè)最長(zhǎng)邊長(zhǎng)為”，總結(jié)上述探究過(guò)程，當(dāng)〃為奇數(shù)或〃為偶數(shù)

時(shí)，整數(shù)邊三角形個(gè)數(shù)的規(guī)律一樣嗎？請(qǐng)寫出最長(zhǎng)邊長(zhǎng)為〃的整數(shù)邊三角形的個(gè)數(shù).

（3）最長(zhǎng)邊長(zhǎng)為128的整數(shù)邊三角形有個(gè).

拓展延伸：

在直三棱柱中，若所有棱長(zhǎng)均為整數(shù)，則最長(zhǎng)棱長(zhǎng)為9的直三棱柱有個(gè).

23.四邊形ABCQ為矩形，E是AB延長(zhǎng)線上的一點(diǎn).

(1)若AC=EC,如圖1,求證：四邊形8ECC為平行四邊形；

(2)若AB=A￡>,點(diǎn)F是AB上的點(diǎn)，AF=BE,EG_LAC于點(diǎn)G,如圖2,求證：△OGF

是等腰直角三角形.

圖1圖2

24.二次函數(shù)y二癥+^^超(aWO)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(-4,0),8(1,0),與y軸交于點(diǎn)C,

點(diǎn)尸為第二象限內(nèi)拋物線上一點(diǎn)，連接8P、AC,交于點(diǎn)。，過(guò)點(diǎn)P作PCx軸于點(diǎn)D

(1)求二次函數(shù)的表達(dá)式;

連接BC,當(dāng)NOPB=2NBCO時(shí)，求直線8P的表達(dá)式;

(3)請(qǐng)判斷：毀是否有最大值，如有請(qǐng)求出有最大值時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)，如沒(méi)有請(qǐng)說(shuō)明理

QB

25.C、。為半圓上的兩點(diǎn)，且BD=CD.連接AC并延長(zhǎng)，與

8。的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)￡

(1)求證：CD=ED-,

(2)AQ與OC,BC分別交于點(diǎn)F,H.

①若CF=CH,如圖2,求證：CF?AF=FO,AH；

②若圓的半徑為2,BD=1,如圖3,求AC的值.

E

E

E

圖1圖2圖3

26.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=變ll?x+㈣(加＞0)與x軸交于A(-1,

,222

0),B(w,0)兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C,連接8c.

(1)若OC=2OA,求拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式;

(2)在(1)的條件下，點(diǎn)P位于直線BC上方的拋物線上，當(dāng)△P8C面積最大時(shí)，求

點(diǎn)P的坐標(biāo)：

(3)設(shè)直線y=L+。與拋物線交于8,G兩點(diǎn)，問(wèn)是否存在點(diǎn)E(在拋物線上)，點(diǎn)F

2

(在拋物線的對(duì)稱軸上)，使得以B,G,E,F為頂點(diǎn)的四邊形成為矩形？若存在，求出

點(diǎn)E,F的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由.

27.已知：在正方形A8CO的邊8c上任取一點(diǎn)F,連接AF,一條與AP垂直的直線/(垂

足為點(diǎn)尸)沿AF方向，從點(diǎn)A開始向下平移，交邊AB于點(diǎn)E.

圖1圖2

(1)當(dāng)直線/經(jīng)過(guò)正方形A8CO的頂點(diǎn)。時(shí)，如圖1所示.求證：AE=BF；

(2)當(dāng)直線/經(jīng)過(guò)AF的中點(diǎn)時(shí)，與對(duì)角線80交于點(diǎn)Q,連接F。，如圖2所示.求N

AFQ的度數(shù)；

(3)直線/繼續(xù)向下平移，當(dāng)點(diǎn)尸恰好落在對(duì)角線8D上時(shí)，交邊CD于點(diǎn)G,如圖3

所示.設(shè)48=2,BF=x,DG=y,求y與x之間的關(guān)系式.

28.如圖，已知正方形ABCQ,點(diǎn)E是BC邊上一點(diǎn)，將AABE沿直線A￡折疊，點(diǎn)B落在

F處，連接B尸并延長(zhǎng)，與ND4F的平分線相交于點(diǎn)”，與AE,CQ分別相交于點(diǎn)G,M,

連接HC.

(1)求證：AG=GH-,

(2)若AB=3,BE=\,求點(diǎn)。到直線的距離；

(3)當(dāng)點(diǎn)E在8C邊上(端點(diǎn)除外)運(yùn)動(dòng)時(shí)，N84C的大小是否變化？為什么？

29.如圖，拋物線丫=/+法+。經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(-2,0),B(4,0),與y軸正半軸交于點(diǎn)C,

且OC=2OA,拋物線的頂點(diǎn)為D,對(duì)稱軸交x軸于點(diǎn)E.直線)，=松+〃經(jīng)過(guò)8,C兩點(diǎn).

(1)求拋物線及直線BC的函數(shù)表達(dá)式；

(2)點(diǎn)尸是拋物線對(duì)稱軸上一點(diǎn)，當(dāng)物+FC的值最小時(shí)，求出點(diǎn)尸的坐標(biāo)及用+FC的

最小值；

(3)連接AC,若點(diǎn)尸是拋物線上對(duì)稱軸右側(cè)一點(diǎn)，點(diǎn)Q是直線BC上一點(diǎn)，試探究是

否存在以點(diǎn)E為直角頂點(diǎn)的RtZ^PEQ,且滿足tan/EQP=tan/OC4.若存在，求出點(diǎn)P

的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

備用圖

30.有公共頂點(diǎn)A的正方形ABC。與正方形AEG尸按如圖1所示放置，點(diǎn)E,尸分別在邊

A8和A。上，連接8F,DE,M是8尸的中點(diǎn)，連接AM交。E于點(diǎn)N.

【觀察猜想】

(1)線段。后與AM之間的數(shù)量關(guān)系是，位置關(guān)系是

【探究證明】

(2)將圖1中的正方形AEGF繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°,點(diǎn)G恰好落在邊48上，如圖2,

其他條件不變，線段力E與AM之間的關(guān)系是否仍然成立？并說(shuō)明理由.

圖2

點(diǎn)P是直線1上的任意一點(diǎn)，分別過(guò)點(diǎn)A和點(diǎn)B作直線I

的垂線，垂足分別為點(diǎn)C和點(diǎn)D我們定義垂足與中點(diǎn)之間的距離為“足中距”.

(1)［猜想驗(yàn)證］如圖1,當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)。重合時(shí)，請(qǐng)你猜想、驗(yàn)證后直接寫出“足中距”

OC和的數(shù)量關(guān)系是

(2)［探究證明］如圖2,當(dāng)點(diǎn)P是線段A8上的任意一點(diǎn)時(shí)，“足中距”O(jiān)C和。。的數(shù)

量關(guān)系是否依然成立，若成立，請(qǐng)給出證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由.

(3)［拓展延伸］如圖3,①當(dāng)點(diǎn)P是線段BA延長(zhǎng)線上的任意一點(diǎn)時(shí)，“足中距”O(jiān)C和

。。的數(shù)量關(guān)系是否依然成立，若成立，請(qǐng)給出證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由;

②若/COO=60°,請(qǐng)直接寫出線段AC、BD、OC之間的數(shù)量關(guān)系.

32.如圖，拋物線y=-Xx2+bx+c與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C,直線y=-」*+2

22

過(guò)B、C兩點(diǎn)，連接AC.

(1)求拋物線的解析式；

(2)求證：2AOCs匕ACB：

(3)點(diǎn)”(3,2)是拋物線上的一點(diǎn)，點(diǎn)。為拋物線上位于直線BC上方的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)

D作。后，》軸交直線BC于點(diǎn)E,點(diǎn)、P為拋物線對(duì)稱軸上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)線段DE的長(zhǎng)度最

33.已知：拋物線y=o?+bx+c經(jīng)過(guò)A(-1,0),B(3,0),C(0,3)三點(diǎn).

(1)求拋物線的解析式；

(2)如圖1,點(diǎn)P為直線8c上方拋物線上任意一點(diǎn)，連PC、PB、PO,PO交直線BC

于點(diǎn)E,設(shè)更=晨求當(dāng)及取最大值時(shí)點(diǎn)尸的坐標(biāo)，并求此時(shí)上的值.

0E

(3)如圖2,點(diǎn)。為拋物線對(duì)稱軸與x軸的交點(diǎn)，點(diǎn)C關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)D.

①求△BZJQ的周長(zhǎng)及tanZBDQ的值；

②點(diǎn)M是y軸負(fù)半軸上的點(diǎn)，且滿足tanN8MQ=1G為大于0的常數(shù))，求點(diǎn)M的坐

標(biāo).

如圖1,在矩形ABC。中，AB=2jj,NAB￡)=30°,點(diǎn)E是邊A8的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E作

E尸_L4B交8。于點(diǎn)尺

實(shí)驗(yàn)探究：

(1)在一次數(shù)學(xué)活動(dòng)中，小王同學(xué)將圖1中的aBEF繞點(diǎn)8按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°,

如圖2所示，得到結(jié)論：①姻?=_______；②直線AE與DF所夾銳角的度數(shù)為_______.

DF-

(2)小王同學(xué)繼續(xù)將aBE尸繞點(diǎn)B按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)至如圖3所示位置.請(qǐng)問(wèn)探

究(I)中的結(jié)論是否仍然成立？并說(shuō)明理由.

拓展延伸：

在以上探究中，當(dāng)△BEF旋轉(zhuǎn)至￡)、E、/三點(diǎn)共線時(shí)，則△AOE的面積為

圖3

35.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線丫=0?+--4交x軸于A(-1,0)、B(4,

0)兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C.

備用圖

(1)求該拋物線的表達(dá)式；

(2)點(diǎn)尸為第四象限內(nèi)拋物線上一點(diǎn)，連接尸8,過(guò)點(diǎn)C作CQ〃BP交x軸于點(diǎn)Q,連

接P。，求△P8Q面積的最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；

(3)在(2)的條件下，將拋物線了=火2+公-4向右平移經(jīng)過(guò)點(diǎn)(工，0)時(shí)，得到新拋

2

物線y=m/+6x+ci,點(diǎn)E在新拋物線的對(duì)稱軸上，在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在一點(diǎn)F,使得

以A、P、E、尸為頂點(diǎn)的四邊形為矩形，若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)尸的坐標(biāo)；若不存在，

請(qǐng)說(shuō)明理由.

參考：若點(diǎn)P1(XI,yi)、P2(X2,)2),則線段P1P2的中點(diǎn)Po的坐標(biāo)為(3――,———

22

36.在矩形ABC。中，BC=-/jCD,點(diǎn)E、尸分別是邊A。、BC上的動(dòng)點(diǎn)，S.AE=CF,連

接EF,將矩形ABCD沿EF折疊，點(diǎn)C落在點(diǎn)G處，點(diǎn)。落在點(diǎn)”處.

(1)如圖1,當(dāng)E”與線段BC交于點(diǎn)P時(shí)，求證：PE=PF；

(2)如圖2,當(dāng)點(diǎn)P在線段CB的延長(zhǎng)線上時(shí)，GH交AB于點(diǎn)M,求證：點(diǎn)M在線段

EF的垂直平分線上；

(3)當(dāng)4B=5時(shí)，在點(diǎn)E由點(diǎn)A移動(dòng)到中點(diǎn)的過(guò)程中，計(jì)算出點(diǎn)G運(yùn)動(dòng)的路線長(zhǎng).

圖1圖2備用圖

37.如圖所示，直線丫=依1+人與雙曲線y="交于A、B兩點(diǎn),已知點(diǎn)8的縱坐標(biāo)為-3,

直線AB與x軸交于點(diǎn)C,與y軸交于點(diǎn)。(0,-2),OA=娓,tanZAOC=.1.

(1)求直線AB的解析式；

(2)若點(diǎn)尸是第二象限內(nèi)反比例函數(shù)圖象上的一點(diǎn)，△OCP的面積是△OQB的面積的

2倍，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

(3)直接寫出不等式％x+8W”的解集.

38.如圖，半圓形薄鐵皮的直徑AB=8,點(diǎn)。為圓心，C是半圓上一動(dòng)點(diǎn)(不與4B重合),

連接AC并延長(zhǎng)到點(diǎn)。，使AC=C￡>,過(guò)點(diǎn)。作AB的垂線OH交融，CB,AB于點(diǎn)E,

F,H,連接。C,記N4BC=0,8隨點(diǎn)C的移動(dòng)而變化.

(1)移動(dòng)點(diǎn)C,當(dāng)點(diǎn)H,。重合時(shí)，求sin。的值;

(2)當(dāng)。<45°時(shí)，求證：BH?AH=DH?FH；

(3)當(dāng)8=45°時(shí)，將扇形04c剪下并卷成一個(gè)圓錐的側(cè)面，求該圓錐的底面半徑和

高.

-2區(qū))，拋物線與

39.如圖，在直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線的頂點(diǎn)為M(2,

3

x軸的一個(gè)交點(diǎn)為A(4,0),點(diǎn)B(2,2M)與點(diǎn)C關(guān)于y軸對(duì)稱.

(1)判斷點(diǎn)C是否在該拋物線上，并說(shuō)明理由;

(2)順次連接A8,BC,CO,判斷四邊形A8CO的形狀并證明；

(3)設(shè)點(diǎn)P是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，連接以、PC、AC,△以C的面積S隨點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)而變

化，請(qǐng)?zhí)骄縎的大小變化并填寫表格①?④處的內(nèi)容；當(dāng)S的值為②時(shí)，求點(diǎn)P的橫坐

標(biāo)的值.

直線AC的函數(shù)表達(dá)S取的一個(gè)特殊值滿足條件的P點(diǎn)的個(gè)S的可能取值范圍

式數(shù)

①_______64個(gè)③______

②______3個(gè)\

102個(gè)④______

40.如圖1,在△ABC中，/C=90°,ZABC=30°,AC=1,。為△ABC內(nèi)部的一動(dòng)點(diǎn)

(不在邊上)，連接8￡>,將線段BO繞點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°,使點(diǎn)B到達(dá)點(diǎn)F的位置；

將線段AB繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°,使點(diǎn)4到達(dá)點(diǎn)E的位置，連接A。，CD,AE,AF,

BF,EF.

(1)求證：ABDAmABFE；

(2)①C￡>+Df+FE的最小值為；

②當(dāng)CD+DF+FE取得最小值時(shí)，求證：AD//BF.

(3)如圖2,M,N,P分別是。F,AF,AE的中點(diǎn)，連接MP,NP,在點(diǎn)。運(yùn)動(dòng)的過(guò)

程中，請(qǐng)判斷/MPN的大小是否為定值.若是，求出其度數(shù)；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.

41.如圖，已知RtzXABC中，ZC=90°.

（1）請(qǐng)按如下要求完成尺規(guī)作圖（不寫作法，保留作圖痕跡）.

①作NB4c的角平分線A。，交8c于點(diǎn)力；

②作線段AD的垂直平分線EF與AB相交于點(diǎn)0；

③以點(diǎn)。為圓心，以。。長(zhǎng)為半徑畫圓，交邊AB于點(diǎn)

（2）在（1）的條件下，求證：8c是。。的切線；

（3）若4M=4BM,4c=10,求。。的半徑.

2021年山東中考數(shù)學(xué)提優(yōu)集錦

參考答案與試題解析

一.選擇題（共9小題）

1.新定義：在平面直角坐標(biāo)系中，對(duì)于點(diǎn)尸（機(jī)，〃）和點(diǎn)尸‘（加，n'）,若滿足時(shí)，

n'=n-4；zn<0時(shí)，n'=-n,則稱點(diǎn)P'（機(jī)，n'）是點(diǎn)P（相，n）的限變點(diǎn).例

如：點(diǎn)尸1（2,5）的限變點(diǎn)是Pi'（2,1）,點(diǎn)P2（-2,3）的限變點(diǎn)是尸2,（-2,

-3）.若點(diǎn)〃）在二次函數(shù)y=-W+4x+2的圖象上，則當(dāng)-1WWW3時(shí)，其限變

點(diǎn)P'的縱坐標(biāo)〃’的取值范圍是（）

A.-2，'<2B.1W”'W3C.IfW2D.—'W3

【解答】解：由題意可知，

當(dāng)機(jī)20時(shí)，n'=-n^+4m+2-4=-（nj-2）2+2,

.?.當(dāng)時(shí)，-2W"'<2,

當(dāng)機(jī)<0時(shí)，n'—nr-4m-2—Cm-2）2-6,

.,.當(dāng)時(shí)，-2<〃'W3,

綜上，當(dāng)-lWmW3時(shí)，其限變點(diǎn)P'的縱坐標(biāo)H的取值范圍是-2W〃'W3,

故選：D.

2.如圖，在aABC中，/ABC=90°,NC=30°,以點(diǎn)A為圓心，以AB的長(zhǎng)為半徑作弧

交AC于點(diǎn)。，連接8D,再分別以點(diǎn)B,。為圓心，大于工2。的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧交

2

于點(diǎn)P,作射線AP交BC于點(diǎn)E,連接QE,則下列結(jié)論中不正確的是（）

c.SaedcD.B0=BC，BE

2AABC3

【解答】解：由題意可得NA8C=90°,ZC=30°,AB=AD,A尸為8。的垂直平分線,

；.BE=DE,

：.ZBAE^ZDAE=30°,

...△AEC是等腰三角形，

\'AB=^AD,AC=2AB,

.?.點(diǎn)。為AC的中點(diǎn)，

???QE垂直平分線段AC,

故選項(xiàng)A,8正確，不符合題意；

在△ABC和△EDC中，ZC=ZC,ZABC=ZEDC=90°,

AABCs△8￡＞（7,

.ABACBC

"ED"EC"DC"

；,二cos30°3DC=.

??記辛，

上沁=（如）2=3，

bAEDC

s

AEDC故選項(xiàng)c錯(cuò)誤，符合題意；

2△ABC3

在△A8O中，'：AB=AD,ZBAD=60°,

...△A8O是等邊三角形，

AZABD=ZADB=60°,

NO8E=NBDE=30°,

在和△8QC中，NDBC=NEBD=30°,ZBDE=ZC=30°,

：.ABEDs/XBDC,

.BEBD

,,瓦文

:.B》=BOBE,故選項(xiàng)。正確，不符合題意.

故選：C.

3.如圖，在四邊形紙片ABCD中，AD//BC,AB=10,ZB=60°,將紙片折疊，使點(diǎn)B

落在A。邊上的點(diǎn)G處，折痕為EF,若/8FE=45°,則的長(zhǎng)為（）

C.5-73D.返

5

【解答】解:由折疊知：BF=GF,/BFE=/GFE,

VZBF￡=45°,

：.ZBFG=90°,

過(guò)點(diǎn)A作于"，

■:AD//BC,

：.ZGAH=ZAHB=90°,

AZGAH=ZAHB=ZBFG=90°,

???四邊形AHFG是矩形，

:?FG=AH=5g

：.BF=GF=5yf3.

故選：C.

4.已知反比例函數(shù)y=2的圖象如圖所示，則一次函數(shù)y=cx+〃和二次函數(shù)yuo^+^x+c在

x

同一平面直角坐標(biāo)系中的圖象可能是（）

【解答】解：???反比例函數(shù)的圖象在二、四象限，

A、?.?二次函數(shù)圖象開口向上，對(duì)稱軸在y軸右側(cè)，交），軸的負(fù)半軸,

二。>0,b<0,c<0,

一次函數(shù)圖象應(yīng)該過(guò)第一、二、四象限，4錯(cuò)誤；

8、?.?二次函數(shù)圖象開口向下，對(duì)稱軸在y軸右側(cè)，

.'.a<0,Z?>0,

...與b<0矛盾，8錯(cuò)誤；

C、?.?二次函數(shù)圖象開口向下，對(duì)稱軸在y軸右側(cè)，

.".a<0,h>0,

...與b〈0矛盾，C錯(cuò)誤；

?二次函數(shù)圖象開口向上，對(duì)稱軸在y軸右側(cè)，交），軸的負(fù)半軸，

，。>0,b<0,c<0,

?次函數(shù)圖象應(yīng)該過(guò)第一、二、四象限，。正確.

故選：D.

5.如圖，在矩形ABC。中，AB=5,BC=5?,點(diǎn)P在線段BC上運(yùn)動(dòng)（含B、C兩點(diǎn)），

連接AP,以點(diǎn)A為中心，將線段AP逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°至UA。，連接OQ,則線段。。的

最小值為（）

BPC

A.互B.5J2C.包1D.3

23

【解答】解：如圖，以AB為邊向右作等邊△ABF,作射線FQ交A。于點(diǎn)E,過(guò)點(diǎn)。作

DHLQE于H.

:四邊形ABCD是矩形，

NABP=NBAD=90°,

「△ABF,AAP。都是等邊三角形，

：.ZBAF^ZPAQ=60Q,BA=FA,PA=QA,

：.4BAP=2FAQ,

在△BAP和△或。中，

'BA=FA

-ZBAP=ZFAQ>

PA=QA

.'.△BAP絲△EAQ(SAS),

.?.NABP=NAF2=90°,

,：ZFAE=90°-60°=30°,

：.ZAEF=90°-30°=60°,

"：AB=AF=5,AE=AF+cos30°=口強(qiáng),

3

...點(diǎn)Q在射線FE上運(yùn)動(dòng)，

,:AD=BC=5g

.\DE=AD-AE=^&,

3

'：DH±EF,NDEH=NAEF=60°,

.?.DH=Dfsin600=&Zlx返=5,

322

根據(jù)垂線段最短可知，當(dāng)點(diǎn)Q與H重合時(shí)，。。的值最小，最小值為

2

故選:A.

6.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形AOBO的邊。8與x軸的正半軸重合，AO〃OB,

Q8_Lx軸，對(duì)角線AB,。。交于點(diǎn)M.已知A。：0B=2：3,△AM。的面積為4.若反

比例函數(shù)＞=區(qū)的圖象恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)M,則k的值為（）

D.12

555

【解答】解：過(guò)點(diǎn)M作MHLOB于H.

25

“=里

5

故選：B.

7.如圖，ZiABC是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形，D、E為線段AC上兩動(dòng)點(diǎn)，且N￡>BE=30°,

過(guò)點(diǎn)力、E分別作AB、BC的平行線相交于點(diǎn)F,分別交BC、4B于點(diǎn)"、G.現(xiàn)有以下

結(jié)論：①SAA8C=Y2；②當(dāng)點(diǎn)。與點(diǎn)C重合時(shí)，F(xiàn)H=L；?AE+CD=^]3DE,④當(dāng)AE

42

=C。時(shí)，四邊形BHFG為菱形，其中正確結(jié)論為（）

C.①②③④D.②③④

【解答】解：①過(guò)點(diǎn)A作APLBC于點(diǎn)尸，如圖1：

圖1

?.?△A8C是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形，AP1BC,

.?.BP=JL8C=L

22

/MP=VAB2-BP2=2y,

SAABC-|BCxAP=aXIX喙故①正確；

②當(dāng)點(diǎn)。與點(diǎn)C重合時(shí)，H,D,C三點(diǎn)重合，如圖2：

A

；NDBE=30°,ZABC=60°,

.?.BE是/ABC的平分線，

\'AB=BC,

:.AE=EC=1AC=^,

22

'：CF//AB,

.".ZFCA=ZA=60°,

VGF//BC,

...NFEC=NACB=60°,

:.NFCE=NFEC=60°,

：.NFCE=NFEC=NF=60°,

...△EFC為等邊三角形，

：.FC=EC^^,

2

即尸”=上.故②正確；

2

③如圖3,將△CB。繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°,得到△A8M連接NE,過(guò)點(diǎn)N作NPLAC,

交CA的延長(zhǎng)線于P,

圖3

：.BD=BN,CD=AN,NBAN=NC=60°,NCBD=/ABN,

9：ZDBE=30°,

ZCBD+ZABE=30Q=ZABE+ZABN=/EBN,

EBN=NDBE=30°,

又?：BD=BN,BE=BE,

:ADBE沿/\NBE（SAS）,

:?DE=NE,

VZM4P=180°-ZBAC-ZNAB=60Q,

：.AP=^AN,NP^J3AP=J^AN=J^-CD,

222

,：NP2+PE2=NE2,

：.3.CD2+（AE+l.CD）2=DE2,

42

AAEr+CI^+AE'CD=DE2,故③錯(cuò)誤；

「△ABC是等邊三角形，

二/A=ZABC=ZC=60°,

'：GF//BH,BG//HF,

：.四邊形BHFG是平行四邊形，

,JGF//BH,BG//HF,

；./AGE=/4BC=60°,NDHC=NABC=60°,

/.AAGE,△OCH都是等邊三角形，

：.AG=AE,CH=CD,

'：AE=CD,

：.AG=CH,

：.BH=BG,

.?.口84人7是菱形，故④正確，

故選：B,

8.拋物線y=a/+加葉。（aWO）的對(duì)稱軸是直線x=-1,其圖象如圖所示.下列結(jié)論：①

abc<0；②（4〃+c）2<（2b）2；③若（xi,yi）和（地，”）是拋物線上的兩點(diǎn)，則當(dāng)陽(yáng)+1|

>僅2+11時(shí)，yiV”；④拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（-1,加），則關(guān)于X的方程4/+〃刈^="2-

1無(wú)實(shí)數(shù)根.其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）

【解答】解：①???拋物線圖象開口向上，

??,對(duì)稱軸在直線y軸左側(cè)，

:?a,b同號(hào)，b>Of

;拋物線與y軸交點(diǎn)在x軸下方，

Ac<0,

abc<Of故①正確.

②(4〃+c)2-(2b)2=(4a+c+2h)(4〃+c-2b),

當(dāng)x=2時(shí)ax^+bx+c=4(7+C+2Z?,由圖象可得4〃+c+2b>0,

由圖象知，當(dāng)x=-2時(shí)，a^+bx-^-c=4a+c-2b,由圖象可得4a+c-2。<0,

???(4〃+c)2-(2b)2<0,BP(4〃+c)2<(28)2,

故②正確.

③㈤+1|=田-|X2+1|=|X2-(-1)|,

V|X1+1|>|X2+1|,

???點(diǎn)(xi,yi)到對(duì)稱軸的距離大于點(diǎn)(必”)到對(duì)稱軸的距離，

故③錯(cuò)誤.

④??,拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(-1,m)，

.\ax2'+bx+c=m-1無(wú)實(shí)數(shù)根.

故④正確，

綜上所述，①②④正確，

故選：B.

9.記實(shí)數(shù)XI,X2,…，X〃中的最小數(shù)為相加｛xi,X2,

則函數(shù)y=〃z%｛2x-1,x,4-x｝的圖象大致為（

AB

CD

【解答】解：如圖，由2x-l=x得：尤=1,

???點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為1,

由4-x=x得：x=2,

???點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為2,

當(dāng)xW1時(shí),y=min{2x-1,x,4-x}=2x-1,

當(dāng)1VXW2時(shí)，y=min{2x-1,x,4-x}=x,

二.填空題（共9小題）

10.已知正方形A8CO的邊長(zhǎng)為3,E為CD上一點(diǎn)、,連接AE并延長(zhǎng)，交BC的延長(zhǎng)線于

點(diǎn)F,過(guò)點(diǎn)。作QGLAF,交AF于點(diǎn)、H,交8F于點(diǎn)G,N為EF的中點(diǎn)，M為BD上

c

一動(dòng)點(diǎn)，分別連接MGMN.若ZCG」則MN+MC的最小值為2J二歷.

,△FCE4

【解答】解：???四邊形A3CQ是正方形，

???A點(diǎn)與。點(diǎn)關(guān)于3。對(duì)稱，

，CM=AM,