拋物線的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程

2.4.1拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程8/27/2024拋物線的生活實例投籃運(yùn)動8/27/20248/27/2024薩爾南拱門8/27/20248/27/2024

拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程

8/27/2024實驗?zāi)Ｐ停?/p>

MF

如圖，點F是定點,L是不經(jīng)過點F的定直線。H是L上任意一點，過點H作，線段FH的垂直平分線交MH于點M，拖動點H，觀察點M的軌跡，你能發(fā)現(xiàn)點M滿足的幾何條件嗎？

實驗8/27/2024

平面內(nèi)與一個定點F和一條定直線l（l不經(jīng)過點F）的距離相等的點的軌跡叫做拋物線一、拋物線定義其中

定點F叫做拋物線的焦點定直線l

叫做拋物線的準(zhǔn)線lHFM··定義告訴我們：1、判斷拋物線的一種方法2、拋物線上任一點的性質(zhì)：|MF|=|MH|8/27/20241、到定點（3，0）與到直線的距離相等的點的軌跡是（）A.橢圓B.雙曲線C.拋物線D.直線2、到定點（3，0）與到直線的距離相等的點的軌跡是（）A.橢圓B.雙曲線C.拋物線D.直線CD練習(xí)8/27/2024二、拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程1.建:建立直角坐標(biāo)系.3.限（現(xiàn)）:根據(jù)限制條件列出等式;4.代:代入坐標(biāo)與數(shù)據(jù);5.化:化簡方程.2.設(shè):設(shè)所求的動點(x,y);回顧求曲線方程一般步驟：8/27/2024·FMlH建系xyyOyOON·KNFK8/27/2024（一）標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo):yo·F設(shè)︱KF︱=p（p

>0）由|MF|=|MH|可知，化簡得y2=2px（p＞0）如圖，以過F點垂直于直線的直線為軸，F(xiàn)和垂足的中點為坐標(biāo)原點建立直角坐標(biāo)系K則F（，0），：x=-

p2p2設(shè)動點M的坐標(biāo)為（x，y），·M(x,y)H8/27/2024

把方程

y2=2px（p＞0）

叫做拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程而p

的幾何意義是:

焦點到準(zhǔn)線的距離

其中焦點

F（，0），準(zhǔn)線方程l：x

=-

p2p2KOlFxy.想一想:在建立橢圓、雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程時，選擇不同的坐標(biāo)系我們得到了不同形式的標(biāo)準(zhǔn)方程，那么拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程有哪些不同的形式？看圖8/27/2024圖形標(biāo)準(zhǔn)方程焦點坐標(biāo)準(zhǔn)線方程（二）四種拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程圖8/27/2024（三）區(qū)別與聯(lián)系1、四種形式標(biāo)準(zhǔn)方程及圖像的共同特征（1）、二次項系數(shù)都化成了_______（2）、四種形式的方程一次項的系數(shù)都含2p1（3）、四種拋物線都過____點；焦點與準(zhǔn)線分別位于此點的兩側(cè)，且離此點的距離均為____O8/27/20241、一次項(x或y)定焦點2、一次項系數(shù)符號定開口方向.正號朝坐標(biāo)軸的正向，負(fù)號朝坐標(biāo)軸的負(fù)向。二、四種形式標(biāo)準(zhǔn)方程及圖像的區(qū)別8/27/2024例1已知拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是y2=6x，求它的焦點坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程；解:∵2P=6,∴P=3所以拋物線的焦點坐標(biāo)是（，0）準(zhǔn)線方程是x=是一次項系數(shù)的是一次項系數(shù)的的相反數(shù)三、應(yīng)用8/27/2024練習(xí)求下列拋物線的焦點坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程（1）y

2=-20x（2）y=6x

2

焦點F(-5,0)準(zhǔn)線：x=5焦點F(0,)124準(zhǔn)線：y=－1248/27/2024例2已知拋物線的焦點坐標(biāo)是F（0，-2）求它的標(biāo)準(zhǔn)方程。解:因為焦點在y的負(fù)半軸上,所以設(shè)所求的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2=-2py

由題意得，即p=4∴所求的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2=-8y8/27/2024解題感悟:求拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的步驟：（1）確定拋物線的形式.（2）求p值（3）寫拋物線方程8/27/2024求過點A（-3，2）的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程。

．AOyx解:（1）當(dāng)拋物線的焦點在y軸的正半軸上時，把A（-3，2）代入x2=2py，得p=（2）當(dāng)焦點在x軸的負(fù)半軸上時，把A（-3，2）代入y2=-2px，得p=∴拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2

=

y或y2

=

x。鞏固提高：注意:焦點或開口方向不定，則要注意分類討論8/27/2024例3.一種衛(wèi)星接收天線的軸截面如圖。衛(wèi)星波束呈近似平行狀態(tài)射入軸截面為拋物線的接收天線，經(jīng)反射聚集到焦點處。已知接收天線的口徑為4.8m,深度為0.5m，試建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和焦點坐標(biāo)。8/27/2024小結(jié)1.理解拋物線的定義,2.掌握拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程的四種形式以及P的幾何意義.3.注重數(shù)形結(jié)合、分類討論思想的應(yīng)用8/27/2024練習(xí)根據(jù)下列條件寫出各自的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程（1）焦點是F（3，0）（2）焦點到準(zhǔn)線的距離為2y2=12xy2=4x,y2=－4x,x2=4y,x2=－4y8/27/20244a1焦點坐標(biāo)是（0，），準(zhǔn)線方程是：y=4a1②當(dāng)a<0時,,拋物線的開口向下p2=14a焦點坐標(biāo)是（0，），準(zhǔn)線方程是：y=4a114a①當(dāng)a>0時,,拋物線的開口向上p2=14a二次函數(shù)

(a≠0)的圖象為什么是一條拋物線？試指出它的開口方向、焦點坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程。解：二次函數(shù)化為：

其中思考:8/27/2024作業(yè)

P73A組：1,2（必做）補(bǔ)充：求經(jīng)過點p（4，-2）的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程。8/27/2024解法一：以

為

軸，過點

垂直于

的直線為軸建立直角坐標(biāo)系（如下圖所示）,則定點設(shè)動點點，由拋物線定義得：化簡得：M(x,y)xyOFL8/27/2024解法二：以定點

為原點，過點垂直于

的直線為

軸建立直角坐標(biāo)系（如下圖所示），則定點