第2章 連續(xù)信號(hào)與系統(tǒng)的時(shí)域分析

信號(hào)與系統(tǒng)信號(hào)與系統(tǒng)——多媒體教學(xué)課件長(zhǎng)沙理工大學(xué)電氣學(xué)院電子信息工程系X長(zhǎng)沙理工大學(xué)

電氣與信息工程學(xué)院信號(hào)與系統(tǒng)第2章

連續(xù)信號(hào)與系統(tǒng)的時(shí)域分析q

2.3

信號(hào)的相關(guān)分析2.3.1

相關(guān)系數(shù)q

2.1

連續(xù)時(shí)間基本信號(hào)2.1.1

奇異信號(hào)2.1.2

正弦信號(hào)2.3.2

相關(guān)函數(shù)2.1.3

指數(shù)信號(hào)2.3.3

相關(guān)定理q

2.4

連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的零輸入2.1.4

抽樣信號(hào)2.1.5

單位門信號(hào)2.1.6

三角形信號(hào)2.1.7

符號(hào)信號(hào)響應(yīng)2.4.1

系統(tǒng)的初始條件2.4.2

零輸入響應(yīng)的求解q

2.5

連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的零狀態(tài)2.1.8

單位斜坡信號(hào)q

2.2卷積積分響應(yīng)2.2.1

卷積的定義2.5.1

連續(xù)信號(hào)f(t)的

(t)分解2.5.2

(t)激勵(lì)下的零狀態(tài)響應(yīng)2.5.3

f(t)激勵(lì)下的零狀態(tài)響應(yīng)2.5.4

連續(xù)系統(tǒng)的階躍響應(yīng)2.2.2

卷積的圖解機(jī)理2.2.3

卷積的性質(zhì)2.2.4

常用信號(hào)的卷積公式X長(zhǎng)沙理工大學(xué)

電氣與信息工程學(xué)院信號(hào)與系統(tǒng)第2章

連續(xù)信號(hào)與系統(tǒng)的時(shí)域分析2.1

連續(xù)時(shí)間基本信號(hào)2.1.1

奇異信號(hào)ì

1,

t

3

0e(t)

=u單位階躍信號(hào)í0,

t

<

0?ì

0

t

1

0￥òd

(t)

=且d

(t)dt

=

1u單位沖激信號(hào)u單位沖激偶í￥

t

=

0?-￥d￠d

(t)

=

d

(t)dtde(t)tò￠u它們的關(guān)系

d

(t)

==

e

(t)

或

e(t)

=

d

(t

)dtdt-￥它們的性質(zhì)詳見1.4節(jié)。X長(zhǎng)沙理工大學(xué)

電氣與信息工程學(xué)院信號(hào)與系統(tǒng)2.1連續(xù)時(shí)間基本信號(hào)2.1.2

正弦信號(hào)一般形式：f

(t)

=

Acos(wt

+j)振

幅：A2p

1w

fT

=

=周

期：f

(t)Tw

=

2p

f角頻率：Aj初相位：O2πwt頻

率：

fjw意義：連續(xù)時(shí)間正弦信號(hào)是物理學(xué)中簡(jiǎn)諧振動(dòng)的數(shù)學(xué)描述。作用：正弦信號(hào)或虛指數(shù)信號(hào)作為一種基本信號(hào)常用于連續(xù)信號(hào)與系統(tǒng)的頻域分析中。X長(zhǎng)沙理工大學(xué)

電氣與信息工程學(xué)院信號(hào)與系統(tǒng)2.1連續(xù)時(shí)間基本信號(hào)2.1.3

指數(shù)信號(hào)f

(t)

=

Aest，

A與s取不同值有不同形式。一般形式：1.

實(shí)指數(shù)信號(hào)若A=a

和s=

均為實(shí)數(shù)，則

f(t)為實(shí)指數(shù)信號(hào)，即f

(t)

ae=s

tf

(t

)s

<

0s

>

0s

=

0s

=

0s

<

0??，直流(常數(shù))；，指數(shù)衰減；as

>?

0

，指數(shù)增長(zhǎng)。tO重要特性：其對(duì)時(shí)間

t

的微分和積分仍然是指數(shù)形式。X長(zhǎng)沙理工大學(xué)

電氣與信息工程學(xué)院信號(hào)與系統(tǒng)2.1連續(xù)時(shí)間基本信號(hào)2.

虛指數(shù)信號(hào)f

(t)

e=

jwt若A=1

和

s=jw，則

f(t)為虛指數(shù)信號(hào)，即根據(jù)歐拉公式，虛指數(shù)信號(hào)可以表示為說明jwt

=

w

+e

cos(

t)

jsin(

t)wjwte上式表明：

的實(shí)部和虛部都是角頻率為w

的正弦振蕩。jwtep

w。顯然，

是周期信號(hào)，其周期為211由上式易知：

w

=jwt--

jwtw

=(e

e

),

cos(

t)

(e

e

)jwt+-

jwtsin(

t)2

j2Aw

+j

=Acos(

t

)

[ej(wt+j

)

+

-

j(wt+j

)e]如正弦信號(hào)可寫成：2注意：實(shí)際系統(tǒng)中虛指數(shù)信號(hào)及負(fù)(角)頻率是不存在的，這僅僅是一種數(shù)學(xué)表示而已，是為了理論分析的需要而引入。X長(zhǎng)沙理工大學(xué)

電氣與信息工程學(xué)院信號(hào)與系統(tǒng)2.1連續(xù)時(shí)間基本信號(hào)3.

復(fù)指數(shù)信號(hào)若A和

s

都是復(fù)數(shù)，則

f(t)為復(fù)指數(shù)信號(hào)。=

s

+

w=jjj設(shè)

A

Ae

,s通常稱

為復(fù)頻率=st

=jj(s

+

jw

)t則

f

(t)

Ae

A

e

×

e=A

e

[cos(

t

)

j

sin(

t

)]s

tw

+j

+w

+

j討論(實(shí)部和虛部)：s

=

0,

w

=

0直流s

wì

=

0,

1

0

等幅üì???s

>

0,

w

=

0

增長(zhǎng)指數(shù)信號(hào)s

<

0,

w

=

0

衰減指數(shù)信號(hào)sw>

0,

1

0

增幅

正弦振蕩í?í?y?0,s

<

w

1

衰減0??t復(fù)指數(shù)信號(hào)是連續(xù)信號(hào)與系統(tǒng)復(fù)頻域分析中經(jīng)常使用的一種基本信號(hào)。X長(zhǎng)沙理工大學(xué)

電氣與信息工程學(xué)院信號(hào)與系統(tǒng)2.1連續(xù)時(shí)間基本信號(hào)2.1.4

抽樣信號(hào)sint(

)Sa

t1Sa(t)

=(-￥

<

t

<

￥

)t2πt-

ππ3πO性質(zhì)：(1)

lim

Sa(t)

=

1(2)

lim

Sa(t)

=

0t?

0t?

±￥(

)

(

)(3)

Sa

-t

=

Sa

t

，偶函數(shù)(4)

Sa(t)

=

0,

t

=

±kp

(k

=

1,

2,

3L)sintsintp￥￥￥òòò0(5)

Sa(t)dt

=dt

=

p

,dt

=tt2-￥-￥X長(zhǎng)沙理工大學(xué)

電氣與信息工程學(xué)院信號(hào)與系統(tǒng)2.1連續(xù)時(shí)間基本信號(hào)2.1.5

單位門信號(hào)gt

(t)ìt?

1,

|

t

|￡1=定義：

g

(t)

í2t?0,

其它?ttg

(t)

(t

)

(t

)=e

+

-

e

-t-t2Ot

2顯然t222.1.6

三角形信號(hào)ì

t1+

,

-t

￡

t

￡

0L(t)?2tt?1?

tL

(t)

=

1-

,

0

￡

t

￡

t定義：í2tt0,??-tt其它tO??X長(zhǎng)沙理工大學(xué)

電氣與信息工程學(xué)院信號(hào)與系統(tǒng)2.1連續(xù)時(shí)間基本信號(hào)2.1.7

符號(hào)信號(hào)sgn(t)ì

1,

t

>

0?==定義：

sgn(t)

í

0,

t

0?-1,

t

<

0?=

e

-e

-

=

e

-顯然

sgn(t)

(t)

(

t)

2

(t)

12.1.8

單位斜坡信號(hào)r(t)ì

t,

t

>

0定義：r(t)

=

í=

te(t)0,

t

<

0?td

(t),e(t)與r(t)之間的關(guān)系O2ddtttò

òò-￥[r(t)]

=

[e(t)]

=

d

(t)(

)d

d

(

)d

r(t)d

t

t

t

=

e

t

t

=2dtdt-￥

-￥X長(zhǎng)沙理工大學(xué)

電氣與信息工程學(xué)院信號(hào)與系統(tǒng)2.2

卷積積分2.2.1

卷積積分的定義設(shè)

f

(t)和

f

(t)是定義在區(qū)間(–∞,∞)上的兩個(gè)連續(xù)時(shí)間信號(hào)，12則定義積分￥òf

(t

)

f

(t

-

t

)dtf

(t)*

f

(t)

=1212-

￥為

f

(t)與

f

(t)的卷積積分，簡(jiǎn)稱卷積；記為

f

(t)*f

(t)1212注意：積分是在虛設(shè)的變量t

下進(jìn)行的，t

為積分變量，t為參變量。結(jié)果仍為

t的函數(shù)。￥f(2t)*

f

(5-

2t)=

f(2t)f

[(5-

2(t

-

t)]dtò例如：1212-￥關(guān)于積分上下限的問題：t￥t(1)

f(t)f

(t

-

t)dt

(2)

f

(

)f

(t

-

)d

(3)

f

(

)f

(t

-

)dòò

tt

t

ò

tt

t121212-￥00=

f

(t)*[

f

(t)e(t)]=[

f

(t)e(t)]*

f

(t)

=[

f

(t)e(t)]*

[

f

(t)e(t)]121212X長(zhǎng)沙理工大學(xué)

電氣與信息工程學(xué)院信號(hào)與系統(tǒng)2.2

卷積積分2.2.2

卷積的圖解機(jī)理￥(

)

(

)

ò

(t

)

(

t

)

tf

t

*

f

t

=

f

f

t

-

d1212-

￥卷積過程可分解為以下幾步：對(duì)

t

時(shí)

移

t-

(t

-

t

)

=

t

-

tStep1:換元?

tf

(t)

f

(

),

f

(t)

f

(

)?

t1122Step2

:

翻轉(zhuǎn)平移

f2

(t

)

????

f2

(-t

)

????

f2

(t

-

t

)翻轉(zhuǎn)平移Step3:相乘

f

(t

)*

f

(t

-

t

)12￥Step4

:積分

f

(t

)*

f

(t-

t

)dtò12-

￥Step5:

f1(t

)的圖形不動(dòng)，令參變量t在(-￥

,￥

)內(nèi)變化，重復(fù)Step2～

Step4，最終得到卷積

f

(t)*

f

(t)12用圖解法求卷積，直觀明了，但計(jì)算過程繁瑣。關(guān)鍵是確定積分上下限。X長(zhǎng)沙理工大學(xué)

電氣與信息工程學(xué)院信號(hào)與系統(tǒng)2.2

卷積積分例：

f

(t),f

(t)如圖所示，試用圖解法求卷積

y(t)=f

(t)*f

(t)。1212ì<t

1?

1t(t

)f1由圖易知f

(t)

í=f2

(t)=￡

￡(0

t

3)1t

1>?

0?21解:(1)

f

(t)換元為

f

(t)

；

f

(t)換元為

f

(t)

。tt1122-

1O1(2)

f

(t)

翻轉(zhuǎn)→f

(-t)t

f

(t-t)平移

→222(-t

)f2(3)

相乘求積分32f

(t

)×f2

(t

-

t

)=

0,故

y(t)

=

0①

t

<-1時(shí)

，1tO123②

-1≤t

≤1時(shí)，

f2(t

-t)

向右移-

3

-

2-11t2t

1ty(t)

=

ò

(t

-

t

)dt

=

+

+f1

(t

)24

2

41-

1f2(t-t)③

1≤t

≤2

時(shí)，tt

-3-

3

-

2

-

1

Ot123411ò(t

-

t

)dt

=

ty(t)

=y(t)2-

1④

2≤t

≤4

時(shí)，21t2t1y(t)

=

ò

(t

-

t

)dt

=

-

+

+

224

2t-

3⑤

4≤t

時(shí)，

y(t)

=

0-

2

-

1

O124tX長(zhǎng)沙理工大學(xué)

電氣與信息工程學(xué)院信號(hào)與系統(tǒng)卷積的圖解機(jī)理X長(zhǎng)沙理工大學(xué)

電氣與信息工程學(xué)院信號(hào)與系統(tǒng)2.2

卷積積分2.2.3

卷積的性質(zhì)卷積積分是一種數(shù)學(xué)運(yùn)算，它有許多重要的性質(zhì)（或運(yùn)算規(guī)則），靈活地運(yùn)用它們能簡(jiǎn)化卷積運(yùn)算。以下討論均設(shè)卷積積分是收斂的（或存在的）。利用該定律可將復(fù)雜信號(hào)放前面，簡(jiǎn)單信號(hào)放后面以簡(jiǎn)化計(jì)算性質(zhì)1

卷積代數(shù)(1)

交換律：

f

(t)*f

(t)=f

(t)*f

(t)1221(2)

分配律：

f

(t)*[f

(t)+f

(t)]=f

(t)*f

(t)+f

(t)*f

(t)1231213(3)

結(jié)合律：

[f

(t)*f

(t)]*f

(t)=f

(t)*[f

(t)*f

(t)]123123性質(zhì)2

f(t)與奇異信號(hào)的卷積+￥(1)

f

(t)*d

(t)

=

d

(t)*

f

(t)

=

f

(t)k

*

f

(t)

=

kò

f

(t

)dt特例：-

￥(2)

f

(t)*d

￠(t)

=

f

￠(t)d(n)(n)推論：f

(t)*

(t)

=

f

(t)t(3)

f

(t)*

(t)

f

(t)e

=

(-

1)

=

ò

t

tf

(

)de

e如：

(t)*

(t)

=

t

(t)e-

￥X長(zhǎng)沙理工大學(xué)

電氣與信息工程學(xué)院信號(hào)與系統(tǒng)2.2

卷積積分性質(zhì)3

卷積的微分和積分y(t)

=

f

(t)*

f

(t)，則有以下結(jié)論設(shè)12￠￠y￠(t)

=

f

(t)*

f

(t)

=

f

(t)*

f

(t)(1)微分性質(zhì)(2)積分性質(zhì)(3)微積分性質(zhì)1212(-

1)(-

1)(-

1)y

(t)

=

f

(t)*

f

(t)

=

f

(t)*

f

(t)1212￠￠(-

1)(-

1)y(t)

=

f

(t)*

f

(t)

=

f

(t)*

f

(t)1212說明：微積分性質(zhì)成立的條件是f

(-

￥

)

=

0

或

f

(-

￥

)

=

0例題12(k)(k)1(k)2y

(t)

=

f

(t)*

f

(t)

=

f

(t)*

f

(t)推廣：21(-

k

)(-

k

)1(-

k

)2y

(t)

=

f

(t)*

f

(t)

=

f

(t)*

f

(t)21(k

)1(-

k

)2(-

k

)1(k

)2y(t)

=

f

(t)*

f

(t)

=

f

(t)*

f

(t)X長(zhǎng)沙理工大學(xué)

電氣與信息工程學(xué)院信號(hào)與系統(tǒng)2.2

卷積積分性質(zhì)4

卷積時(shí)移f

(t)*

f

(t)

=

y(t)例題，則若12f

(t)*

f

(t

-

t

)

=

y(t

-

t

)

=

f

(t

-

t

)*

f

(t)1200102f

(t

-

t

)*

f

(t

-

t

)

=

y(t

-

t

-

t

)

=

f

(t

-

t

)*

f

(t

-

t

)1122121221f

(t)*d

(t)

=

f

(t)

和卷積的時(shí)移性質(zhì)得f

(t)*d

(t

-

t

)

=

f

(t

-

t

)常用信號(hào)的卷積公式見教材51頁(yè)由00上式具有“復(fù)制”和“平移”信號(hào)功能的作用。￥?d

(

)d

(t

-

mT

)例如，設(shè)周期為T

的單位沖激信號(hào)

t

=Tm=-

￥￥?f

(t)*dT

(t)=f

(t

-

mT

)=

fT

(t)則m=-

￥dT

(t)fT(t)f

(t)-tt-2T-ttO2T-2TO2T-TT-TTX長(zhǎng)沙理工大學(xué)

電氣與信息工程學(xué)院信號(hào)與系統(tǒng)第2章

連續(xù)信號(hào)與系統(tǒng)的時(shí)域分析2.3

信號(hào)的相關(guān)分析相關(guān)分析在工程中應(yīng)用比較多，是鑒別信號(hào)的有力工具，廣泛應(yīng)用于雷達(dá)回波的識(shí)別、通信同步信號(hào)識(shí)別等領(lǐng)域，如：發(fā)送端發(fā)出的信號(hào)波形是已知的，在接收端信號(hào)中，我們必須判斷是否存在由發(fā)送端發(fā)出的信號(hào)，困難在于接收端信號(hào)中即使包含了發(fā)送端發(fā)出的信號(hào)，也往往由于各種干擾產(chǎn)生了畸變。因此需要將兩個(gè)波形相比較，利用它們的相似或相依性作出判斷。2.3.1

相關(guān)系數(shù)設(shè)實(shí)信號(hào)

x(t)和

y(t)為能量信號(hào)，則稱￥òx(t)y(t)dtr

=-

￥xy￥￥ò

òx2

(t)dty2

(t)dt-

￥-

￥為信號(hào)

x(t)和

y(t)的相關(guān)系數(shù)。r相關(guān)系數(shù)

可以用來描述兩個(gè)信號(hào)波形的相似或相依程度。xyX長(zhǎng)沙理工大學(xué)

電氣與信息工程學(xué)院信號(hào)與系統(tǒng)2.3

信號(hào)的相關(guān)分析由相關(guān)系數(shù)的定義，根據(jù)積分的施瓦茲(Schwartz)不等式2￥￥￥òò

ò-￥

-￥￡x

(t)dt

y

(t)dt22x(t)y(t)dt-￥rxy

￡

1易知u

當(dāng)x(t)=ky(t)時(shí)，即兩信號(hào)線性相關(guān)，則rxy

=

1ìk

>

0,

r

=

1表明x(t)與

y(t)的波形相同，僅幅度上放大或縮小；表明x(t)與

y(t)極性相反，波形相同，幅度有縮放。?xyík

<

0,

rxy

=-

1??rxy

=

0u

x(t)與y(t)在

(-∞,+∞)上正交，即兩信號(hào)線性無關(guān)，則￥此時(shí)兩信號(hào)波形毫無相似之處，

x(t)y(t)dt

=

0ò-

￥<

rxy

<也不相互正交，只能用一個(gè)信號(hào)近似地表示另一個(gè)信號(hào)。1

既不能用一個(gè)信號(hào)精確地表示另一個(gè)信號(hào)，u

一般，0r越接近1，表示近似程度越高，越接近0，表示近似誤差越大。xyxy教材54頁(yè)

例

2.5rX長(zhǎng)沙理工大學(xué)

電氣與信息工程學(xué)院信號(hào)與系統(tǒng)2.3

信號(hào)的相關(guān)分析2.3.2

相關(guān)函數(shù)用相關(guān)系數(shù)定量描述x(t)與y(t)的相似或相依關(guān)系有很大的局限性。一個(gè)典型的例子如下圖所示。rxy

=

0易計(jì)算r它們的波形是完全一致的，因此用來描述兩個(gè)信號(hào)的相似性，會(huì)有xy其局限性或不合理性，為此引入互相關(guān)函數(shù)：￥￥R

(t

)

=

x(t)y(t

+t

)dt

=

x(t

-

t

)y(t)dtòòxy-

￥-

￥￥￥R

(t

)

=

y(t)x(t

+t

)dt

=

y(t

-

t

)x(t)dtòòyx-

￥-

￥可見，互相關(guān)函數(shù)是兩信號(hào)之間時(shí)間差t

的函數(shù)。下標(biāo)

x,y的先后秩序表示了一個(gè)信號(hào)相對(duì)另一個(gè)信號(hào)的平移方向。X長(zhǎng)沙理工大學(xué)

電氣與信息工程學(xué)院信號(hào)與系統(tǒng)2.3

信號(hào)的相關(guān)分析需要注意，一般

R

(t

)≠R

(t

)。不難證明，它們之間的關(guān)系是xyyxR

(t

)

=

R

(-t

)

或

R

(t

)

=

R

(-t

)xyyxyxxy如果

x(t)和

y(t)是同一信號(hào)，即

x(t)=

y(t)

時(shí)，稱為自相關(guān)函數(shù)。即：￥￥R

(t

)

=

x(t)x(t

+t

)dt

=

x(t

-

t

)x(t)dtòòxx-

￥-

￥R

(t

)

=

R

(-t

)容易看出，對(duì)自相關(guān)函數(shù)有：xxxx可見，實(shí)函數(shù)

x(t)的自相關(guān)函數(shù)是時(shí)移

的偶函數(shù)。2.3.3

相關(guān)定理￥x(t)*

y(t)

=

x(t

)y(t

-

t

)dtò函數(shù)x(t)和

y(t)卷積的表達(dá)式為：-

￥為了便于與互相關(guān)函數(shù)進(jìn)行比較，我們將互相關(guān)函數(shù)定義式中的變量

t

和進(jìn)行互換，可將實(shí)函數(shù)

x(t)和

y(t)的互相關(guān)函數(shù)寫為：￥R

(t)

=

x(t)y(t

-

t)dtòxy-

￥比較以上兩式可見，卷積積分和相關(guān)函數(shù)的運(yùn)算方法有許多相似之處。兩種運(yùn)算的不同之處僅在于，卷積運(yùn)算開始時(shí)需要將y(

)進(jìn)行翻轉(zhuǎn)，而相關(guān)運(yùn)算則不需翻轉(zhuǎn)。其他的移位、相乘和積分的運(yùn)算方法相同。X長(zhǎng)沙理工大學(xué)

電氣與信息工程學(xué)院信號(hào)與系統(tǒng)第2章

連續(xù)信號(hào)與系統(tǒng)的時(shí)域分析2.4

連續(xù)系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)2.4.1

系統(tǒng)的初始條件設(shè)系統(tǒng)初始觀察時(shí)刻

t=0，考慮到系統(tǒng)在激勵(lì)作用下，響應(yīng)y(t)及其各階導(dǎo)數(shù)在

t=0時(shí)刻可能發(fā)生跳變或出現(xiàn)沖激信號(hào)，因此，應(yīng)分別考察y(t)及其各階導(dǎo)數(shù)在初始觀察時(shí)刻前一瞬間t=0-和后一瞬間t=0+的情況。LTI系統(tǒng)的全響應(yīng)y(t)可分解為零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)之和

，即

y(t)=y

(t)+y

(t)。xf注意：對(duì)

t=0時(shí)輸入激勵(lì)

f(t)的n階系統(tǒng)，初始狀態(tài)

y

(j)(0+),

y

(j)(0+)

(j=0,1,2,…,n-1)的計(jì)算：xfy(j)(0-)=y

(j)(0-)+

y

(j)(0-)，y(j)(0+)=y

(j)(0+)+y

(j)(0+)xfxf對(duì)于零輸入響應(yīng)，由于激勵(lì)f(t)為零，故有y

(j)(0+)=y

(j)(0-)=

y(j)(0-)xx對(duì)于零狀態(tài)響應(yīng)，在

t=0-時(shí)刻激勵(lì)尚未接入，故應(yīng)有yf(j)(0-)=0X長(zhǎng)沙理工大學(xué)

電氣與信息工程學(xué)院信號(hào)與系統(tǒng)2.4連續(xù)系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)由上討論可知：

y(j)(0+)=

y(j)(0-)+

yf

(j)(0+)(2.4.7)在系統(tǒng)的微分方程經(jīng)典解法中，通常采用

0+初始條件。式(2.4.7)給出了系統(tǒng)

0-和0+

初始條件之間的相互關(guān)系，即系統(tǒng)的0+

初始條件可以通過

0-

初始條件和零狀態(tài)響應(yīng)及其各階導(dǎo)數(shù)的初始值

yf(j)(0+)共同來確定。關(guān)于0-和0+初始狀態(tài)若輸入

f(t)是在

t=0

時(shí)接入系統(tǒng)，此時(shí)

y(j)(0+)包含了輸入信號(hào)的作用，不便于描述系統(tǒng)的歷史信息。在

t=0-

時(shí)，激勵(lì)

f(t)尚未接入，該時(shí)刻的全響應(yīng)

y(j)(0-)反映了系統(tǒng)的歷史情況而與激勵(lì)無關(guān)。稱為

0-初始狀態(tài)(條件)。通常，對(duì)于具體的系統(tǒng)，

0-初始狀態(tài)一般容易求得。于是為了求解微分方程，就需要從已知的初始狀態(tài)

y(j)(0-)設(shè)法求得y(j)(0+)。下列舉例說明。X長(zhǎng)沙理工大學(xué)

電氣與信息工程學(xué)院信號(hào)與系統(tǒng)例：描述某系統(tǒng)的微分方程為y”(t)+

3y’(t)+2y(t)=2f’(t)+6f(t)2.4連續(xù)系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)已知

y(0

)=2，y’(0-)=

0，f(t)=e(t)，求y(0+)和y’(0+)。解：將輸入

f(t)=e(t)代入上述微分方程得y”(t)+3y’(t)

+2y(t)=2d

(t)+6e(t)（1）利用(沖激函數(shù))系數(shù)匹配法分析：上式對(duì)于

t=0-

也成立，在區(qū)間

0-<t<0+

等號(hào)兩端d

(t)項(xiàng)的系數(shù)應(yīng)相等。由于等號(hào)右端為2d

(t)，故

y”(t)應(yīng)包含沖激函數(shù)，從而

y’(t)在t=0處將發(fā)生跳變，即

y’(0+)≠y’(0-)。但

y’(t)不含沖激函數(shù)，否則

y”(t)將含有d

’(t)項(xiàng)。由于y’(t)中不含d

(t)，故

y(t)在

t=0處是連續(xù)的。故y(0+)=y(0-)=2X長(zhǎng)沙理工大學(xué)

電氣與信息工程學(xué)院信號(hào)與系統(tǒng)2.4連續(xù)系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)對(duì)式(1)兩端積分有0+0+0+0+0+òy''(t)dt

+

3

y'(t)dt

+

2

y(t)dt

=

2

d

(t)dt

+

6

e(t)dtò

ò

ò

ò0-

0-

0-

0-0-由于積分在無窮小區(qū)間[0-,0+]進(jìn)行的，且

y(t)在

t=0

連續(xù)，0+0+òy(t)dt

=

0,

另外

e(t)dt

=

0ò0-故0-于是由上式得[y’(0+)–y’(0-)]

+3[y(0+)–y(0-)]

=2考慮到

y(0+)=y(0-)=2，所以y’(0+)–

y’(0-)=2

，

即

y’(0+)=y’(0-)+2=2結(jié)論：當(dāng)微分方程等號(hào)右端含有沖激函數(shù)d

(t)及其各階導(dǎo)數(shù)時(shí)，響應(yīng)

y(t)及其各階導(dǎo)數(shù)中，有些在

t=0處將發(fā)生跳變。但如果右端不含時(shí)，則不會(huì)跳變。X長(zhǎng)沙理工大學(xué)

電氣與信息工程學(xué)院信號(hào)與系統(tǒng)2.4連續(xù)系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)2.4.2

連續(xù)系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)的求解通過下例簡(jiǎn)單說明連續(xù)系統(tǒng)零輸入響應(yīng)的時(shí)域求解方法。例：描述某系統(tǒng)的微分方程為y”(t)+3y’(t)+2y(t)=2f

’(t)+6f(t)已知

y(0-)=2，y’(0-)=0，f(t)=e(t)。求該系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)。解：零輸入響應(yīng)y

(t)對(duì)應(yīng)的激勵(lì)

f(t)為0，故

y

(t)滿足xxy

”(t)+3y

’(t)+2y

(t)=0

(齊次微分方程)xxx又由于

y

(0+)=y

(0-)=y(0-)=2xx因此

y

’(0+)=y

’(0-)=y’(0-)=0xx該齊次方程的特征根為

l

=–1和

l

=–2，故12y

(t)=C

e–t

+C

e–2tx12代入初始值并解得系數(shù)為C

=4,C

=–2

，于是得12yx(t)=4e–t

–2e–2t

,

t

≥0長(zhǎng)沙理工大學(xué)

電氣與信息工程學(xué)院X信號(hào)與系統(tǒng)2.4連續(xù)系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)時(shí)域法求解系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)比較繁瑣。本教材未作介紹，有興趣的同學(xué)可以參考高等數(shù)學(xué)常微分方程齊次解的內(nèi)容。特別說明：連續(xù)系統(tǒng)零輸入響應(yīng)的求解還有復(fù)頻域法，即

S

域（拉普拉斯變換）求解法，比時(shí)域法簡(jiǎn)單方便，將在第4章重點(diǎn)介紹。通過第3章的學(xué)習(xí)大家還會(huì)知道，頻域法只能求解系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)，不能求解零輸入響應(yīng)。同樣，對(duì)于離散系統(tǒng)完全響應(yīng)（零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)）的求解，也將重點(diǎn)介紹復(fù)頻域即Z

域求解法。X長(zhǎng)沙理工大學(xué)

電氣與信息工程學(xué)院信號(hào)與系統(tǒng)第2章

連續(xù)信號(hào)與系統(tǒng)的時(shí)域分析2.5

連續(xù)系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)對(duì)LTI系統(tǒng)，由于其具有齊次性、疊加性、時(shí)不變性，故如能實(shí)現(xiàn)將任意信號(hào)在時(shí)域分解為簡(jiǎn)單基本信號(hào)的線性組合，那么只要得到LTI系統(tǒng)對(duì)基本信號(hào)的響應(yīng)，就可以利用系統(tǒng)的線性特性，將系統(tǒng)的輸出響應(yīng)表示成基本信號(hào)的響應(yīng)的線性組合。本節(jié)將分別以d(t)和e(t)作為基本信號(hào)，討論如何將一般連續(xù)信號(hào)

f(t)分解為d(t)或e(t)的線性組合；然后求解系統(tǒng)在基本信號(hào)激勵(lì)下的零狀態(tài)響應(yīng)，并利用線性時(shí)不變性，導(dǎo)出

f(t)激勵(lì)下的零狀態(tài)響應(yīng)的計(jì)算方法。2.5.1

連續(xù)信號(hào)f(t)的d(t)分解￥(

)

(

)

d

(

)

ò

(t

)d

(

t

)

t已知

f

t

=

f

t

*

t

=

ft

-

d-

￥演示￥?=

limf

(kDt

)dD(t

-

kDt

)×DtDt

?

0k=-

￥上式表明：任何連續(xù)時(shí)間信號(hào)

f(t)都可分解為眾多基本信號(hào)d(t

t)的線性組合。X長(zhǎng)沙理工大學(xué)

電氣與信息工程學(xué)院信號(hào)與系統(tǒng)2.5連續(xù)系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)2.5.2

基本信號(hào)d

(t)激勵(lì)下的零狀態(tài)響應(yīng)u定義：當(dāng)激勵(lì)為單位沖激函數(shù)

d(t)時(shí)，系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)稱為單位沖激響應(yīng)，簡(jiǎn)稱沖激響應(yīng)，用

h(t)表示。h(t)d

(t)(1)h(t)d

(t)LTI系統(tǒng)tt0零狀態(tài)0u沖激響應(yīng)的計(jì)算三種方法：時(shí)域法、頻域法和復(fù)頻域法。本課程將在第3章和第4章重點(diǎn)介紹求解沖激響應(yīng)的頻域法和復(fù)頻域法。沖激響應(yīng)其實(shí)只是零狀態(tài)響應(yīng)的一種特例而已，即當(dāng)初始狀態(tài)為0，且輸入激勵(lì)為

f(t)=d(t)時(shí)，零狀態(tài)響應(yīng)為

yf(t)=h(t)。X長(zhǎng)沙理工大學(xué)

電氣與信息工程學(xué)院信號(hào)與系統(tǒng)2.5連續(xù)系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)2.5.3

一般信號(hào)

f(t)激勵(lì)下的零狀態(tài)響應(yīng)單位沖激響應(yīng)

h(t)

表示了連續(xù)系統(tǒng)的基本特征，對(duì)于不同的系統(tǒng)，其單位沖激響應(yīng)

h(t)

是不同的。下面推導(dǎo)yf(t)的計(jì)算公式：(

)

(

)f

t

T

y

t簡(jiǎn)化為：f(

)

(

)d

t

T

h

t[h(t)的定義](

)

(

)d

t

-t

T

h

t

-t[系統(tǒng)的時(shí)不變特性](

)

(

)(

)

(

)f

t

d

t

-t

dt

T

f

t

h

t

-t

dt[系統(tǒng)的齊次性][系統(tǒng)的疊加性][卷積定義及性質(zhì)]￥￥ò

(

)

(

)

ò

(

)

(

)f

t

d

t-t

dt

Tf

t

h

t-t

dt-￥-￥(

)

(

)

(

)(

)(

)f

t

*d

t

＝f

t

T

y

t

=

f

(t)*

h

tfLTI連續(xù)系統(tǒng)在一般信號(hào)

f(t)激勵(lì)下產(chǎn)生的零狀態(tài)響應(yīng)為：(

)(

)y

t

=

f

(t)*

h

t時(shí)域法

或卷積積分法fX長(zhǎng)沙理工大學(xué)

電氣與信息工程學(xué)院信號(hào)與系統(tǒng)2.5連續(xù)系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)f

(t)

e

2te(t)=-例1：已知某線性時(shí)不變系統(tǒng)，設(shè)系統(tǒng)的輸入信號(hào)，12=e-t(

)

。利用卷積積分求系統(tǒng)的零狀態(tài)e

t單位沖激響應(yīng)為

h(t)響應(yīng)

yf(t)。12+￥òy

(t)

f

(t)*h(t)==-2t

e

t

×

-(t-t

)e

-t

te

(

)

e

(t

)d解：f-￥1211t>0ò=e

e

d-t

t

=-t×e

(

e

)

|-t--tt>00=-t-

e(e

e

)

(t)-2t2202.5.4

連續(xù)系統(tǒng)的階躍響應(yīng)u定義：在基本信號(hào)e(t)

激勵(lì)下產(chǎn)生的零狀態(tài)響應(yīng)稱為系統(tǒng)的單(

)

(

)e

Tt

g

t位階躍響應(yīng)，常用

g(t)

表示。即tò=(-1)=t

th(

)dg(t)

h

(t)?

g(t)與

h(t)之間的關(guān)系：-￥￠h(t)

=

g

(t)￠==?

利用

g(t)求零狀態(tài)響應(yīng)：

y

(t)

f

(t)*

h(t)

f

(t)*

g(t)fX長(zhǎng)沙理工大學(xué)

電氣與信息工程學(xué)院信號(hào)與系統(tǒng)2.5連續(xù)系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)例2：某連續(xù)系統(tǒng)如圖(a)，其中兩子系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)分別為h

(t)

=

d

(t

+1)-d

(t)和

h

(t)

=

d

(t

-

2)-d

(t)

，子系統(tǒng)

h

(t)的輸入132和輸出分別如圖(b)、

(c)所示。試求：(1)子系統(tǒng)的沖激響應(yīng)

h2(t)；(2)系統(tǒng)的沖激響應(yīng)

h(t)

，并畫波形；(3)系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)

g(t)，并畫波形。f2

(t)y2

(t)f2

(t)h1(t)h2

(t)h3

(t)圖

(b)f

(t)y(t)tòy2

(t)-￥g(t)h(t)圖

(a)圖

(c)X長(zhǎng)沙理工大學(xué)

電氣與信息工程學(xué)院信號(hào)與系統(tǒng)2.5連續(xù)系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)例2.10

已知某LTI連續(xù)系統(tǒng)的沖激響應(yīng)

h(t)=e(t)

e(t-1)，輸入：f(t)=e(t+2)-e(t-2)

。若以

t=0為初始觀察時(shí)刻，試求系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)

y

(t)和零狀態(tài)響應(yīng)

y

(t)，并畫出波形。xf(a)單位階躍響應(yīng)(b)

g(t+2)-g(t)的波形(c)yx(t)的波形(d)

yf(t)的波形X長(zhǎng)沙理工大學(xué)

電氣與信息工程學(xué)院信號(hào)與系統(tǒng)第2章

連續(xù)信號(hào)與系統(tǒng)的時(shí)域分析本章小結(jié)本章主要介紹了信號(hào)與系統(tǒng)中常用基本信號(hào)、卷積積分及主要性質(zhì)、信號(hào)的相關(guān)性分析，以及連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)及零狀態(tài)響應(yīng)的時(shí)域求解方法。重點(diǎn)掌握卷積的計(jì)算和系統(tǒng)零狀態(tài)響應(yīng)的求解。作業(yè)：66頁(yè)習(xí)題二2.2、2.6、2.11、2.14、2.19第2章結(jié)束祝大家學(xué)業(yè)有成！X長(zhǎng)沙理工大學(xué)

電氣與信息工程學(xué)院信號(hào)與系統(tǒng)歐拉公式j(luò)q，與實(shí)軸夾角為q

時(shí)，此點(diǎn)復(fù)平面上的一個(gè)單位圓上的點(diǎn)

ecosq

+

jsinq可表示為j

Im1ejqsinqjqcos

j

sin=

q

+

qe{q-11

Rejq=e

1cosqDejq=

q-1e是自然對(duì)數(shù)的底，此式稱為歐拉(Euler)公式。e

可以用計(jì)算方法定義為n?

1

?e

=

lim

1+=

2.71828......?֏

n

?n?

￥X長(zhǎng)沙理工大學(xué)

電氣與信息工程學(xué)院信號(hào)與系統(tǒng)卷積微積分性質(zhì)例題例1：

f

(t)=1，

f

(t)=

e–t

(t)，求

f

(t)*f

(t)。1212解：套用微積分性質(zhì)

f

(t)*f

(t)=f

’(t)*f

(–1)(t)=0*f

(–1)(t)=012122注意：該解法是錯(cuò)誤的！因?yàn)?/p>

f1(

￥

)

≠0正確解法：由卷積定義得（通常復(fù)雜