4.2.1等差數(shù)列的概念（第2課時等差數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用）課件高二上學期數(shù)學人教A版選擇性

第四章數(shù)列

等差數(shù)列的概念第2課時等差數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用人教A版

數(shù)學選擇性必修第二冊1.能夠根據(jù)等差數(shù)列的定義和通項公式推出等差數(shù)列的重要性質(zhì).2.能夠運用等差數(shù)列的性質(zhì)解決有關(guān)問題.3.能夠運用等差數(shù)列的知識解決簡單的實際問題.課程標準基礎(chǔ)落實·必備知識一遍過關(guān)知識點1等差數(shù)列與一次函數(shù)的關(guān)系名稱等差數(shù)列一次函數(shù)解析式an=dn+(a1-d)f(x)=kx+b(k≠0)不同點①定義域為N*.②圖象是一系列均勻分布在同一直線上的孤立的點①定義域為R.②圖象是一條直線相同點①當d≠0時,等差數(shù)列的通項公式與一次函數(shù)的解析式都是關(guān)于自變量的一次式.②等差數(shù)列中的a1,d,n,an四個量中知三求一和一次函數(shù)中求k,b的方法都是解方程(組)利用一次函數(shù)判斷等差數(shù)列的方法若一個數(shù)列的通項公式的等號右邊是關(guān)于n的一次式,則此數(shù)列一定是等差數(shù)列且n的系數(shù)為公差d思考辨析試分析等差數(shù)列的公差d對其單調(diào)性的影響.提示

當d>0時,等差數(shù)列中的項越來越大,數(shù)列為遞增數(shù)列;當d<0時,等差數(shù)列中的項越來越小,數(shù)列為遞減數(shù)列;當d=0時,等差數(shù)列為常數(shù)列.自主診斷1.[人教B版教材習題]根據(jù)下列等差數(shù)列的通項公式,求數(shù)列的首項與公差.(1)an=3n+5;(2)an=12-2n.解(1)a1=3×1+5=8,a2=3×2+5=11,公差d=a2-a1=11-8=3.(2)a1=12-2×1=10,a2=12-2×2=8,公差d=8-10=-2.2.[北師大版教材習題]已知等差數(shù)列的通項公式為an=-2n+7.(1)求首項a1和公差d;(2)畫出數(shù)列{an}的圖象;(3)判斷數(shù)列{an}的單調(diào)性.解(1)a1=-2×1+7=5,a2=-2×2+7=3,d=a2-a1=3-5=-2.(2){an}的圖象如圖所示.(3)由(1)知d<0,數(shù)列{an}是遞減數(shù)列.知識點2等差數(shù)列的常用性質(zhì)性質(zhì)1通項公式的推廣:an=am+(n-m)d(n,m∈N*)性質(zhì)2若{an}為等差數(shù)列,且k+l=m+n(k,l,m,n∈N*),則ak+al=am+an

當k+l=2m時,ak+al=2am性質(zhì)3若{an}是等差數(shù)列,公差為d,則{a2n}也是等差數(shù)列,公差為

性質(zhì)4若{an}是公差為d的等差數(shù)列,則ak,ak+m,ak+2m,…(k,m∈N*)組成公差為

的等差數(shù)列

此時項的序號構(gòu)成等差數(shù)列性質(zhì)5若數(shù)列{an}為等差數(shù)列,公差為d,則{λan+m}(λ,m為常數(shù))是公差為

的等差數(shù)列

性質(zhì)6若{an},{bn}分別是以d1,d2為公差的等差數(shù)列,則{pan+qbn}是以pd1+qd2為公差的等差數(shù)列2dmdλd思考辨析如果數(shù)列{an}是公差為d的等差數(shù)列,那么數(shù)列2a1+1,2a2+1,2a3+1,…,2an+1是等差數(shù)列嗎?如果是,公差是多少?提示

因為(2an+1+1)-(2an+1)=2(an+1-an)=2d,所以數(shù)列2a1+1,2a2+1,2a3+1,…,2an+1是公差為2d的等差數(shù)列.自主診斷1.判斷正誤.(正確的畫√,錯誤的畫×)(1)等差數(shù)列{an}中,必有a10=a1+a9.(

)(2)若數(shù)列a1,a2,a3,a4,…是等差數(shù)列,則數(shù)列a1,a3,a5,…也是等差數(shù)列.(

)(3)若數(shù)列{an}是公差為d的等差數(shù)列,則an+1=an-1+2d,n>1,且n∈N*.(

)×√√2.[人教B版教材習題]已知一個無窮等差數(shù)列的首項為a1,公差為d.(1)將數(shù)列的前m項去掉,其余各項依次構(gòu)成的數(shù)列是等差數(shù)列嗎?如果是,它的首項與公差分別為多少?(2)取出數(shù)列中的所有序號是奇數(shù)的各項,依次構(gòu)成一個新的數(shù)列,這個數(shù)列是等差數(shù)列嗎?如果是,它的首項與公差分別為多少?(3)取出數(shù)列中的所有序號是7的倍數(shù)的各項,依次構(gòu)成一個新的數(shù)列,這個數(shù)列是等差數(shù)列嗎?如果是,它的首項與公差分別為多少?(4)數(shù)列a1+a2+a3,a4+a5+a6,a7+a8+a9,…是等差數(shù)列嗎?如果是,求出首項與公差;如果不是,說明理由.解

(1)首項為am+1=a1+md,公差為d.(2)首項為a1,公差為2d.(3)首項為a7=a1+6d,公差為7d.(4)首項為a1+a2+a3=3a1+3d,公差為9d.重難探究·能力素養(yǎng)速提升重難探究·能力素養(yǎng)速提升探究點一等差數(shù)列與一次函數(shù)【例1】

[北師大版教材例題]已知(1,1),(3,5)是等差數(shù)列{an}圖象上的兩點.(1)求數(shù)列{an}的通項公式;(2)畫出數(shù)列{an}的圖象;(3)判斷數(shù)列{an}的增減性.解

(1)因為(1,1),(3,5)是等差數(shù)列{an}圖象上的兩點,所以a1=1,a3=5.由a3=a1+(3-1)d=1+2d=5,解得d=2,于是an=1+2(n-1)=2n-1.(2)數(shù)列{an}的圖象是直線y=2x-1上一些等間隔的點,如圖.(3)由(1)可知d>0,所以數(shù)列{an}是遞增數(shù)列.規(guī)律方法

利用一次函數(shù)解等差數(shù)列問題的思路由等差數(shù)列與一次函數(shù)關(guān)系知等差數(shù)列的圖象是直線上的點,若已知任意兩點,可以由待定系數(shù)法求通項公式,且任意兩點連線的斜率k==公差d.變式訓練1(1)已知等差數(shù)列{an}是遞增數(shù)列且滿足a1+a8=6,則a6的取值范圍是(

)A.(-∞,3) B.(3,6)C.(3,+∞) D.(6,+∞)C解析

因為{an}為等差數(shù)列,設(shè)公差為d,因為數(shù)列{an}是遞增數(shù)列,所以d>0,所以a1+a8=a3+a6=2a6-3d=6,則2a6-6=3d>0,解得a6>3.故選C.(2)已知在等差數(shù)列{an}中,a2=11,a6=3,求數(shù)列{an}的通項公式.解

設(shè)an=kn+b,k,b∈R,則2k+b=11,6k+b=3,解得k=-2,b=15,所以an=-2n+15.探究點二等差數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用【例2】

(1)已知等差數(shù)列{an},a5=10,a15=25,求a25的值.(2)已知等差數(shù)列{an},a3+a4+a5+a6+a7=70,求a1+a9的值.(3)已知數(shù)列{an},{bn}都是等差數(shù)列,且a1=2,b1=-3,a7-b7=17,求a19-b19的值.(方法2)因為5+25=2×15,所以在等差數(shù)列{an}中有a5+a25=2a15,從而a25=2a15-a5=2×25-10=40.(方法3)∵a15-a5=10d=15,∴a25=a5+20d=10+30=40.(2)由等差數(shù)列的性質(zhì),得a3+a7=a4+a6=2a5=a1+a9,所以a3+a4+a5+a6+a7=5a5=70,于是a5=14,故a1+a9=2a5=28.(3)令cn=an-bn,因為{an},{bn}都是等差數(shù)列,所以{cn}也是等差數(shù)列,設(shè)其公差為d1,由已知,得c1=a1-b1=5,c7=17,則5+6d1=17,解得d1=2,故a19-b19=c19=5+18×2=41.變式探究(變條件變結(jié)論)在例2(3)中,將“a7-b7=17”改為“a7+b7=17”,求“a19+b19”的值.解

令cn=an+bn,則c1=a1+b1=-1,c7=a7+b7=17.因為{an},{bn}均為等差數(shù)列,所以{cn}為等差數(shù)列.設(shè){cn}的公差為d,則c7-c1=6d=18,∴d=3,∴a19+b19=c7+12d=17+36=53.規(guī)律方法

求等差數(shù)列基本運算的兩種方法一是利用基本量運算,借助于a1,d建立方程組進行運算,這是最基本的方法;二是利用性質(zhì)運算,運用等差數(shù)列的性質(zhì)可簡化計算,往往會有事半功倍的效果.變式訓練2(1)在等差數(shù)列{an}中,a3+a11=40,則a6+a7+a8=(

)A.36 B.48

C.60 D.72C解析

由題設(shè),a3+a11=2a7=40,則a7=20,所以a6+a7+a8=3a7=60.故選C.(2)設(shè)等差數(shù)列{an}滿足a1+a3+a5=9.①求a3;②若a1+a2+a3,a4+a5+a6,a7+a8+a9是公差為18的等差數(shù)列,求數(shù)列{an}的通項公式.解①在等差數(shù)列{an}中,a1+a3+a5=3a3=9,所以a3=3.②設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,因為a1+a2+a3,a4+a5+a6,a7+a8+a9是公差為18的等差數(shù)列,所以3a2,3a5,3a8是公差為18的等差數(shù)列,所以a8-a5=3d=6,所以d=2,所以an=a3+(n-3)d=3+2(n-3)=2n-3.探究點三等差數(shù)列的綜合問題【例3】

(1)設(shè){an}是公差為正數(shù)的等差數(shù)列,若a1+a2+a3=15,a1a2a3=80,求a11+a12+a13的值.(2)已知四個數(shù)依次成等差數(shù)列,且是遞增數(shù)列,這四個數(shù)的平方和為94,首尾兩數(shù)之積比中間兩數(shù)之積少18,求此等差數(shù)列.解(1)設(shè){an}的公差為d,∵a1+a3=2a2,∴a1+a2+a3=15=3a2,∴a2=5.又a1a2a3=80,{an}是公差為正數(shù)的等差數(shù)列,∴a1a3=(5-d)(5+d)=16,解得d=3或d=-3(舍去),∴a12=a2+10d=35,∴a11+a12+a13=3a12=105.(2)設(shè)這四個數(shù)分別為a-3d,a-d,a+d,a+3d,則

規(guī)律方法

等差數(shù)列設(shè)未知量的技巧如下:(1)當?shù)炔顢?shù)列{an}的項數(shù)n為奇數(shù)時,可先設(shè)中間一項為a,再用公差為d向兩邊分別設(shè)項:…,a-2d,a-d,a,a+d,a+2d,….(2)當?shù)炔顢?shù)列{an}的項數(shù)n為偶數(shù)時,可先設(shè)中間兩項為a-d,a+d,再以公差為2d向兩邊分別設(shè)項:…,a-3d,a-d,a+d,a+3d,….這種設(shè)法稱為對稱項設(shè)法,這樣可減少計算量.變式訓練3已知三個數(shù)成等差數(shù)列,且數(shù)列是遞增數(shù)列,它們的和為18,平方和為116,求這三個數(shù).解(方法1)由題意設(shè)這三個數(shù)分別為a,b,c,a<b<c,則

故這三個數(shù)分別為4,6,8.(方法2)設(shè)這三個數(shù)分別為a-d,a,a+d,由已知可得

由①得a=6,代入②得d=±2.∵該數(shù)列是遞增數(shù)列,∴d=-2舍去,∴d=2,∴這三個數(shù)分別為4,6,8.探究點四等差數(shù)列的實際應(yīng)用【例4】

[蘇教版教材習題]諾沃爾(Knowall)在1740年發(fā)現(xiàn)了一顆彗星,并推算出在1823年、1906年、1989年……人類都可以看到這顆彗星,即彗星每隔83年出現(xiàn)一次.(1)從發(fā)現(xiàn)那次算起,彗星第8次出現(xiàn)是在哪一年?(2)你認為這顆彗星會在2500年出現(xiàn)嗎?為什么?解

(1)依題意得,彗星出現(xiàn)的年份構(gòu)成以1

740為首項,以83為公差的等差數(shù)列,∴an=a1+(n-1)d=1

740+83(n-1)=83n+1

657,∴a8=83×8+1

657=2

321,∴彗星第8次出現(xiàn)是在2

321年.(2)由(1)可知,an=83n+1

657,令83n+1

657=2

500,解得n=不是正整數(shù),∴這顆彗星不會在2500年出現(xiàn).規(guī)律方法

解決等差數(shù)列實際應(yīng)用問題的步驟及注意點(1)解答數(shù)列實際應(yīng)用問題的基本步驟:①審題,即仔細閱讀材料,認真理解題意;②建模,即將已知條件翻譯成數(shù)學(數(shù)列)語言,將實際問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學問題;③判型,即判斷該數(shù)列是不是等差數(shù)列;④求解,即求出該問題的數(shù)學解;⑤還原,即將所求結(jié)果還原到實際問題中.(2)在利用數(shù)列方法解決實際問題時,一定要弄清首項、項數(shù)等關(guān)鍵問題.變式訓練4某同學參加《二十四節(jié)氣日中影長變化規(guī)律》課題的研究,并測得冬至、小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿、芒種這十二節(jié)氣日中同一固定時刻校內(nèi)旗桿的影長.由于不慎將大部分數(shù)據(jù)丟失如下表,表中旗桿影長為m是在下列哪個節(jié)氣日中同一固定時刻測得的(注:據(jù)《周髀算經(jīng)》記載這十二節(jié)氣日中同一固定時刻的影長依次構(gòu)成等差數(shù)列)(

)A.谷雨

B.立夏

C.小滿

D.芒種B本節(jié)要點歸納1.知識清單:(1)等差數(shù)列中任意兩項或多項之間的關(guān)系.(2)等差數(shù)列項的設(shè)解技巧.(3)等差數(shù)列的實際應(yīng)用.2.方法歸納:公式法、轉(zhuǎn)化法、數(shù)學建模.3.常見誤區(qū):實際問題中的還原問題.重難探究·能力素養(yǎng)速提升學以致用·隨堂檢測促達標12341.已知等差數(shù)列{an},a7+a19=19,a5=1,則a21的值為(

)A.20 B.18

C.15 D.17B解析

在等差數(shù)列{an}中,因為a7+a19=a5+a21,所以19=1+a21,解得a21=18.12342.[北師大版教材習題]設(shè)數(shù)列{an},{b