天津市河東區(qū)2023-2024學年高二下學期期末數(shù)學試題（解析版）

河東區(qū)2023~2024學年度第二學期期末質量檢測高二數(shù)學本試卷分為第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，共150分，考試用時120分鐘.答卷時，考生務必將答案答在答題卡的相應位置.考試結束后，將答題紙交回.祝各位考生考試順利！第Ⅰ卷注意事項：1．請同學們把答案按要求填寫在答題卡上規(guī)定區(qū)域內，超出答題卡區(qū)域的答案無效！2．本卷共11小題，每小題5分，共55分.一．選擇題：在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.設全集，集合，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由題意可得的值，然后計算即可.【詳解】由題意可得，則.故選：A.2.對于任意實數(shù)a，b，“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】利用指數(shù)函數(shù)性質，結合充分條件、必要條件的定義判斷即得.【詳解】由，得或，則或；由，得，則，所以“”是“”的必要不充分條件.故選：B3.若偶函數(shù)，則（）A. B.0 C. D.1【答案】B【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用偶函數(shù)定義求解即得?！驹斀狻亢瘮?shù)中，，解得或，由為偶函數(shù)，得，即，整理得，即，而不恒為0，所以.故選：B4.設，，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用指數(shù)和對數(shù)的運算性質將三個值化簡，再利用指數(shù)函數(shù)的單調性判斷即得.【詳解】由，，，因是增函數(shù)，故.故選：C.5.某地的中學生中有的同學愛好滑冰，的同學愛好滑雪，的同學愛好滑冰或愛好滑雪，在該地的中學生中隨機調查一位同學，若該同學愛好滑雪，則該同學也愛好滑冰的概率為（）A.0.8 B.0.4 C.0.2 D.0.1【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意，設某人愛好滑冰為事件，某人愛好滑雪為事件，由古典概型公式求出和，進而由條件概率公式計算可得答案．【詳解】根據(jù)題意，在該地的中學生中隨機調查一位同學，設選出的同學愛好滑冰為事件，選出的同學愛好滑雪為事件，由于中學生中有的同學愛好滑冰，的同學愛好滑雪，的同學愛好滑冰或愛好滑雪，則,而同時愛好兩個項目的占，即，則該同學愛好滑該同學也愛好滑冰的概率為．故選：A．6.為了研究某班學生的腳長（單位厘米）和身高（單位厘米）的關系，從該班隨機抽取名學生，根據(jù)測量數(shù)據(jù)的散點圖可以看出與之間有線性相關關系，設其回歸直線方程為．已知，，．該班某學生的腳長為，據(jù)此估計其身高為A. B. C. D.【答案】C【解析】【詳解】由已知,，故選C.7.若，，則的值是（）A.3 B. C.8 D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用指數(shù)式與對數(shù)式互化關系及對數(shù)換底公式及運算法則計算即得.詳解】由，得，而，所以.故選：A8.空間中有兩個不同的平面，和兩條不同的直線，，則下列說法中正確的是（）A.若，，，則 B.若，，，則C.若，，，則 D.若，，，則【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意，由直線與平面、平面與平面的位置關系分析選項可得答案．【詳解】對于A，若，，則或，又，所以，故A正確；對于B，若，，則或，由，則與斜交、垂直、平行均有可能，故B錯誤；對于C，若，，則或，由，則與相交、平行、異面均有可能，故C錯誤；對于D，若，，則或，又，則或，故D錯誤．故選：A．9.設函數(shù)在區(qū)間單調遞減，則a的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用指數(shù)型復合函數(shù)單調性，判斷列式計算作答.【詳解】函數(shù)在上單調遞減，函數(shù)在R上單調遞增，因此函數(shù)的單調遞減區(qū)間是，而函數(shù)在區(qū)間0,1單調遞減，則，即，解得，所以a的取值范圍是.故選：D10.某疾病預防中心隨機調查了339名50歲以上的公民，研究吸煙習慣與慢性氣管炎患病的關系，調查數(shù)據(jù)如下表：不吸煙者吸煙者總計不患慢性氣管炎者121162283患慢性氣管炎者134356總計134205339假設：患慢性氣管炎與吸煙沒有關系，即它們相互獨立.通過計算統(tǒng)計量，得，根據(jù)分布概率表:，，，.給出下列3個命題，其中正確的個數(shù)是（）①“患慢性氣管炎與吸煙沒有關系”成立的可能性小于；②有把握認為患慢性氣管炎與吸煙有關；③分布概率表中的、等小概率值在統(tǒng)計上稱為顯著性水平，小概率事件一般認為不太可能發(fā)生.A.個 B.個 C.個 D.個【答案】D【解析】【分析】根據(jù)，與臨界值表對照判斷.【詳解】解：因為，且，所以有的把握認為患慢性氣管炎與吸煙有關，即“患慢性氣管炎與吸煙沒有關系”成立的可能性小于，故①②正確；分布概率表中的、等小概率值在統(tǒng)計上稱為顯著性水平，小概率事件一般認為不太可能發(fā)生.故③正確；故選：D11.已知圓錐的頂點為P，底面圓心為O，為底面直徑，，，點C在底面圓周上，且二面角為，則（）A.該圓錐的側面積為 B.該圓錐的體積為C.的面積為 D.【答案】D【解析】【分析】依題意可得底面半徑及高，由圓錐的體積公式判斷B，由側面積公式判斷B，設是的中點，連接，則是二面角的平面角，求出判斷D，再求出的面積判斷C.【詳解】依題意，，，所以，對于A，圓錐的側面積為，故A錯誤；對于B，圓錐的體積為，故B錯誤；對于D，設是的中點，連接，則，所以是二面角的平面角，則，所以，故，則，故D正確對于C，，所以，故C錯誤；故選：D第Ⅱ卷注意事項：1．用黑色墨水的鋼筆或簽字筆將答案寫在答題卡相應位置上.2．本卷共11小題，共95分.二．填空題：本大題共7小題，每小題5分，共35分.12.計算（i為虛數(shù)單位）的值為______.【答案】【解析】【分析】利用復數(shù)的乘方運算計算即得.【詳解】.故答案為：13.二項式的展開式的常數(shù)項是___________．【答案】7【解析】【詳解】分析:先根據(jù)二項式展開式的通項公式寫出第r+1項，再根據(jù)項的次數(shù)為零解得r，代入即得結果.詳解：二項式的展開式的通項公式為,令得，故所求的常數(shù)項為點睛：求二項展開式有關問題的常見類型及解題策略：(1)求展開式中的特定項.可依據(jù)條件寫出第項，再由特定項的特點求出值即可.(2)已知展開式的某項，求特定項的系數(shù).可由某項得出參數(shù)的值，再由通項寫出第項，由特定項得出值，最后求出特定項的系數(shù).14.某中學舉行數(shù)學解題比賽，其中7人的比賽成績分別為：70，97，85，90，98，73，95，則這7人成績的上四分位數(shù)是________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)百分位數(shù)的定義求解．【詳解】將個數(shù)據(jù)從小到大排列為70，73，85，90，95，97，98，因為，所以這人成績的上四分位數(shù)是．故答案為：．15.某群體中的每位成員使用移動支付的概率都為p，各成員的支付方式相互獨立，設X為該群體的10位成員中使用移動支付的人數(shù)，，則______.【答案】0.6【解析】【分析】由題意知，，根據(jù)二項分布的概率、方差公式計算即可.【詳解】由題意知，該群體10位成員使用移動支付的概率分布符合二項分布，所以，所以或．

由，得，

即，所以，

所以，

故答案為：．【點睛】本題主要考查的是二項分布問題，根據(jù)二項分布求概率，再利用方差公式求解即可．16.已知正數(shù)x，實數(shù)y滿足，則的最小值為______.【答案】##0.75【解析】【分析】由已知條件可得，代入并利用基本不等式求解即得.【詳解】由正數(shù)x，實數(shù)y滿足，得，因此，當且僅當，即時取等號，所以當時，取得最小值.故答案為：17.在平行四邊形中，，，，若，設，，則可用，表示為__________；若點F為AD的中點，點P為線段BC上的動點，則的最小值為______．【答案】①.；②.##【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用向量線性運算求出；建立平面直角坐標系，利用數(shù)量積的坐標表示列式，再利用增函數(shù)求出最小值.【詳解】在中，由，得；由，得是矩形，以點為原點，直線分別為軸建立坐標系，則，設，，于是，當且僅當時取等號，所以的最小值為.故答案為：；18.曲線與在上有兩個不同的交點，則的取值范圍為______．【答案】【解析】【分析】將函數(shù)轉化為方程，令，分離參數(shù)，構造新函數(shù)結合導數(shù)求得單調區(qū)間，畫出大致圖形數(shù)形結合即可求解.【詳解】令，即，令則，令得，當x∈0,1時，，單調遞減，當x∈1,+∞時，，單調遞增，，因為曲線與在0,+∞上有兩個不同的交點，所以等價于與有兩個交點，所以.故答案為：三、解答題：本大題共4小題，共60分、解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟．19.在中，角A，B，C對應邊為a，b，c，其中．（1）若，且，求邊長c；（2）若，求的面積．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用正弦定理以及三角恒等變換的知識求得.（2）利用正弦定理、兩角和的正弦公式以及三角形的面積公式求得正確答案.【小問1詳解】依題意，，由正弦定理得，即，，由于，所以，則，由正弦定理得.【小問2詳解】依題意，，由正弦定理得，由于，，所以，由于，所以為銳角，所以，則，，由正弦定理得，所以.20.如圖，在四棱錐中，底面（1）若在側棱上，且，證明：平面；（2）求平面與平面所成銳二面角的余弦值【答案】（1）見解析（2）【解析】【分析】（1）棱上取一點，使，證明四邊形是平行四邊形得到答案.（2）建立如圖所示空間直角坐標系，則平面的法向量為，平面的一個法向量為，計算夾角得到答案.【詳解】（1）在棱上取一點，使，，，則四邊形是平行四邊形，則.平面，平面，平面.(2)建立如圖所示空間直角坐標系，則，設平面的法向量為則，平面的一個法向量為，.故平面與平面所成銳二面角的余弦值為.【點睛】本題考查了線面平行，二面角，意在考查學生的計算能力和空間想象能力.21.已知函數(shù).（1）求的最小正周期和對稱軸方程；（2）若函數(shù)在存在零點，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1）最小正周期為，對稱軸方程為（2）【解析】【分析】（1）化簡函數(shù)，結合三角函數(shù)的圖象與性質，即可求解；（2）根據(jù)題意轉化為在上有解，根據(jù)時，得到，即可求解.【小問1詳解】解：對于函數(shù)，所以函數(shù)的最小正周期為，令，解得，所以函數(shù)的對稱軸的方程為.【小問2詳解】解：因為函數(shù)在存在零點，即方程在上有解，當時，可得，可得，所以，解得，所以實數(shù)的取值范圍.22.已知函數(shù)．（1）當時，求曲線y=fx在點（2）若函數(shù)在0,+∞單調遞增，求的取值范圍．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由題意首先求得導函數(shù)的解析式，然后由導數(shù)的幾何意義確定切線的斜率和切點坐標，最后求解切線方程即可；（2）原問題即在區(qū)間上恒成立，整理變形可得在區(qū)間上恒成立，然后分類討論三種情況即可求得實數(shù)的取值范圍.【小問1詳解】當時，，則，據(jù)此可得，所以函數(shù)在處的切線方程為，即.【小問2詳解】由函數(shù)的解析式可得，滿足題意時在區(qū)間上恒成立.令，則，令，原問題等價于在區(qū)間上恒成立，則，當時，由于，故，在區(qū)間上單調遞減，此時，不合題意;令，則，當，時，由于，所以在區(qū)間上單調遞增，即在區(qū)間上單調遞增，所以，在區(qū)間上單調遞增，，滿足題意.當時