2022年安徽高中數(shù)學(xué)模擬試卷2（含解析）

2022年安徽高中數(shù)學(xué)模擬試卷2

一.選擇題（共12小題，滿分60分，每小題5分）

1.（5分）（2022?安慶模擬）已知函數(shù)尸加C?-3x）的定義域為4,集合8=31WxW4},

則（CRA）GB=（）

A.{0,1,2,3,4）B.{1,2,3}C.[0,4]D.[1,3]

2.（5分）（2022?安徽模擬）復(fù)數(shù)z滿足z=25+3i-3,則|z|=（）

A.5B.V5C.10D.VTO

1

3.（5分）（2022?安徽模擬）若p：JC-4<0,q：>—,則p是0的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

4.（5分）（2022?滁州模擬）已知弟，人=竽，c=\則（）

□46

A.a<b<cB.b<a<cC.c<a<bD.b<c<a

5.（5分）（2022?安徽模擬）若將函數(shù)〉=5）（3%+$（3>0）的圖像向右平移;個單位長

度后，與函數(shù)y=cos?x+看）的圖像重合，則3的最小值是（）

21191715

A.——B.——C.—D.——

4444

6.（5分）（2022?安慶模擬）已知圓錐SO的底面半徑為1,母線SA=3,過點A的平面a

將圓錐50分成兩部分，則截面橢圓周長的最小值為（）

A.3V3B.3V2C.4V3D.4企

22

7.（5分）（2022?宣城模擬）設(shè)橢圓不+9=1的左、右焦點分別為四，“2，點P在橢圓

2516

上，且滿足而"/=9，則上產(chǎn)||?「?2|的值是（）

A.14B.17C.20D.23

8.（5分）（2022?安徽模擬）等差數(shù)列{礪}的前〃項和為S“滿足%27+S2i=72,則S25=

（）

A.72B.75C.60D.100

9.（5分）（2022?安徽模擬）若存在直線與函數(shù)f（x）=/-1,g（x）=ln（x-a）的圖像

都相切，則實數(shù)a的取值范圍是（）

A.[-e,+8）B.1-2,+8）C.1-1,+8）D.[一,+oo）

10.（5分）（2022?安徽模擬）/XABC是等腰直角三角形，AB=BC=4,CD=^（CA+CB）f

AE=xAD+yAC,其中2x+y=l,則以?前的最小值是（）

A.一等B.C.-3D.-4

11.（5分）（2022?合肥二模）某市高三年級共有14000人參加教學(xué)質(zhì)量檢測，學(xué)生的數(shù)學(xué)

成績《近似服從正態(tài)分布N（90,。2）（試卷滿分150分），且P〔f2100）=0.3,據(jù)此

可以估計，這次檢測數(shù)學(xué)成績在80到90分之間的學(xué)生人數(shù)為（）

A.2800B.4200C.5600D.7000

12.（5分）（2022?安慶模擬）2021年，我國通信業(yè)積極推進(jìn)網(wǎng)絡(luò)強國和數(shù)字中國建設(shè)，5G

和千兆光網(wǎng)等新型信息基礎(chǔ)設(shè)施建設(shè)覆蓋和應(yīng)用普及全面加速，移動電話用戶規(guī)模小幅

增長.截止2021年，全國電話用戶凈增4755萬戶，總數(shù)達(dá)到18.24億戶，其中移動電話

用戶總數(shù)16.43億戶，全年凈增4875萬戶，其中，4G移動電話用戶為10.69億戶，5G

移動電話用戶達(dá)到3.55億戶，固定電話用戶總數(shù)1.81億戶，全年凈減121萬戶.自2011

年以來固定電話與移動電話普及率（單位：部/百人）如圖所示，則以下說法錯誤的是（）

（Wff人）

100-國……”102,124

Mn.4

60

史.里”..巴爾出L區(qū)912工

20

30

2011*2013*2015*201%珈3？旌

1OTII-2O21年■定，話及尊■電培■及率發(fā)腰1tH

A.近十年以來移動電話普及率逐年遞增

B.近十年以來固定電話普及率逐年遞減

C.2021年移動電話普及率為116.3部/百人，比上年末提高3.4部伯人

D.2021年固定電話普及率為12.8部/百人，比上年末降低0.1個百分點

二.填空題（共4小題，滿分20分，每小題5分）

13.（5分）（2022?合肥二模）已知八48（7的內(nèi)角48,。的對邊分別為4,6,°,若6+28§8+反084

=6,a=2,則△ABC面積的取值范圍為.

14.（5分）（2022?安徽模擬）若。-偽”展開式的常數(shù)項為日，則正整數(shù)〃的值

為?

15.（5分）（2022?黃山模擬）已知三棱錐P-ABC各個頂點都在球。的表面上，PA=PB,

AC=BC,AB=2\[2,PC=2〃，E、尸分別為AB、尸C的中點，且所=2.則球。的表

面積是.

XX1

'~,則函數(shù)y=/（/（x））

（log2（x-V）,x>l

-I的所有零點構(gòu)成的集合為.

三.解答題（共7小題，滿分70分）

17.（12分）（2022?安徽模擬）甲、乙兩名射手射擊I個較遠(yuǎn)的目標(biāo)，甲命中的概率為g

乙命中的概率為甲、乙是否命中互相獨立，甲乙均射擊兩槍.

（1）求甲命中1槍乙命中2槍的概率；

（2）設(shè)隨機(jī)變量X表示“甲乙命中的槍數(shù)之和”，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

42y2

18.（12分）（2022?安徽模擬）己知橢圓后+言=l（a>b>0）的左、右頂點分別為4，

A2,左、右焦點分別為尸1，尸2,M是橢圓上異于Ai，A2的一點，且%乙&42=一發(fā)

明/1|+崢|=4,

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）尸，。是橢圓上兩點，直線PQ,OP,。。的斜率均存在且不為0,若aOP。面積為

V2,求kop?koQ.

19.（12分）（2022?安慶模擬）如圖48co為平行四邊形，AB=5,AO=4,BD=3,將4

A8O沿8。翻折到△P3O位置且NPD4=120°.

（1）求P,。兩點之間的距離；

（2）求二面角D-PB-C的余弦值.

20.（12分）（2022?合肥二模）已知函數(shù)/CO=/+cosx-ex,f（x）是/（x）的導(dǎo)函數(shù).

（I）證明：函數(shù)/（工）只有一個極值點；

（2）若關(guān)于x的方程/CO=t（/6R）在（0,n）上有兩個不相等的實數(shù)根明，股,證

明：廣（毀%<0.

21.（12分）（2022?安慶二模）已知數(shù)列｛。〃｝的前〃項和為S”且滿足&=（〃+1）2斯-3,

M€N+.

（I）求｛?。耐椆剑?/p>

（II）若bn=（2〃+3）（-1）%〃,求出“｝的前n項和Tn.

22.（5分）（2022?安慶模擬）已知函數(shù)/Cx）=2\x\+\x-a\,其中心0.

（1）當(dāng)4=1時，求不等式/（X）24的解集；

（2）若在［7,2］時，2W/（x）W6,求〃的取值范圍.

23.（5分）（2022?安慶二模）已知直線/：k｛斗/白（其中常數(shù)m<0,f為參數(shù)），以

［y=m+^-t

原點O為極點,以丫軸非負(fù)半軸為極軸.取相同的單位長度建立極坐標(biāo)系,曲線。的極

坐標(biāo)方程為p=4sin6.已知直線/與曲線C相切于點A.

（I）求機(jī)的值；

（II）若點P為曲線C上一點，求AO%的面積取最大值時點尸的坐標(biāo).

2022年安徽高中數(shù)學(xué)模擬試卷2

參考答案與試題解析

一.選擇題（共12小題，滿分60分，每小題5分）

1.（5分）（2022?安慶模擬）已知函數(shù)尸加（7-3外的定義域為A,集合5={MlWxW4},

則（CRA）08=（）

A.{0,1,2,3,4}B.{1,2,3}C.[0,4]D.[1,3]

【考點】補集及其運算.

【專題】集合思想；定義法；集合；數(shù)學(xué)運算.

【分析】由函數(shù)尸加C?-3x）的定義域求出集合A,進(jìn)而求出CuA，由此能求出（OM）

B.

【解答】解：?.?函數(shù)-3x）的定義域為A,

r.A={x|?-3%＞0}={?。?或工＞3},

CuA={x|0?},

集合B={.v|lWxW4},

貝（CRA）3].

故選：o.

【點評】本題考查集合的運算.考查補集、交集定義、不等式性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查運

算求解能力，是基礎(chǔ)題.

2.（5分）（2022?安徽模擬）復(fù)數(shù)2滿足z=25+3i-3,則|z|=（）

A.5B.V5C.10D.V10

【考點】復(fù)數(shù)的模.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)；數(shù)學(xué)運算.

【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合共規(guī)復(fù)數(shù)的定義，以及復(fù)數(shù)模公式，即可求解.

【解答】解：設(shè)z=a+bi,

則5=a—bi,

Vz=2z+3/-3,

：.a+bi=2（a-bi）+3i-3,即3,解得:

A|z|=|3+i|=V32+l2=V10

故選：D.

【點評】本題主要考查共聊復(fù)數(shù)的定義，以及復(fù)數(shù)模公式，屬于基礎(chǔ)題.

3.（5分）（2022?安徽模擬）若p：f-4V0,q：白〉爭則〃是q的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【考點】充分條件、必要條件、充要條件.

【專題】計算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；簡易邏輯；數(shù)學(xué)運算.

【分析】解不等式，分別求出滿足"，q的x的范圍，結(jié)合集合的包含關(guān)系判斷即可.

【解答】解：p：V？-4<0,/.-2<JT<2,

1V2

:.q：,A0<x<2,

V{x|0<x<2}￡{x|-2<x<2},

??卬是,的必要不充分條件，

故選：B.

【點評】本題考查了充分必要條件，考查解不等式以及集合的包含關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.

4.（5分）（2022?滁州模擬）已知等，竽，c=則（）

A.a<b<cB.b<a<cC.c<a<bD.b<c<a

【考點】對數(shù)值大小的比較.

【專題】計算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運算.

【分析】利用對數(shù)的四則運算判斷〃>6,利用構(gòu)造函數(shù)的單調(diào)性判斷c>m求解即可.

【解答】解：?：a=哈6=警

.In4ln34ln4-5ln3/n256-Zn243

b=---=-20-=-20-X),??b9

設(shè)/（X）=警，則/（x）=與弊

當(dāng)OVxVe時，則。（X）>0,/（x）單調(diào)遞增,

當(dāng)時，則/（%）<0,/（%）單調(diào)遞減,

???當(dāng)x=e時，則f（x）取到最大值,

Ineln4ln4”

?'?f(e)>/(4)?:.---->—>----,即c>a,

e45

故選：B.

【點評】本題考查對數(shù)的四則運算，利用構(gòu)造函數(shù)的單調(diào)性比較大小，屬于中檔題.

5.（5分）（2022?安徽模擬）若將函數(shù)丫=$，71（。%十*）（<0>0）的圖像向右平移/個單位長

度后，與函數(shù)y=cos?》+專）的圖像重合，則0）的最小值是（）

21191715

A.-B.-C.-D.一

4444

【考點】函數(shù)y=Asin（a）x+（p）的圖象變換.

【專題】計算題；函數(shù)思想；綜合法；三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)；數(shù)學(xué)運算.

【分析】先得到平移后的解析式，再由題中條件，列出等式，求出3,即可得出結(jié)果.

【解答】解：將函數(shù)y=sin（3%+?（3>0）的圖像向右平移g個單位長度后，得到函

數(shù)丁=出11（o）x-等+*）的圖像，

即y=cos（cox—等一名）,與函數(shù)y=cos（3%+$的圖像重合，

即（DA*-—弓=（JO.V+著+2Znr,kWZ,

故-于-4=石+2配，蛇z,

所以3=?6%等依Z,

19

所以0）的最小值為

故選：B.

【點評】本題主要考查了函數(shù)y=Asin（sr+（p）的圖象變換和誘導(dǎo)公式的應(yīng)用，考杳對

基礎(chǔ)知識的綜合運用，屬于中檔題.

6.（5分）（2022?安慶模擬）已知圓錐50的底面半徑為1,母線S4=3,過點4的平面a

將圓錐SO分成兩部分，則截面橢圓周長的最小值為（）

A.3V3B.3V2C.4V3D.4^2

【考點】平面的基本性質(zhì)及推論.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；立體幾何；數(shù)學(xué)運算.

【分析】問題轉(zhuǎn)化為動點M從點A出發(fā)，繞圓錐一周回到4,求M的最短距離.

【解答】解：問題轉(zhuǎn)化為動點例從點A出發(fā)，繞圓錐一周回到4,求M的最短距離.

???圓錐的側(cè)面展開圖為扇形，圓心角為nX2^3=守,

???最短路徑的長度為腰長是3,頂角為三的等腰三角形的底邊長度，

該長度等于2X3Xcos30°=6x孚=3百.

故選：A.

【點評】本題考查平面的基本性質(zhì)及推論，考查圓錐表面上的最短距離問題，考查化歸

與轉(zhuǎn)化思想，是基礎(chǔ)題.

y2

7.（5分）（2022?宣城模擬）設(shè)橢圓不+J=1的左、右焦點分別為n，出，點P在橢圓

2516

上，且滿足而「P72=9，則|尸產(chǎn)1|?『七|的值是（）

A.14B.17C.20D.23

【考點】橢圓的性質(zhì).

【專題】計算題：方程思想：蝶合法：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程：數(shù)學(xué)運算.

【分析】由橢圓的方程可得小人的值，再由4,4。之間的關(guān)系求出C的值，再由橢圓

的定義可得PFi+P尸2的值，在AFiP自2中，由余弦定理可得cos/RP尸2表達(dá)式，進(jìn)而求

出PFI?PF2?COS/FIPF2的表達(dá)式，再由數(shù)量積求出PFi?P尸2的值.

x2v2

【解答】解：由橢圓的方程茜+/=1可知d=25,b2=\6,c2=a2-Z>2=25-16=9,

所以a=5,c=3,

IC

由橢圓的定義可得：|PF||+|PF2|=2d=2X5=10,|FF2|=2=6,設(shè)儼人|=機(jī)，|尸產(chǎn)2|=〃，

在ARP"中，由余弦定理可得COSNFIPF2=病+噌由同=6+吟mnfgl=

ZmnImn

100-36-2?nn_64-2mn

2mn_2mn'

所以可得m??cosZFiPFz=32-m*n,

COSI

因為函?PF2=9，即|P產(chǎn)i|?『尸2|NFP產(chǎn)2=9,

所以9=32-PQ?尸尸2，

解得：PF|?P尸2=23,

故選：O.

【點評】本題考查橢圓的性質(zhì)的應(yīng)用，余弦定理的應(yīng)用和數(shù)量積的運算性質(zhì)的應(yīng)用，屬

于中檔題.

8.（5分）（2022?安徽模擬）等差數(shù)列｛處｝的前〃項和為S”，滿足3a27+S2i=72,則京5=

）

A.72B.75C.60D.100

【考點】等差數(shù)列的前n項和.

【專題】計算題；方程思想；定義法；等差數(shù)列與等比數(shù)列：邏輯推理；數(shù)學(xué)運算.

【分析】由題意，根據(jù)3〃27+S2i=3。27+21。1|=72,可得。27+7。11=24,進(jìn)一步結(jié)合an+la\\

=8?3可得413=3,最后利用$25=25/3進(jìn)行求解即可.

【解答】解：???(〃〃}是等差數(shù)列，

.21

***521=-2=21。]],

V3a27+521=72,

3〃27+211=72,即427+7。11=24,

又???o27+7〃i[=8ai3

，8.3=24,即m3=3,

2S2s

.*.525=(m+425)=^x2ai3=25ai3=25X3=75.

故選：B.

【點評】本題考查等差數(shù)列的性質(zhì)，考查學(xué)生邏輯推理和運算求解的能力，屬于基礎(chǔ)題.

9.(5分)(2022?安徽模擬)若存在直線與函數(shù)/(x)=/-1,g(x)=ln(x-a)的圖像

都相切，則實數(shù)。的取值范圍是()

A.[-e,+8)B.[-2,+8)C.[-1,+8)D.[-1,+oo)

【考點】利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；轉(zhuǎn)化法；導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運算.

【分析】注意到函數(shù)/J)=F-I圖像卜凸，g(x)=ln{x-a)圖像上凸，根據(jù)題意

只要/(X)函數(shù)圖像在g(x)函數(shù)圖像之上即可，所以定義域(a,+~)/(x)2g(x)

恒成立即可得解.

【解答】解：注意到函數(shù)f(%)=/-1圖像下凸，g(x)=lnCx-a)圖像上凸，

故”存在直線與函數(shù)/(x)=?-1,g(x)=ln(x?4)的圖像都相切”

即在定義域(小+°°)內(nèi)，f(x)2g(x)恒成立，

記〃(x)\-In(x-a),^(x)=ex—(m+°°)上單調(diào)增，

且在(a,+°°)有唯一零點xo，即e*。一v1門=°，

xo~a

x

且〃Wmm=h(xo)=eO-l-ln(x0-a)=7^7+的一。+。-1,2+。一1)0,于

人0u

是-1,

所以實數(shù)〃的取值范圍為［-1,4-00）.

故選：C.

【點評】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的切線方程，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬基礎(chǔ)題.

T1TT

10.（5分）（2022?安徽模擬）ZVIBC是等腰直角三角形，AB=BC=4fCD=^CCA+CB）f

AE=xAD+yAC,其中2x+y=l,則以?尾的最小值是（）

A.-B.一票C.-3D.-4

【考點】平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運算.

【專題】整體思想；綜合法；平面向量及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運算.

【分析】由平面向量的線性運算可得以?而=d?（或+幾）=點2+成.

AB=/元）2+y2y62+2xy^AD.AC+xAD-AB+yACAB,然后結(jié)合平面向量數(shù)量積的運

算求解即可.

【解答】解：由2）=3（&+&），則。為AB的中點，

TTT

由AE=xAD+yAC,

貝根?前二R?必+幾）=或2+占/=x2G2+/必+r,疝）?品?+xG?

AB-^yAC?AB=4^+32^+16xy-8x-16y,

又2x+y=L即y=1-2x,

則49+32六1娜+8"16），=10（必-88；1+16=100（x-1|）

即成?港的最小值是-皆，

故選：B.

【點評】本題考查了平面向量數(shù)量積的運算，重點考查了平面向量的線性運算，屬中檔

題.

11.（5分）（2022?合肥二模）某市高三年級共有14000人參加教學(xué)質(zhì)量檢測，學(xué)生的數(shù)學(xué)

成績t近似服從正態(tài)分布N（90,。2）（試卷滿分150分），且尸留2100）=0.3,據(jù)此

可以估計，這次檢測數(shù)學(xué)成績在80到90分之間的學(xué)生人數(shù)為（）

A.2800B.4200C.5600D.7000

【考點】正態(tài)分布曲線的特點及曲線所表示的意義.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；概率與統(tǒng)計；數(shù)學(xué)運算.

【分析】利用正態(tài)分布的對稱性可得P（fW80）,可得P（80WfV90）,即可得出結(jié)論.

【解答】解：*近似服從正態(tài)分布N（90,。2）（試卷滿分150分），且P（^100）

=0.3,

:?P(fW80)=0.3,

1-03><2

：.P(80WfV90)=2=0.2,

???這次檢測數(shù)學(xué)成績在80到90分之間的學(xué)生人數(shù)=14000X0.2=2800,

故選：A.

【點評】本題考查了正態(tài)分布的性質(zhì)及其應(yīng)用，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎(chǔ)

題.

12.（5分）（2022?安慶模擬）2021年，我國通信業(yè)枳極推進(jìn)網(wǎng)絡(luò)強國和數(shù)字中國建設(shè)，5G

和千兆光網(wǎng)等新型信息基礎(chǔ)設(shè)施建設(shè)覆蓋和應(yīng)用普及全面加速，移動電話用戶規(guī)模小幅

增長.截止2021年，全國電話用戶凈增4755萬戶，總數(shù)達(dá)到18.24億戶，其中移動電話

用戶總數(shù)16.43億戶，全年凈增4875萬戶，其中，4G移動電話用戶為10.69億戶，5G

移動電話用戶達(dá)到3.55億戶，固定電話用戶總數(shù)1.81億戶，全年凈減121萬戶.自2011

年以來固定電話與移動電話普及率（單位：部/百人）如圖所示，則以下說法錯誤的是（）

(Wff人)

，W，124

國……”*120

F6

90

60

吧.里尸9nt

30

201押2013*201/201*2013？自

年■定?口及尊■電話普及率發(fā)及情況

A.近十年以來移動電話普及率逐年遞增

B.近十年以來固定電話普及率逐年遞減

C.2021年移動電話普及率為116.3部/百人，比上年末提高3.4部/百人

D.2021年固定電話普及率為12.8部/百人，比上年末降低0.1個百分點

【考點】進(jìn)行簡單的合情推理.

【專題】數(shù)形結(jié)合；數(shù)形結(jié)合法；概率與統(tǒng)計；數(shù)學(xué)運算.

【分析】觀察折線圖，得到選項A錯誤，選項88正確.

【解答】解：對于A,由于2015年移動電話普及率比2014年的普及率低，

...近十年以來移動電話普及率逐年遞增是錯誤的，故A錯誤：

對于4,近十年以來固定電話普及率逐年遞減，故4正確；

對于C,2021年移動電話普及率為1163部/百人，

2020年移動電話普及率為112.9部/百人，

A2021年比上年末提高3.4部/百人，故。正確；

對于D,2021年固定電話普及率為12.8部/百人，

2020年固定電話普及率為12.9部/百人，

2021年比上年末降低0.1個百分點，故O正確.

故選：A.

【點評】本題考查命題真假的判斷，考查折線圖的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，

是基礎(chǔ)題.

二.填空題（共4小題，滿分20分，每小題5分）

13.（5分）（2022?合肥二模）已知2\48。的內(nèi)角4,8,。的對邊分別為小尻小若以2858+桃。必

=6,a=2,則△ABC面積的取值范圍為（0,2V2].

【考點】正弦定理.

【專題】計算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；解三角形；數(shù)學(xué)運算.

【分析】由題意利用余弦定理可得H3|+HC|=6,A在以C為焦點，長軸長為6的橢

圓上可得當(dāng)A是橢圓短軸頂點時,A到BC的距離最大，由此可求三角形面積的最大值，

從而可求面積的取值范圍.

【解答】解：因為。+2COS6+&osA=6,。=2,

一塊匕2+C2―Q2

所以b+acosB+bcosA=b+a*---------+〃?----------=6+c=6,

2ac2bc

即|AB|+HC|=6,

又|Bq=2,

所以A在以5,。為焦點，長軸長為6的橢圓上（不在直線上），

如圖以8C為x軸，線段BC中垂線為），軸建立平面直角坐標(biāo)系，

x2y2

設(shè)橢圓方程為一^+77=1,則。=3,。=1,

a2b2

所以仁7出一c?=2我,

當(dāng)月是橢圓短軸頂點時，A到BC的距離最大為〃=2魚，

所以SA48C的最大值為]X2x2y[i=2^2,可無限接近于0,無最小值,

所以&ABC的取值范圍是（0,2V2].

故答案為：（0,2V2].

【點評】本題考查了余弦定理在解三角形中的應(yīng)用，考查了橢圓的性質(zhì)及應(yīng)用，考查了

數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題.

14.（5分）（2022?安徽模擬）若（％+/-魚尸展開式的常數(shù)項為弓，則正整數(shù)〃的值為4.

【考點】二項式定理.

【專題】整體思想；綜合法；二項式定理；數(shù)學(xué)運算.

【分析】由Q+/一企），=I瓜-金2〃，結(jié)合二項式展開式的通項公式求解即可.

【解答】解：由6）〃=（依一意）2"，

則二項式（?—卷）2〃展開式的通項公式為了.=Gn（VJ）忌）’=（七"Gn/

-r

令〃-r=0,

解得n=rf

由展開式的常數(shù)項為日，

則弓）"％=苧，

解得〃=4,

故答案為：4.

【點評】本題考查了二項式展開式的通項公式，重點考查了運算能力，屬基礎(chǔ)題.

15.(5分)(2022?黃山模擬)已知三棱錐P-ABC各個頂點都在球。的表面上，PA=PB,

AC=BC,AB=2^2,PC=2瓜,E、尸分別為48、尸。的中點，且所=2.則球O的表

面積是24n.

【考點】球的體積和表面積.

【專題】計算題；對應(yīng)思想；分析法；球；數(shù)學(xué)運算.

【分析】由幾何關(guān)系求出球的半徑后計算表面積.

【解答】解：由題意用=尸8,AC=BC,E是4B中點，故CE1AB,

又PECCE=E,可得AB_L平面PCE,AB_LE尸，

由勾股定理可得凡4=FB=V2T4=V6,而/P=FC=限,

由題意尸即為球。的球心，半徑為連，

故球的表面積為4X6n=24n,

故答案為：241T.

【點評】本題考查球的表面積，考查學(xué)生的運算能力，屬于中檔題.

16.(5分)(2020?黃山二模)已知函數(shù)/?(4)='一，則函數(shù))，=/(/(-)

口。。2。-1)，%>1

-1的所有零點構(gòu)成的集合為U，3,9｝.

【考點】函數(shù)的零點與方程根的關(guān)系.

【專題】函數(shù)思想；綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運算.

【分析】函數(shù))，=川(幻］-1的零點，即求方程*(x)］-1=0的解，利用換元法進(jìn)行

求解即可.

【解答】解：由)，=_/(/(4))?1=U得/(/(X由=1,

設(shè)，=/(%),則等價為/(f)=1,

當(dāng)時，由/(x)=x=l得x=l,

當(dāng)X>1時，由/■(x)=log2(工-1)=1得x=3,

即/=1或Z=3,

當(dāng)xWl時，由f(x)=x=l,得x=l,由f(x)=x+\=3?得x=2(舍)，故此時x=l?

當(dāng)x>l時，由/(x)=log2(x-1)=1得x=3,由f(x)=log2(x-1)=3,得x=9,

綜上％=1,或x=3或x=9,

所以函數(shù)、=川(幻］-1的所有零點所構(gòu)成的集合為：｛1,3,9)

故答案為：｛1,3,91.

【點評】本小題主要考查函數(shù)的零點、方程的解法等基礎(chǔ)知識，利用換元法結(jié)合數(shù)形結(jié)

合是解決木題的關(guān)鍵.

三.解答題(共7小題，滿分70分)

2

17.(12分)(2022?安徽模擬)甲、乙兩名射手射擊1個較遠(yuǎn)的目標(biāo)，甲命中的概率為3

乙命中的概率為"甲、乙是否命中互相獨立，甲乙均射擊兩槍.

(1)求甲命中1槍乙命中2槍的概率；

(2)設(shè)隨機(jī)變量X表示“甲乙命中的槍數(shù)之和”，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

【考點】離散型隨機(jī)變量的期殂與方差；離散型隨機(jī)變量及其分布列.

【專題】計算題；整體思想；綜合法；概率與統(tǒng)計；數(shù)學(xué)運算.

【分析】(1)根據(jù)獨立事件概率的計算方法即可計算；

(2)根據(jù)題意X的可能取值為0,1,2,3,4,根據(jù)獨立事件的概率計算方法計算分布

列并求數(shù)學(xué)期望即可.

【解答】解：(1)記事件A="甲命中1槍乙命中2槍”，

則由題意可知，P(4)=C^xix|x(1)2=i；

(2)由題意知X=0,1,2,3,4,

P(X=0)=(1)2x鈔=.

P(X=1)=(g)2x6X：X：+6X§X1X(；)2=￡=看

P(X=2)=(1)2X(1)2+C2X|X|X^2X(1)2+(|)2X(1)2-.

P(X=3)=^x|x|x(|)2+(|)2xCix(l)2=i|=|,

P(X=4)=(^x(l)2=±=i,

X的分布列用表格表示如下：

X01234

P1113—11

3663639

故X的數(shù)學(xué)期望E(X)=0x^4-lx1+2x||+3x|+4x1=1.

【點評】本題考查了離散型隨機(jī)變量的分布列與期望，屬于中檔題.

X2y2

18.(12分)(2022?安徽模擬)已知橢圓=+￡=l(a>b>0)的左、右頂點分別為4,

以4

42，左、右焦點分別為Q，尸2，M是橢圓上異于A|,A2的一點，且用%/“Az=

|A/FI|+|A/F2|=4.

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）P,。是橢圓上兩點，直線P。，OP,0Q的斜率均存在且不為0,若△OPQ面積為

V2,求kop?koQ.

【考點】直線與橢圓的綜合；橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

【專題】計算題；方程思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；邏輯推理；數(shù)學(xué)

運算.

【分析】（1）由橢圓定義求出縱然后設(shè)M（XQ,>,0），根據(jù)呢4?端%2=-^求出,3得

橢圓方程；

（2）設(shè)直線PQ方程為y="+z,P（即，》），Q（X2,”），直線萬程代入橢圓方程化簡

后，應(yīng)用韋達(dá)定理得X1+X2,加以，計算弦長伊。|，求得原點到直線PQ的距離得出三角形

的面積，利用已知面積得出參數(shù)A,1關(guān)系，計算&OP也Q并代入弓達(dá)定理的結(jié)論化簡可

得.

【解答】解：（1）|MF1|+|A/F2|=4=2a=>a=2,

，兒,，/、n.iyo>o1,y21..^o2,y2一

設(shè)M（刈，加），則——-----=--=>—；~0~2=--，?-r+T0T=1=>y=

2220

x0+ax0-a2x0-a2a，b°

2a2

2x.b1,2o

一/（/―Q），?,一滔=0=2,

%2y2

???橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為『+J=1.

42

（2）設(shè)直線尸Q方程為P（xi,y\）>Q（x?,”），

將y=kx+t代入橢圓方程整理得（1+2必）?+4^/x+2r-4=0A=\6lct2-4（i+2/r）（2?

-4）>0,

2

由韋達(dá)定理得%+%2=%7，Xi-%2=——7,

1+2/1+2/

工心,,I——,-----J16/產(chǎn)-4（1+2后）（2產(chǎn)—4）

22

故\PQ\=Vl+k\xr—x2\=V1+k?--------------o---------=

l+2k

[]+必[8（2+4灰2T2）

1+2必

原點0到PQ的距離為4=毫一雙。叵密三

J"=V2=>/處2+4,一。）=V2=>（1+2A2）2-2t2（l+2k2）+t4=0=>（14-

Jk2+11+2*

2k2-2）2=0,

得1+2必=?,此時△=16^+8>0.

故卜k二丫1九二（k%i+t）（—2+t）=.勺二+-（叼+%2）+產(chǎn)一

Q%]%2

）2.2t—3+kt?一，“i+產(chǎn)2?2??229o7

17^?=々2（2/一4）一432+岸（1+2/）=-4二+於=_2（產(chǎn)_1）+於=_1

23一勺-2產(chǎn)-42t2-4-2產(chǎn)一4一—一]

l+2k2

【點評】本題主要考查橢圓方程的求解，直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，韋達(dá)定理及其應(yīng)

用等知識,屬于中等題.

19.（12分）（2022?安慶模擬）如圖4BCO為平行四邊形，48=5,AO=4,BD=3,將4

A3。沿翻折到△P8Q位置且NPD4=120°.

（1）求P,。兩點之間的距離；

（2）求二面角D-PB-C的余弦值.

【考點】二面角的平面角及求法；點、線、面間的距離計算.

【專題】計算題；轉(zhuǎn)化思想；淙合法；空間位置關(guān)系與距離；空間角；邏輯推理；直觀

想象；數(shù)學(xué)運算.

【分析】（1）延長A。到E,使4。=?！?4,連接EC,PE.推出BO〃EC.證明BOJ_

AD,結(jié)合8O_LP。，得到8O_L平面布￡推出EC_LPE,然后轉(zhuǎn)化求解PC.

（2）取OE中點O,連接0P.以04,0P分別為筋z軸建立空間直角坐標(biāo)系。?.,

求出平面PDB的法向量，平面PBC的法向量，利用空間向量的數(shù)量積求解二面角

P5-C的余弦值.

【解答】解：（I）延長AO到E,使AO=OE=4,連接EC,PE.

由已知得8CEO為平行四邊形，散BD//EC.

又工解辦血皿）2,所以BD_LA￡>,

由已知BO_LP。，故8O_L平面以E,（3分）

所以EC_L平面外￡,所以ECLPE,

因為NPD4=120°,所以NPD￡=60°,又PD=DE=4,

所以△B4E為等邊三角形，故PE=4.

又EC=BD=3,所以PC=VPE2+EC2=5.（5分）

（2）由（1）知8CEO為矩形，取OE中點0,連接0P.

以04,0P分別為x,z軸建立空間直角坐標(biāo)系0-孫z,如圖.

則P(0,0,2回。⑵0,0),8(2,3,0),C(-2,3,0).PD=(2,0,-2回

PB=(2,3,-2V3),PC=(-2,3,-273).(7分)

設(shè)平面POB的法向量為后y「Zi）,則蔡麗=0,m-PB=0,

伍—V3z=0

即t,取必=V3,%=。，Zi=1,故m=(遮，0,1)>（9分）

12打+3yl—2V5ZI=0

設(shè)平面PBC的法向量為1=（巧，y2,z2）,則［而=0,n-PC=0,

即儼2+3、2-2岳2=0,

—

\—2X2+3y22Vsz2=0

取?=0，y?=2,z2=V3?放n=(0,2,V3)?

所以cos(茄，%)=巴=（11分）

|m||n|14

由己知二面角。-尸B-C為鈍角，故二面角。-尸B-C的余弦值為一笠.（12分）

14

【點評】本題考查直線與平面垂直的判斷定理的應(yīng)用，空間點線面距離的求法，二面角

的平面角的求法，考查空間想象能力，轉(zhuǎn)化思想以及計算能力，是中檔題.

20.（12分）（2022?合肥二模）已知函數(shù)f（x）=Z+cosx-ex,f（x）是/（x）的導(dǎo)函數(shù).

（1）證明：函數(shù)f（x）只有一個極值點：

（2）若關(guān)于x的方程f（x）=f（怎R）在（0,n）上有兩個不相等的實數(shù)根也，證

明：廣（號^）<0.

【考點】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值.

【專題】函數(shù)思想；轉(zhuǎn)化法；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用；邏輯推理.

【分析】（1）求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性，以及符號，即可求證.

（2）要證/（亂產(chǎn)）<0,即證/（石手）<f（出），其中f（xo）=0,又由

（1）知，只需證明'Va，不妨設(shè)OVxiVJQVTT，即證/（X2）-/（2ro-X2）>0,

構(gòu)造函數(shù)尸（x）=/（x）-f（2xo-x\只需尸Cr）〃麗>0,即可得出答案.

【解答】證明：（1）函數(shù)/（公的定義域為R，且/（x）=/-siiu--e,

當(dāng)xWO時,f（x）="-siar-eW1-sinx-eVO,

當(dāng)x>0時，令h（x）=f（x）="-sinx-e,

貝U/?’（x）=e*-cosx>0,

：.h（x）在（0,+8）上單調(diào)遞增，

又,：h（0）=1-e<0,h（n）=en-e>0,

x

BAOG（0,K）時，使得力（AO）=0,EPe°—sinx0—e=0,

當(dāng)OVXVAO時，/（x）<0,當(dāng)x>xo時，f（x）>0,

???函數(shù)/（x）在（-8,刈）上單調(diào)遞減，在（刈，+8）上單調(diào)遞增，/G）只有一個

極小值點刈，無極大值點，

綜上所述，函數(shù)f（x）只有一個極值點.

（2）證明：要證/（3產(chǎn)）<0,

即證/（*愛）</（即），其中/（即）=0,

又由（1）知，f（x）在（0,+8）

上單調(diào)遞增，

所以只需證明甘^<1-0,

又因為尤（0,7T）,不妨設(shè)OVxi<X2<n，

又f（x）在（0,X0）上單調(diào)遞減，在（XO,TT）上單調(diào)遞增，

即證，(X1)>f(Zro-X2)，即/(l2)=/(用)>f(2xo-X2)，

即證f(R!)>/(2vV0-X2)>

即證f(JQ)-f(2xo-X2)>0，

構(gòu)造函數(shù)T7(x)=/(x)-fC2xo-x)=(?+cosx-ex-[e2xo-x+cos(2xo-x)-e(2xo

-x)]

_e2x0

-

=W-e2x0-x+COSX-cos(2ro-x)-2ex+2的=e'—正-4-2sinxosin(xox)-2ex+2exo

e2x0

又尸'(x)=—+-^—