席南華院士數(shù)學(xué)的意義

千里之行，始于足下朽木易折，金石可鏤Word-可編輯席南華院士：數(shù)學(xué)的意義席南華院士

中國科學(xué)院數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)研究院

昨天量與形是物質(zhì)和事物的基本屬性。它們是數(shù)學(xué)研究的對象，這決定了數(shù)學(xué)的價值和意義。數(shù)學(xué)其實(shí)擔(dān)心的是量與形的數(shù)學(xué)邏輯，是現(xiàn)實(shí)世界的一個反映。數(shù)學(xué)的邏輯是物質(zhì)和事物的基本屬性的邏輯，是天然邏輯和社會邏輯中最實(shí)質(zhì)的一部分。數(shù)學(xué)的意義和價值看起來已無需多說，但是數(shù)學(xué)的語言是抽象的，而抽象的面目基本上是人見人不愛，也常常被誤認(rèn)為遠(yuǎn)離現(xiàn)實(shí)世界和人間煙火，挺冤的。抽象的價值后面會說到。

1.

遙遠(yuǎn)的過去，數(shù)學(xué)是什么形狀

數(shù)學(xué)有很長的歷史。普通認(rèn)為數(shù)學(xué)作為自立的有理論的學(xué)科浮上于公元前600年至公元前300年期間，歐幾里得的《原本》（約公元前300年）是一個光輝的典范。它采用公理化體系系統(tǒng)收拾了古希臘人的數(shù)學(xué)成就，其體系、數(shù)學(xué)理論的表述方式和書中體現(xiàn)的思維方式對數(shù)學(xué)乃至科學(xué)的發(fā)展影響深遠(yuǎn)?？v觀數(shù)學(xué)發(fā)展史，《原本》是最有影響的數(shù)學(xué)書。古希臘另一部偉大的數(shù)學(xué)著作是阿波羅尼奧斯的《圓錐曲線》，時光上它稍后于《原本》。這本書除了綜合前人的成就，還有獨(dú)到的創(chuàng)新，材料組織出色，寫得靈便巧妙。這本書稱得上圓錐曲線方面的巔峰之作，后人幾乎對這個主題至少在幾何上都說不出什么新東西。幾乎同時，就有數(shù)學(xué)史的研究了。亞里士多德（公元前384-322)的學(xué)生歐德摩斯（Eudemus，約公元前370-300）寫有數(shù)學(xué)史的著作。

人類的文明史又要長得多。約一萬年前人類開始定居在一個地區(qū)，靠農(nóng)牧業(yè)生活。文字的浮上卻要晚得多，大約在公元前3200年左右。在此之前，人類在數(shù)學(xué)上的發(fā)展是極其的緩慢，緣故在于發(fā)展水平低下，對數(shù)學(xué)的需求極低，抽象的數(shù)學(xué)概念從無到有的形成極不容易。

數(shù)學(xué)最基礎(chǔ)的概念，數(shù)和直線，的形成經(jīng)過了漫長的時光。

剛開始，人們對數(shù)的觀念是與詳細(xì)的物品聯(lián)系在一起的，如一棵樹，一塊石頭，兩個人，兩條魚，等等。時光，在不停地流逝，…。逐漸地，人們領(lǐng)略到一棵樹，一塊石頭等詳細(xì)物體的共同的數(shù)字屬性，數(shù)的抽象概念形成了。

同樣，剛開始，人們對線的觀念和樹，樹枝，繩子，物體的邊沿等詳細(xì)的線形狀聯(lián)系在一起。時光，在不停地流逝，…。逐漸地，人們意識到直的樹，拉緊的繩子，某些物體的筆直的邊沿等詳細(xì)物體的共同的形狀屬性，直線的抽象概念就形成了。

數(shù)和直線概念的形成是人類認(rèn)識天然的一個飛躍。

數(shù)學(xué)的產(chǎn)生與發(fā)展是實(shí)際生活推進(jìn)的。最初產(chǎn)生的是算術(shù)與幾何?，F(xiàn)實(shí)的需要產(chǎn)生了數(shù)之間的計(jì)算（如分配食物、交換物品，到指定日期前的天數(shù)等）。于是需要給數(shù)以名稱，并能記下來告訴別人。從文字產(chǎn)生之初就開始引進(jìn)的數(shù)字符號在算術(shù)的發(fā)展上起了龐大的作用。這是引進(jìn)普通數(shù)學(xué)符號和公式的第一步。下一步，引進(jìn)算術(shù)運(yùn)算符號和未知數(shù)符號是很晚完成的，并不斷改進(jìn)，比如，我們認(rèn)識的加減乘除的符號是在十五世紀(jì)至十八世紀(jì)間才開始使用。

算術(shù)最早是在巴比倫和埃及那兒發(fā)展起來，因?yàn)槎愂铡⒄闪客恋亍①Q(mào)易、建造、天文等的實(shí)際需要。但這里主要是針對詳細(xì)問題的計(jì)算和解答。

算術(shù)的這種形式并不是數(shù)學(xué)理論，因?yàn)槠渲袥]有關(guān)于數(shù)的普通性質(zhì)（或說邏輯）。向理論算術(shù)的過渡是逐漸舉行的。古代中國、巴比倫、埃及，已經(jīng)知道百萬以上數(shù)的可能。這里已經(jīng)顯示出數(shù)列無限延續(xù)下去的可能性。但人們不是很快就明確意識到這一點(diǎn)。阿基米德（公元前287-212）在《數(shù)砂法》中指明了命名大量砂粒的數(shù)目的主意。這是一件當(dāng)初需要詳細(xì)解釋的事情。在今天其實(shí)也不是一件容易的事情。

公元前三世紀(jì)希臘人明確意識到兩種重要思想：數(shù)列可以無限地延續(xù)下去;不但可以運(yùn)用詳細(xì)的數(shù)，還可以研究普通的數(shù)，建立和證實(shí)關(guān)于數(shù)的普通性質(zhì)。例如《原本》中證實(shí)素?cái)?shù)有無窮多個，后面會提到這個結(jié)論和證實(shí)。算術(shù)就這樣發(fā)展成理論算術(shù)。

理論算術(shù)其實(shí)是數(shù)的理論，對詳細(xì)的局部的問題的計(jì)算不是其主要內(nèi)容，用概念和推理建立數(shù)的邏輯和普通性質(zhì)是其主要的內(nèi)容。固然，這會反過來在更高層次對詳細(xì)的計(jì)算有協(xié)助。理論算術(shù)令人信服的根源：它的結(jié)論是從概念中運(yùn)用邏輯主意得出，而邏輯主意和算術(shù)概念都是以數(shù)千年的實(shí)踐為基礎(chǔ)，以世界的客觀邏輯為基礎(chǔ)。

理論算術(shù)的概念和結(jié)論反映了事物的量的性質(zhì)和關(guān)系，概括了大量的實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)，在抽象的形式中表現(xiàn)浮上實(shí)世界的那些常常和到處碰到的關(guān)系，對象可以是動物、農(nóng)產(chǎn)品、星球……。所以，算術(shù)的抽象性不是空洞的，而是通過持久的實(shí)踐，概括了某些普遍的性質(zhì)，從而具有廣泛的應(yīng)用性。對于所有數(shù)學(xué)，對于任何抽象概念和理論也都是這樣的。理論應(yīng)用廣泛的可能性取決于其中所概括的原始材料的廣泛性。抽象自有它的局限性：應(yīng)用到詳細(xì)對象時僅反映了對象的一方面，常常僅有量是不夠的。不能無限制地到處應(yīng)用抽象概念。一只羊和一頭狼加在一起，一升水和一把泥土混在一起都不是算術(shù)一加一應(yīng)用的地方。真理是詳細(xì)的，數(shù)學(xué)是抽象的。抽象應(yīng)用到詳細(xì)常常是一種藝術(shù)和技術(shù)。

數(shù)的發(fā)展歷程也是很存心思的。最初是與詳細(xì)對象相聯(lián)的數(shù)，然后是抽象的數(shù)，進(jìn)而是普通的數(shù)。每一階段都依賴先前的概念和堆積的經(jīng)驗(yàn)。這也是數(shù)學(xué)概念形成的基本邏輯之一。

幾何的起源與發(fā)展類似于算術(shù)的情形。測量，計(jì)算土地的面積和容器的體積，谷倉的容積，水利工程等的實(shí)際需要導(dǎo)致了幾何的產(chǎn)生和發(fā)展，包括長度，面積，體積等概念。對于農(nóng)民，知道土地的面積，對預(yù)計(jì)收成是很有益的。對于水利工程，知道土方量對工程需要多長時光完工是重要的。巴比倫人和埃及人在幾何發(fā)展的初始?xì)q月（大約是公元前三千多年至公元前七百年期間）是率先者。剛開始，幾何就是從經(jīng)驗(yàn)總結(jié)出來的一些公式，包括求三角形，長方形，梯形，圓等的面積公式，長方體，球等的體積公式。埃及人用來計(jì)算圓面積的公式

A=(8d/9)2在當(dāng)初是驚人的好，其中d是直徑。這個公式等于在圓的面積公式中取π=3.1605.

幾何問題在計(jì)算上也是算術(shù)問題。巴比倫人和埃及人那時應(yīng)該未意識到他們的算法和規(guī)矩需要按照，或能夠通過演繹從一些結(jié)論推出另一些結(jié)論。他們所得到的公式或法則都是互相沒有聯(lián)系的，從而不成系統(tǒng)。這時，希臘人登場了。他們?nèi)グ＜昂桶捅葌愖鲑Q(mào)易，游歷，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)和科學(xué)。埃及人和巴比倫人的算術(shù)與幾何就這樣大約在公元前七世紀(jì)傳到希臘。隨后就是群星閃耀的時代，有眾多的學(xué)派。存心思的是那時中國大致是春秋戰(zhàn)國時期，百家爭鳴，思想家輩出，老子，孔子，墨子，孟子，莊子，荀子，韓非子，…。希臘古典時期（公元前600年至公元前300年間）很有影響的學(xué)派有：愛奧尼亞學(xué)派，畢達(dá)哥拉斯學(xué)派，厄尼亞學(xué)派，巧辨學(xué)派，柏拉圖學(xué)派，亞里士多德學(xué)派等。古希臘人對數(shù)學(xué)的最重大的思想貢獻(xiàn)包括：數(shù)學(xué)研究抽象概念，一切數(shù)學(xué)結(jié)果必須按照事先明確規(guī)定的公理用演繹法推出。幾何就這樣朝著幾何理論方向發(fā)展；引入概念，對經(jīng)驗(yàn)得到結(jié)論闡明之間的關(guān)系，發(fā)現(xiàn)新的結(jié)論。這個過程中，抽象的思維發(fā)揮了極其重要的作用。在現(xiàn)實(shí)物體的空間形式中抽象產(chǎn)生了幾何的概念：點(diǎn)（沒有大?。€（沒有寬度厚度），面（沒有厚度），……。與算術(shù)一樣，幾何產(chǎn)生于實(shí)踐，逐步形成數(shù)學(xué)理論。幾何理論研究的是空間的抽象形式和關(guān)系。這是它有別于其他研究物體的空間形式和關(guān)系的科學(xué)，如天文、測量等，或藝術(shù)如繪畫、雕塑等，的地方。抽象的空間形式是無法做實(shí)驗(yàn)的，只能用邏輯推理的主意建立結(jié)論之間的聯(lián)系，從已知的結(jié)論導(dǎo)出新的結(jié)論。幾何概念的顯然性，推理的主意，結(jié)論的令人信服都宛若算術(shù)那樣以數(shù)千年的實(shí)踐和世界的客觀邏輯為基礎(chǔ)。

在我們今天強(qiáng)調(diào)學(xué)科交錯對科學(xué)發(fā)展的重要性時，回顧歷史，會發(fā)現(xiàn)那是一個似是而非的提法。學(xué)科的交錯在歷史上向來十分活躍，是產(chǎn)生進(jìn)一步的普通概念、主意和理論的重要來源，對人類文明和科學(xué)的發(fā)展產(chǎn)生龐大的影響。最偉大的科學(xué)家，如阿基米德，牛頓，萊布尼茲，歐拉，高斯，愛因斯坦等在多方面都做出偉大的貢獻(xiàn)。就說算術(shù)與幾何，數(shù)學(xué)最早的兩個分支，在一開始就是密不可分，互相影響的。容易的長度測量就已經(jīng)是算術(shù)與幾何的結(jié)合了。測量物體長度時，把某種長度單位置放在物體上面，然后數(shù)一數(shù)共置放多少次。第一步（放置）是幾何的，背后的幾何概念是全等或重合，第二步（數(shù)）是算術(shù)的。測量的時候常常發(fā)現(xiàn)所選用的單位不能在被測的物體上放置整數(shù)次。這時必須把單位加以分割，以方便用單位的一部分來更確切地測量物體，就是說不僅用整數(shù)，還要加上分?jǐn)?shù)來表示被測物體的長度。分?jǐn)?shù)就這樣產(chǎn)生了。這是幾何與算術(shù)合作的結(jié)果，產(chǎn)生了重要的新概念

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分?jǐn)?shù)，引起了數(shù)的概念從整數(shù)到分?jǐn)?shù)的推廣。

無理數(shù)的發(fā)現(xiàn)同樣來自幾何與算術(shù)的結(jié)合，但無理數(shù)的發(fā)現(xiàn)卻是不能通過測量實(shí)現(xiàn)的，因?yàn)樵趯?shí)際測量中精度總是有限的，而無理數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù)。勾股定理告訴我們單位邊長的正方形的對角線的長度是2的平方根，它是一個無理數(shù)。這樣，數(shù)的概念就進(jìn)一步發(fā)展了。而且，逐漸地人們把數(shù)理解為某個量與被取做單位的量的比值。無理數(shù)的發(fā)現(xiàn)是體現(xiàn)數(shù)學(xué)理論在揭示天然邏輯和現(xiàn)象的威力與深刻性的一個典型例子。沒有數(shù)學(xué)，無數(shù)的現(xiàn)象和邏輯是無法認(rèn)識的。數(shù)的進(jìn)一步發(fā)展就是實(shí)數(shù)的概念，然后是復(fù)數(shù)的概念。然后是代數(shù)結(jié)構(gòu)。已故的偉大數(shù)學(xué)家華羅庚對數(shù)與形的聯(lián)系有過精辟的評述：數(shù)缺形時少直觀，形缺數(shù)時難入微1。1.原詩：

數(shù)與形，本是相倚依，焉能分作兩邊飛；數(shù)缺形時少直觀，形缺數(shù)時難入微；數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬事休；切莫忘，幾何代數(shù)統(tǒng)一體，永遠(yuǎn)聯(lián)系，切莫分離！見《華羅庚詩文選》，中國文史出版社，1986.

2.

數(shù)（sh?）數(shù)（shù）

說起來，數(shù)學(xué)應(yīng)該是從數(shù)（sh?）數(shù)（shù）開始的。我們有誰不會數(shù)數(shù)呢，在會說話后不久，父母就會告訴我們數(shù)數(shù)，到幼兒園后數(shù)數(shù)的本領(lǐng)絕對就更大了。我們數(shù)數(shù)普通是1,

2,

3,

4,

5,

6，……似乎普通人不會想到用正整數(shù)把所有的整數(shù)都數(shù)一數(shù)。其實(shí)這是可能的，一個數(shù)法是：0,

1，-1,

2，-2,

3，-3，……這樣就用正整數(shù)把所有的整數(shù)都數(shù)出來了。

普通人應(yīng)該更不會想到用正整數(shù)把有理數(shù)（分?jǐn)?shù)）來數(shù)一下，直覺看這似乎是不可能的事情。出人意料，這也是可能。分?jǐn)?shù)都能寫成整數(shù)的比：0，±p/q，

其中p，q是不等于0的正整數(shù)，沒有大于一的公因子。先按p+q的值的大小分成若干部分排序，每一部分再數(shù)，所以一種數(shù)法是：0，1，－1，1/2，2，－1/2，－2，1/3，3，－1/3，－3，1/4，2/3，3/2，4，－1/4，－2/3，－3/2，－4，……就這樣，我們用正整數(shù)把有理數(shù)也數(shù)清晰了。好奇心固然不能這樣結(jié)束了。我們可能琢磨怎樣用正整數(shù)來數(shù)實(shí)數(shù)。這一次真的是沒主意了：正整數(shù)無法數(shù)清晰實(shí)數(shù)?？梢脏嵵刈C實(shí)這一點(diǎn)，但我們這里不去說此事，固然并不難。故事還沒有結(jié)束。這里產(chǎn)生了一個問題：在天然數(shù)全體和實(shí)數(shù)全體之間有沒有數(shù)的集合，它沒法用正整數(shù)去數(shù)（即不能與天然數(shù)集建立一一對應(yīng)），同時實(shí)數(shù)也沒法用這個集合去數(shù)？集合論（數(shù)學(xué)的一個分支）的創(chuàng)始人康托預(yù)測：這樣的集合不存在。這就是聞名的延續(xù)統(tǒng)假設(shè)。希爾伯特在1900年國際數(shù)學(xué)家大會上作報(bào)告，列出了二十三個問題，延續(xù)統(tǒng)假設(shè)是第一個問題。由此可見這個問題的重要性。這二十三個問題對以后數(shù)學(xué)的發(fā)展產(chǎn)生了重大的影響。哥德爾是偉大的數(shù)理邏輯學(xué)家，他在一九四〇年證實(shí)了延續(xù)統(tǒng)假設(shè)與我們平時用的公理體系是沒有矛盾的。沒有矛盾，并不意味著它是對的。一九六三年科恩建立了強(qiáng)有力的主意力迫法，用這個主意他證實(shí)了延續(xù)統(tǒng)假設(shè)之否與我們平時用的公理體系也是沒有矛盾的。也就是說在我們常用的公理體系中，參加這個假設(shè)不會產(chǎn)生矛盾；參加這個假設(shè)之否，也不會產(chǎn)生矛盾。這顯然出乎常人的意料，一個重要而又天然的問題，竟在我們常用的公理體系里沒法斷定真假。邏輯的詭異由此可見一斑?？贫饕蛟谘永m(xù)統(tǒng)假設(shè)上的工作獲得1966年的菲爾茲獎。延續(xù)統(tǒng)假設(shè)似乎已經(jīng)弄明了了，但其實(shí)對這個問題的思量并沒有停止，

仍在產(chǎn)生深刻的數(shù)學(xué)。我們可以把延續(xù)統(tǒng)假設(shè)和平面幾何的平行公理比較。對平行公理的思索和研究導(dǎo)致了雙曲幾何等非歐幾何的產(chǎn)生。黎曼幾何是非歐幾何的一種，是廣義相對論的數(shù)學(xué)框架。好奇心，容易的好問題，總是能把我們帶到很遠(yuǎn)，很遠(yuǎn)的地方。

3.

認(rèn)識無限在我們有限的生命中要認(rèn)識無限似乎是一件艱難的事情，甚至可能是一件讓人不安的事情。古詩“生年不滿百，常懷千歲憂”，又表明我們并不甘心局限于自己有限的時空。但無限是令人敬畏的。帕斯卡說道“當(dāng)我想到我生命的短暫逗留，被前后的永恒所吞噬，我所占領(lǐng)的小小空間，被我一無所知、對我一無所知的無限廣大的空間所吞沒，我感到害怕。這些無邊無際的空間的永恒的沉寂使我膽怯2?！闭麛?shù)有無限個，實(shí)數(shù)也有無限個。在數(shù)數(shù)的游戲中我們知道這兩個無限是有本質(zhì)差別的。唯有數(shù)學(xué)能研究無限，揭示神秘的無限世界，并利用無限研究有限。例子包括極限，級數(shù)，無限集合，……

下面兩個等式就能讓人感觸數(shù)學(xué)利用無窮的神妙：

2.WhenIconsidertheshortdurationofmylife,swallowedupinaneternitybeforeandafter,thelittlespaceIfillengulfedintheinfiniteimmensityofspaceswhereofIknownothing,andwhichknownothingofme,Iamterrified.Theeternalsilenceoftheseinfinitespacesfrightensme.

BlaisePascal,in

“Pensées”(原文為法文，意為沉思)，1670。偉大的數(shù)學(xué)家希爾伯特對無限的認(rèn)識是深刻的：“從未有其他的問題能如此深刻地觸動人的心靈；沒有其他的思想能如此寬裕成績地激發(fā)人的思維邏輯領(lǐng)略力；然而，也沒有其他的概念比無限的概念更需要澄清3?！?/p>

4.一些觀點(diǎn)偉人們從不吝嗇他們對數(shù)學(xué)的敬畏和贊嘆之詞：

數(shù)學(xué)是現(xiàn)實(shí)的核心。

畢達(dá)哥拉斯學(xué)派、柏拉圖學(xué)派我們常常聽到的觀點(diǎn)“萬物皆數(shù)”源自畢達(dá)哥拉斯，他（的學(xué)派）還有類似的表述：數(shù)統(tǒng)治著宇宙；數(shù)是萬物的本質(zhì)。柏拉圖學(xué)派深受畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的影響，把數(shù)學(xué)擺在至高的位置：純粹思想的最高形式是數(shù)學(xué)。在柏拉圖學(xué)園的大門上寫著“無幾何學(xué)識者勿入此門”。柏拉圖的《理想國》第七篇中有很長的對話研究算術(shù)與幾何的重要性，結(jié)論是算術(shù)迫使靈魂使用純粹理性通向真理，幾何是認(rèn)識永恒事物的，把算術(shù)與幾何作為青年人必須學(xué)習(xí)的第一門和第二門功課。

數(shù)學(xué)是天然界真切的本質(zhì)。

古希臘有這樣的認(rèn)識，古希臘能在數(shù)學(xué)上取得開天辟地的成就似乎也就不神奇了。

物理寫在宇宙這本大書里，它持續(xù)地打開在我們眼前。但在我們學(xué)會書寫宇宙的字符和語言之前，是無法讀懂這本書的。它是用數(shù)學(xué)語言寫成的，字符是三3.“DasUnendlichehatwiekeineandereFragevonjehersotiefdas

Gemüt

derMenschenbewegt;dasUnendlichehatwiekaumeineandere

Idee

aufdenVerstandsoanregendundfruchtbargewirkt;dasUnendlicheistaberauchwiekeinanderer

Begriff

soder

Adfkl?rung

bedürftig.”DavidHilbert:Inaddress(4Jun1925),atacongressoftheWestphalianMathematicalSocietyinMunster,inhonorofKarlWeierstrass.FirstpublishedinMathematischeAnnalen(1926),95,161-190withtitleüberdasUnendliche.角形，圓以及其它的幾何圖形。沒有（明了）這些意味著人力理解這本書的一個單詞都是不可能的。沒有這些，人就只能在黑暗的迷宮里猶豫4。

伽利略

伽利略是近代實(shí)驗(yàn)科學(xué)與機(jī)械唯物主義的奠基人之一。他建立了落體定律，發(fā)現(xiàn)了慣性定律，決定了"伽利略相對性原理"等，是經(jīng)典力學(xué)和實(shí)驗(yàn)物理學(xué)的先驅(qū)。也是利用望遠(yuǎn)鏡看見天體取得大量成績的第一人。伽利略對數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)可以看做古希臘人的觀點(diǎn)的一個發(fā)展。

數(shù)學(xué)是科學(xué)的皇后5。

高斯高斯被稱為十九世紀(jì)的數(shù)學(xué)王子，是十九世紀(jì)最偉大的數(shù)學(xué)家，也是出色的物理學(xué)家，天文學(xué)家，大地測量學(xué)家。他的這句話常被人引用，只是不知道高斯把皇帝弄哪兒去了。

在天然科學(xué)中，數(shù)學(xué)是不可思議地有效。

尤金·維格納

維格納提出原子核吸收中子的理論并發(fā)現(xiàn)維格納效應(yīng)，因此1963年獲諾貝爾物理學(xué)獎。這個引言是維格納1959年5月11日在紐約大學(xué)庫朗數(shù)學(xué)研究所的報(bào)告的題目，文章1960年2月發(fā)表在庫朗數(shù)學(xué)研究所主辦的雜志《CommunicationsinPureandAppliedMathematics》上。維格納的這個觀點(diǎn)影響很大，問世后對這個觀點(diǎn)的研究和引申就向來沒有停過。

上帝是等級異常高的數(shù)學(xué)家，構(gòu)建宇宙時他用了十分高級的數(shù)學(xué)。我們在數(shù)

4.Philosophy(i.e.physics)iswritteninthisgrandbook,theuniverse,whichstandscontinuallyopentoour

gaze.Butthebookcannotbeunderstoodunlessonefirstlearnstocomprehendthelanguageandreadthelettersinwhichitiscomposed.Itiswritteninthelanguageofmathematics,anditscharactersaretriangles,circles,andothergeometricfigureswithoutwhichitishumanlyimpossibletounderstandasinglewordofit;withoutthese,onewandersaboutinadarklabyrinth.”

GalileoGalilei,

TheAssayer

(IlSaggiatore(inItalian)),astranslatedbyStillmanDrake(1957),

DiscoveriesandOpinionsofGalileopp.237-8.

5.“DieMathematikistdieK?niginderWissenschaftenunddieZahlentheorieistdieK?niginderMathematik”,WolfgangSartoriusvonWaltershausen:

GausszumGed?chtnis

(高斯傳),1856.p.79.學(xué)上氣力不足的嘗試使得我們能夠理解宇宙的一點(diǎn)點(diǎn)。當(dāng)我們繼續(xù)發(fā)展越來越高級的數(shù)學(xué)時，可以希翼我們能更好地理解宇宙6。

狄拉克狄拉克發(fā)現(xiàn)了原子理論的寬裕成效的新形式，因此于1933年與薛定諤一起獲得諾貝爾物理獎。他提出的狄拉克方程被譽(yù)為石破天驚之作，預(yù)言了正電子的存在，后被實(shí)驗(yàn)證實(shí)。他提出的δ函數(shù)極富發(fā)明性，驚世駭俗，當(dāng)初的數(shù)學(xué)理論無法接納，但在物理上很實(shí)用。后來廣義函數(shù)理論浮上，數(shù)學(xué)理論才干解釋和處理δ函數(shù)，本來它是一個廣義函數(shù)。

數(shù)學(xué)必須駕馭我們理智的翱翔；數(shù)學(xué)是盲人的拐杖，沒有它寸步難行,物理中一切確實(shí)無疑的都應(yīng)歸功于數(shù)學(xué)和經(jīng)驗(yàn)7。

伏爾泰伏爾泰是十八世紀(jì)法國哲學(xué)家和作家，法國資產(chǎn)階級啟蒙運(yùn)動的泰斗。他的思想代表了囫圇啟蒙運(yùn)動的思想，啟迪了民眾的心智，影響了整整一代人。法國數(shù)學(xué)的強(qiáng)大不僅是法國數(shù)學(xué)家的功績，還有深刻的文化因素。

數(shù)學(xué)的發(fā)展與完美和國家的繁榮繁榮緊密相關(guān)8。

拿破侖拿破侖是十九世紀(jì)法國偉大的軍事家、政治家，法蘭西第一帝國的締造者。人們普通都擔(dān)心他的軍政成就，其實(shí)他在科教方面的成就對法國以后的發(fā)展也同樣是至關(guān)重要的。在法蘭西第一帝國期間，法國制定了保留至今的國民教誨制度，成立了公立中學(xué)和法蘭西大學(xué)來培養(yǎng)人才，鼓勵科學(xué)研究與技術(shù)教誨事業(yè)的興起。6.

“Godisamathematicianofaveryhighorder,andHeusedveryadvancedmathematicsinconstructingtheuniverse.Ourfeebleattemptsatmathematicsenableustounderstandabitoftheuniverse,andasweproceedtodevelophigherandhighermathematicswecanhopetounderstandtheuniversebetter.”P.A.M.Dirac:

TheEvolutionofthePhysicist'sPictureofNature.

ScientificAmerican,May1963,Volume208,Issue5.7.

“Mathematicsmustsubduetheflightsofourreason;theyarethestaffoftheblind;noonecantakeastepwithoutthem;andtothemandexperienceisdueallthatiscertaininphysics.”

FrancoisMarieArouetVoltaire,

OeuvresCompletes,1880,t.35,p.219.8.

“TheadvancementandperfectionofmathematicsareintimatelyconnectedwiththeprosperityoftheState.”NapoléonBonaparte:

CorrespondancedeNapoléon,t.24(1868),p.112．拿破侖對科學(xué)和文化事業(yè)極為擔(dān)心。掌權(quán)后，他定時出席法蘭西科學(xué)院的會議，邀請?jiān)菏總儓?bào)告科學(xué)發(fā)展，將許多獎賞授予科學(xué)家，包括外國的科學(xué)家。拿破侖的擔(dān)心促進(jìn)了法國科學(xué)的繁榮，浮上了拉普拉斯、拉格朗日、蒙日、薩迪·卡諾、傅立葉、蓋·呂薩克、拉馬克、居維葉等一大批耀眼的科學(xué)明星。

數(shù)學(xué)科學(xué)呈示了一個最輝煌的例子，不借助經(jīng)驗(yàn)，純粹理性就能勝利地?cái)U(kuò)大其疆域9。

康德康德是十八世紀(jì)德國哲學(xué)家，被認(rèn)為是所偶爾代最偉大的哲學(xué)家之一。他擁有淵博的天然科學(xué)知識，對道德有著深刻的理解。他的哲學(xué)對德國古典哲學(xué)和西方哲學(xué)具有深遠(yuǎn)影響，對馬克思主義哲學(xué)的出生也具有深刻影響?！都兇饫硇耘u》是其最聞名的著作。

大概聽起來神奇，數(shù)學(xué)的能力在于它逃避了一切不須要的思量和它令人愉快地節(jié)約了腦力勞動10。

馬赫馬赫是十九世紀(jì)至二十世紀(jì)初奧地利物理學(xué)家和哲學(xué)家。高速翱翔的馬赫數(shù)就是以他命名。他最重要成就是在研究物體在氣體中的高速運(yùn)動時，發(fā)現(xiàn)了激波。馬赫的《力學(xué)》曾對愛因斯坦產(chǎn)生深刻的影響。馬赫也多次被多人提名為諾貝爾物理獎的候選人。馬赫的上述觀點(diǎn)是一個似非而是的真理，后面我們會用哥尼斯堡七橋問題和晶體的分類加以說明。

倘若我感到憂傷，我會做數(shù)學(xué)變得愉快；倘若我正愉快，我會做數(shù)學(xué)保持快9.

“Thescienceofmathematicspresentsthemostbrilliantexampleofhowpurereasonmaysuccessfullyenlargeitsdomainwithouttheaidofexperience.”

ImmanuelKantandF.MaxMüller(trans.),'MethodofTranscendentalism',CritiqueofPureReason(1881),Vol.2,p.610.

還可參見：《純粹理性批評》，p.575,

康德著，王玖興主譯，商務(wù)印書館。10.

“Strangeasitmaysound,thepowerofmathematicsrestsonitsevasionofallunnecessarythoughtandonitswonderfulsavingofmentaloperations.”ErnstMach:

inE.T.Bell,

MenofMathematics

(1937),Vol.1,l(Romannumeral'l')).樂11。

雷尼雷尼（AlfrédRényi）是二十世紀(jì)出色的匈牙利數(shù)學(xué)家，主要研究概率論，也研究組合數(shù)學(xué)，圖論和數(shù)列。雷尼告訴我們，做數(shù)學(xué)多好！

純粹的數(shù)學(xué)構(gòu)造使我們能夠發(fā)現(xiàn)概念和聯(lián)系這些概念的邏輯，這些概念和邏輯給了我們理解天然現(xiàn)象的鑰匙12。

愛因斯坦為什么數(shù)學(xué)享有高于其他一切科學(xué)的異常尊重，一個理由是因?yàn)樗拿}是絕對可靠和無可討論的，而其它一切科學(xué)的命題在某種程度上都是可討論的，并且常常處于被新發(fā)現(xiàn)的事實(shí)推翻的危險(xiǎn)之中?！瓟?shù)學(xué)之所以有高聲譽(yù)，還有另一個理由，那就是數(shù)學(xué)賦予精密天然以某種程度的可靠性，沒有數(shù)學(xué)，這些科學(xué)是達(dá)不到這種可靠性的13。

愛因斯坦愛因斯坦是二十世紀(jì)最偉大的科學(xué)家，婦孺皆知。其科學(xué)成就改變了人們對世界的認(rèn)知。他不僅是一位偉大的科學(xué)家，還是一位偉大的哲人，社會活動家，深切擔(dān)心人類的命運(yùn)。對天然，對社會，對人類的深刻認(rèn)識讓人驚嘆其超人的智慧和偉大的心靈。11.

“IfIfeelunhappy,Idomathematicstobecomehappy.IfIamhappy,Idomathematicstokeephappy.”

AlfrédRényi:InP.Turán,'TheWorkofAlfrédRényi',MatematikaiLapok(1970),21,pp.199-210.12.

“puremathematicalconstructionenablesustodiscovertheconceptsandthelawsconnectingthem,whichgivesusthekeytounderstandingnature.”AlbertEinstein,InHerbertSpencerLectureatOxford(10Jun1933),'OntheMethodsofTheoreticalPhysics'.PrintedinDiscovery(Jul1933),14,227.Alsoreprintedin

PhilosophyofScience,

Vol.1,No.2,(Apr.,1934),pp.163-169.

中文翻譯可見《愛因斯坦文集》第一卷，許良英等譯，商務(wù)印書館，2023年年.p.448.13.“Onereasonwhymathematicsenjoysspecialesteem,aboveallothersciences,isthatitspropositionsareabsolutelycertainandindisputable,whilethoseofallothersciencesaretosomeextentdebatableandinconstantdangerofbeingoverthrownbynewlydiscoveredfacts....Butthereisanotherreasonforthehighreputeofmathematics,inthatitismathematicswhichaffordstheexactnaturalsciencesacertainmeasureofcertainty,towhichwithoutmathematicstheycouldnotattain.”AlbertEinstein:

GeometryandExperience,Published1921byJuliusSpringer(Berlin),alsoreprintedin“TheCollectedPapersofAlbertEinstein”,TranslationVolume7,PrincetonUniversityPress,2002.

中文翻譯可見《愛因斯坦文集》第一卷，許良英等譯，商務(wù)印書館，2023年年.p.217.宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之變，生物之謎，日用之繁，無處不用數(shù)學(xué)14。

華羅庚對于數(shù)學(xué)之用，華羅庚的評說是極其精辟的。

5.

探索世界的精靈在實(shí)踐中，通過感性和思量，獲得了知識。進(jìn)而，通過抽象的思維，建立了知識之間的聯(lián)系，形成了科學(xué)。至此，理性和思維就有了自己的自由王國。

在自己的王國里，思維常常超出實(shí)際的需求很遠(yuǎn)。比如，十億或百億這樣一些大數(shù)在計(jì)算的基礎(chǔ)上產(chǎn)生，運(yùn)用它們的實(shí)際需要是以后的事情；虛數(shù)是通過解方程x2+1=0產(chǎn)生的，后來才發(fā)現(xiàn)廣泛的應(yīng)用。數(shù)學(xué)擔(dān)心的是量與形的數(shù)學(xué)邏輯，是探索世界的一個精靈。在思維的自由王國里，它靈巧，有很大的自由空間翱翔，無數(shù)成績在完成后要過很久很久才得到應(yīng)用。聞名的例子包括：兩千多年前希臘人關(guān)于圓錐曲線的研究在17世紀(jì)被用于描寫天體的運(yùn)動。黎曼幾何是廣義相對論的數(shù)學(xué)框架。纖維叢理論在規(guī)范場理論中的作用。矩陣和無限維空間在量子力學(xué)中的作用。概率論在統(tǒng)計(jì)力學(xué)、生物和金融中的應(yīng)用?！覈奈幕蛡鹘y(tǒng)都是實(shí)用主義的，主要擔(dān)心眼前的利益。在這兒，我愿意引用哲學(xué)家懷特海德的忠告：“對那些只把知識和研究局限于顯然實(shí)用的那些人，不會有比如下示例給出更深印象的告誡了：圓錐曲線只是作為抽象科學(xué)（的內(nèi)容），被研究了一千八百年，除了滿意數(shù)學(xué)家的求知欲外，沒有任何實(shí)用的考慮，然而在這漫長的抽象研14.華羅庚：“大哉數(shù)學(xué)之為用”，原載《人民日報(bào)》1959年5月28日。轉(zhuǎn)載于《大哉數(shù)學(xué)之為用》（華羅庚科普著作選集），上海教誨出版社。

究的最后，它們被發(fā)現(xiàn)是獲得最重要的天然邏輯之一的知識所必不可少的鑰匙15。”

6.

數(shù)學(xué)的智慧普通人對數(shù)學(xué)都是愿意敬而遠(yuǎn)之的，可是馬赫卻說數(shù)學(xué)能令人愉快地節(jié)約腦力（見前面的第4節(jié)：一些觀點(diǎn)），這真是讓人困窘的一個說法?？赡荞R赫說的是數(shù)學(xué)的智慧。我們用兩個例子說明這一點(diǎn)。第一個例子是哥尼斯堡七橋問題。這個問題發(fā)生在18世紀(jì)，那時哥尼斯堡是普魯士的城市，現(xiàn)在為俄羅斯的加里寧格勒。城市有一條河穿過，把城市分成四部分，有七座橋把這四部分銜接起來，如下圖16

據(jù)說，當(dāng)初市民周末的一個很受歡迎的娛樂是，能否設(shè)計(jì)一條路線，通過每一座橋正巧一次。沒人勝利過，但這并不意味著不可能。1735年，丹茨溪（在哥尼15.

“Nomoreimpressivewarningcanbegiventothosewhowouldconfineknowledgeandresearchtowhatisapparentlyuseful,thanthereflectionthatconicsectionswerestudiedforeighteenhundredyearsmerelyasanabstractscience,withoutathoughtofanyutilityotherthantosatisfythecravingforknowledgeonthepartof

mathematicians,andthatthenattheendofthislongperiodofabstractstudy,theywerefoundtobethenecessarykeywithwhichtoattaintheknowledgeofoneofthemostimportantlawsofnature.”A.N.Whitehead,

IntroductiontoMathematics,LondonWILLIAMS\&NORGATE,pp110-111.16.本圖來源：/content/bridges-k-nigsberg斯堡西面約140公理）的市長受當(dāng)?shù)匾粋€數(shù)學(xué)家之托，找到歐拉。歐拉是十八世紀(jì)最偉大的數(shù)學(xué)家，當(dāng)初28歲，已經(jīng)很聞名了。

歐拉是這樣考慮問題的。河流把城市分成四部分，每一部分的大小不重要，重要的是過橋的路線設(shè)計(jì)。于是可以把陸地抽象成點(diǎn)，橋抽象成點(diǎn)之間的連線17。

從而問題就成為在上面的右圖設(shè)計(jì)一條路線，經(jīng)過每條連線（橋）正巧一次。假設(shè)有這樣的路線。倘若一個點(diǎn)不是起點(diǎn)，也不是盡頭，那么走到這個點(diǎn)的線路（即橋）和離開這個點(diǎn)的線路是不一樣的。這要求，銜接這個點(diǎn)的線路的數(shù)量必然是偶數(shù)。上面的圖有四個點(diǎn)，一條線路的起點(diǎn)和盡頭合起來至多兩個。這是說，不管怎樣設(shè)計(jì)路線，四個點(diǎn)中至少有兩個點(diǎn)既非起點(diǎn)也非盡頭，銜接這樣的點(diǎn)的線路的數(shù)量必然是偶數(shù)?？墒巧厦娴膱D銜接四個點(diǎn)的線路（即橋）都是奇數(shù)，分離是5,3,3,3.

這意味著，對上面的圖，不可能設(shè)計(jì)一條路線，經(jīng)過每條連線（橋）正巧一次。歐拉解決這個問題的方式顯示了抽象的價值和數(shù)學(xué)思維的智慧。歐拉的這項(xiàng)工作也標(biāo)志了一個數(shù)學(xué)分支

--

圖論的出生。圖論在信息科學(xué)（包括網(wǎng)絡(luò)和芯片設(shè)計(jì)）中異常實(shí)用。

第二個例子是晶體的分類。鉆石和雪花都是晶體，異常的美。晶體具有很好的對稱性。晶體的對稱性其實(shí)對晶體種類帶來很強(qiáng)的約束。數(shù)學(xué)中研究對稱的分支是群論。于是數(shù)學(xué)在晶體的研究中就發(fā)揮了很大的作用。1830年德國人赫塞17.兩個圖來源：/content/bridges-k-nigsberg爾

(J.F.Ch.Hessel,1796-1872)

決定晶體形狀的對稱形式共有32種（稱為32種點(diǎn)群）。決定了形狀的對稱形式后，人們轉(zhuǎn)向晶體的內(nèi)部結(jié)構(gòu)。十九世紀(jì)德國人弗蘭根海姆

(M.L.Frankenheim,1801-1869)

提出晶體內(nèi)部結(jié)構(gòu)應(yīng)以點(diǎn)為單位，這些點(diǎn)在三維空間周期性地重復(fù)羅列。稍后法國人布拉維

(A.Bravais,1811-1863)

提出了空間格子理論，認(rèn)為晶體內(nèi)物質(zhì)微粒的質(zhì)心分布在空間格子的平行六面體單位的頂角、面心或體心上，微粒在三度空間中周期性地重復(fù)羅列。他們決定了空間點(diǎn)陣的14種形式。舍棄晶體的所有物理性質(zhì)，僅從幾何對稱性的角度考慮晶體，在1885－1890

年間，俄國晶體學(xué)家費(fèi)多洛夫決定了晶體的微觀的對稱形式是230種，即晶體的內(nèi)部的空間（對稱）群惟獨(dú)230種。費(fèi)德洛夫的工作是后來晶體實(shí)驗(yàn)工作的數(shù)學(xué)理論基礎(chǔ)，對晶體的內(nèi)部結(jié)構(gòu)的決定發(fā)揮了龐大的作用。在實(shí)驗(yàn)中這230種對稱都被發(fā)現(xiàn)。1912年德國人勞厄(M．V．Laue)

首次通過X射線揭示了晶體內(nèi)部的周期性結(jié)構(gòu)，證實(shí)了晶體構(gòu)造的幾何理論。此后，英國人布拉格父子

(WilliamHenryBragg，1862-1942;WilliamLawrenceBragg，1890—1971)

和俄國的烏爾夫

(Георгий

（Юрий）

ВикторовичВульф，George(YuriVictorovich)

Wulff,

或

G.V.Wulff，1863-1925)

相繼得到晶體X射線衍射的基本方程，并測量了大量的晶體結(jié)構(gòu)。異常，他們測到了一些本來費(fèi)德洛夫認(rèn)為是虛的晶體對稱性（即認(rèn)為僅理論上存在的對稱性）。

勞厄，布拉格父子先后于1914年和1915年獲得諾貝爾物理獎。以后關(guān)于晶體研究還有多項(xiàng)的工作獲得諾貝爾獎。

7.

數(shù)學(xué)的美數(shù)學(xué)家，還有一些物理學(xué)家，對數(shù)學(xué)之美的感觸是強(qiáng)烈的，對數(shù)學(xué)之美的追求也是無盡的：

我的工作總是設(shè)法把真與美統(tǒng)一起來，但倘若只能挑選這個或另一個時，我常常挑選美18。

外爾外爾可能是二十世紀(jì)繼龐加萊和希爾伯特之后最偉大的數(shù)學(xué)家，物理上的規(guī)范場理論亦是他提出。他寫的《群論與量子力學(xué)》1928年首次出版。據(jù)說，當(dāng)初的理論物理學(xué)家都會把這本書放在書架上，但都不看，因?yàn)槠渲械臄?shù)學(xué)太難了。外爾似乎相信美是更高層次的真切，因?yàn)槲覀兯娝驊?yīng)該都只是真切的一部分，而美常常能把我們帶到更全面的真切。

美是（數(shù)學(xué)的）第一道檢驗(yàn)：難看的數(shù)學(xué)在這個世界上沒有長駐之地19。

哈代哈代是二十世紀(jì)出色的分析學(xué)家，也是他所在的時代英國最出色的數(shù)學(xué)家。他的《一個數(shù)學(xué)家的獨(dú)白》表達(dá)了他對數(shù)學(xué)的看法，影響頗廣。

上帝用優(yōu)美的數(shù)學(xué)發(fā)明了這個世界。研究人員在嘗試用數(shù)學(xué)表達(dá)天然界的基本定律時，應(yīng)該主要力求數(shù)學(xué)美20。

狄拉克18.

“MyworkhasalwaystriedtounitethetruewiththebeautifulandwhenIhadtochooseoneortheother,Iusuallychosethebeautiful.”HermannWeyl,InObituarybyFreemanJ.Dyson,'Prof.HermannWeyl,For.Mem.R.S.',Nature(10Mar1956),

177,p.458.Dysonnotesthatthiswastoldtohimpersonally,byWeylwhowas“halfjoking”.19.Beautyisthefirsttest:thereisnopermanentplaceintheworldforuglymathematics.—G.H.Hardy:In\it

AMathematician’sApology

(1940).FirstElectronicEdition,Version1.0,March2023年年,PublishedbytheUniversityofAlbertaMathematicalSciencesSociety,AvailableontheWorldWideWebathttp://www.math.ualberta.ca/mss/.

有中譯本：《一個數(shù)學(xué)家的辯白》。20.

“Godusedbeautifulmathematicsincreatingtheworld.”“Theresearchworker,inhiseffortstoexpressthefundamentallawsofNatureinmathematicalform,shouldstrivemainlyformathematicalbeauty.”PaulA.M.Dirac:inPaulAdrienMauriceDirac:ReminiscencesaboutaGreatPhysicist(1990),Preface,xv;p.110.狄拉克對數(shù)學(xué)美的感觸是獨(dú)特的。狄拉克方程的產(chǎn)生就是實(shí)驗(yàn)與數(shù)學(xué)美的完美結(jié)合，僅憑當(dāng)初的結(jié)果實(shí)驗(yàn)結(jié)果得出的方程在狄拉克看來不具有數(shù)學(xué)美，于是按照他自己對數(shù)學(xué)美的領(lǐng)略，修改了方程，并按照修改后的方程預(yù)言了正電子的存在，后被實(shí)驗(yàn)證實(shí)。狄拉克的觀點(diǎn)似乎和外爾的觀點(diǎn)有相通之處。狄拉克應(yīng)該很喜歡自己的方程，他第一次與費(fèi)曼相遇是在一次會議上，沉默良久后，狄拉克對費(fèi)曼說：“我有一個方程，你也有么”。預(yù)計(jì)費(fèi)曼當(dāng)初是很煩悶的。

數(shù)學(xué)，倘若準(zhǔn)確地看，不但擁有真理，而且也具有至高的美21。

羅素羅素是數(shù)學(xué)家，也是哲學(xué)家，獲諾貝爾文學(xué)獎。他所寫的《西方哲學(xué)史》從一個哲學(xué)家的角度而非哲學(xué)史家的角度看西方的哲學(xué)史，視角獨(dú)特，脈絡(luò)清晰，文筆流暢也不乏幽默。他對美的認(rèn)識天然有著異常廣大的背景。

………

數(shù)學(xué)的美的含義無疑和其它的美如藝術(shù)等在形式美上有一些個性，但更多還是一種思維和邏輯的美，智慧的美，有自己的特質(zhì)。每個人對數(shù)學(xué)的美的理解是不一樣的，但下面的看法有助于控制數(shù)學(xué)的美的部分含義：形式：清晰，容易，容易，原創(chuàng)，新奇，柔美，不同對象之間的聯(lián)系內(nèi)涵：深刻，重要，基本，蘊(yùn)意豐盛證實(shí)：清晰，整潔利落，巧妙

我們用一些例子說明上面的觀點(diǎn)。第一個例子是勾股定理，西方稱為畢達(dá)哥拉斯定理。勾三股四弦五是這個定理的一個異常情況，由西周初年的商高提出。這個定理說直角三角形的兩個直角邊的平方和等于斜邊的平方：21.

“Mathematics,rightlyviewed,possessesnotonlytruth,butsupremebeauty.”

BertrandRussell,Essay,`TheStudyofMathematics'(1902),collectedinPhilosophicalEssays(1910),pp.73-74.

證實(shí)是容易的。上圖的大正方形的面積是斜邊的平方c2,

它等于里面四個直角三角形的面積與小正方形的面積的和：

化簡，展開，得

所以a2+b2=c2。這個定理的形式與證實(shí)都能體現(xiàn)上面所說的數(shù)學(xué)美中形式與證實(shí)部分的含義。這個定理是基本的，其內(nèi)涵深刻，蘊(yùn)意豐盛。

勾股定理的一個應(yīng)用：在平面坐標(biāo)上，一個點(diǎn)的坐標(biāo)(x,y)滿意方程

當(dāng)且僅當(dāng)這個點(diǎn)在半徑為

r

，圓心在原點(diǎn)的圓周上。勾股定理的應(yīng)用異常廣泛，這是它基本性的一個體現(xiàn)。其深刻內(nèi)涵還在于從它那兒可以引申出無數(shù)的問題，比如：什么樣的正整數(shù)a，b，c

能成為直角三角形的邊長？邊長都是整數(shù)的直角三角形的面積是不是整數(shù)？倘若直角三角形的邊長都是有理數(shù)，什么情況下面積是整數(shù)（一個例子，

3/2，20/3，41/6是一個直角三角形的三個邊長，面積是5。）這樣的整數(shù)稱為和睦數(shù)或同余數(shù)。

第三個問題和千禧年問題BSD預(yù)測密切相關(guān)。誰能解決BSD預(yù)測，除了榮譽(yù)，還能得到一百萬美元。157是和睦數(shù)，以

157為面積的“最容易”的有理直角三角形的三邊長是：

第三個問題和BSD預(yù)測的復(fù)雜與艱難由此可見一斑。

在談到數(shù)學(xué)之美的含義時，里面有一條是"不同對象之間的聯(lián)系"。這一點(diǎn)似乎和美扯不上，其實(shí)是思維、邏輯和智慧美的很重要的一點(diǎn)。我們從這個觀點(diǎn)看勾股定理。普通人們看勾股定理是這樣的：知道直角三角形兩個邊的長，可以求出第三個邊的長。這種實(shí)用主義的思維妨礙了我們的探索與創(chuàng)新。換一個角度看，勾股定理揭示了直角三角形三個邊的聯(lián)系。這個角度一下子就給我們開闊的視野。比如說，三個數(shù)的平方有勾股定理的關(guān)系，也可以有高次冪的關(guān)系：這就是數(shù)論中聞名的費(fèi)馬方程。它們是否有不含零的整數(shù)解（即a,

b,

c是整數(shù)，但它們都不是0）是困擾數(shù)學(xué)家三百多年的問題。為解決這個問題，產(chǎn)生了很偉大的數(shù)學(xué)：代數(shù)數(shù)論，現(xiàn)在是異常活躍的研究方向，名家輩出。費(fèi)馬方程問題最后上世紀(jì)90年代被外爾斯解決，這是上世紀(jì)一項(xiàng)偉大的數(shù)學(xué)成就，轟動一時，背后的故事也是不尋常的出色。

第二個例子是出自歐幾里得的《原本》，它斷言：素?cái)?shù)有無窮多個。在歐幾里得的書中有一個柔美的證實(shí)：倘若結(jié)論不準(zhǔn)確，那么惟獨(dú)有限個素?cái)?shù)，設(shè)為p1，p2，…，pn

。把它們都乘起來，再加上1，得到一個數(shù)m＝1＋

p1p2

…pn那么p1，p2，…，pn

都不是m的因子，所以m的素因子和那n個素?cái)?shù)都不同。這是一個矛盾，所以，素?cái)?shù)有無窮多個。這個證實(shí)整潔利落，巧妙，能讓人在心智上產(chǎn)生一種愉快的感覺。素?cái)?shù)看上去很容易明了，但可能是數(shù)學(xué)里面最奧秘最難以琢磨的對象了。對素?cái)?shù)，很容易提出一些小學(xué)生都能明了的問題，但幾百年來最有智慧的數(shù)學(xué)家也無法解決它們。比如：素?cái)?shù)在天然數(shù)中占有多少？哥德巴赫預(yù)測：每一個大于2的偶數(shù)都是兩個素?cái)?shù)的和。孿生素?cái)?shù)預(yù)測：存在無窮多個素?cái)?shù)p，使得p+2也是素?cái)?shù)。

第一個問題的提法不夠明確。我們可以讓問題越發(fā)明確：對隨意的天然數(shù)N，在1到N之間有多少個素?cái)?shù)。這個問題誰也回答不了。不過數(shù)學(xué)家還是取得了無數(shù)的發(fā)展。在十九世紀(jì)初，德國數(shù)學(xué)家高斯和法國數(shù)學(xué)家勒讓德對于素?cái)?shù)在天然數(shù)中的比例提出了一個聞名的預(yù)測，十九世紀(jì)末，阿達(dá)瑪和德拉瓦勒-普森最先分離證實(shí)該預(yù)測，這就是聞名的素?cái)?shù)定理。一九四九年賽爾伯格和厄爾迪斯分離給出素?cái)?shù)定理的初等證實(shí)。這是賽爾伯格一九五〇年獲菲爾茲獎的重要工作的一部分。

第二個問題很容易理解，也很容易舉出例子，如12=5+7,

88=5+83=17+71=29+59=41+47，

….到目前為止，在哥德巴赫預(yù)測上最好的工作依然是陳景潤的結(jié)果。他在1973年發(fā)表的論文證實(shí)了每個充足大的偶數(shù)都可以寫成一個素?cái)?shù)加另一個數(shù)，另一個數(shù)的素?cái)?shù)因子的個數(shù)不超過2（比如素?cái)?shù)和6=2×3是這樣的數(shù)，但12=2×2×3有三個素?cái)?shù)因子，不合要求）。陳景潤的結(jié)果在世界上被譽(yù)為陳氏定理。在我國，它有一個誤導(dǎo)的名稱：陳景潤證實(shí)了1+2，是徐遲那篇影響廣泛的報(bào)告文學(xué)"哥德巴赫預(yù)測"的一個副產(chǎn)品。徐遲的這篇報(bào)告文學(xué)鼓勵了一代人對數(shù)學(xué)的熱烈和對哥德巴赫預(yù)測的敬意。陳景潤也收到了巨量的敬仰、愛慕的信件。這種盛況對數(shù)學(xué)家后來再也沒有浮上過。

曾經(jīng)有人和我說起陳景潤的工作，他是徹低字面上理解1+2.

我試圖給他解釋陳景潤工作中1+2的含義。他聽后斜乜了我一眼，說："你不懂"。我登時無語，深嘆做科普不易。同時也發(fā)現(xiàn)偶爾人們是多么地執(zhí)著于自己不合事實(shí)的理解，那似乎和自己的自尊心與心智安全感是分不開的。

第三個問題也是很容易理解的。如3,

5和41,

43都是相差2的素?cái)?shù)對。問題就是這樣的素?cái)?shù)對是否有無限個。2023年年華裔數(shù)學(xué)家張益唐在這個問題上取得龐大的突破，他證實(shí)了存在無窮多對素?cái)?shù)，每一對素?cái)?shù)的差都不超過7千萬。張益唐的結(jié)果轟動一時，他本人在困境中