【數(shù)形結(jié)合思想在中學(xué)數(shù)學(xué)的應(yīng)用實(shí)例探究2900字（論文）】

第5頁(yè)共11頁(yè)第4頁(yè)共11頁(yè)數(shù)形結(jié)合思想在中學(xué)數(shù)學(xué)的應(yīng)用實(shí)例研究目錄TOC\o"1-2"\h\u12577一.引言 14218二.數(shù)形結(jié)合的基本理論和思想方法概述 22962三.數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用舉例 3130683.1在方程問(wèn)題中的應(yīng)用 351623.2在三角函數(shù)問(wèn)題中的應(yīng)用 4220503.3不等式組問(wèn)題 5236693.4在曲線方程問(wèn)題中的應(yīng)用 5123433.5在集合問(wèn)題中的應(yīng)用 6241743.6空間向量解決立體幾何問(wèn)題 7323213.7復(fù)數(shù)用圖象表示其幾何意義 927277四.結(jié)論 118396參考文獻(xiàn) 11摘要:簡(jiǎn)單來(lái)說(shuō)，數(shù)學(xué)科學(xué)就是形和數(shù)字的課題。數(shù)學(xué)科學(xué)是對(duì)幾何空間中的對(duì)象與代數(shù)體系中數(shù)量表式的研討。課本包含許多能反映數(shù)形結(jié)合思想的課題，圖形和數(shù)字一直都是在初、高中學(xué)時(shí)期的教材、教學(xué)中的兩個(gè)難重點(diǎn)。形是數(shù)幾何的表現(xiàn)，數(shù)是形的抽象概述。數(shù)形結(jié)合的應(yīng)用當(dāng)中，有數(shù)的周密，還有形的直接體現(xiàn)，將直觀性極強(qiáng)的圖表語(yǔ)言和包含抽象符號(hào)的數(shù)學(xué)語(yǔ)言相互貫穿。一言以之，抽象、形象兩點(diǎn)兼俱了數(shù)形結(jié)合的特性，所以此篇小文將在初、高中學(xué)范疇內(nèi)，舉例闡釋和探求數(shù)與形之間的微妙思想與方法。關(guān)鍵詞：幾何意義；曲線方程；目標(biāo)函數(shù)；最小值；代數(shù)計(jì)算快；過(guò)程麻煩繁瑣；轉(zhuǎn)換思想；域內(nèi)取到；學(xué)好和學(xué)精數(shù)學(xué)；目標(biāo)值坐標(biāo)；一.引言作為數(shù)學(xué)教學(xué)的基礎(chǔ)思想，知識(shí)學(xué)習(xí)和能力發(fā)展需要數(shù)學(xué)思想去加以結(jié)合，在輔以數(shù)學(xué)方法的實(shí)踐。這種練習(xí)方式加強(qiáng)了學(xué)生的思維能力，可以發(fā)掘?qū)W生的潛能，對(duì)鍛煉學(xué)生的數(shù)學(xué)思維有很大的幫助。在教學(xué)中運(yùn)用數(shù)字與圖的結(jié)合教學(xué)，可以促進(jìn)以使學(xué)生更強(qiáng)地解決遇到的問(wèn)題。數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)不僅僅是指對(duì)課本知識(shí)的掌握，沒(méi)有任何疑問(wèn)，數(shù)學(xué)課題的學(xué)習(xí)對(duì)于大多數(shù)的學(xué)生來(lái)說(shuō)都將是非常重要的更重要的是學(xué)習(xí)如何運(yùn)用相關(guān)知識(shí)來(lái)解決問(wèn)題。使數(shù)學(xué)的“數(shù)”與“形”相互貫穿、相互融合。讓學(xué)生在解題時(shí)，過(guò)程和步驟更加可視化、直觀性和簡(jiǎn)潔、思維的邏輯性和步驟的清晰性是體現(xiàn)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的“美”必要條件，符合教學(xué)要求的思想是“數(shù)形結(jié)合”，要養(yǎng)成“數(shù)”與“形”可以相互轉(zhuǎn)化的思維習(xí)慣。二.數(shù)形結(jié)合的基本理論和思想方法概述數(shù)形結(jié)合的應(yīng)用幾乎貫穿整個(gè)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過(guò)程，使學(xué)生學(xué)好和學(xué)精數(shù)學(xué)必不可少的一個(gè)重要思想和思維習(xí)慣，并且可以加深對(duì)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)熱情，而不是僅僅當(dāng)作解題的簡(jiǎn)便方法來(lái)粗糙的運(yùn)用。我們?cè)趹?yīng)用數(shù)形結(jié)合思想時(shí)要注意做到以問(wèn)題的等價(jià)轉(zhuǎn)化為基本依據(jù)，這里主要是指，要有一些基本理論思想，主要有：能把代數(shù)問(wèn)題等價(jià)轉(zhuǎn)化為有幾何背景的問(wèn)題下面我們就這三個(gè)原則分別舉3個(gè)能體現(xiàn)這些基本思想的例子例：和滿足不等式組：，則的最大值是。A、11B、10C、9D、8.5圖1分析：根據(jù)上圖2所示，將等式化為。分析上面的圖像很容易得出在A處得到最大的值。則聯(lián)立解得，.于是，此題選B。例：如果（，）有兩個(gè)根，則。圖2圖3（,），，。有2個(gè)互異根，觀察上述兩圖，我們很容易便知道，時(shí)符合此條件。例：在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有多少零點(diǎn)：。A、3B、5C、7D、9解：這里可以直接在下圖中所示范的，看出問(wèn)題的是選，D的。圖4三.數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用舉例3.1在方程問(wèn)題中的應(yīng)用我們知道等價(jià)于，所以函數(shù)與方程的關(guān)系十分密切，而函數(shù)又有圖像特征，往往我們經(jīng)常將不好解的方程問(wèn)題，轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖像上的問(wèn)題，這就是借助了數(shù)形結(jié)合的思想。例題1零點(diǎn)個(gè)數(shù)是。分析：作出與的函數(shù)圖像，如圖5所示XXYY=lnxY=cosx圖5利用代數(shù)方法求解：已知的有意義則而,有意義時(shí)取值為，在內(nèi)有意義則，在這個(gè)范圍內(nèi)分別取最大、小值：、值，如是一定只有一個(gè)實(shí)數(shù)零點(diǎn)。分析：兩種方法對(duì)比，可以明顯看出由圖像得出答案更加快速便捷，而代數(shù)方法過(guò)程麻煩繁瑣。發(fā)現(xiàn)作圖直接直觀，做題時(shí)學(xué)生要學(xué)會(huì)發(fā)現(xiàn)圖像的簡(jiǎn)單性。3.2在三角函數(shù)問(wèn)題中的應(yīng)用三角函數(shù)是一種超越函數(shù)，代數(shù)函數(shù)的方法不適用，但三角函數(shù)的圖像清晰明了，所以我們經(jīng)常使用數(shù)形結(jié)合的思想，利用三角函數(shù)的圖像性質(zhì)來(lái)解決相關(guān)問(wèn)題。例題2函數(shù)在閉區(qū)間（）A是單調(diào)增加函數(shù)B是單調(diào)增加函數(shù)C是單調(diào)增加函數(shù)D是單調(diào)增加函數(shù)解析：這道題先根據(jù)圖象6進(jìn)行直觀的判斷，函數(shù)圖象如下圖：圖6由上圖可得該函數(shù)的增區(qū)間為,C選項(xiàng)滿足題意。3.3不等式組問(wèn)題例題3：假設(shè)滿足不等式組求的取最大值的坐標(biāo)。圖7解析：在這道題中我們仿照本文的第（二）部分中列舉的第一個(gè)例子的方法，采用數(shù)形結(jié)合，在圖7中很容易直接觀察出函數(shù)的目標(biāo)值坐標(biāo)。3.4在曲線方程問(wèn)題中的應(yīng)用曲線方程是高中教材比重較高的部分，其中包括圓、橢圓的曲線方程、雙曲線、拋物線的方程，這些方程中數(shù)形結(jié)思想應(yīng)用使解題過(guò)程簡(jiǎn)單明了，大部分過(guò)程都能發(fā)現(xiàn)數(shù)形結(jié)合思想的痕跡例題4：x，y滿足等式，求值最大的情況解析：發(fā)現(xiàn)題中給出的形式是代數(shù)，值最大的情況不能直接得到，數(shù)形結(jié)合是我們要立即想到的，畫出的圖坐標(biāo)系，圖8，是作為圓心，作為半徑的圓，任意一點(diǎn)與原點(diǎn)連線與點(diǎn)的斜率為，相切于圓，，有值最大的情況44POyxq1圖83.5在集合問(wèn)題中的應(yīng)用描述法、文氏圖法、例舉法等是集合主要采用的方法例題5：，（）解析：（1）得出的條件為是的真子集（2）當(dāng)?shù)年P(guān)系是，是的真子集或，所以是的真子集用文氏圖表示如下：UUA=BBAU圖9滿足的條件有或是的真子集,故非必要條件。但是的真子集就一定滿足，故為充分條件。3.6空間向量解決立體幾何問(wèn)題空間向量在線段相等、直線垂直和立體幾何中的空間角和空間距離都可以使用，我們要把幾何情況轉(zhuǎn)變?yōu)榇鷶?shù)，數(shù)形結(jié)合可以不必去進(jìn)行空間的構(gòu)想。例6：如圖10，是對(duì)角線上一點(diǎn)，又是正方形的對(duì)角線，四邊形為矩形，圖10證明:（1）.（2）.解析：坐標(biāo)系圖10中，我們將正方形的邊長(zhǎng)設(shè)為1，,則得（1）（2）如圖11求證：與所成角的余弦值的長(zhǎng)解：如圖11所示，，為空間直角坐標(biāo)系（1）.證明（2）∴由（1）得(3).∵是∴即又∵3.7復(fù)數(shù)用圖象表示其幾何意義我們可以在坐標(biāo)系圖像利用復(fù)數(shù)的意義和復(fù)平面兩點(diǎn)之間的距離公式求解問(wèn)題，比代數(shù)計(jì)算快的多。例8．,解析：的軌跡是圖中線段,的距離，在圖12中畫出,圖12結(jié)論通過(guò)以上題型的總結(jié)，數(shù)學(xué)授課教學(xué)時(shí)，數(shù)形結(jié)合的思想必不可缺。尤其是中學(xué)，數(shù)學(xué)教材中，有著普遍性和較高頻率的運(yùn)用。當(dāng)前，課程改革以及素質(zhì)教育將提高學(xué)生思維邏輯能力、計(jì)算能力以及創(chuàng)新能力擺在重要位置，教師在課堂中不再扮演知識(shí)傳授者的角色，同時(shí)也是新式教學(xué)方法的教授者，因此，為學(xué)生講解數(shù)學(xué)知識(shí)時(shí)，不再將重點(diǎn)放在講解最基礎(chǔ)理論知識(shí)上，而是采用新式數(shù)形結(jié)合教學(xué)方法為學(xué)生講解相關(guān)內(nèi)容，這樣學(xué)生才會(huì)喜愛(ài)數(shù)學(xué)，讓學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)變的更有積極性和主動(dòng)性，同時(shí)，該方法適用范圍廣泛，有助于基礎(chǔ)不同的同學(xué)共同進(jìn)步。在分析問(wèn)題和了解問(wèn)題時(shí)我們要有意識(shí)的應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的思想方法去審題，養(yǎng)成這樣的思維模式，讓數(shù)形結(jié)合思想應(yīng)用的意識(shí)提高，培養(yǎng)自己具有數(shù)學(xué)眼光和頭腦。但在應(yīng)用中我們要注意數(shù)形結(jié)合思想的合理性、等特性、合理性等特。參考文獻(xiàn)[1]李林.淺議數(shù)形結(jié)合在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用[J].經(jīng)驗(yàn)交流,2012(3):273-274.[2]賈懷明.淺析數(shù)形結(jié)合在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用[J].數(shù)學(xué)研究,2017(9)：179

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