江西省南昌市新建區(qū)第一中學(xué)2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期末考試試題理含解析

PAGE1-江西省南昌市新建區(qū)第一中學(xué)2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期末考試試題理（含解析）說明：1.書寫整齊無大面積涂改且主觀題基本完成的得5分2.書寫有涂改或主觀題未完成的，依據(jù)狀況扣（1—5）分一、選擇題:本大題共12小題，每小題5分，共60分.每小題有且只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.下列命題中為真命題的是()A.命題“若，則”的逆命題B.命題“，則”的否命題C.命題“若，則”的否命題D.命題“若，則”的逆否命題【答案】A【解析】命題“若,則”的逆命題為“若,則”，所以為真命題；命題“若,則”的否命題為“若,則”，因?yàn)?2,但，所以為假命題；命題“若,則”的否命題為“若,則”，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，所以為假命題；命題“若,則”為假命題，所以其逆否命題為假命題，因此選A2.若復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)的值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除運(yùn)算化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)，然后由實(shí)部等于0且虛部不等于0求得a的值．【詳解】復(fù)數(shù)純虛數(shù),則所以且所以故選：D【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除運(yùn)算，考查了復(fù)數(shù)的基本概念，屬于基礎(chǔ)題．3.已知命題；命題若，則，則下列為真命題的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因?yàn)椋悦}為真；命題為假，所以為真，選B.4.若拋物線：（）的焦點(diǎn)在直線上，則等于（）A.4 B.3 C.2 D.1【答案】C【解析】【分析】依據(jù)題意，由拋物線的方程分析可得拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，將拋物線的焦點(diǎn)代入直線的方程，可得答案.【詳解】由拋物線C的方程為（），其拋物線的焦點(diǎn)在軸的正半軸上，則焦點(diǎn)坐標(biāo)為.又由拋物線的焦點(diǎn)在直線上，則有，解得.故選：C【點(diǎn)睛】本題考查拋物線的幾何性質(zhì)，留意分析拋物線的開口方向，進(jìn)而確定拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)．屬于基礎(chǔ)題.5.若圓的半徑為2，則點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為（）A.2 B. C.1 D.4【答案】A【解析】【分析】將圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程為：，結(jié)合條件和兩點(diǎn)間的距離公式可得答案.【詳解】由圓得,又圓的半徑為2，則則點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為：故選：A【點(diǎn)睛】本題考查圓的一般方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程和兩點(diǎn)間的距離，考查整體代換，屬于基礎(chǔ)題.6.“”是“直線與直線平行”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】試題分析：兩直線平行，則有，故為充分不必要條件.考點(diǎn)：兩條直線的位置關(guān)系，充要條件.7.如圖，已知雙曲線E：，長方形ABCD的頂點(diǎn)A，B分別為雙曲線E的左、右焦點(diǎn)，且點(diǎn)C，D在雙曲線E上，若，則此雙曲線的離心率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由的長求出，由通徑公式以及的長得到，再由，聯(lián)立方程求出，即可得到雙曲線的離心率.【詳解】因?yàn)椋?因?yàn)?，所?又，所以，解得或(舍去)故該雙曲線的離心率故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查了求雙曲線的離心率，屬于基礎(chǔ)題.8.若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則k的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】求出導(dǎo)函數(shù)，由于函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增，可得在區(qū)間上恒成立．解出即可．【詳解】由函數(shù)，則.函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增.所以在區(qū)間上恒成立.即在區(qū)間上恒成立.又當(dāng)時(shí)，所以，即故選：C【點(diǎn)睛】本題考查已知函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)范圍的問題,轉(zhuǎn)化為恒成立問題的等價(jià)轉(zhuǎn)化方法，屬于中檔題．9.若函數(shù)，最小值為0，則的最大值為()A.0 B. C. D.【答案】D【解析】【分析】求出,得出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,從而得到函數(shù)的最大值,可求出的值，從而得到答案.【詳解】由函數(shù),得當(dāng)時(shí),,函數(shù)單調(diào)遞減,當(dāng)時(shí),,函數(shù)單調(diào)遞增.

所以函數(shù)在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增.所以當(dāng)時(shí),函數(shù)有最小值,解得.又.則，依據(jù)函數(shù)的單調(diào)性可得，在的最大值為：故選:D【點(diǎn)睛】本題考查利用函數(shù)導(dǎo)數(shù)求的單調(diào)區(qū)間，從而求函數(shù)的最值,屬于基礎(chǔ)題.10.已知函數(shù)的圖象如圖所示（其中是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)），下面四個(gè)圖象中的圖象可能是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】分析】由的圖象分析在各區(qū)間的正負(fù)，從而得的增減性，即可區(qū)分出函數(shù)的圖象.【詳解】由的圖象可知，當(dāng)時(shí)，，是增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，是減函數(shù)，4個(gè)圖象中只有C滿意條件，故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查了通過函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的正負(fù)可以確定函數(shù)的增減，屬于中檔題.11.由曲線y＝x2和直線x＝0，x＝1，y＝t2，t∈(0,1)所圍成的圖形(陰影部分)的面積的最小值為()A. B. C. D.【答案】A【解析】試題分析：因?yàn)閠∈(0,1)，所以由，所以陰影部分的面積為=．考點(diǎn)：定積分．點(diǎn)評(píng)：在平常做題中，許多同學(xué)認(rèn)為面積就是定積分，定積分就是面積．從而導(dǎo)致此題出錯(cuò)．事實(shí)上，我們是用定積分來求面積，但并不等于定積分就是面積．12.定義在R上的函數(shù)滿意，且對(duì)隨意都有，則不等式的解集為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】依據(jù)條件有，從而得出函數(shù)在上為減函數(shù)，并可得出，這樣依據(jù)不等式可得到，從而依據(jù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可得出不等式的解集，即得出原不等式的解集．【詳解】設(shè)，則由，則，所以在上為減函數(shù).又，則.由可得到,即所以,即.故選:B【點(diǎn)睛】考查函數(shù)導(dǎo)數(shù)符號(hào)和函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，以及構(gòu)造函數(shù)解決問題的方法，以及依據(jù)函數(shù)單調(diào)性解不等式的方法，對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性．屬于中檔題.二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.13._________.【答案】π【解析】【詳解】設(shè)y＝，則x2＋y2＝4(y≥0)，由定積分的幾何意義知dx的值等于半徑為2的圓的面積的.∴dx＝×4π＝π，故答案為.14.已知函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為，則函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為__________．【答案】【解析】【分析】依據(jù)函數(shù)y=f（x）在點(diǎn)（2，f（2））處的切線為由y=2x﹣1，可確定函數(shù)g（x）=x2+f（x）的切點(diǎn)坐標(biāo)與斜率，從而可求切線方程．【詳解】由題意，f（2）=2×2﹣1=3，∴g（2）=4+3=7∵g′（x）=2x+f′（x），f′（2）=2，∴g′（2）=2×2+2=6∴函數(shù)g（x）=x2+f（x）在點(diǎn)（2，g（2））處的切線方程為y﹣7=6（x﹣2）即6x﹣y﹣5=0故答案為6x﹣y﹣5=0【點(diǎn)睛】(1)本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查切線方程，確定切點(diǎn)坐標(biāo)與斜率是關(guān)鍵．（2）函數(shù)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)是曲線在處的切線的斜率，相應(yīng)的切線方程是15.設(shè)分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，為橢圓上任一點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，則的最大值為________．【答案】15.【解析】【分析】利用橢圓的定義將左焦點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為右焦點(diǎn)問題，然后求解最值即可.【詳解】由橢圓方程可得：a=5,b=4,c=3.∴F1(?3,0),F2(3,0)，如圖所示，由橢圓的定義可得：|PF1|+|PF2|=2a=10，∴|PM|+|PF1|=|PM|+2a?|PF2|=10+(|PM|?|PF2|)?10+|MF2|==15，則|PM|+|PF1|的最大值為15.故答案為15.【點(diǎn)睛】本題主要考查橢圓的定義與幾何性質(zhì)，等價(jià)轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想等學(xué)問，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化實(shí)力和計(jì)算求解實(shí)力.16.關(guān)于的方程在區(qū)間上有兩個(gè)不等實(shí)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是__．【答案】【解析】分析：首先將方程轉(zhuǎn)化，分別參數(shù)，化為，將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖像與直線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)來解決，之后構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)單調(diào)性，從而得到函數(shù)圖像的大致走向以及相應(yīng)的最值，最終求得結(jié)果.詳解：關(guān)于的方程，即：，令函數(shù)，若方程在區(qū)間上有兩個(gè)不等實(shí)根，即函數(shù)與在區(qū)間上有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，，令可得，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)是減函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)是增函數(shù)，所以函數(shù)的最小值為，，所以函數(shù)的最大值為，所以關(guān)于的方程在區(qū)間上有兩個(gè)不等實(shí)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.點(diǎn)睛：該題考查的是有關(guān)方程的解的個(gè)數(shù)對(duì)應(yīng)的參數(shù)的范圍問題，該題轉(zhuǎn)化為函數(shù)與在區(qū)間上有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，結(jié)合函數(shù)圖像的走向以及最值求得結(jié)果，還可以將方程轉(zhuǎn)化為，即曲線和直線在相應(yīng)區(qū)間上有兩個(gè)交點(diǎn)，也可以求得結(jié)果.三、解答題：（共6小題；共65分.解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程.）17.求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù).（1）y＝；（2）.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用和與積的導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則結(jié)合常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)可求出答案.

（2）將函數(shù)的解析式通分變形為，再利用商的導(dǎo)數(shù)的求導(dǎo)法則可求出答案.【詳解】（1）（2），所以.【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算，敏捷應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算公式是解本題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．18.已知指數(shù)函數(shù)在R上單調(diào)遞減，關(guān)于x方程的兩個(gè)實(shí)根均大于0.若“p或q”為真命題，“p且q”為假命題，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【答案】.【解析】【分析】求出，a＞2，由“p或q”為真命題，“p且q為假命題，得p真q假，或p假q真，由此能求出實(shí)數(shù)a的取值范圍．【詳解】若真，則在R上單調(diào)遞減.所以，即若真，令，則應(yīng)滿意，解得因?yàn)椤皃或q”為真命題，“p且q”為假命題，所以p真q假或者p假q真.①若p真q假，則所以.②若p假q真，則，所以綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍為.【點(diǎn)睛】本題考查實(shí)數(shù)的取值范圍的求法，考查函數(shù)的單調(diào)性、一元二次方程的性質(zhì)等基礎(chǔ)學(xué)問，考查運(yùn)算求解實(shí)力，是基礎(chǔ)題．19.在平面直角坐標(biāo)系中，以為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸,建立極坐標(biāo)系.已知曲線的極坐標(biāo)方程為，直線的方程為（為參數(shù)）.（Ⅰ）求曲線的直角坐標(biāo)方程及直線的一般方程；（Ⅱ）若曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），曲線上點(diǎn)的極坐標(biāo)為，為曲線上的動(dòng)點(diǎn)，求的中點(diǎn)到直線距離的最大值.【答案】（1）.（2）【解析】試題分析：（Ⅰ）依據(jù)極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式轉(zhuǎn)化，直線過定點(diǎn)，斜率是，寫出直線方程；（Ⅱ）點(diǎn)，得到中點(diǎn)坐標(biāo)，代入點(diǎn)到直線的距離公式求最大值.試題解析：解:(1)由.（2）直角坐標(biāo)為，，，從而最大值為20.設(shè)，其中，曲線在點(diǎn)處的切線與y軸相交于點(diǎn).（1）確定a的值；（2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.【答案】（1）；（2）增區(qū)間是，減區(qū)間是.【解析】【分析】（1）先由所給函數(shù)的表達(dá)式，求導(dǎo)數(shù)，再依據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線的斜率，最終由曲線在點(diǎn)處的切線與軸相交于點(diǎn)列出方程求的值即可；

（2）由（1）求出的原函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)，求出導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)，把函數(shù)的定義域分段，推斷導(dǎo)函數(shù)在各段內(nèi)的符號(hào)，從而得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．【詳解】(1)因?yàn)?，所以令，得，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為，由點(diǎn)在切線上，可得，解得.(2)由(1)知，，.令，解得或.當(dāng)或時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是.【點(diǎn)睛】本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)探討曲線上某點(diǎn)切線方程、利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)的單調(diào)性及其幾何意義等基礎(chǔ)學(xué)問，考查運(yùn)算求解實(shí)力，考查分類探討思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于中檔題．21.已知橢圓C：（）過點(diǎn)，短軸一個(gè)端點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離為2．（1）求橢圓C的方程；（2）設(shè)過定點(diǎn)的直線1與橢圓交于不同的兩點(diǎn)A，B，若坐標(biāo)原點(diǎn)O在以線段AB為直徑的圓上，求直線l的斜率k．【答案】（1）；（2）或【解析】【分析】（1）通過短軸的一個(gè)端點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離為2可知，且橢圓過點(diǎn)，得到方程組，解得；（2）設(shè)直線方程為，通過以線段為直徑的圓過坐標(biāo)原點(diǎn)可知，通過聯(lián)立直線與橢圓方程、利用韋達(dá)定理化簡(jiǎn)，進(jìn)而計(jì)算可得結(jié)論；【詳解】解：（1）由題意可得，解得：，，橢圓的方程為；（2）由題意知，直線的斜率存在，設(shè)過的直線方程為，聯(lián)立，消去、整理得：，因?yàn)橹本€與橢圓有兩個(gè)交點(diǎn)，解得或設(shè)，，，，則，以線段為直徑的圓過坐標(biāo)原點(diǎn)，，即，，即，解得：滿意條件，故【點(diǎn)睛】本題是一道直線與圓錐曲線的綜合題，考查運(yùn)算求解實(shí)力，留意解題方法的積累，屬于中檔題．22.已知函數(shù)，.（Ⅰ）求函數(shù)的極值；（Ⅱ）若實(shí)數(shù)為整數(shù)，且對(duì)隨意的時(shí)，都有恒成立，求實(shí)數(shù)的最小值.【答案】（Ⅰ）極大值為，無微小值；（Ⅱ）1.【解析】【分析】(Ⅰ)由題意首先求得導(dǎo)函數(shù)的解析式，然后結(jié)合導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)探討原函數(shù)的單調(diào)性，從而可確定函數(shù)的極值；(Ⅱ)結(jié)合題意分別參數(shù)