誘導(dǎo)公式與對(duì)稱教學(xué)設(shè)計(jì) 高一下學(xué)期數(shù)學(xué)北師大版（2019）必修第二冊(cè)

教材：北師大版（2019）版高中數(shù)學(xué)必修第二冊(cè)課題：4.3 誘導(dǎo)公式與對(duì)稱一. 課時(shí)教學(xué)內(nèi)容由三角函數(shù)的定義及終邊的對(duì)稱性抽象誘導(dǎo)公式，公式的簡(jiǎn)單應(yīng)用二．課時(shí)教學(xué)目標(biāo)1.了解三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式的意義和作用，理解誘導(dǎo)公式的推導(dǎo)過程；2.經(jīng)歷自主探究發(fā)現(xiàn)問題，提出研究方法（利用坐標(biāo)的對(duì)稱關(guān)系，從三角函數(shù)的定義得出相應(yīng)的關(guān)系式）并完成推導(dǎo)過程，并對(duì)任意角三角函數(shù)化簡(jiǎn)、求值；3.在探究活動(dòng)中，學(xué)生通過獨(dú)立思考和合作交流，發(fā)展思維，從探索中獲得成功的體驗(yàn)，落實(shí)數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理素養(yǎng).三． 教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：借助單位圓的對(duì)稱性，利用定義推導(dǎo)出前四組誘導(dǎo)公式；教學(xué)難點(diǎn)：從單位圓的對(duì)稱性與任意角終邊的對(duì)稱性中發(fā)現(xiàn)問題，提出研究方法四.教學(xué)過程設(shè)計(jì)（一）創(chuàng)設(shè)情境?明確對(duì)象師：同學(xué)們，我們已經(jīng)將角的概念已經(jīng)由銳角擴(kuò)充到了任意角，前面已經(jīng)學(xué)習(xí)過任意角的三角函數(shù)，那么任意角的三角函數(shù)值怎么求呢？先看一個(gè)具體的問題：?jiǎn)栴}1：已知sin6π=12，如何求sin13π6的值？生：學(xué)生利用結(jié)合任意角三角函數(shù)定義及sin(α+2kπ)=sinα cos(α+2kπ)=cosα（k∈?）公式自主探究并回答問題.師：sin(α+2kπ)=sinα ，cos(α+2kπ)=cosα(k∈Z）實(shí)質(zhì)：終邊相同，三角函數(shù)值相等，用途：“大”角化“小”角π 1 π 7π 5π問題2：已知sin6=2，如何求sin(?6),sin6,sin6的值？那如何把任意角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為銳角三角函數(shù)呢？設(shè)計(jì)意圖：前面的學(xué)習(xí)中，已經(jīng)將角的概念從銳角擴(kuò)充到了任意角，學(xué)習(xí)了任意角三角函數(shù)的定義，接下來自然地會(huì)提出任意角的三角函數(shù)值怎么去求.于是，先安排求特殊值再過渡到一般情形比較符合學(xué)生的身心特點(diǎn)和認(rèn)知規(guī)律，意在培養(yǎng)學(xué)生從特殊到一般歸納問題和抽象問題的能力，引導(dǎo)學(xué)生在求三角函數(shù)值1時(shí)抓坐標(biāo)、抓角終邊之間的關(guān)系.（二）探究新知?構(gòu)建公式探究一：任意角α與?α三角函數(shù)值的關(guān)系.問題3：（1）α與?α的終邊關(guān)系如何？（2）α與?α角的終邊分別交單位圓與P1,P2,則P1與P2位置關(guān)系如何？（3）設(shè)點(diǎn)P1的坐標(biāo)為(x,y)，則點(diǎn)P2的坐標(biāo)如何表示？（4）在單位圓中，如何用α與?α表示P1與P2的坐標(biāo)？（5）sinα與sin(?α)，cosα與cos(?α)的關(guān)系如何？α?αxα?αx生：與的終邊關(guān)于軸對(duì)稱，與的終邊關(guān)于軸對(duì)稱，若P1(u,v)，則P2(u,?v)，P1(cosα,sinα)，P2(cos(?α),sin(?α))可以得出sin(?α)=?sinα生：sinα是奇函數(shù),cosα是偶函數(shù)，他的作用是“負(fù)角化正角”.師：這里的α是第一象限角，是否可以擴(kuò)充到任意角？這里的核心是什么？教師用GGB演示角α可以是任意角，引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)從特殊角到一般角的變化，驗(yàn)證普適性.設(shè)計(jì)意圖：將研究目標(biāo)分層，降低學(xué)生思考的難度。5個(gè)問題之間的邏輯關(guān)系就是解決方案的框架.師：剛才我們是怎樣獲得公式的？解決問題的思路是什么？預(yù)設(shè)：發(fā)現(xiàn)兩角的中年與單位圓的交點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，借助三角函數(shù)定義發(fā)現(xiàn)兩角的同名三角函數(shù)值的關(guān)系，進(jìn)而獲得公式.師：起點(diǎn)在哪里？如何簡(jiǎn)約、凝練地描述？生：合作提煉：圓的對(duì)稱性→角的終邊對(duì)稱關(guān)系→點(diǎn)的坐標(biāo)關(guān)系→三角函數(shù)值得關(guān)系（誘導(dǎo)公式）sin(?6π)=?sin6π=?12師：圓和角是形，三角函數(shù)值是數(shù)，這樣我們就把數(shù)與形聯(lián)系在一起，也就是數(shù)形結(jié)合思想，設(shè)計(jì)意圖：階段小結(jié)，讓學(xué)生將對(duì)稱作為研究三角函數(shù)問題的一種方法使用.將上述研究過程進(jìn)行梳理，得出“圓的對(duì)稱性→角的終邊對(duì)稱關(guān)系→點(diǎn)的坐標(biāo)關(guān)系→三角函數(shù)值得關(guān)系”的研究路線圖.探究二：任意角 與 + 三角函數(shù)值的關(guān)系.π 1 7π師：回歸到問題2：已知sin6=2，如何求sin6的值？2問題4：（1） 與+的終邊關(guān)系如何？（2）α與α+π角的終邊分別交單位圓與P1,P3,則P1與P3位置關(guān)系如何？（3）設(shè)點(diǎn)P1的坐標(biāo)為(x,y)，則點(diǎn)P3的坐標(biāo)如何表示？（4）在單位圓中，如何用α與α+π表示P1與P3的坐標(biāo)？（5）sinα與sin(α+π)，cosα與cos(α+π)的關(guān)系如何？生：α與α+π的終邊關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，P1與P3關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，若P1(u,v)，則P3(?u,?v)P1(cosα,sinα)P3(cos(α+π),sin(α+π))可以得到sin(α+π)=?sinαπ由圖，逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)可以得到上述公式，若逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，可以得到如下公式sin(α?π)=?sinα師：這組公式作用是什么？生：把~2角化~角，sin7π6=sin（6π+π）=?sin6π=?12設(shè)計(jì)意圖：通過營(yíng)造開放的學(xué)習(xí)氛圍，整理思路，為后繼探索指明方向.探究三：任意角α與π-α三角函數(shù)值的關(guān)系.師：再次回歸到問題2：已知sin6π=12，如何求sin5π6的值？生：總結(jié)如下公式，并分析作用：把2π~π角化0~2π角，故sin5π6=sin（π?6π）=sin6π=12sin(π?α)=sinα師：你還有其他方法推導(dǎo)公式sin(π?α)=sinα cos(π?α)=?cosα嗎？設(shè)計(jì)意圖：借助終邊關(guān)于y軸對(duì)稱找出兩角的關(guān)系要比終邊關(guān)于原點(diǎn)，x軸對(duì)稱難度找兩角的關(guān)系大一點(diǎn)，前面已經(jīng)有了探究的體驗(yàn)，研究問題的思路學(xué)生已經(jīng)清楚了，只要能找出終邊關(guān)于y軸對(duì)稱的兩角的最簡(jiǎn)表示形式即α與π?α，公式的推導(dǎo)就會(huì)水到渠成。在此過程中充分調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性和激發(fā)學(xué)生的參與、探究和體驗(yàn)的欲望，讓他們既動(dòng)腦又動(dòng)手，讓學(xué)生體驗(yàn)數(shù)與形的關(guān)系，嘗試自主探究的樂趣.問題5：你能概括所學(xué)誘導(dǎo)公式的共同特點(diǎn)和規(guī)律嗎？sin(α+2kπ)=sinαsin(α±π)=sinαsin(?α)=?sinαsin(π?α)=sinα

cos(α+2kπ)=cosα（k ）cos(α±π)=?cosαcos(?α)=cosαcos(π?α)=?cosα3生：結(jié)構(gòu)特征：1.角α為任意角；2.左右兩端三角函數(shù)名不變，α角不變，只是前面多了一個(gè)正負(fù)號(hào);3.符號(hào)判斷方法，把α看成銳角時(shí)，原函數(shù)值不變.師：可以簡(jiǎn)化為一句“函數(shù)名不變，符號(hào)看象限”生：還可以從定義記憶設(shè)計(jì)意圖：歸納總結(jié)新課知識(shí)，幫助學(xué)生更加深入理解誘導(dǎo)公式.（三）探究新知?辨析公式思考：（1）如果兩個(gè)角的同名三角函數(shù)值相等，它們的終邊一定相同嗎？（×）（2）你能找出與角6π正弦值相等，但終邊不同的更多的角嗎？（×）（3）若sinα=?sin6π,則α一定為?6π？（×）設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生逆向思考，通過層層追問形成公式的反向印證。同樣的公式，思考順序相反，邏輯軌跡相反，但核心理念、思路框架結(jié)構(gòu)是一樣的。（四）例題分析?鞏固新知例求下列三角函數(shù)值：（1）sin(?5π)；（2）cos2π；（3）sin11π；（4）cos(?31π).4366?5p?5p?p?p解()244442è?è?(2)cos2p?p??p?p1=cos?-+p÷=-cos?-÷=-cos=-;33332è?è??11p??p??p?p13sin=sin-+2p=sin-=-sin=-;?6662è?è?è6??31p??31p??7p?7p?p?p3(4)cos?-÷=cos?÷=cos?+4p÷=cos=cos?+p÷=-cos=-;66662è?è?è6?è6?練習(xí)：求下列三角函數(shù)值：（1）sin11π；（2）cos（?10π)；（3）sin（?10π).3334設(shè)計(jì)意圖：學(xué)生獨(dú)立去實(shí)踐解決問題，在實(shí)踐中體會(huì)誘導(dǎo)公式在解題過程中的應(yīng)用，使任意一個(gè)角都轉(zhuǎn)化為他們所熟知的銳角，體會(huì)從未知到已知的化歸思想，從而為總結(jié)出解題的一般步驟奠定基礎(chǔ).（五）歸納梳理?升華認(rèn)知你能從探究過程、生成的知識(shí)和思想方法方面談?wù)劚竟?jié)課的收獲嗎？回顧本節(jié)課流程，我們從sin6π=12，探究如何求另外幾個(gè)角的正弦值這個(gè)問題出發(fā)，總結(jié)出要想解決這個(gè)問題，就從定義出發(fā)，通過圓的對(duì)稱性→角的終邊對(duì)稱關(guān)系→點(diǎn)的坐標(biāo)關(guān)系→三角函數(shù)值得關(guān)系得到?α、α±π、π?α與角α的三角函數(shù)值的關(guān)系，也就是這幾組誘導(dǎo)公式。本節(jié)課我們把不熟悉的問題轉(zhuǎn)化為我們熟悉的問題，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中的化歸思想，探究路徑體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想.師生活動(dòng)：引導(dǎo)學(xué)生回顧本節(jié)課所學(xué)知識(shí)和學(xué)習(xí)過程.設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生梳理數(shù)學(xué)知識(shí)、感悟數(shù)學(xué)思想、體會(huì)數(shù)學(xué)研究方法.（六）課后作業(yè)?鞏固成果1.基礎(chǔ)鞏固課本21面