2023-2024學(xué)年北京市昌平區(qū)融合學(xué)區(qū)（第一組）九年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷【含解析】

第1頁（共1頁）2023-2024學(xué)年北京市昌平區(qū)融合學(xué)區(qū)（第一組）九年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（共8道小題，每小題2分，共16分）第1-8題均有四個(gè)選項(xiàng)，符合題意的選項(xiàng)只有一個(gè)1．（2分）已知3a＝4b（ab≠0），則下列各式正確的是（）A． B． C． D．2．（2分）拋物線y＝x2﹣2的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（）A．（0，2） B．（0，﹣2） C．（﹣2，0） D．（2，0）3．（2分）如圖，在平行四邊形ABCD中，E為BC的中點(diǎn)，連接DE、AC交于點(diǎn)F，那么的值為（）A． B． C． D．14．（2分）將拋物線y＝x2向左平移3個(gè)單位長度，再向下平移4個(gè)單位長度，所得拋物線的表達(dá)式為（）A．y＝（x+3）2+4 B．y＝（x﹣3）2﹣4 C．y＝（x﹣3）2+4 D．y＝（x+3）2﹣45．（2分）如圖，已知∠1＝∠2，那么添加下列一個(gè)條件后，不能判定△ABC∽△ADE的是（）A．∠C＝∠E B．∠B＝∠ADE C． D．6．（2分）點(diǎn)P1（﹣1，y1），P2（3，y2），P3（5，y3）均在二次函數(shù)y＝﹣（x﹣1）2+2的圖象上，則y1，y2，y3的大小關(guān)系是（）A．y3＞y2＞y1 B．y3＞y1＝y(tǒng)2 C．y1＞y2＞y3 D．y1＝y(tǒng)2＞y37．（2分）下列正方形方格中四個(gè)三角形中，與甲圖中的三角形相似的是（）A． B． C． D．8．（2分）如圖，正方形ABCD的邊長為2cm，點(diǎn)P，點(diǎn)Q同時(shí)從點(diǎn)A出發(fā)，速度均2cm/s，點(diǎn)P沿A﹣D﹣C向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q沿A﹣B﹣C向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，則△APQ的面積S（cm2）與運(yùn)動(dòng)時(shí)間t（s）之間函數(shù)關(guān)系的大致圖象是（）A． B． C． D．二、填空題（共8道小題，每小題2分，共16分）9．（2分）如圖，直線l1∥l2∥l3，直線AC分別交l1，l2，l3于點(diǎn)A，B，C，直線DF分別交l1，l2，l3于點(diǎn)D，E，F(xiàn)，若DE＝3，EF＝6，AB＝4，則線段BC＝．10．（2分）請寫出一個(gè)開口向下，對稱軸為直線x＝3的拋物線的解析式．11．（2分）二次函數(shù)y＝x2+bx+c圖象經(jīng)過點(diǎn)A（0，3），B（2，3），則其對稱軸為直線．12．（2分）如圖，已知A（1，4），B（3，4），C（﹣2，﹣1），D（1，﹣1），那么△ABE與△CDE的面積比是．13．（2分）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，點(diǎn)D在AC上，DE⊥AB于點(diǎn)E．若AC＝4，AB＝5，AD＝3，則AE＝．14．（2分）拋物線y＝﹣x2與拋物線y＝ax2的位置如圖所示，a的值可能為．15．（2分）如圖，小明借助太陽光線測量樹高．在早上8時(shí)小明測得樹的影長為2m，下午3時(shí)又測得該樹的影長為8m，且這兩次太陽光線剛好互相垂直，則樹高為m．16．（2分）已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖所示，有下列5個(gè)結(jié)論：①abc＞0；②b＜a+c；③4a+2b+c＞0；④2c＜3b；⑤a+b＞m（am+b），（m≠1的實(shí)數(shù)）．其中正確的結(jié)論有．（填序號）三、解答題（本題共12道小題，第17-22題，每小題5分，第23-26題，每小題5分，第27、28題，每小題5分，共68分）17．（5分）如圖，四邊形ABCD∽四邊形A'B'C'D'．（1）∠B＝°．（2）求邊x，y的長度．18．（5分）已知二次函數(shù)y＝x2+2x﹣3．（1）求二次函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)；（2）在平面直角坐標(biāo)系中，畫出該函數(shù)的圖象；（3）當(dāng)x在什么范圍時(shí)，y隨著x的增大而減?。?9．（5分）如圖，∠MAN＝30°，點(diǎn)B、C分別在AM、AN上，且∠ABC＝40°．（1）尺規(guī)作圖：作∠CBM的角平分線BD，BD與AN相交于點(diǎn)D；（保留作圖痕跡，不寫作法）（2）在（1）所作的圖中，求證：△ABC∽△ADB．20．（5分）二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）圖象上部分點(diǎn)的橫坐標(biāo)x，縱坐標(biāo)y的對應(yīng)值如表：x…﹣3﹣2﹣1012n4…y…15m30﹣1038…（1）該二次函數(shù)圖象的對稱軸為直線；（2）m＝，n＝；（3）根據(jù)表中信息分析，方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的解為．21．（5分）已知：二次函數(shù)y＝x2+（2m+1）x+m2﹣1與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)．（1）求m的取值范圍；（2）寫出一個(gè)滿足條件的m的值，并求此時(shí)二次函數(shù)與x軸的交點(diǎn)．22．（5分）如圖，拋物線與x軸交于點(diǎn)A（﹣4，0），B（2，0），與y軸交于點(diǎn)C（0，2）．（1）求該拋物線的表達(dá)式；（2）已知M（1，ym），N（xn，yn）是拋物線上的兩點(diǎn)，根據(jù)圖象分析，若ym≥yn，則xn的取值范圍是．23．（6分）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，點(diǎn)D在AB上，CA＝CD，過點(diǎn)B作BE⊥CD，交CD的延長線于點(diǎn)E．（1）求證：△ABC∽△DBE；（2）如果BC＝5，BE＝3，求AC的長．24．（6分）如圖，要測量樓高M(jìn)N，在距MN為15m的點(diǎn)B處豎立一根長為5.5m的直桿AB，恰好使得觀測點(diǎn)E，直桿頂點(diǎn)A和高樓頂點(diǎn)N在同一條直線上．若DB＝5m，DE＝1.5m，求樓高M(jìn)N．25．（6分）2023年8月5日，在成都舉行的第31屆世界大學(xué)生夏季運(yùn)動(dòng)會女子籃球金牌賽中，中國隊(duì)以99比91戰(zhàn)勝日本隊(duì)，奪得冠軍．女籃最重要的球員之一韓旭在日常訓(xùn)練中也迎難而上，勇往直前．投籃時(shí)籃球以一定速度斜向上拋出，不計(jì)空氣阻力，在空中劃過的運(yùn)動(dòng)路線可以看作是拋物線的一部分．建立平面直角坐標(biāo)系xOy，籃球從出手到進(jìn)入籃筐的過程中，它的豎直高度y（單位：m）與水平距離x（單位：m）近似滿足二次函數(shù)關(guān)系，籃筐中心距離地面的豎直高度是3m，韓旭進(jìn)行了兩次投籃訓(xùn)練．（1）第一次訓(xùn)練時(shí)，韓旭投出的籃球的水平距離x與豎直高度y的幾組數(shù)據(jù)如下：水平距離x/m01234…豎直高度y/m2.03.03.63.83.6…①在平面直角坐標(biāo)系xOy中，描出上表中各對對應(yīng)值為坐標(biāo)的點(diǎn)，并用平滑的曲線連接；②結(jié)合表中數(shù)據(jù)或所畫圖象，直接寫出籃球運(yùn)行的最高點(diǎn)距離地面的豎直高度是m；③已知此時(shí)韓旭距籃筐中心的水平距離5m，韓旭第一次投籃練習(xí)是否成功，請說明理由．（2）第二次訓(xùn)練時(shí)，韓旭出手時(shí)籃球的豎直高度與第一次訓(xùn)練相同，此時(shí)投出的籃球的豎直高度y與水平距離x近似滿足函數(shù)關(guān)系y＝a（x﹣3）2+4.25，若投籃成功，此時(shí)韓旭距籃筐中心的水平距離d5（填“＞”，“＝”或“＜”）．26．（6分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)（1，m）和（2，n）在拋物線y＝﹣x2+bx上．（1）若m＝0，求該拋物線的對稱軸；（2）若mn＜0，設(shè)拋物線的對稱軸為直線x＝t．①直接寫出t的取值范圍；②已知點(diǎn)（﹣1，y1），（，y2），（3，y3）在該拋物線上，比較y1，y2，y3的大小，并說明理由．27．（7分）已知等邊△ABC中的邊長為4，點(diǎn)P，M分別是邊BC，AC上的一點(diǎn)，以點(diǎn)P為頂點(diǎn)，作∠MPN＝60°，PN與直線AB交于點(diǎn)N．（1）依題意補(bǔ)全圖1；（2）求證：BN?CM＝CP?BP；（3）如圖2，若點(diǎn)P為BC中點(diǎn)，AM＝2AN，求AN的長．28．（7分）已知：如圖1，拋物線的頂點(diǎn)為M，平行于x軸的直線與該拋物線交于點(diǎn)A，B（點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)），根據(jù)對稱性△AMB恒為等腰三角形，我們規(guī)定：當(dāng)△AMB為直角三角形時(shí)，就稱△AMB為該拋物線的“完美三角形”．（1）①如圖2，求出拋物線y＝x2的“完美三角形”斜邊AB的長；②拋物線y＝x2+1與y＝x2的“完美三角形”的斜邊長的數(shù)量關(guān)系是；（2）若拋物線y＝ax2+4的“完美三角形”的斜邊長為4，求a的值；（3）若拋物線y＝mx2+2x+n﹣5的“完美三角形”斜邊長為n，且y＝mx2+2x+n﹣5的最大值為﹣1，求m，n的值．

2023-2024學(xué)年北京市昌平區(qū)融合學(xué)區(qū)（第一組）九年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、選擇題（共8道小題，每小題2分，共16分）第1-8題均有四個(gè)選項(xiàng)，符合題意的選項(xiàng)只有一個(gè)1．（2分）已知3a＝4b（ab≠0），則下列各式正確的是（）A． B． C． D．【分析】比例的性質(zhì)：內(nèi)項(xiàng)之積等于外項(xiàng)之積，依此即可求解．【解答】解：A、由＝可得3a＝4b，故選項(xiàng)正確；B、由＝可得4a＝3b，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；C、由＝可得4a＝3b，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；D、由＝可得ab＝3×4＝12，故選項(xiàng)錯(cuò)誤．故選：A．【點(diǎn)評】本題考查了比例的性質(zhì)，熟練掌握比例的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．2．（2分）拋物線y＝x2﹣2的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（）A．（0，2） B．（0，﹣2） C．（﹣2，0） D．（2，0）【分析】已知拋物線的解析式滿足頂點(diǎn)坐標(biāo)式y(tǒng)＝a（x﹣h）2+k的形式，直接寫出頂點(diǎn)坐標(biāo)即可．【解答】解：∵拋物線y＝x2﹣2，∴拋物線y＝x2﹣2的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（0，﹣2），故選：B．【點(diǎn)評】本題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)y＝a（x﹣h）2+k的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（h，k），對稱軸為x＝h，此題基礎(chǔ)題，比較簡單．3．（2分）如圖，在平行四邊形ABCD中，E為BC的中點(diǎn)，連接DE、AC交于點(diǎn)F，那么的值為（）A． B． C． D．1【分析】利用平行四邊形性質(zhì)，得到BC＝AD，進(jìn)而得到CE＝AD，證明△CEF∽△ADF即可解決問題．【解答】解：∵E為BC的中點(diǎn)，∴CE＝BC，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD＝BC，AD∥BC，∴CE＝AD，△CEF∽△ADF，∴＝＝，故選：B．【點(diǎn)評】本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決問題．4．（2分）將拋物線y＝x2向左平移3個(gè)單位長度，再向下平移4個(gè)單位長度，所得拋物線的表達(dá)式為（）A．y＝（x+3）2+4 B．y＝（x﹣3）2﹣4 C．y＝（x﹣3）2+4 D．y＝（x+3）2﹣4【分析】根據(jù)函數(shù)圖象的平移法則：左加右減，上加下減，即可得到拋物線平移后的表達(dá)式．【解答】解：根據(jù)題意可得，拋物線平移后的解析式為：y＝（x+3）2﹣4，故選：D．【點(diǎn)評】本題考查了函數(shù)圖象的平移，熟練掌握函數(shù)圖象的平移法則：左加右減，上加下減是解題的關(guān)鍵．5．（2分）如圖，已知∠1＝∠2，那么添加下列一個(gè)條件后，不能判定△ABC∽△ADE的是（）A．∠C＝∠E B．∠B＝∠ADE C． D．【分析】先根據(jù)∠1＝∠2求出∠BAC＝∠DAE，再根據(jù)相似三角形的判定方法解答．【解答】解：∵∠1＝∠2，∴∠DAE＝∠BAC，A、添加∠C＝∠E，可用兩角法判定△ABC∽△ADE，故本選項(xiàng)不符合題意；B、添加∠B＝∠E，可用兩角法判定△ABC∽△ADE，故本選項(xiàng)不符合題意；C、添加＝，可用兩邊及其夾角法判定△ABC∽△ADE，故本選項(xiàng)不符合題意；D、添加＝，不能判定△ABC∽△ADE，故本選項(xiàng)符合題意；故選：D．【點(diǎn)評】本題主要考查了相似三角形的判定：①如果兩個(gè)三角形的三組對應(yīng)邊的比相等，那么這兩個(gè)三角形相似；②如果兩個(gè)三角形的兩條對應(yīng)邊的比相等，且夾角相等，那么這兩個(gè)三角形相似；③如果兩個(gè)三角形的兩個(gè)對應(yīng)角相等，那么這兩個(gè)三角形相似．6．（2分）點(diǎn)P1（﹣1，y1），P2（3，y2），P3（5，y3）均在二次函數(shù)y＝﹣（x﹣1）2+2的圖象上，則y1，y2，y3的大小關(guān)系是（）A．y3＞y2＞y1 B．y3＞y1＝y(tǒng)2 C．y1＞y2＞y3 D．y1＝y(tǒng)2＞y3【分析】根據(jù)二次函數(shù)的解析式得出圖象的開口向下，對稱軸是直線x＝1，根據(jù)x＜1時(shí)，y隨x的增大而增大，即可得出答案．【解答】解：∵y＝﹣（x﹣1）2+2，∴圖象的開口向下，對稱軸是直線x＝1，P1（﹣1，y1）關(guān)于直線x＝1的對稱點(diǎn)是（3，y1），∵1＜3＜5，∴y1＝y(tǒng)2＞y3，故選：D．【點(diǎn)評】本題主要考查對二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，二次函數(shù)的性質(zhì)等知識點(diǎn)的理解和掌握，能熟練地運(yùn)用二次函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵．7．（2分）下列正方形方格中四個(gè)三角形中，與甲圖中的三角形相似的是（）A． B． C． D．【分析】由于已知三角形和選擇項(xiàng)的三角形都放在小正方形的網(wǎng)格中，設(shè)正方形的邊長為1，所以每一個(gè)三角形的邊長都是可以表示出，然后根據(jù)三角形的對應(yīng)邊成比例即可判定選擇項(xiàng)．【解答】解：設(shè)小正方形的邊長為1，那么已知三角形的三邊長分別為，2，，所以三邊之比為1：2：；A、三角形的三邊分別為2、、3，三邊之比為：：：3，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、三角形的三邊分別為2、4、2，三邊之比為：1：2：，故本選項(xiàng)正確；C、三角形的三邊分別為2、3、，三邊之比為：2：3：，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；D、三角形的三邊分別為、、4，三邊之比為：：：4，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤．故選：B．【點(diǎn)評】此題主要考查了相似三角形的判定，屬于基礎(chǔ)題，掌握三邊對應(yīng)成比例的兩個(gè)三角形相似是解答本題的關(guān)鍵，難度一般．8．（2分）如圖，正方形ABCD的邊長為2cm，點(diǎn)P，點(diǎn)Q同時(shí)從點(diǎn)A出發(fā)，速度均2cm/s，點(diǎn)P沿A﹣D﹣C向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q沿A﹣B﹣C向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，則△APQ的面積S（cm2）與運(yùn)動(dòng)時(shí)間t（s）之間函數(shù)關(guān)系的大致圖象是（）A． B． C． D．【分析】研究兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)到正方形各頂點(diǎn)時(shí)的相對位置，分段討論函數(shù)解析式，根據(jù)函數(shù)圖象即可得出結(jié)論．【解答】解：根據(jù)兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)可知（1）當(dāng)0≤t≤1時(shí)，S＝×2t×2t＝2t2，此時(shí)拋物線開口向上；（2）當(dāng)1≤t≤2時(shí)，S＝2×2﹣2××2×（2t﹣2）﹣（4﹣2t）2＝﹣2t2+4t，此時(shí)拋物線的開口向下．故選：C．【點(diǎn)評】本題考查了動(dòng)點(diǎn)問題的函數(shù)圖象、正方形的性質(zhì)、三角形面積公式以及分類討論的數(shù)學(xué)思想，根據(jù)題意求出函數(shù)關(guān)系式是關(guān)鍵，注意分類討論．二、填空題（共8道小題，每小題2分，共16分）9．（2分）如圖，直線l1∥l2∥l3，直線AC分別交l1，l2，l3于點(diǎn)A，B，C，直線DF分別交l1，l2，l3于點(diǎn)D，E，F(xiàn)，若DE＝3，EF＝6，AB＝4，則線段BC＝8．【分析】利用平行線分線段成比例定理，列出比例式，然后把DE＝3，EF＝6，AB＝4，代入計(jì)算即可得到結(jié)論．【解答】解：∵l1∥l2∥l3，∴＝∵DE＝3，EF＝6，AB＝4，∴＝，∴BC＝8．故答案為：8．【點(diǎn)評】本題考查了平行線分線段成比例，解題時(shí)注意：三條平行線截兩條直線，所得的對應(yīng)線段成比例．10．（2分）請寫出一個(gè)開口向下，對稱軸為直線x＝3的拋物線的解析式y(tǒng)＝﹣（x﹣3）2（答案不唯一）．【分析】開口向下，二次項(xiàng)系數(shù)為負(fù)，對稱軸為直線x＝1，可根據(jù)頂點(diǎn)式寫出滿足條件的函數(shù)解析式．【解答】解：依題意可知，拋物線解析式中二次項(xiàng)系數(shù)為負(fù)，已知對稱軸為直線x＝3，根據(jù)頂點(diǎn)式，得拋物線解析式為y＝﹣（x﹣3）2．本題答案不唯一，故答案為：y＝﹣（x﹣3）2（答案不唯一）．【點(diǎn)評】主要考查了拋物線的對稱軸、開口方向與拋物線頂點(diǎn)式的關(guān)系：頂點(diǎn)式y(tǒng)＝a（x﹣h）2+k，頂點(diǎn)坐標(biāo)是（h，k），對稱軸是直線x＝h．a(chǎn)＞0時(shí)，開口向上，a＜0時(shí)，開口向下．11．（2分）二次函數(shù)y＝x2+bx+c圖象經(jīng)過點(diǎn)A（0，3），B（2，3），則其對稱軸為直線x＝1．【分析】根據(jù)二次函數(shù)y＝x2+bx+c圖象經(jīng)過點(diǎn)A（0，3），B（2，3），可以求得該拋物線的對稱軸．【解答】解：∵二次函數(shù)y＝x2+bx+c圖象經(jīng)過點(diǎn)A（0，3），B（2，3），∴其對稱軸為直線x＝＝1，故答案為：x＝1．【點(diǎn)評】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)、二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用拋物線的對稱性解答．12．（2分）如圖，已知A（1，4），B（3，4），C（﹣2，﹣1），D（1，﹣1），那么△ABE與△CDE的面積比是4：9．【分析】由于點(diǎn)A與點(diǎn)B的縱坐標(biāo)相同，可知AB⊥y軸，同理CD⊥y軸，則AB∥CD，易證△ABE∽△DCE，根據(jù)相似三角形的面積的比等于相似比的平方，得出△ABE與△CDE的面積比是（AB：CD）2．【解答】解：∵A（1，4），B（3，4），即點(diǎn)A與點(diǎn)B的縱坐標(biāo)相同，∴AB⊥y軸，且AB＝2，同理CD⊥y軸，CD＝3，∴AB∥CD，∴∠A＝∠D，∠B＝∠C，∴△ABE∽△DCE，∴△ABE與△CDE的面積比＝（AB：CD）2＝（2：3）2＝4：9．故答案為：4：9．【點(diǎn)評】本題考查三角形的面積，關(guān)鍵是結(jié)合平面直角坐標(biāo)系和相似三角形的判定及性質(zhì)解答．有兩角對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似．相似三角形面積的比等于相似比的平方．13．（2分）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，點(diǎn)D在AC上，DE⊥AB于點(diǎn)E．若AC＝4，AB＝5，AD＝3，則AE＝．【分析】由DE⊥AB得到∠DEA＝∠C＝90°，然后得到△DEA∽△BCA，再利用相似三角形的性質(zhì)求得AE的長．【解答】解：∵DE⊥AB于點(diǎn)E，∠C＝90°，∴∠AED＝∠C＝90°，∵∠A＝∠A，∴△ADE∽△ABC，∴＝，∵AC＝4，AB＝5，AD＝3，∴＝，∴AE＝．故答案為：．【點(diǎn)評】本題考查相似三角形的判定與性質(zhì)，掌握相似三角形的判定是解題的關(guān)鍵．14．（2分）拋物線y＝﹣x2與拋物線y＝ax2的位置如圖所示，a的值可能為﹣（答案不唯一）．【分析】由函數(shù)的性質(zhì)知，|a|越大，拋物線開口越小，即可求解．【解答】解：由函數(shù)的性質(zhì)知，|a|越大，拋物線開口越小，則|a|＜|﹣1|＝1，即|a|＜1，且a為負(fù)值，即﹣1＜a＜0，故a可以為：﹣（答案不唯一）．【點(diǎn)評】本題考查的是二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，明確|a|越大，拋物線開口越小是解題的關(guān)鍵．15．（2分）如圖，小明借助太陽光線測量樹高．在早上8時(shí)小明測得樹的影長為2m，下午3時(shí)又測得該樹的影長為8m，且這兩次太陽光線剛好互相垂直，則樹高為4m．【分析】先根據(jù)題意作出相應(yīng)的圖，然后可根據(jù)條件得到△ADB～△CDA，最后利用相似比即可得解．【解答】解：根據(jù)題意作圖，BD＝2m，CD＝8m，∠BAC＝90°，AD⊥BC，∵∠BAD+∠CAD＝90°，∠BAD+∠B＝90°，∴∠CAD＝∠B，∵∠ADB＝∠CDA＝90°，∴△ADB～△CDA，∴，∴AD2＝BD?CD＝16，AD＝4m．故答案為：4．【點(diǎn)評】本題考查了相似三角形的應(yīng)用，掌握相似三角形的性質(zhì)與判定是解題關(guān)鍵．16．（2分）已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖所示，有下列5個(gè)結(jié)論：①abc＞0；②b＜a+c；③4a+2b+c＞0；④2c＜3b；⑤a+b＞m（am+b），（m≠1的實(shí)數(shù)）．其中正確的結(jié)論有③、④、⑤．（填序號）【分析】由拋物線的開口方向判斷a與0的關(guān)系，由拋物線與y軸的交點(diǎn)判斷c與0的關(guān)系，然后根據(jù)對稱軸及拋物線與x軸交點(diǎn)情況進(jìn)行推理，進(jìn)而對所得結(jié)論進(jìn)行判斷．【解答】解：①圖象開口向下，與y軸交于正半軸，對稱軸為x＝1，能得到：a＜0，c＞0，﹣＝1，∴b＝﹣2a＞0，∴abc＜0，所以錯(cuò)誤；②當(dāng)x＝﹣1時(shí)，由圖象知y＜0，把x＝﹣1代入解析式得：a﹣b+c＜0，∴b＞a+c，∴②錯(cuò)誤；③圖象開口向下，與y軸交于正半軸，對稱軸為x＝1，能得到：a＜0，c＞0，﹣＝1，所以b＝﹣2a，所以4a+2b+c＝4a﹣4a+c＞0．∴③正確；④∵由①②知b＝﹣2a且b＞a+c，∴2c＜3b，④正確；⑤∵x＝1時(shí)，y＝a+b+c（最大值），x＝m時(shí)，y＝am2+bm+c，∵m≠1的實(shí)數(shù)，∴a+b+c＞am2+bm+c，∴a+b＞m（am+b）成立．∴⑤正確．故正確結(jié)論的序號是③，④，⑤．【點(diǎn)評】主要考查圖象與二次函數(shù)系數(shù)之間的關(guān)系，會利用對稱軸的范圍求2a與b的關(guān)系，以及二次函數(shù)與方程之間的轉(zhuǎn)換，根的判別式的熟練運(yùn)用．三、解答題（本題共12道小題，第17-22題，每小題5分，第23-26題，每小題5分，第27、28題，每小題5分，共68分）17．（5分）如圖，四邊形ABCD∽四邊形A'B'C'D'．（1）∠B＝69°．（2）求邊x，y的長度．【分析】直接利用相似多邊形的性質(zhì)即可得到答案．【解答】解：（1）∵四邊形ABCD∽四邊形A'B'C'D'，∴∠C＝∠C'＝135°，∴∠B＝360°﹣60°﹣96°﹣135°＝69°，故答案為69°；（2）∵四邊形ABCD∽四邊形A'B'C'D'，，解得x＝4，y＝18．【點(diǎn)評】此題主要考查了相似多邊形的性質(zhì)，正確得出對應(yīng)邊關(guān)系是解題關(guān)鍵．18．（5分）已知二次函數(shù)y＝x2+2x﹣3．（1）求二次函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)；（2）在平面直角坐標(biāo)系中，畫出該函數(shù)的圖象；（3）當(dāng)x在什么范圍時(shí)，y隨著x的增大而減??？【分析】（1）把拋物線的解析式配成頂點(diǎn)式，從而得到拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)；（2）先求出拋物線與x軸和y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，然后用描點(diǎn)法畫出函數(shù)圖象；（3）根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，拋物線開口向下，在對稱軸左側(cè)，y隨著x的增大而減?。窘獯稹拷猓海?）∵y＝x2+2x﹣3＝（x2+2x+1）﹣4＝（x+1）2﹣4，∴拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣1，﹣4）；（2）當(dāng)x＝0時(shí)，y＝x2+2x﹣3＝﹣3，則拋物線與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（0，﹣3）；當(dāng)y＝0時(shí)，x2+2x﹣3＝0，解得x1＝﹣3，x2＝1，則拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣3，0），（1，0）；如圖，（3）當(dāng)x＜﹣1時(shí)，y隨著x的增大而減?。军c(diǎn)評】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)：拋物線y＝a（x﹣h）2+k，a＞0，拋物線開口向上，x＜h時(shí)，y隨x的增大而減??；x＞h時(shí)，y隨x的增大而增大；x＝h時(shí)，y取得最小值k；當(dāng)a＜0時(shí)，拋物線的開口向下，x＜h時(shí)，y隨x的增大而增大；x＞h時(shí)，y隨x的增大而減??；x＝h時(shí)，y取得最大值k．也考查了二次函數(shù)的圖象．19．（5分）如圖，∠MAN＝30°，點(diǎn)B、C分別在AM、AN上，且∠ABC＝40°．（1）尺規(guī)作圖：作∠CBM的角平分線BD，BD與AN相交于點(diǎn)D；（保留作圖痕跡，不寫作法）（2）在（1）所作的圖中，求證：△ABC∽△ADB．【分析】（1）根據(jù)題意作出圖形即可；（2）根據(jù)角平分線定義和相似三角形的判定定理即可得到結(jié)論．【解答】解：（1）如圖所示，線段BD即為所求；（2）∵∠ABC＝40°，∴∠MBC＝140°，∵BD平分∠MBC，∴，∵∠MBD是△ADB的一個(gè)外角，∴∠ADB＝∠MBD﹣∠A＝70°﹣30°＝40°，∴∠ABC＝∠ADB．∵∠A＝∠A，∴△ABC∽△ADB．【點(diǎn)評】本題考查了相似三角形的判定，作圖﹣基本作圖，角平分線定義，三角形的內(nèi)角和定理，正確的作出圖形是解題的關(guān)鍵．20．（5分）二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）圖象上部分點(diǎn)的橫坐標(biāo)x，縱坐標(biāo)y的對應(yīng)值如表：x…﹣3﹣2﹣1012n4…y…15m30﹣1038…（1）該二次函數(shù)圖象的對稱軸為直線x＝1；（2）m＝8，n＝3；（3）根據(jù)表中信息分析，方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的解為x1＝0，x1＝2．【分析】（1）根據(jù)拋物線的對稱性求解；（2）根據(jù)拋物線的對稱性求解；（3）根據(jù)方差和函數(shù)的關(guān)系求解．【解答】解：（1）由拋物線的對稱性得：對稱軸為直線x＝1，故答案為：x＝1；（2）由拋物線的對稱性得：m＝8，n＝3，故答案為：8，3；（3）根據(jù)圖中信息，當(dāng)y＝0時(shí)，x的值為：0或2，故答案為：x1＝0，x1＝2．【點(diǎn)評】本題考查了拋物線與想軸的交點(diǎn)，理解拋物線的對稱性和方程的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．21．（5分）已知：二次函數(shù)y＝x2+（2m+1）x+m2﹣1與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)．（1）求m的取值范圍；（2）寫出一個(gè)滿足條件的m的值，并求此時(shí)二次函數(shù)與x軸的交點(diǎn)．【分析】（1）利用二次函數(shù)y＝x2+（2m+1）x+m2﹣1與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)得（2m+1）2﹣4（m2﹣1）＝4m+5＞0，然后解不等式組可得m的范圍；（2）m取1得到拋物線解析式，然后計(jì)算函數(shù)值為0時(shí)對應(yīng)的自變量的值即可得到兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)．【解答】解：（1）∵二次函數(shù)y＝x2+（2m+1）x+m2﹣1與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)∴Δ＞0，即（2m+1）2﹣4（m2﹣1）＝4m+5＞0∴m＞；（2）m取1，則拋物線解析式為y＝x2+3x，當(dāng)y＝0時(shí)，x2+3x＝0，解得x1＝0，x2＝3，所以拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（0，0），（3，0）．【點(diǎn)評】本題考查了拋物線與x軸的交點(diǎn)：把求二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)問題轉(zhuǎn)化為解關(guān)于x的一元二次方程，且兩交點(diǎn)為拋物線上的對稱點(diǎn)．22．（5分）如圖，拋物線與x軸交于點(diǎn)A（﹣4，0），B（2，0），與y軸交于點(diǎn)C（0，2）．（1）求該拋物線的表達(dá)式；（2）已知M（1，ym），N（xn，yn）是拋物線上的兩點(diǎn)，根據(jù)圖象分析，若ym≥yn，則xn的取值范圍是xn≤﹣3或xn≥1．【分析】（1）根據(jù)待定系數(shù)法求解；（2）根據(jù)數(shù)形結(jié)合思想求解．【解答】解：（1）設(shè)拋物線表達(dá)式為y＝ax2+bx+c（a≠0）．∵與y軸交于點(diǎn)C（0，2），∴c＝2，將點(diǎn)A（﹣4，0），B（2，0）代入可得，解得：，∴拋物線表達(dá)式為．（2）由圖象得：xn≤﹣3或xn≥1，故答案為：xn≤﹣3或xn≥1．【點(diǎn)評】本題考查了拋物線與x軸的交點(diǎn)，理解數(shù)形結(jié)合思想是解題的關(guān)鍵．23．（6分）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，點(diǎn)D在AB上，CA＝CD，過點(diǎn)B作BE⊥CD，交CD的延長線于點(diǎn)E．（1）求證：△ABC∽△DBE；（2）如果BC＝5，BE＝3，求AC的長．【分析】（1）由∠ACB＝90°，BE⊥CD，得∠ACB＝∠E，由CA＝CD，得∠A＝∠CDA＝∠BDE，即可根據(jù)“兩角分別相等的兩個(gè)三角形相似”證明△ABC∽△DBE．（2）先根據(jù)勾股定理求得CE＝＝4，則DE＝4﹣CD＝4﹣AC，再根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例列方程得＝，即可求得AC＝．【解答】（1）證明：∵∠ACB＝90°，BE⊥CD，∴∠ACB＝∠E＝90，∴CA＝CD，∵∠A＝∠CDA，∵∠BDE＝∠CDA，∴∠A＝∠BDE，∴△ABC∽△DBE．（2）解：∠E＝90°，BC＝5，BE＝3，∴CE＝＝＝4，∴DE＝4﹣CD＝4﹣AC，∵△ABC∽△DBE，∴＝，∴＝，∴AC＝，∴AC的長是．【點(diǎn)評】此題重點(diǎn)考查相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理的應(yīng)用等知識，證明∠A＝∠BDE從而證明△ABC∽△DBE是解題的關(guān)鍵．24．（6分）如圖，要測量樓高M(jìn)N，在距MN為15m的點(diǎn)B處豎立一根長為5.5m的直桿AB，恰好使得觀測點(diǎn)E，直桿頂點(diǎn)A和高樓頂點(diǎn)N在同一條直線上．若DB＝5m，DE＝1.5m，求樓高M(jìn)N．【分析】根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)即可解答．【解答】解：∵AC⊥EF，NF⊥EF∴△EAC∽△ENF．∴，由題意知AB＝5.5m，BM＝CF＝15m，DB＝EC＝5m，DE＝BC＝MF＝1.5m，∴AC＝4m，EF＝20m，，解得NF＝16．∴MN＝17.5m．【點(diǎn)評】此題考查的是相似三角形的應(yīng)用，利用桿或直尺測量物體的高度就是利用桿或直尺的高（長）作為三角形的邊，利用視點(diǎn)和盲區(qū)的知識構(gòu)建相似三角形，用相似三角形對應(yīng)邊的比相等的性質(zhì)求物體的高度．25．（6分）2023年8月5日，在成都舉行的第31屆世界大學(xué)生夏季運(yùn)動(dòng)會女子籃球金牌賽中，中國隊(duì)以99比91戰(zhàn)勝日本隊(duì)，奪得冠軍．女籃最重要的球員之一韓旭在日常訓(xùn)練中也迎難而上，勇往直前．投籃時(shí)籃球以一定速度斜向上拋出，不計(jì)空氣阻力，在空中劃過的運(yùn)動(dòng)路線可以看作是拋物線的一部分．建立平面直角坐標(biāo)系xOy，籃球從出手到進(jìn)入籃筐的過程中，它的豎直高度y（單位：m）與水平距離x（單位：m）近似滿足二次函數(shù)關(guān)系，籃筐中心距離地面的豎直高度是3m，韓旭進(jìn)行了兩次投籃訓(xùn)練．（1）第一次訓(xùn)練時(shí)，韓旭投出的籃球的水平距離x與豎直高度y的幾組數(shù)據(jù)如下：水平距離x/m01234…豎直高度y/m2.03.03.63.83.6…①在平面直角坐標(biāo)系xOy中，描出上表中各對對應(yīng)值為坐標(biāo)的點(diǎn)，并用平滑的曲線連接；②結(jié)合表中數(shù)據(jù)或所畫圖象，直接寫出籃球運(yùn)行的最高點(diǎn)距離地面的豎直高度是3.8m；③已知此時(shí)韓旭距籃筐中心的水平距離5m，韓旭第一次投籃練習(xí)是否成功，請說明理由．（2）第二次訓(xùn)練時(shí)，韓旭出手時(shí)籃球的豎直高度與第一次訓(xùn)練相同，此時(shí)投出的籃球的豎直高度y與水平距離x近似滿足函數(shù)關(guān)系y＝a（x﹣3）2+4.25，若投籃成功，此時(shí)韓旭距籃筐中心的水平距離d＞5（填“＞”，“＝”或“＜”）．【分析】（1）①直接利用描點(diǎn)法畫出函數(shù)圖象，即可；②設(shè)y與x滿足的函數(shù)解析式為y＝m（x﹣3）2+3.8，再把點(diǎn)（0，2）代入，求出m的值，即可；③把y＝3代入②中函數(shù)解析式，即可；（2）把點(diǎn)（0，2）代入y＝a（x﹣3）2+4.25，求出函數(shù)解析式，再把y＝3代入，求出x，即可．【解答】解：（1）①如圖，即為所求；②根據(jù)題意得：籃球運(yùn)行的最高點(diǎn)距離地面的豎直高度是3.8m；設(shè)y與x滿足的函數(shù)解析式為y＝m（x﹣3）2+3.8，把點(diǎn)（0，2）代入得：2＝m（0﹣3）2+3.8，解得：m＝﹣0.2，∴y與x滿足的函數(shù)解析式為y＝﹣0.2（x﹣3）2+3.8；③成功，理由如下：當(dāng)y＝3時(shí)，3＝﹣0.2（x﹣3）2+3.8，解得：x＝5或1（舍去），即韓旭距籃筐中心的水平距離5m時(shí)，籃球運(yùn)行的高度為3m，∴韓旭第一次投籃練習(xí)是成功；（2）把點(diǎn)（0，2）代入y＝a（x﹣3）2+4.25得：2＝a（0﹣3）2+4.25，解得：a＝﹣0.25，∴此時(shí)y與x滿足的函數(shù)解析式為y＝﹣0.25（x﹣3）2+4.25，當(dāng)y＝3時(shí)，3＝﹣0.25（5﹣3）2+4.25，解得：或（舍去），∵，∴此時(shí)韓旭距籃筐中心的水平距離d＞5．故答案為：＞．【點(diǎn)評】本題主要考查了二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，明確題意，準(zhǔn)確求出函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵．26．（6分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)（1，m）和（2，n）在拋物線y＝﹣x2+bx上．（1）若m＝0，求該拋物線的對稱軸；（2）若mn＜0，設(shè)拋物線的對稱軸為直線x＝t．①直接寫出t的取值范圍；②已知點(diǎn)（﹣1，y1），（，y2），（3，y3）在該拋物線上，比較y1，y2，y3的大小，并說明理由．【分析】（1）把點(diǎn)（1，0）代入y＝﹣x2+bx求得b的值，即可根據(jù)對稱軸公式求得答案；（2）①分類討論b的正負(fù)情況，根據(jù)mn＜0可得對稱軸在x＝與直線x＝1之間；②根據(jù)各點(diǎn)到對稱軸的距離判斷y值大?。窘獯稹拷猓海?）若m＝0，則點(diǎn)（1，0）在拋物線y＝﹣x2+bx上，∴0＝﹣1+b，解得b＝1，∴拋物線的對稱軸為直線x＝﹣＝﹣＝；（2）①∵y＝﹣x2+bx，∴拋物線開口向下且經(jīng)過原點(diǎn)，當(dāng)b＝0時(shí)，拋物線頂點(diǎn)為原點(diǎn)，x＞0時(shí)y隨x增大而減小，0＞m＞n不滿足題意，當(dāng)b＜0時(shí)，拋物線對稱軸在y軸左側(cè)，同理，0＞n＞m不滿足題意，當(dāng)b＞0時(shí)，拋物線對稱軸在y軸右側(cè)，x＝1時(shí)m＞0，x＝2時(shí)n＜0，即拋物線和x軸的2個(gè)交點(diǎn)，一個(gè)為（0，0），另外一個(gè)在1和2之間，∴拋物線對稱軸在直線x＝與直線x＝1之間，即＜t＜1；②∵點(diǎn)（﹣1，y1）與對稱軸距離＜t﹣（﹣1）＜2，點(diǎn)（，y2）與對稱軸距離＜﹣t＜1，點(diǎn)（3，y3）與對稱軸距離2＜3﹣t＜∴y3＜y1＜y2．【點(diǎn)評】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，解題關(guān)鍵是熟練掌握待定系數(shù)法求函數(shù)解析式及根據(jù)數(shù)形結(jié)合求解．27．（7分）已知等邊△ABC中的邊長為4，點(diǎn)P，M分別是邊BC，AC上的一點(diǎn)，以點(diǎn)P為頂點(diǎn)，作∠MPN＝60°，PN與直線AB交于點(diǎn)N．（1）依題意補(bǔ)全圖1；（2）求證：BN?CM＝CP?BP；（3）如圖2，若點(diǎn)P為BC中點(diǎn)，AM＝2AN，求AN的長．【分析】（1）根據(jù)題意補(bǔ)全圖形即可；（2）由△ABC是等邊三角形，得∠B＝∠C＝60°，而∠MPN＝60°，可得∠BNP＝∠CPM，故△BNP∽△CPM，得，從而BN?CM＝CP?BP；（3）由等邊△ABC是的邊長為4，點(diǎn)P為BC中點(diǎn)，可得BP＝CP＝2．由BN?CM＝CP?BP，即知BN?CM＝4，設(shè)AN＝x，則AM＝2x，分兩種情況：①當(dāng)N在線段AB上時(shí)，可得（4﹣x）（4﹣2x）＝4，即可解得AN＝3﹣；②當(dāng)N在線段AB的延長線上時(shí)，可得（4+x）（4﹣2x）＝4，可解得AN＝﹣1．【解答】（1）解：補(bǔ)全圖形如下：（2）證明：∵△ABC是等邊三角形，∴∠B＝∠C＝60°，∵∠MPN＝60°，∴∠BPN+∠CPM＝120°，∵∠BPN+∠BNP＝120°，∴∠BNP＝∠CPM，∴△BNP∽△CPM，∴，∴BN?CM＝CP?BP；（3）解：∵等邊△ABC是的邊長為4，∴AB＝BC＝AC＝4，∵點(diǎn)P為BC中點(diǎn)，∴BP＝CP＝2．由（2）可知BN?CM＝CP?BP，∴BN?CM＝4，由AM＝2AN，設(shè)AN＝x，則AM＝2x，①當(dāng)N在線段AB上時(shí)，如圖：可得BN＝4﹣x，CM＝4﹣2x，∵BN?CM＝4，∴（4﹣x）（4﹣2x）＝4，解得：，（舍），∴AN＝3﹣；②當(dāng)N在線段BA的延長線上時(shí)，如圖：可得BN＝4+x