2023-2024學(xué)年北京市東城區(qū)景山學(xué)校九年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷【含解析】

第1頁（共1頁）2023-2024學(xué)年北京市東城區(qū)景山學(xué)校九年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（本題共16分，每小題2分）第1-8題均有四個(gè)選項(xiàng)，符合題意的選項(xiàng)只有一個(gè).1．（2分）剪紙藝術(shù)是最古老的中國民間藝術(shù)之一，先后入選中國國家級非物質(zhì)文化遺產(chǎn)名錄和人類非物質(zhì)文化遺產(chǎn)代表作名錄．以下剪紙中，為中心對稱圖形的是（）A． B． C． D．2．（2分）拋物線y＝（x﹣1）2+2的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（）A．（1，2） B．（1，﹣2） C．（﹣1，2） D．（﹣1，﹣2）3．（2分）將一元二次方程x2﹣8x+10＝0通過配方轉(zhuǎn)化為（x+a）2＝b的形式，下列結(jié)果中正確的是（）A．（x﹣4）2＝6 B．（x﹣8）2＝6 C．（x﹣4）2＝﹣6 D．（x﹣8）2＝544．（2分）把拋物線y＝2x2+4向右平移1個(gè)單位長度，再向下平移3個(gè)單位長度，得到的拋物線的解析式為（）A．y＝2（x﹣1）2+7 B．y＝2（x+1）2+7 C．y＝2（x﹣1）2+1 D．y＝2（x+1）2+15．（2分）如圖，在⊙O中，弦AB，CD相交于點(diǎn)P，∠CAB＝40°，∠ABD＝30°，則∠APD的度數(shù)為（）A．30° B．35° C．40° D．70°6．（2分）不透明袋子中裝有無差別的兩個(gè)小球，分別寫有“問天”和“夢天”．隨機(jī)取出一個(gè)小球后，放回并搖勻，再隨機(jī)取出一個(gè)小球，則兩次都取到寫有“問天”的小球的概率為（）A． B． C． D．7．（2分）如圖，正六邊形ABCDEF內(nèi)接于⊙O，若⊙O的周長是12π，則正六邊形的邊長是（）A． B．3 C．6 D．8．（2分）如圖，動點(diǎn)P在線段AB上（不與點(diǎn)A，B重合），分別以AB，AP，BP為直徑作半圓，記圖中所示的陰影部分面積為y，線段AP的長為x．當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)A移動到點(diǎn)B時(shí)，y隨x的變化而變化，則表示y與x之間關(guān)系的圖象大致是（）A． B． C． D．二、填空題（共16分，每題2分）9．（2分）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)（5，1）關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是．10．（2分）關(guān)于x的一元二次方程x2﹣3x+m＝0有一個(gè)根是x＝1，則m＝．11．（2分）為響應(yīng)國家號召打贏脫貧攻堅(jiān)戰(zhàn)，小明利用信息技術(shù)開了一家網(wǎng)絡(luò)商店，將家鄉(xiāng)的土特產(chǎn)銷往全國．今年6月份盈利12000元，8月份盈利27000元，求6月份到8月份盈利的月平均增長率．設(shè)6月份到8月份盈利的月平均增長率為x，根據(jù)題意，可列方程為．12．（2分）拋物線y＝ax2+bx+c的對稱軸及部分圖象如圖所示，則關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的兩根為．13．（2分）如圖，等邊△ABC繞頂點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)80°得到△ADE，連接BE，則∠ABE＝°．14．（2分）如圖，PA、PB與⊙O相切，切點(diǎn)分別為A、B．PA＝3，∠P＝60°，若AC為⊙O的直徑，則圓中陰影部分的面積為．15．（2分）十八世紀(jì)法國的博物學(xué)家C?布豐做過一個(gè)有趣的投針試驗(yàn)．如圖，在一個(gè)平面上畫一組相距為d的平行線，用一根長度為l（l＜d）的針任意投擲在這個(gè)平面上，針與直線相交的概率為，可以通過這一試驗(yàn)來估計(jì)π的近似值．某數(shù)學(xué)興趣小組利用計(jì)算機(jī)模擬布豐投針試驗(yàn)，取l＝d，得到試驗(yàn)數(shù)據(jù)如下表：試驗(yàn)次數(shù)15002000250030003500400045005000相交頻數(shù)4956237999541123126914341590相交頻率0.33000.31150.31960.31800.32090.31730.31870.3180可以估計(jì)出針與直線相交的概率為（精確到0.001），由此估計(jì)π的近似值為（精確到0.01）．16．（2分）如圖，在半圓O中，直徑AB＝4，C是半圓上一點(diǎn)，將弧AC沿弦AC折疊交AB于D，點(diǎn)E是弧AD的中點(diǎn)．連接OE，則OE的最小值為．三、解答題（共68分，第17-22題，每題5分，第23-26題，每題6分，第27-28題，每題7分）。解答應(yīng)寫出文字說明、演算步驟或證明過程。17．（5分）解方程：x2+4x+3＝0．18．（5分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y＝ax2+2x+c的部分圖象經(jīng)過點(diǎn)A（0，﹣3），B（1，0）．（1）求該拋物線的解析式；（2）結(jié)合函數(shù)圖象，直接寫出y＜0時(shí)，x的取值范圍．19．（5分）下面是小立設(shè)計(jì)的“過圓上一點(diǎn)作這個(gè)圓的切線”的尺規(guī)作圖過程．已知：⊙O及圓上一點(diǎn)A．求作：直線AB，使得AB為⊙O的切線，A為切點(diǎn)．作法：如圖2，①連接OA并延長到點(diǎn)C；②分別以點(diǎn)A，C為圓心，大于長為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)D（點(diǎn)D在直線OA上方）；③以點(diǎn)D為圓心，DA長為半徑作⊙D；④連接CD并延長，交⊙D于點(diǎn)B，作直線AB．直線AB就是所求作的直線．根據(jù)小立設(shè)計(jì)的尺規(guī)作圖過程，完成下面的證明．（說明：括號里填推理的依據(jù)）證明：連接AD．∵＝AD∴點(diǎn)C在⊙D上，∴CB是⊙D的直徑．∴＝90°．（）∴AB⊥．∵OA是⊙O的半徑，∴AB是⊙O的切線．（）20．（5分）圓管涵是公路路基排水中常用的涵洞結(jié)構(gòu)類型，它不僅力學(xué)性能好，而且構(gòu)造簡單、施工方便．某水平放置的圓管涵圓柱形排水管道的截面是直徑為1m的圓，如圖所示，若水面寬AB＝0.8m，求水的最大深度．21．（5分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，△OAB的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為O（0，0），A（5，0），B（4，﹣3），將△OAB繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△OA'B'，點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)后的對應(yīng)點(diǎn)為A′．（1）畫出旋轉(zhuǎn)后的圖形△OA′B′，并寫出點(diǎn)A′的坐標(biāo)；（2）求出點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)到B′的路徑長．22．（5分）某中學(xué)開展“歌唱祖國紅歌比賽”活動，七年級一班、二班都從：“A．《歌唱祖國》、B．《我和我的祖國》、C．《唱支山歌給黨聽》、D．《保衛(wèi)黃河》”四首歌中任意選擇一首作為參賽曲目．（1）七年級一班恰好抽到歌曲C的概率為；（2）比賽規(guī)定：各班歌唱不同歌曲，一班先隨機(jī)抽取一首歌曲，不放回；二班再從剩余的歌曲中隨機(jī)抽取一首，求出兩個(gè)班恰好抽到B、C歌曲的概率．23．（6分）已知關(guān)于x的一元二次方程x2﹣4x+2m﹣1＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．（1）求m的取值范圍；（2）若m為正整數(shù)，且該方程的根都是整數(shù)，求m的值．24．（6分）圖1是某農(nóng)戶的種植日光溫室，其橫截面如圖2所示，一般由五部分組成．（注：1．前屋面（塑料頂棚），2．防寒溝，3．草簾，4．后屋面，5．北墻）現(xiàn)在以塑料頂棚橫截面與地面的交點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)O，地面所在的水平線OA所在直線為x軸，過點(diǎn)O垂直于OA的直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，記頂棚某點(diǎn)距點(diǎn)O的水平距離為x米，距離地面的高度為y米，測量出如下數(shù)據(jù)：x/米01234567…y/米01.122.73.23.53.63.5…請根據(jù)所給信息解決以下問題：（1）如圖，在網(wǎng)格中建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，根據(jù)已知數(shù)據(jù)描點(diǎn)，并用平滑的曲線連接；（2）請結(jié)合表中所給數(shù)據(jù)或所畫圖象，求出塑料頂棚所在曲線的解析式以及頂棚最高點(diǎn)距離地面的高度（不用寫出x的取值范圍）；（3）設(shè)前屋面與后屋面的交點(diǎn)為B，已知B點(diǎn)距離地面3.3米，求點(diǎn)B距離點(diǎn)O的水平距離．25．（6分）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，在AC上取一點(diǎn)D，以AD為直徑作⊙O，與AB相交于點(diǎn)E，作線段BE的垂直平分線MN交BC于點(diǎn)N，連接EN．（1）求證：EN是⊙O的切線；（2）若AC＝3，BC＝4，⊙O的半徑為1，求線段EN的長．26．（6分）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝ax2﹣（a+2）x+2經(jīng)過點(diǎn)A（﹣2，t），B（m，p）．（1）若t＝0，①求此拋物線的對稱軸；②當(dāng)p＜t時(shí)，直接寫出m的取值范圍；（2）若t＜0，點(diǎn)C（n，q）在該拋物線上，m＜n且3m+3n≤﹣4，請比較p，q的大小，并說明理由．27．（7分）在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，點(diǎn)D為直線AC上一個(gè)動點(diǎn)（點(diǎn)D不與點(diǎn)A，C重合），連接BD，將線段BD繞D點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得線段DE，連接CE．（1）如圖1，若點(diǎn)D在線段AC上．①依題意補(bǔ)全圖1；②用等式表示線段CB，CD，CE之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；（2）若點(diǎn)D在線段CA的延長線上，且AD＜AC，設(shè)BC＝m，BD＝n，直接寫出CE的長（用含m，n的式子表示）．28．（7分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，⊙O的半徑為1，點(diǎn)A在⊙O上，點(diǎn)P在⊙O內(nèi)，給出如下定義：連接AP并延長交⊙O于點(diǎn)B，若AP＝kAB，則稱點(diǎn)P是點(diǎn)A關(guān)于⊙O的k倍特征點(diǎn)．（1）如圖，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，0）．①若點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣，0），則點(diǎn)P是點(diǎn)A關(guān)于⊙O的倍特征點(diǎn)；②在C1（0，），C2（，0），C3（，﹣）這三個(gè)點(diǎn)中，點(diǎn)是點(diǎn)A關(guān)于⊙O的倍特征點(diǎn)；③直線l經(jīng)過點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)D，∠DAO＝60°．點(diǎn)E在直線l上，且點(diǎn)E是點(diǎn)A關(guān)于⊙O的倍特征點(diǎn)，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；（2）若當(dāng)k取某個(gè)值時(shí)，對于函數(shù)y＝﹣x+1（0＜x＜1）的圖象上任意一點(diǎn)M，在⊙O上都存在點(diǎn)N，使得點(diǎn)M是點(diǎn)N關(guān)于⊙O的k倍特征點(diǎn)，直接寫出k的最大值和最小值．

2023-2024學(xué)年北京市東城區(qū)景山學(xué)校九年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、選擇題（本題共16分，每小題2分）第1-8題均有四個(gè)選項(xiàng)，符合題意的選項(xiàng)只有一個(gè).1．（2分）剪紙藝術(shù)是最古老的中國民間藝術(shù)之一，先后入選中國國家級非物質(zhì)文化遺產(chǎn)名錄和人類非物質(zhì)文化遺產(chǎn)代表作名錄．以下剪紙中，為中心對稱圖形的是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)中心對稱圖形與軸對稱圖形的概念，進(jìn)行判斷即可．把一個(gè)圖形繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個(gè)圖形就叫做中心對稱圖形，進(jìn)而判斷得出答案．【解答】解：A．該圖形不是中心對稱圖形，故此選項(xiàng)不合題意；B．該圖形不是中心對稱圖形，故此選項(xiàng)不合題意；C．該圖形是中心對稱圖形，故此選項(xiàng)符合題意；D．該圖形不是中心對稱圖形，故此選項(xiàng)不合題意．故選：C．【點(diǎn)評】本題考查的是中心對稱圖形的概念，常見的中心對稱圖形有平行四邊形、圓形、正方形、長方形等等．2．（2分）拋物線y＝（x﹣1）2+2的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（）A．（1，2） B．（1，﹣2） C．（﹣1，2） D．（﹣1，﹣2）【分析】根據(jù)拋物線的頂點(diǎn)式解析式寫出頂點(diǎn)坐標(biāo)即可．【解答】解：y＝（x﹣1）2+2的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，2）．故選：A．【點(diǎn)評】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握利用頂點(diǎn)式解析式寫出頂點(diǎn)坐標(biāo)的方法是解題的關(guān)鍵．3．（2分）將一元二次方程x2﹣8x+10＝0通過配方轉(zhuǎn)化為（x+a）2＝b的形式，下列結(jié)果中正確的是（）A．（x﹣4）2＝6 B．（x﹣8）2＝6 C．（x﹣4）2＝﹣6 D．（x﹣8）2＝54【分析】先把常數(shù)項(xiàng)移到方程右邊，再把方程兩邊加上16，然后把方程作邊寫成完全平方形式即可．【解答】解：x2﹣8x＝﹣10，x2﹣8x+16＝6，（x﹣4）2＝6．故選：A．【點(diǎn)評】此題考查了配方法解一元二次方程，配方法的一般步驟：（1）把常數(shù)項(xiàng)移到等號的右邊；（2）把二次項(xiàng)的系數(shù)化為1；（3）等式兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方．選擇用配方法解一元二次方程時(shí)，最好使方程的二次項(xiàng)的系數(shù)為1，一次項(xiàng)的系數(shù)是2的倍數(shù)．4．（2分）把拋物線y＝2x2+4向右平移1個(gè)單位長度，再向下平移3個(gè)單位長度，得到的拋物線的解析式為（）A．y＝2（x﹣1）2+7 B．y＝2（x+1）2+7 C．y＝2（x﹣1）2+1 D．y＝2（x+1）2+1【分析】根據(jù)“左加右減、上加下減”的原則進(jìn)行解答即可．【解答】解：把拋物線y＝2x2+4向右平移1個(gè)單位長度，再向下平移3個(gè)單位長度，得到的拋物線的解析式為：y＝2（x﹣1）2+4﹣3，即y＝2（x﹣1）2+1．故選：C．【點(diǎn)評】此題主要考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換，要求熟練掌握平移的規(guī)律：左加右減，上加下減．5．（2分）如圖，在⊙O中，弦AB，CD相交于點(diǎn)P，∠CAB＝40°，∠ABD＝30°，則∠APD的度數(shù)為（）A．30° B．35° C．40° D．70°【分析】先根據(jù)圓周角定理得到∠D＝∠CAB＝40°，然后根據(jù)三角形外角的性質(zhì)計(jì)算∠APD的度數(shù)．【解答】解：∵∠CAB和∠D都對，∴∠D＝∠CAB＝40°，∴∠APD＝∠D+∠ABD＝40°+30°＝70°．故選：D．【點(diǎn)評】本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半．6．（2分）不透明袋子中裝有無差別的兩個(gè)小球，分別寫有“問天”和“夢天”．隨機(jī)取出一個(gè)小球后，放回并搖勻，再隨機(jī)取出一個(gè)小球，則兩次都取到寫有“問天”的小球的概率為（）A． B． C． D．【分析】列表得出所有等可能結(jié)果，從中找到符合條件的結(jié)果數(shù)，再根據(jù)概率公式求解即可．【解答】解：列表如下：問天夢天問天（問天，問天）（夢天，問天）夢天（問天，夢天）（夢天，夢天）由表知，共有4種等可能結(jié)果，其中兩次都取到寫有“問天”的小球的有1種結(jié)果，所以兩次都取到寫有“問天”的小球的概率為，故選：D．【點(diǎn)評】此題考查的是用列表法或樹狀圖法求概率．列表法可以不重復(fù)不遺漏的列出所有可能的結(jié)果，適合于兩步完成的事件；樹狀圖法適合兩步或兩步以上完成的事件；解題時(shí)要注意此題是放回實(shí)驗(yàn)還是不放回實(shí)驗(yàn)．用到的知識點(diǎn)為：概率＝所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．7．（2分）如圖，正六邊形ABCDEF內(nèi)接于⊙O，若⊙O的周長是12π，則正六邊形的邊長是（）A． B．3 C．6 D．【分析】連接OB、OC，根據(jù)⊙O的周長等于12π，可得⊙O的半徑OB＝OC＝6，而六邊形ABCDEF是正六邊形，即知∠BOC＝＝60°，△BOC是等邊三角形，即可得正六邊形的邊長為6．【解答】解：連接OB、OC，如圖：∵⊙O的周長等于12π，∴⊙O的半徑OB＝OC＝＝6，∵六邊形ABCDEF是正六邊形，∴∠BOC＝＝60°，∴△BOC是等邊三角形，∴BC＝OB＝OC＝6，即正六邊形的邊長為6，故選：C．【點(diǎn)評】本題考查正多邊形與圓的相關(guān)計(jì)算，解題的關(guān)鍵是掌握圓內(nèi)接正六邊形中心角等于60°，從而得到△BOC是等邊三角形．8．（2分）如圖，動點(diǎn)P在線段AB上（不與點(diǎn)A，B重合），分別以AB，AP，BP為直徑作半圓，記圖中所示的陰影部分面積為y，線段AP的長為x．當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)A移動到點(diǎn)B時(shí)，y隨x的變化而變化，則表示y與x之間關(guān)系的圖象大致是（）A． B． C． D．【分析】設(shè)AB＝a，AP＝x，則BP＝a﹣x，根據(jù)陰影部分的面積＝大半圓的面積減去兩個(gè)小半圓的面積，列出y與x的函數(shù)解析式，從而判斷圖象的大致形狀．【解答】解：設(shè)AB＝a，AP＝x，則BP＝a﹣x，∴y＝π?（）2﹣π?（）2﹣π?（）2＝（﹣x2﹣a2+ax﹣x2）＝﹣x2+ax，∴y關(guān)于x的函數(shù)圖象是過原點(diǎn)開口向下的拋物線，故選：C．【點(diǎn)評】本題考查動點(diǎn)問題的函數(shù)圖象，關(guān)鍵是求出函數(shù)解析式．二、填空題（共16分，每題2分）9．（2分）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)（5，1）關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是（﹣5，﹣1）．【分析】根據(jù)關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱的點(diǎn)的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)都互為相反數(shù)解答．【解答】解：點(diǎn)（5，1）關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是（﹣5，﹣1）．故答案為：（﹣5，﹣1）．【點(diǎn)評】本題考查了關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)，熟記關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱的點(diǎn)的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)都互為相反數(shù)是解題的關(guān)鍵．10．（2分）關(guān)于x的一元二次方程x2﹣3x+m＝0有一個(gè)根是x＝1，則m＝2．【分析】把x＝1代入方程x2﹣3x+m＝0得1﹣3+m＝0，然后解關(guān)于m的方程即可．【解答】解：把x＝1代入方程x2﹣3x+m＝0得1﹣3+m＝0，解得m＝2．故答案為：2．【點(diǎn)評】本題考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解．11．（2分）為響應(yīng)國家號召打贏脫貧攻堅(jiān)戰(zhàn)，小明利用信息技術(shù)開了一家網(wǎng)絡(luò)商店，將家鄉(xiāng)的土特產(chǎn)銷往全國．今年6月份盈利12000元，8月份盈利27000元，求6月份到8月份盈利的月平均增長率．設(shè)6月份到8月份盈利的月平均增長率為x，根據(jù)題意，可列方程為12000（1+x）2＝27000．【分析】利用今年8月份的盈利＝今年6月份的盈利×（1+6月份到8月份盈利的月平均增長率）2，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，此題得解．【解答】解：依題意得12000（1+x）2＝27000，故答案為：12000（1+x）2＝27000．【點(diǎn)評】本題考查了由實(shí)際問題抽象出一元二次方程，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．12．（2分）拋物線y＝ax2+bx+c的對稱軸及部分圖象如圖所示，則關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的兩根為x1＝﹣1，x2＝3．【分析】根據(jù)拋物線的對稱性即可求解．【解答】解：根據(jù)圖象可得：圖象與x軸的一個(gè)交點(diǎn)是（﹣1，0），對稱軸是：x＝1，（﹣1，0）關(guān)于x＝1的對稱點(diǎn)是：（3，0），則拋物線與x軸的交點(diǎn)是：（﹣1，0）和（3，0），∴關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的兩根為：x1＝﹣1，x2＝3．故答案為：x1＝﹣1，x2＝3．【點(diǎn)評】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，理解二次函數(shù)與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是對應(yīng)的方程的解是解題關(guān)鍵．13．（2分）如圖，等邊△ABC繞頂點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)80°得到△ADE，連接BE，則∠ABE＝20°．【分析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和等腰三角形的判定和性質(zhì)定理即可得到結(jié)論．【解答】解：等邊△ABC繞頂點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)80°得到△ADE，∴∠BAC＝∠DAE＝60°，AB＝AC＝AE，∠BAD＝80°，∴∠BAE＝140°，∴∠ABE＝∠AEB＝×（180°﹣140°）＝20°，故答案為：20．【點(diǎn)評】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，四邊形內(nèi)角和定理，三角形內(nèi)角和定理等知識，掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是本題的關(guān)鍵．14．（2分）如圖，PA、PB與⊙O相切，切點(diǎn)分別為A、B．PA＝3，∠P＝60°，若AC為⊙O的直徑，則圓中陰影部分的面積為．【分析】根據(jù)三角形面積求法得出S△AOB＝S△OBC，進(jìn)而得出答案陰影部分的面積＝扇形OBC的面積，即可得出答案．【解答】解：∵PA、PB與⊙O相切，∴PA＝PB，∠PAO＝∠PBO＝90°∵∠P＝60°，∴△PAB為等邊三角形，∠AOB＝120°，∴AB＝PA＝3，∠OBC＝60°，∵OB＝OC，∴△OBC為等邊三角形，∴∠OCB＝60°，∵AC為⊙O的直徑，∴∠ABC＝90°，∴AB＝AC?sin∠ACB＝AC?sin60°，AC＝＝＝2，∴OB＝AC＝．∵OA＝OC，∴S△AOB＝S△OBC∴S陰影＝S扇形OBC＝＝，故答案為：．【點(diǎn)評】此題主要考查了三角形面積求法以及扇形面積求法，利用陰影部分的面積整理為一個(gè)規(guī)則圖形的面積是解題關(guān)鍵．15．（2分）十八世紀(jì)法國的博物學(xué)家C?布豐做過一個(gè)有趣的投針試驗(yàn)．如圖，在一個(gè)平面上畫一組相距為d的平行線，用一根長度為l（l＜d）的針任意投擲在這個(gè)平面上，針與直線相交的概率為，可以通過這一試驗(yàn)來估計(jì)π的近似值．某數(shù)學(xué)興趣小組利用計(jì)算機(jī)模擬布豐投針試驗(yàn)，取l＝d，得到試驗(yàn)數(shù)據(jù)如下表：試驗(yàn)次數(shù)15002000250030003500400045005000相交頻數(shù)4956237999541123126914341590相交頻率0.33000.31150.31960.31800.32090.31730.31870.3180可以估計(jì)出針與直線相交的概率為0.318（精確到0.001），由此估計(jì)π的近似值為3.14（精確到0.01）．【分析】根據(jù)頻率和概率的關(guān)系判斷即可．【解答】解：由題意可以估計(jì)出針與直線相交的概率為0.318，由此估計(jì)π的近似值為：≈3.14．故答案為：0.318；3.14．【點(diǎn)評】本題主要考查頻率與概率的知識，熟練掌握根據(jù)頻率估計(jì)概率的方法是解題的關(guān)鍵．16．（2分）如圖，在半圓O中，直徑AB＝4，C是半圓上一點(diǎn)，將弧AC沿弦AC折疊交AB于D，點(diǎn)E是弧AD的中點(diǎn)．連接OE，則OE的最小值為2﹣2．【分析】連接CE，OC，由三角形任意兩邊之差小于第三邊得，當(dāng)O、C、E共線時(shí)OE最小，設(shè)的弧度為x°，求出的弧度為90°，求出CE后再減去OC即可．【解答】解：連接CE，OC，由三角形任意兩邊之差小于第三邊得，當(dāng)O、C、E共線時(shí)OE最小，設(shè)的弧度為x°，∴的弧度為：（180﹣x）°，∵∠CAD＝∠CAB，∴的弧度為：（180﹣x）°，由折疊得，的弧度為x°，∴的弧度為：x°﹣（180﹣x）°＝（2x﹣180）°，∵點(diǎn)E為弧AD中點(diǎn)，∴的弧度為：（2x﹣180）°＝（x﹣90）°，∴的弧度為：（180﹣x）°+（x﹣90）°＝90°，即所對圓心角為90°，∵AB＝4，∴⊙O半徑為2，∴CE＝＝2，∴OE＝CE﹣OC＝2﹣2．故答案為：2﹣2．【點(diǎn)評】本題考查了圓的相關(guān)知識點(diǎn)的應(yīng)用，圖形折疊及三角形三邊關(guān)系的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．三、解答題（共68分，第17-22題，每題5分，第23-26題，每題6分，第27-28題，每題7分）。解答應(yīng)寫出文字說明、演算步驟或證明過程。17．（5分）解方程：x2+4x+3＝0．【分析】將方程左邊的多項(xiàng)式利用十字相乘法分解因式，然后利用兩數(shù)相乘積為0，兩因式中至少有一個(gè)為0轉(zhuǎn)化為兩個(gè)一元一次方程，求出一次方程的解即可得到原方程的解．【解答】解：x2+4x+3＝0，分解因式得：（x+1）（x+3）＝0，可得x+1＝0或x+3＝0，解得：x1＝﹣1，x2＝﹣3．【點(diǎn)評】此題考查了解一元二次方程﹣因式分解法，利用此方法解方程時(shí)，首先將方程右邊化為0，左邊化為積的形式，然后利用兩數(shù)相乘積為0，兩因式中至少有一個(gè)為0轉(zhuǎn)化為兩個(gè)一元一次方程來求解．18．（5分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y＝ax2+2x+c的部分圖象經(jīng)過點(diǎn)A（0，﹣3），B（1，0）．（1）求該拋物線的解析式；（2）結(jié)合函數(shù)圖象，直接寫出y＜0時(shí)，x的取值范圍．【分析】（1）通過待定系數(shù)法求解．（2）求出拋物線與x軸交點(diǎn)坐標(biāo)，通過拋物線開口向上求解．【解答】解：（1）將A（0，﹣3），B（1，0）代入y＝ax2+2x+c得，解得，∴y＝x2+2x﹣3．（2）令x2+2x﹣3＝0，解得x＝﹣3或x＝1，∴拋物線經(jīng)過（﹣3，0），（1，0），∵拋物線開口向上，∴y＜0時(shí)，﹣3＜x＜1．【點(diǎn)評】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是掌握待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，掌握二次函數(shù)與方程及不等式的關(guān)系．19．（5分）下面是小立設(shè)計(jì)的“過圓上一點(diǎn)作這個(gè)圓的切線”的尺規(guī)作圖過程．已知：⊙O及圓上一點(diǎn)A．求作：直線AB，使得AB為⊙O的切線，A為切點(diǎn)．作法：如圖2，①連接OA并延長到點(diǎn)C；②分別以點(diǎn)A，C為圓心，大于長為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)D（點(diǎn)D在直線OA上方）；③以點(diǎn)D為圓心，DA長為半徑作⊙D；④連接CD并延長，交⊙D于點(diǎn)B，作直線AB．直線AB就是所求作的直線．根據(jù)小立設(shè)計(jì)的尺規(guī)作圖過程，完成下面的證明．（說明：括號里填推理的依據(jù)）證明：連接AD．∵CD＝AD∴點(diǎn)C在⊙D上，∴CB是⊙D的直徑．∴∠BAC＝90°．（直徑所對的圓周角是90°）∴AB⊥AC．∵OA是⊙O的半徑，∴AB是⊙O的切線．（過半徑的外端且垂線于半徑的直線是圓的切線）【分析】根據(jù)題中的過程，結(jié)合圖形進(jìn)行合情推理．【解答】證明：如圖：連接AD，∵CD＝AD∴點(diǎn)C在⊙D上，∴CB是⊙D的直徑．∴∠BAC＝90°（直徑所對的圓周角是90°），∴AB⊥AC，∵OA是⊙O的半徑，∴AB是⊙O的切線，（過半徑的外端且垂線于半徑的直線是圓的切線），故答案為：CD，∠BAC，直徑所對的圓周角是90°，OA，過半徑的外端且垂線于半徑的直線是圓的切線．【點(diǎn)評】本題考查了作圖的證明，掌握圓的切線的判定是解題的關(guān)鍵．20．（5分）圓管涵是公路路基排水中常用的涵洞結(jié)構(gòu)類型，它不僅力學(xué)性能好，而且構(gòu)造簡單、施工方便．某水平放置的圓管涵圓柱形排水管道的截面是直徑為1m的圓，如圖所示，若水面寬AB＝0.8m，求水的最大深度．【分析】過點(diǎn)O作OC⊥AB于點(diǎn)C，連接OA，根據(jù)垂徑定理得到AC＝0.4，再在Rt△ACO中，根據(jù)勾股定理可求出OC，進(jìn)而即可求解．【解答】解：如圖，作OC⊥AB于點(diǎn)C，連接OA，∵∠ACO＝90°，，∵AB＝0.8，∴AC＝0.4，在Rt△ACO中，根據(jù)勾股定理，得，∴0.3+0.5＝0.8，∴水的最大深度為0.8m．【點(diǎn)評】此題主要考查了垂徑定理的應(yīng)用，以及勾股定理，熟練掌握定理是解題的關(guān)鍵．21．（5分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，△OAB的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為O（0，0），A（5，0），B（4，﹣3），將△OAB繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△OA'B'，點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)后的對應(yīng)點(diǎn)為A′．（1）畫出旋轉(zhuǎn)后的圖形△OA′B′，并寫出點(diǎn)A′的坐標(biāo)；（2）求出點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)到B′的路徑長．【分析】（1）將點(diǎn)A、B分別繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到對應(yīng)點(diǎn)，再與點(diǎn)O順次連接即可，根據(jù)圖形得出A'坐標(biāo)；（2）根據(jù)弧長公式求解即可．【解答】解：（1）如圖1所示，△OA'B'即為所求，此時(shí)A'（0，﹣5）；（2）由圖知，∠AOA′＝90°，OB＝＝5，∴點(diǎn)B在旋轉(zhuǎn)過程中所走過的路徑長BB′＝＝．【點(diǎn)評】本題考查作圖﹣旋轉(zhuǎn)變換，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)及弧長公式是解題的關(guān)鍵．22．（5分）某中學(xué)開展“歌唱祖國紅歌比賽”活動，七年級一班、二班都從：“A．《歌唱祖國》、B．《我和我的祖國》、C．《唱支山歌給黨聽》、D．《保衛(wèi)黃河》”四首歌中任意選擇一首作為參賽曲目．（1）七年級一班恰好抽到歌曲C的概率為；（2）比賽規(guī)定：各班歌唱不同歌曲，一班先隨機(jī)抽取一首歌曲，不放回；二班再從剩余的歌曲中隨機(jī)抽取一首，求出兩個(gè)班恰好抽到B、C歌曲的概率．【分析】（1）直接根據(jù)概率公式求解即可；（2）列表得出所有等可能結(jié)果，從中找到符合條件的結(jié)果數(shù)，再根據(jù)概率公式求解即可．【解答】解：（1）七年級一班恰好抽到歌曲C的概率為，故答案為：；（2）列表如下：ABCDA（B，A）（C，A）（D，A）B（A，B）（C，B）（D，B）C（A，C）（B，C）（D，C）D（A，D）（B，D）（C，D）共有12種等可能的結(jié)果，兩個(gè)班恰好抽到B、C歌曲的結(jié)果有2種，∴兩個(gè)班恰好抽到B、C歌曲的概率為．【點(diǎn)評】本題考查的是用列表法或畫樹狀圖法求概率．注意列表法或畫樹狀圖法可以不重復(fù)不遺漏的列出所有可能的結(jié)果，列表法適合于兩步完成的事件，樹狀圖法適合兩步或兩步以上完成的事件．用到的知識點(diǎn)為：概率＝所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．23．（6分）已知關(guān)于x的一元二次方程x2﹣4x+2m﹣1＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．（1）求m的取值范圍；（2）若m為正整數(shù)，且該方程的根都是整數(shù)，求m的值．【分析】（1）根據(jù)題意得出Δ＞0，代入求出即可；（2）求出m＝1或2，代入后求出方程的解，即可得出答案．【解答】解：（1）∵依題意，得Δ＝16﹣4（2m﹣1）＞0．∴m＜，即m的取值范圍是m＜；（2）∵m為正整數(shù)，∴m＝1或2，當(dāng)m＝1時(shí)，方程為x2﹣4x+1＝0的根不是整數(shù)；當(dāng)m＝2時(shí)，方程為x2﹣4x+3＝0的根x1＝1，x2＝3，都是整數(shù)．綜上所述，m＝2．【點(diǎn)評】本題考查了根的判別式和解一元二次方程，能根據(jù)題意求出m的值和m的范圍是解此題的關(guān)鍵．24．（6分）圖1是某農(nóng)戶的種植日光溫室，其橫截面如圖2所示，一般由五部分組成．（注：1．前屋面（塑料頂棚），2．防寒溝，3．草簾，4．后屋面，5．北墻）現(xiàn)在以塑料頂棚橫截面與地面的交點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)O，地面所在的水平線OA所在直線為x軸，過點(diǎn)O垂直于OA的直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，記頂棚某點(diǎn)距點(diǎn)O的水平距離為x米，距離地面的高度為y米，測量出如下數(shù)據(jù)：x/米01234567…y/米01.122.73.23.53.63.5…請根據(jù)所給信息解決以下問題：（1）如圖，在網(wǎng)格中建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，根據(jù)已知數(shù)據(jù)描點(diǎn)，并用平滑的曲線連接；（2）請結(jié)合表中所給數(shù)據(jù)或所畫圖象，求出塑料頂棚所在曲線的解析式以及頂棚最高點(diǎn)距離地面的高度（不用寫出x的取值范圍）；（3）設(shè)前屋面與后屋面的交點(diǎn)為B，已知B點(diǎn)距離地面3.3米，求點(diǎn)B距離點(diǎn)O的水平距離．【分析】（1）根據(jù)表格畫出圖象即可；（2）用待定系數(shù)法可得解析式；（3）令y＝3.3解出x的值可得答案．【解答】解：（1）如圖：（2）由已知可得，塑料頂棚所在曲線為拋物線，頂點(diǎn)為（6，3.6），設(shè)塑料頂棚所在曲線解析式為y＝a（x﹣6）2+3.6，把（0，0）代入得：36a+3.6＝0，解得a＝﹣0.1，∴y＝﹣0.1（x﹣6）2+3.6；頂棚最高點(diǎn)距離地面的高度為3.6米；（3）在y＝﹣0.1（x﹣6）2+3.6中，令y＝3.3得：3.3＝﹣0.1（x﹣6）2+3.6，解得x＝6+或x＝6﹣（不符合題意，舍去），∴點(diǎn)B距離點(diǎn)O的水平距離為（6+）米．【點(diǎn)評】本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，列出函數(shù)關(guān)系式．25．（6分）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，在AC上取一點(diǎn)D，以AD為直徑作⊙O，與AB相交于點(diǎn)E，作線段BE的垂直平分線MN交BC于點(diǎn)N，連接EN．（1）求證：EN是⊙O的切線；（2）若AC＝3，BC＝4，⊙O的半徑為1，求線段EN的長．【分析】（1）根據(jù)線段的垂直平分線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)以及直角三角形的兩銳角互余得出∠NEM+∠AEO＝90°即可；（2）利用線段中垂線的性質(zhì)以及勾股定理列方程求解即可．【解答】（1）證明：如圖，連接OE，∵OA＝OE，∴∠OAE＝∠OEA，∵M(jìn)N是AB的中垂線，∴NE＝NB，∴∠B＝∠NEB，∵△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°，∴∠B+∠A＝90°，∴∠NEB+∠OEA＝90°，∴∠OEN＝180°﹣90°＝90°，即OE⊥EN，∵OE是半徑，∴EN是⊙O的切線；（2）解：如圖，連接ON，∵M(jìn)N是BE的中垂線，∴NE＝NB，設(shè)EN＝x＝BN，在Rt△CON中，ON2＝OC2+CN2，在Rt△OEN中，ON2＝OE2+EN2，∴OC2+CN2＝OE2+EN2，即（3﹣1）2+（4﹣x）2＝12+x2，解得x＝，即EN＝．【點(diǎn)評】本題考查切線的判定，線段的中垂線以及直角三角形的邊角關(guān)系，掌握切線的判定方法，線段中垂線的性質(zhì)以及勾股定理是正確解答的前提．26．（6分）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝ax2﹣（a+2）x+2經(jīng)過點(diǎn)A（﹣2，t），B（m，p）．（1）若t＝0，①求此拋物線的對稱軸；②當(dāng)p＜t時(shí)，直接寫出m的取值范圍；（2）若t＜0，點(diǎn)C（n，q）在該拋物線上，m＜n且3m+3n≤﹣4，請比較p，q的大小，并說明理由．【分析】（1）①當(dāng)t＝0時(shí)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣2，0），將其代入函數(shù)解析式中解得a＝﹣1，則函數(shù)解析式為拋物線的解析式為y＝﹣x2﹣x+2，再根據(jù)求對稱軸的公式即可求解；②令y＝0，求出拋物線與x軸交于（﹣2，0）和（1，0），由題意可得p＜0，則點(diǎn)B在x軸的下方，以此即可解答；（2）將點(diǎn)A坐標(biāo)代入函數(shù)解析式，通過t＜0可得a的取值范圍，從而可得拋物線開口方向及對稱軸，根據(jù)點(diǎn)B，C到對稱軸的距離大小關(guān)系求解．【解答】解：（1）當(dāng)t＝0時(shí)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣2，0），∵拋物線y＝ax2﹣（a+2）x+2經(jīng)過點(diǎn)A（﹣2，0），∴4a+2（a+2）+2＝0，∴a＝﹣1，∴拋物線的解析式為y＝﹣x2﹣x+2，∴拋物線的對稱軸為直線x＝﹣＝﹣；②令y＝0，則﹣x2﹣x+2＝0，解得：x1＝1，x2＝﹣2，∴拋物線與x軸交于（﹣2，0）和（1，0），∵點(diǎn)A（﹣2，0），B（m，p），且p＜0，∴點(diǎn)B（m，p）在x軸的下方，∴m＜﹣2或m＞1．（2）p＜q，理由如下：將（﹣2，t）代入y＝ax2﹣（a+2）x+2得t＝4a+2（a+2）+2＝6a+6，∵t＜0，∴6a+6＜0，∴a＜﹣1，∴拋物線開口向下，∵拋物線對稱軸為直線x＝﹣＝+，∵a＜﹣1，∴﹣1＜＜0，∴﹣+＜，∵m＜n且3m+3n≤﹣4，∴≤﹣＜﹣，∴點(diǎn)B（m，p）到對稱軸的距離大于點(diǎn)C（n，q）到對稱軸的距離，∴p＜q．【點(diǎn)評】本題考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，解題關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)的性質(zhì)，掌握二次函數(shù)與方程及不等式的關(guān)系．27．（7分）在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，點(diǎn)D為直線AC上一個(gè)動點(diǎn)（點(diǎn)D不與點(diǎn)A，C重合），連接BD，將線段BD繞D點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得線段DE，連接CE．（1）如圖1，若點(diǎn)D在線段AC上．①依題意補(bǔ)全圖1；②用等式表示線段CB，CD，CE之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；（2）若點(diǎn)D在線段CA的延長線上，且AD＜AC，設(shè)BC＝m，BD＝n，直接寫出CE的長（用含m，n的式子表示）．【分析】（1）①由題意畫出圖形即可；②過點(diǎn)E作EF⊥AC交AC的延長線于F，證明△EDF≌△DBA（AAS），由全等三角形的性質(zhì)得出EF＝AD，DF＝AB，由等腰直角三角形的性質(zhì)得出結(jié)論；（2）過點(diǎn)E作EF⊥AC于F，證明△EDF≌△DBA（AAS），得出EF＝AD，DF＝AB，由等腰直角三角形的性質(zhì)及勾股定理得出答案．【解答】解：（1）①如圖，補(bǔ)全圖形如下：②CE+CD＝BC．證明：過點(diǎn)E作EF⊥AC交AC的延長線于F，∴∠F＝90°＝∠BAC，由旋轉(zhuǎn)知，DE＝BD，∠BDE＝90°，∴∠EDF+∠ADB＝90°，∵∠BAC＝90°，∴∠DBA+∠ADB＝90°，∴∠EDF＝∠DBA，∴△EDF≌△DBA（AAS），∴EF＝AD，DF＝AB，∵AB＝AC＝CD+AD，∴DF＝CD+AD，∵DF＝CF+CD，∴CF＝AD＝EF，∴AD＝CE，∴CE+CD＝BC，即CE+CD＝BC．（2）如圖，過點(diǎn)E作EF⊥AC于F，∴∠DFE＝90°＝∠BAC＝∠DAB，由旋轉(zhuǎn)知，DE＝BD，∠BDE＝90°，∴∠EDF+∠ADB＝90°，∵∠DAB＝90°，∴∠DBA+∠ADB＝90°，∴∠EDF＝∠DBA，∴△EDF≌△DBA（AAS），∴EF＝AD，DF＝AB，∵AB＝AC＝CF+AF，∴DF＝CF+AF，∵DF＝AD+AF，∴CF＝A