安徽省安慶市九一六學(xué)校2024-2025學(xué)年高一數(shù)學(xué)下學(xué)期3月月考試題

PAGEPAGE9安徽省安慶市九一六學(xué)校2024-2025學(xué)年高一數(shù)學(xué)下學(xué)期3月月考試題考試時(shí)間：120分鐘一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分)1．設(shè)O是△ABC的外心，則eq\o(AO,\s\up6(→))，eq\o(BO,\s\up6(→))，eq\o(CO,\s\up6(→))是()A．相等向量B．模相等的向量C．平行向量D．起點(diǎn)相同的向量2．設(shè)向量，均為單位向量，且||＝1，與的夾角θ為()A.eq\f(π,3)B.eq\f(π,2)C.eq\f(2π,3) D.eq\f(3π,4)3．已知，為平面對(duì)量，且＝(4,3)，2＋＝(3,18)，則，夾角的余弦值等于()A.eq\f(8,65)B．－eq\f(8,65)C.eq\f(16,65) D．－eq\f(16,65)4．已知||＝3，||＝5，＝12，則向量在向量上的投影向量的模為()A.eq\f(12,5)B．3C．4 D．55．在△ABC中，已知D是邊AB上一點(diǎn)，若eq\o(AD,\s\up6(→))＝2eq\o(DB,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(CB,\s\up6(→))，則＝()A.eq\f(1,3)B.eq\f(2,3)C.eq\f(1,2) D.eq\f(3,4)6．在則（）A．B．C．D．7．在中，角所對(duì)的邊分別為，則的周長為（）A．B．C．D．8．如圖所示，海平面上的甲船位于中心O的南偏西30°，與O相距15海里的C處．現(xiàn)甲船以35海里/時(shí)的速度沿直線CB去營救位于中心O正東方向25海里的B處的乙船，則甲船到達(dá)B處須要的時(shí)間為()A.eq\f(1,2)小時(shí)B．1小時(shí)C.eq\f(3,2)小時(shí) D．2小時(shí)9．在平行四邊形ABCD中，AC與BD交于點(diǎn)O，F(xiàn)是線段DC上的點(diǎn)．若DC＝3DF，設(shè)eq\o(AC,\s\up6(→))＝a，eq\o(BD,\s\up6(→))＝b，則eq\o(AF,\s\up6(→))＝()A.eq\f(1,4)a＋eq\f(1,2)bB．eq\f(2,3)a＋eq\f(1,3)bC.eq\f(1,2)a＋eq\f(1,4)b D．eq\f(1,3)a＋eq\f(2,3)b10.在△ABC中，分別為角的對(duì)邊，，且sin2eq\f(A,2)＝eq\f(c－b,2c)，則△ABC的形態(tài)為()A．等邊三角形 B．等腰直角三角形C．等腰三角形 D．直角三角形11.已知點(diǎn)P是邊長為2的正六邊形ABCDEF內(nèi)的一點(diǎn)，則的取值范圍為（）A.（-2，6）B.(-6,2)C.(-2,4)D.(-4,6)12．在△ABC中，點(diǎn)D滿意BD＝eq\f(3,4)BC，當(dāng)E點(diǎn)在線段AD上移動(dòng)時(shí)，若eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))，則＝(－1)2＋的最小值是()A.eq\f(3\r(10),10)B.eq\f(\r(82),4)C.eq\f(9,10) D.eq\f(41,8)二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分)13．在中，則=．14.設(shè)點(diǎn)A(－1，2)，B(2，3)，C(3，－1)，且eq\o(AD,\s\up6(→))＝2eq\o(AB,\s\up6(→))－3eq\o(BC,\s\up6(→))，則點(diǎn)D的坐標(biāo)為．15.在△ABC中，AB＝7，AC＝6，M是BC的中點(diǎn)，AM＝4，則BC等于．16.在中，分別為角的對(duì)邊，若，則的取值范圍為．三、解答題(本大題共6小題，共70分)17．(本小題滿分10分)已知是同一平面內(nèi)的三個(gè)向量，其中＝(1,2)．(1)若||＝2eq\r(5)，且∥，求的坐標(biāo)；(2)若||＝eq\r(10)，且與垂直，求與的夾角θ.18．(本小題滿分12分).設(shè)向量a,b滿意||=||=1及|3-2|=.(1)求，夾角的大小.(2)求|3+|的值.19．(本小題滿分12分)在△ABC中，AC＝6，cosB＝eq\f(4,5)，C＝eq\f(π,4).(1)求AB的長；(2)求coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A－\f(π,6)))的值．20.(本小題滿分12分）已知，是平面內(nèi)兩個(gè)不共線的非零向量，eq\o(AB,\s\up6(→))＝2+eq\o(BE,\s\up6(→))＝－＋，eq\o(EC,\s\up6(→))＝－2＋，且A，E，C三點(diǎn)共線．(1)求實(shí)數(shù)的值；(2)若＝(2，1)，＝(2，－2)，求eq\o(BC,\s\up6(→))的坐標(biāo)；(3)已知點(diǎn)D(3，5)，在(2)的條件下，若A，B，C，D四點(diǎn)按逆時(shí)針依次構(gòu)成平行四邊形，求點(diǎn)A的坐標(biāo)．21.（本小題滿分12分）設(shè)的內(nèi)角所對(duì)的邊分別為且．（Ⅰ）求角的大??；（Ⅱ）若，求的周長的取值范圍． 22.(本小題滿分12分)已知＝()=()，且|＋|＝eq\r(3)|－|(k>0)．(1)用表示；(2)求的最小值，并求出此時(shí)與的夾角θ.

3月月考答案1B，2C，3C，4A，5B，6B，7C,8B,9B,10D,11A,12C13,14,(2,16)15,16,(1,3)17.已知a，b，c是同一平面內(nèi)的三個(gè)向量，其中a＝(1,2)．(1)若|b|＝2eq\r(5)，且a∥b，求b的坐標(biāo)；(2)若|c|＝eq\r(10)，且2a＋c與4a－3c垂直，求a與c的夾角θ.解：(1)設(shè)b＝(x，y)，因?yàn)閍∥b，所以y＝2x.①又|b|＝2eq\r(5)，所以x2＋y2＝20.②由①②聯(lián)立，解得b＝(2,4)或b＝(－2，－4)．(2)由(2a＋c)⊥(4a－3c)，得(2a＋c)·(4a－3c)＝8a2－3c2－2a·c＝0，由|a|＝eq\r(5)，|c|＝eq\r(10)，解得a·c＝5，所以cosθ＝eq\f(a·c,|a||c|)＝eq\f(\r(2),2)，θ∈[0，π]18.設(shè)向量a,b滿意|a|=|b|=1及|3a-2b|=.(1)求a,b夾角的大小.(2)求|3a+b|的值.【解析】(1)設(shè)a與b夾角為θ,因?yàn)橄蛄縜,b滿意|a|=|b|=1及|3a-2b|=,所以9a2+4b2-12a·b=7,所以9×1+4×1-12×1×1×cosθ=7,所以cosθ=.又θ∈[0,π],所以a與b夾角為.(2)因?yàn)?=19.(本小題滿分12分)在△ABC中，AC＝6，cosB＝eq\f(4,5)，C＝eq\f(π,4).(1)求AB的長；(2)求coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A－\f(π,6)))的值．解：因?yàn)閏osB＝eq\f(4,5)＞0，所以0<B<π，所以sinB＝eq\r(1－cos2B)＝eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)))\s\up12(2))＝eq\f(3,5)，由正弦定理知eq\f(AC,sinB)＝eq\f(AB,sinC)，所以AB＝eq\f(AC·sinC,sinB)＝eq\f(6×\f(\r(2),2),\f(3,5))＝5eq\r(2).(2)在三角形ABC中A＋B＋C＝π，所以A＝π－(B＋C)．于是cosA＝－cos(B＋C)＝－coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(B＋\f(π,4)))＝－cosBcoseq\f(π,4)＋sinBsineq\f(π,4)，又cosB＝eq\f(4,5)，sinB＝eq\f(3,5)，故cosA＝－eq\f(4,5)×eq\f(\r(2),2)＋eq\f(3,5)×eq\f(\r(2),2)＝－eq\f(\r(2),10)，因?yàn)?<A<π，所以sinA＝eq\r(1－cos2A)＝eq\f(7\r(2),10).因此coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A－\f(π,6)))＝cosAcoseq\f(π,6)＋sinA·sineq\f(π,6)＝－eq\f(\r(2),10)×eq\f(\r(3),2)＋eq\f(7\r(2),10)×eq\f(1,2)＝eq\f(7\r(2)－\r(6),20).20.(本小題滿分12分)已知e1，e2是平面內(nèi)兩個(gè)不共線的非零向量，eq\o(AB,\s\up6(→))＝2e1＋e2，eq\o(BE,\s\up6(→))＝－e1＋λe2，eq\o(EC,\s\up6(→))＝－2e1＋e2，且A，E，C三點(diǎn)共線．(1)求實(shí)數(shù)λ的值；(2)若e1＝(2，1)，e2＝(2，－2)，求eq\o(BC,\s\up6(→))的坐標(biāo)；(3)已知點(diǎn)D(3，5)，在(2)的條件下，若A，B，C，D四點(diǎn)按逆時(shí)針依次構(gòu)成平行四邊形，求點(diǎn)A的坐標(biāo)．解：(1)eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BE,\s\up6(→))＝(2e1＋e2)＋(－e1＋λe2)＝e1＋(1＋λ)e2.因?yàn)锳，E，C三點(diǎn)共線，所以存在實(shí)數(shù)k，使得eq\o(AE,\s\up6(→))＝keq\o(EC,\s\up6(→))，即e1＋(1＋λ)e2＝k(－2e1＋e2)，得(1＋2k)e1＝(k－1－λ)e2.因?yàn)閑1，e2是平面內(nèi)兩個(gè)不共線的非零向量，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1＋2k＝0，,k－1－λ＝0，))解得k＝－eq\f(1,2)，λ＝－eq\f(3,2).(2)eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(BE,\s\up6(→))＋eq\o(EC,\s\up6(→))＝－3e1－eq\f(1,2)e2＝(－6，－3)＋(－1，1)＝(－7，－2)．(3)因?yàn)锳，B，C，D四點(diǎn)按逆時(shí)針依次構(gòu)成平行四邊形，所以eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→)).設(shè)A(x，y)，則eq\o(AD,\s\up6(→))＝(3－x，5－y)．因?yàn)閑q\o(BC,\s\up6(→))＝(－7，－2)，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3－x＝－7，,5－y＝－2，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝10，,y＝7，))即點(diǎn)A的坐標(biāo)為(10，7)．21．（本小題滿分12分）設(shè)的內(nèi)角所對(duì)的邊分別為且．（Ⅰ）求角的大?。唬á颍┤?，求的周長的取值范圍．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）【解析】試題分析：（Ⅰ）由余弦定理可得整理可得，所以可得；（Ⅱ）只需求得的范圍，因?yàn)椋?，即由不等式可得即可求得的范圍試題解析：解法一：（Ⅰ）∵，∴由余弦定理，得，∴，∴，∴，則，∵，∴．（Ⅱ），∴∴∴．∴．又∵，∴的周長．解法二：（Ⅰ）∵，∴由正弦定理得：，∴，∴，∵，∴．∵，∴．（Ⅱ）∵，∴．由正弦定理，得，∴，同理可得，∵，∴，∴，∴，故的周長．22.已知a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)，且|ka＋b|＝eq\r(3)|a－kb|(k>0)．(1)用k表示a·b；(2)求a·b的最小值，并求出此時(shí)a與b的夾角θ.解：(1)由|ka＋b|＝eq\r(3)|a－kb|，得(ka＋b)2＝3(a－kb)2，∴k2a2＋2ka·b＋b2＝3a2－6ka·b＋3k2b2.∴(k2－3)a2＋8ka·b＋(1－3k2)b2＝0.∵|a|＝eq\r(cos2α＋sin2α)＝1，|b|＝eq\r(cos2β＋sin2β)＝1，∴k2－3＋8ka·b＋1－3k2＝0，∴a·b＝eq\f(2k2＋2,8k)＝eq\f(k2＋1,4k).(2)由(1)知，a·b＝eq\f(k2