遼寧省大連市莊河市20242024學(xué)年高三數(shù)學(xué)上學(xué)期12月月考試題A卷

Page5遼寧省莊河市2024-2025學(xué)年度第一學(xué)期12月月考高三數(shù)學(xué)A一、選擇題；本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．若復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部相等，其中是實(shí)數(shù)，則A． B． C． D．2．江寧為“六代豪華”之地、“十朝京畿”要地，享有“天下望縣、國(guó)中首善之地”的美譽(yù)．江寧區(qū)的漂亮鄉(xiāng)村示范區(qū)依據(jù)“一村一品、一村一景、一村一業(yè)、一村一韻”要求，打造了十大漂亮鄉(xiāng)村，其中黃龍規(guī)村、大塘金村、周村、石塘村全國(guó)出名．現(xiàn)支配甲、乙、丙、丁、戊5名同學(xué)前往以上四個(gè)村考察鄉(xiāng)村文化，每一位同學(xué)只去一個(gè)村，每個(gè)村至少去一人，則全部的支配方案總數(shù)為（

）A．96 B．480 C．240 D．1203．設(shè)、為銳角，，，則為（

）A． B． C．或 D．以上都不對(duì)4．定義在R上的奇函數(shù)f（x），當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）=，則關(guān)于x的函數(shù)F（x）=f（x）﹣a（0＜a＜1）的全部零點(diǎn)之和為A．3a﹣1 B．1﹣3a C．3﹣a﹣1 D．1﹣3﹣a5．李雷和韓梅梅兩人都支配在國(guó)慶節(jié)的7天假期中，到“東亞文化之都--泉州”“二日游”，若他們不同一天出現(xiàn)在泉州，則他們出游的不同方案共有A．16種 B．18種 C．20種 D．24種6．已知定義在上的函數(shù)在上是增函數(shù)，若是奇函數(shù)，且，則不等式的解集是．A． B．C． D．7．已知點(diǎn)在橢圓上，若點(diǎn)為橢圓的右頂點(diǎn)，且（為坐標(biāo)原點(diǎn)），則橢圓的離心率的取值范圍是（

）A． B． C． D．8．已知數(shù)列滿意，則A．當(dāng)時(shí)，則 B．當(dāng)時(shí)，則C．當(dāng)時(shí)，則 D．當(dāng)時(shí)，則二、選擇題；本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得2分．9．下列說(shuō)法正確的是（

）A．為了更好地開(kāi)展創(chuàng)文創(chuàng)衛(wèi)工作，須要對(duì)在校中小學(xué)生參與社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)的意向進(jìn)行調(diào)查，擬采納分層抽樣的方法從該地區(qū)ABCD四個(gè)學(xué)校中抽取一個(gè)容量為400的樣本進(jìn)行調(diào)查，已知ABCD四校人數(shù)之比為7∶4∶3∶6，則應(yīng)從B校中抽取的樣本數(shù)量為80B．6件產(chǎn)品中有4件正品，2件次品，從中任取2件，則至少取到1件次品的概率為0.6C．已知變量x、y線性相關(guān)，由樣本數(shù)據(jù)算得線性回來(lái)方程是，且由樣本數(shù)據(jù)算得，則D．箱子中有4個(gè)紅球、2個(gè)白球共6個(gè)小球，依次不放回地抽取2個(gè)小球，記事務(wù)M={第一次取到紅球}，N={其次次取到白球}，則M、N為相互獨(dú)立事務(wù)10．懸鏈線指的是一種曲線，指兩端固定的一條（粗細(xì)與質(zhì)量分布）勻稱、松軟（不能伸長(zhǎng)）的鏈條，在重力的作用下所具有的曲線形態(tài)，例如懸索橋等，因其與兩端固定的繩子在勻稱引力作用下下垂相像而得名．適當(dāng)選擇坐標(biāo)系后，懸鏈線的方程是一個(gè)雙曲余弦函數(shù)，其標(biāo)準(zhǔn)方程為（，其中a為非零常數(shù)，e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）．當(dāng)a＝1時(shí)，記，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．B．是周期函數(shù)C．的導(dǎo)函數(shù)是奇函數(shù)D．在上單調(diào)遞減11．球面幾何學(xué)是幾何學(xué)的一個(gè)重要分支，在航海?航空?衛(wèi)星定位等方面都有廣泛的應(yīng)用，如圖，A，B，C是球面上不在同一個(gè)大圓上的三點(diǎn)，經(jīng)過(guò)這三個(gè)點(diǎn)中隨意兩點(diǎn)的大圓的劣弧分別為，，，由這三條劣弧圍成的球面圖形稱為球面△ABC.已知R為地球半徑，N為北極點(diǎn)，P，Q是地球表面上的兩點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的有（

）A．若P，Q在赤道上，且，則三棱錐O-NPQ的體積為B．若P，Q在赤道上，且，則球面△NPQ的面積為C．若，則球面△NPQ的面積為D．若，則由球面△NPQ，平面OPN，平面OQN及平面OPQ所圍成的幾何體的體積為12．已知函數(shù)，若正實(shí)數(shù)滿意，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．在函數(shù)上存在點(diǎn)，使得函數(shù)過(guò)該點(diǎn)的切線與只有一個(gè)交點(diǎn)B．過(guò)點(diǎn)可作兩條切線與函數(shù)相切C．D．的值與2的關(guān)系不確定三、填空題；本題共4小題，每小題5分，共20分13．由正整數(shù)組成的數(shù)列，分別為遞增的等差數(shù)列、等比數(shù)列，，記，若存在正整數(shù)（）滿意，，則__________．14．已知單位向量?jī)蓛傻膴A角均為，若空間向量滿意，則有序?qū)崝?shù)組稱為向量在“仿射”坐標(biāo)系為坐標(biāo)原點(diǎn))下的“仿射”坐標(biāo)，記作.已知，，則__________．15．已知三棱柱的側(cè)棱與底面垂直，，，則三棱柱的外接球的體積為_(kāi)__________．16．若對(duì)隨意正實(shí)數(shù)x，y，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是___________．四、解答題；本題共6個(gè)小題，共70分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟．17．已知向量，，其中（1）若，求函數(shù)的最小值及相應(yīng)的的值；（2）若與的夾角為，且，求的值．18．已知等差數(shù)列滿意：，的前項(xiàng)和為.（1）求及；（2）令，求數(shù)列的前項(xiàng)和.19．如圖，直三棱柱的底面是正三角形，分別是的中點(diǎn).證明：（1）平面平面；（2）平面平面.20．在一次抽樣調(diào)查中測(cè)得樣本的5個(gè)樣本點(diǎn)，數(shù)值如下表：0.250.51241612521（1）依據(jù)散點(diǎn)圖推斷,哪一個(gè)相宜作為關(guān)于的回來(lái)方程類(lèi)型？（給出推斷即可，不必說(shuō)明理由）（2）依據(jù)（1）的推斷結(jié)果試建立與之間的回來(lái)方程．（留意或計(jì)算結(jié)果保留整數(shù)）（3）由（2）中所得設(shè)z=+且，試求z的最小值．參考數(shù)據(jù)及公式如下：，，21．已知?jiǎng)訄A既與圓：外切，又與圓：內(nèi)切，求動(dòng)圓的圓心的軌跡方程.22．已知函數(shù).(1)若曲線在點(diǎn)處的切線與直線垂直,求的值;(2)當(dāng)時(shí),試問(wèn)曲線與直線是否有公共點(diǎn)?假如有,求出全部公共點(diǎn);若沒(méi)有,請(qǐng)說(shuō)明理由.參考答案1．A整理復(fù)數(shù)成，實(shí)部與虛部相等列方程求解．由題可知==，又復(fù)數(shù)實(shí)部與虛部相等，所以，故選A．本題考查了復(fù)數(shù)學(xué)問(wèn)及復(fù)數(shù)運(yùn)算，利用復(fù)數(shù)相關(guān)學(xué)問(wèn)列方程求解．2．C先5人分成4組，其中一組2人，再安排到4個(gè)不同的村子即可.依據(jù)題意，5個(gè)同學(xué)分4組，其中一組有2名同學(xué)，共有種不同的分組方法，再支配4組同學(xué)去4個(gè)不同的村子，共有種不同的支配方法，由分步乘法計(jì)數(shù)原理可得，故選：C.3．A利用sin2α+cos2α＝1可求得cosα，同理可求得cosβ，再由兩角和與差的余弦函數(shù)求得α+β的余弦，從而可求得α+β．、為銳角，且，，∴，，∴，又、為銳角，所以，∴．故選A本題考查sin2α+cos2α＝1的應(yīng)用，考查兩角和與差的余弦，考查運(yùn)算實(shí)力，屬于中檔題．4．B試題分析：利用奇偶函數(shù)得出當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）=，x≥0時(shí)，f（x）=，畫(huà)出圖象，依據(jù)對(duì)稱性得出零點(diǎn)的值滿意x1+x2，x4+x5的值，關(guān)鍵運(yùn)用對(duì)數(shù)求解x3=1﹣3a，整體求解即可．解：∵定義在R上的奇函數(shù)f（x），∴f（﹣x）=﹣f（x），∵當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）=，∴當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）=，得出x＜0時(shí)，f（x）=畫(huà)出圖象得出：如圖從左向右零點(diǎn)為x1，x2，x3，x4，x5，依據(jù)對(duì)稱性得出：x1+x2=﹣4×2=﹣8，x4+x5=2×4=8，﹣log（﹣x3+1）=a，x3=1﹣3a，故x1+x2+x3+x4+x5=﹣8+1﹣3a+8=1﹣3a，故選B考點(diǎn)：函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系．5．C分析：依據(jù)分類(lèi)計(jì)數(shù)原理，“東亞文化之都﹣﹣泉州”“二日游”，隨意相鄰兩天組合一起，一共有6種狀況，如①②，②③，③④，④⑤，⑤⑥，⑥⑦，分兩種狀況探討即可．詳情：隨意相鄰兩天組合一起，一共有6種狀況，如①②，②③，③④，④⑤，⑤⑥，⑥⑦，若李雷選①②或⑥⑦，則韓梅梅有4種選擇，選若李雷選②③或③④或④⑤或⑤⑥，則韓梅梅有3種選擇，故他們不同一天出現(xiàn)在泉州，則他們出游的不同方案共有2×（4+6）=20，故答案為C點(diǎn)睛：本題主要考查計(jì)數(shù)原理，意在考查計(jì)數(shù)原理等基礎(chǔ)學(xué)問(wèn)的駕馭實(shí)力和分類(lèi)探討思想的運(yùn)用實(shí)力.6．C依據(jù)是奇函數(shù)，確定函數(shù)圖象的對(duì)稱中心為，再依據(jù)函數(shù)在上是增函數(shù)，確定函數(shù)在上為增函數(shù)，由以及函數(shù)的對(duì)稱性，得出.畫(huà)出函數(shù)圖象的草圖，結(jié)合圖象確定不等式的解集.是奇函數(shù).函數(shù)圖象的對(duì)稱中心為．函數(shù)圖象的對(duì)稱中心為且．又函數(shù)在上是增函數(shù).函數(shù)在上為增函數(shù)..由對(duì)稱性，．畫(huà)出函數(shù)圖象的草圖（如圖）．結(jié)合圖象可得的解集是．故選C．本題考查函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性及其簡(jiǎn)潔應(yīng)用，發(fā)展了學(xué)生的直觀想象的核心素養(yǎng)，屬于中檔題.7．C依據(jù)平面對(duì)量的數(shù)量積運(yùn)算得出的關(guān)系，代入橢圓方程，整理得出關(guān)于的方程，利用方程有解可建立關(guān)系求解.由題可知，設(shè)，，則，，，，代入橢圓，可得有解，令，，，，且對(duì)稱軸滿意，即，，，又，.故選：C.8．C依次推斷每個(gè)選項(xiàng)的正誤，得到答案.即當(dāng)時(shí)，，故，A錯(cuò)誤當(dāng)時(shí)，，故，B錯(cuò)誤對(duì)于D選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，，D錯(cuò)誤用數(shù)學(xué)歸納法證明選項(xiàng)C易知恒成立當(dāng)時(shí)，，成立假設(shè)當(dāng)時(shí)成立，，即當(dāng)時(shí)：即

成立故恒成立，得證故答案選C本題考查了數(shù)列的單調(diào)性，數(shù)學(xué)歸納法，綜合性強(qiáng)，技巧高，意在考查學(xué)生對(duì)于數(shù)學(xué)學(xué)問(wèn)，方法，性質(zhì)的敏捷運(yùn)用.9．ABC利用抽樣比即可推斷從B校中抽取的樣本數(shù)量；利用對(duì)立事務(wù)及古典概型即可得到至少取到1件次品的概率；依據(jù)線性回來(lái)直線必過(guò)樣本中心點(diǎn)，可得的值；依據(jù)相互獨(dú)立的定義即可作出推斷.A.由分層抽樣，應(yīng)抽取人數(shù)為，A正確；B.至少取到1件次品的概率為，B正確；C.∵回來(lái)直線必過(guò)中心點(diǎn)，C正確；D.由于第一次取到球不放回，因此會(huì)對(duì)第2次取球的概率產(chǎn)生影響，因此M、N不是相互獨(dú)立事務(wù).故選：ABC10．ACD，代入法推斷選項(xiàng)A中是否成立；依據(jù)函數(shù)的周期性定義推斷選項(xiàng)B；依據(jù)函數(shù)奇偶性性定義推斷選項(xiàng)C；利用導(dǎo)函數(shù)推斷選項(xiàng)D，對(duì)于A：，故A正確；對(duì)于B：，不存在非零常數(shù)T，使成立，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：的定義域?yàn)镽，，滿意，所以是奇函數(shù)，故C正確；對(duì)于D：當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，故D正確．故選：ACD．11．ABC依據(jù)題意畫(huà)出圖形，證明兩兩垂直，結(jié)合三棱錐的體積公式和球的表面積公式計(jì)算即可推斷A、B；由構(gòu)造正四面體，利用等體積法和余弦公式求出，結(jié)合對(duì)稱性即可推斷C；依據(jù)選項(xiàng)C的分析，結(jié)合球和三棱錐的體積公式，利用間接法即可求出幾何體的體積，進(jìn)而推斷D.如圖1，因?yàn)?，所以，則，又赤道所在平面，所以兩兩垂直，則三棱錐的體積，故A正確；當(dāng)時(shí)，，則球面的面積為，故B正確；如圖2，當(dāng)時(shí)，為正三角形，構(gòu)造球內(nèi)接正四面體，其中心為O，連接NO交SPQ于H，則NO=R，OH為正四面體內(nèi)切球的半徑，由等體積法可得，，則，在中，由余弦定理可得，即，得，由對(duì)稱性可得，球面的面積為，故C正確；如圖3，結(jié)合選項(xiàng)C的分析可知，則，，所在的截面將球分為大半球、小半球兩部分，其中大半球的體積為，在中，由余弦定理得，，得，則，有，所以題意中構(gòu)成幾何體的體積為，故D錯(cuò)誤.故選：ABC.12．AC求出在點(diǎn)處的切線，設(shè)，由導(dǎo)數(shù)推斷其單調(diào)性，探討函數(shù)的零點(diǎn)即可推斷選項(xiàng)A；求出在點(diǎn)處的切線將和、代入，構(gòu)造函數(shù)推斷方程有無(wú)實(shí)根即可推斷選項(xiàng)B；求出的單調(diào)性，構(gòu)造函數(shù)，證明，即，即，依據(jù)的單調(diào)性可得出結(jié)論，可推斷選項(xiàng)C和D，進(jìn)而可得正確選項(xiàng).對(duì)于選項(xiàng)A：的定義域?yàn)?，設(shè)點(diǎn)處切線為，則切線為，設(shè)，所以，由可得：；由可得：，所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，令則，可得在單調(diào)遞增，而，所以在上只有一個(gè)零點(diǎn)，故選項(xiàng)A正確；對(duì)于選項(xiàng)B：設(shè)點(diǎn)則切線為，若切線過(guò)點(diǎn)，可得，即，令，則，由可得：；由可得：，所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，，所以無(wú)解，所以不存在過(guò)點(diǎn)的切線，故選項(xiàng)B不正確；對(duì)于選項(xiàng)C和D：，所以可得在單調(diào)遞增，由，，設(shè)，記，（），則，所以在單調(diào)遞增，因?yàn)?，，所以，即即，即，依?jù)在單調(diào)遞增，可得，所以，故選項(xiàng)C正確，選項(xiàng)D不正確，故選：AC.求曲線過(guò)點(diǎn)的切線的方程的一般步驟是：（1）設(shè)切點(diǎn)，（2）求出在處導(dǎo)數(shù)，即在點(diǎn)處的切線斜率；（3）構(gòu)建關(guān)系，解得；（4）由點(diǎn)斜式求得切線方程.13．262依據(jù)條件列出不等式進(jìn)行分析，確定公比、、的范圍后再綜合推斷.設(shè)等比數(shù)列公比為，等差數(shù)列公差為，因?yàn)?，，所以；又因?yàn)?，分別為遞增的等差數(shù)列、等比數(shù)列，所以且；又時(shí)明顯不成立，所以，則，即；因?yàn)?，，所以；因?yàn)椋?；由可知：，則，；又，所以，則有依據(jù)可解得符合條件的解有：或；當(dāng)時(shí)，，解得不符，當(dāng)時(shí)，解得，符合條件；則.本題考查等差等比數(shù)列以及數(shù)列中項(xiàng)的存在性問(wèn)題，難度較難.依據(jù)存在性將變量的范圍盡量縮小，通過(guò)不等式確定參變的取值范圍，然后再去確定符合的解，肯定要留意帶回到原題中驗(yàn)證，看是否滿意.14．依據(jù)新定義結(jié)合向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，可得結(jié)果.則由，則故答案為：本題考查對(duì)新定義的理解，還考查向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，屬基礎(chǔ)題.15．先取兩底面三角形的外心、，進(jìn)而確定三棱柱的外接球的球心位置，再利用正弦定理和直角三角形求外接球的半徑，再利用球的體積公式求其體積.分別取兩底面三角形的外心、，連接，取的中點(diǎn)，連接、，則是三棱柱的外接球的球心，是外接球的半徑.在中，利用正弦定理，得，即，在中，，則，所以外接球的體積為..故答案為：.16．可將已知不等式化為，設(shè)，令，轉(zhuǎn)為求函數(shù)的最大值即可.對(duì)隨意正實(shí)數(shù)x，y，不等式恒成立，即對(duì)隨意正實(shí)數(shù)x，y，不等式恒成立．設(shè)，令，，由和在上單調(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞減，又，當(dāng)時(shí)，，時(shí)，，所以在（0，1）上單調(diào)遞增，在（1，+∞）上單調(diào)遞減，所以在處取得極大值，且為最大值，則，即實(shí)數(shù)a的取值范圍是．故答案為：17．（1）的最小值為，相應(yīng)的的值為；（2）．（1）依據(jù)數(shù)量積公式可得，令，依據(jù)協(xié)助角公式將其化簡(jiǎn)變形可得的范圍．由二次函數(shù)配方法可求得其最值．（2）依據(jù)與的夾角為，，由數(shù)量積公式可求得且，從而可得的值．解：（1）因?yàn)?、且，所以．令，因?yàn)?，由，所以，所以，則，因?yàn)椋?，．?dāng)時(shí)，，此時(shí)，即，，，得，即．的最小值為，相應(yīng)的的值為．（2）由已知，，，，所以．由，得，即，即，即，由，得，，即，得，；18．（1），；（2）.（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，依據(jù)題中條件列出等式，即可解出和，從而求出的通項(xiàng)公式和前項(xiàng)和；（2）先求出的通項(xiàng)公式，然后利用裂項(xiàng)相消法求和即可.（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，則由，所以，，即，；（2）結(jié)合（1）可知，所以數(shù)列的前項(xiàng)和.本題考查求等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前項(xiàng)和，考查裂項(xiàng)相消法求和，難度不大.利用裂項(xiàng)相消法求和時(shí)要留意是鄰項(xiàng)相消還是隔項(xiàng)相消.19．（1）見(jiàn)解析

（2）見(jiàn)解析（1）依據(jù)直三棱柱的性質(zhì)得到，依據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到，再依據(jù)面面垂直的判定得到平面平面.（2）連接，依據(jù)三角形中位線性質(zhì)得到，從而得到平面.依據(jù)三棱柱的性質(zhì)得到，從而得到平面.再依據(jù)面面平行的判定得到平面平面.證明：（1）因?yàn)槿庵比庵?又是正三角形的邊的中點(diǎn)，所以，所以平面.而平面，所以平面平面.（2）連接