2025版新教材高中數(shù)學(xué)第一章空間向量與立體幾何本章達(dá)標(biāo)檢測含解析新人教A版選擇性必修第一冊

PAGEPAGE19本章達(dá)標(biāo)檢測(滿分:150分;時間:120分鐘)一、單項選擇題(本大題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的)1.如圖,正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1,以棱AB、AD、AA1所在的直線分別為x,y,z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,則DC1的中點坐標(biāo)為 ()A.1C.12.已知a=(1,2,-y),b=(x,1,2),且(a+2b)∥(2a-b),則()A.x=13,yC.x=2,y=-14 D.x=1,y3.已知三棱錐O-ABC,點P為平面ABC上的一點,且OP=12OA+mOB-nOC(m,n∈R),則m,nA.m=1,n=-12B.mC.m=-12,n4.如圖所示,在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中,AB=a,AD=b,AA1=c,M是A1D1的中點,點N是CA1上的點,且CN∶NA1=1∶4,用a,b,c表示向量MN的結(jié)果是 (A.12C.155.已知OA=(1,2,3),OB=(2,-2,1),OC=(1,1,2),若點D是AC的中點,則BC·OD= ()A.2 B.-32 C.-3 6.給出以下命題,其中正確的是 ()A.直線l的方向向量為a=(1,-1,2),直線m的方向向量為b=2,1,-12,B.直線l的方向向量為a=(0,1,-1),平面α的法向量為n=(1,-1,-1),則l⊥αC.平面α、β的法向量分別為n1=(0,1,3),n2=(1,0,2),則α∥βD.平面α經(jīng)過三個點A(1,0,-1),B(0,-1,0),C(-1,2,0),向量n=(1,u,t)是平面α的法向量,則u+t=17.在四棱錐P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,PA=2,底面ABCD為邊長為2的正方形,E為BC的中點,則異面直線BD與PE所成角的余弦值為 ()A.28.在棱長為2的正四面體ABCD中,點M滿意AM=xAB+yAC-(x+y-1)AD,點N滿意BN=λBA+(1-λ)BC,當(dāng)AM、BN最短時,AM·MN= (深度解析)A.-4二、多項選擇題(本大題共4小題,每小題5分,共20分.在每小題給出的選項中,有多個選項符合題目要求,全部選對的得5分,部分選對的得3分,有選錯的得0分)9.給出下列命題,其中正確的有 (深度解析)A.空間隨意三個向量都可以作為一個基底B.已知向量a∥b,則a,b與任何向量都不能構(gòu)成空間的一個基底C.A,B,M,N是空間中的四個點,若BA,BM,BN不能構(gòu)成空間的一個基底,那么A,B,M,N四點共面D.已知{a,b,c}是空間的一個基底,若m=a+c,則{a,b,m}也是空間的一個基底10.設(shè)幾何體ABCD-A1B1C1D1是棱長為a的正方體,以下結(jié)論正確的有 ()A.AB·C1A=-a2 B.AB·AC.BC·A1D=a2 D.AB·C111.正方形ABCD沿對角線BD折成直二面角,結(jié)論正確的有 ()A.AD與BC所成的角為30°B.AC與BD所成的角為90°C.BC與面ACD所成角的正弦值為3D.平面ABC與平面BCD的夾角的正切值是212.在長方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=23,AD=AA1=2,P、Q、R分別是AB、BB1、A1C上的動點,下列結(jié)論正確的是 ()A.對于隨意給定的點P,存在點Q,使得D1P⊥CQB.對于隨意給定的點Q,存在點R,使得D1R⊥CQC.當(dāng)AR⊥A1C時,AR⊥D1RD.當(dāng)A1C=3A1R時,D1R∥平面BDC1三、填空題(本大題共4小題,每小題5分,共20分.將答案填在題中橫線上)13.已知平行六面體ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD是邊長為1的正方形,AA1=2,∠A1AB=∠A1AD=60°,則AD1·AC=,|AC1|=.(本題第一空3分,其次空14.如圖,在正四棱錐P-ABCD中,PA=AB,點M為PA的中點,BD=λBN.若MN⊥AD,則實數(shù)λ=.

15.如圖,在菱形ABCD中,AB=23,∠BAD=60°,沿對角線BD將△ABD折起,使點A、C之間的距離為32,若P、Q分別為線段BD、CA上的點,則線段PQ的最小值為.

16.如圖所示,五面體ABCDE中,正△ABC的邊長為1,AE⊥平面ABC,CD∥AE,且CD=12AE,設(shè)CE與平面ABE所成角為α,AE=k(k>0),若α∈π6,π4,則當(dāng)k取最大值時,平面BDE四、解答題(本大題共6小題,共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟)17.(本小題滿分10分)如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,M、N、R分別是AB、PC、CD的中點.求證:(1)直線AR∥平面PMC;(2)直線MN⊥直線AB.(用向量方法)18.(本小題滿分12分)如圖所示為一個半圓柱,E為半圓弧CD上一點,CD=5.(1)若AD=25,求四棱錐E-ABCD的體積的最大值;(2)有三個條件:①4DE·DC=EC·DC;②直線AD與BE所成角的正弦值為2319.(本小題滿分12分)如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為矩形,側(cè)棱PA⊥底面ABCD,AB=3,BC=1,PA=2,E為PD的中點.(1)求異面直線AC與PB之間的距離;(2)在側(cè)面PAB內(nèi)找一點N,使NE⊥平面PAC,并求出N到AB和AP的距離.20.(本小題滿分12分)如圖,在三棱錐P-ABC中,AB=BC=22,PA=PB=PC=AC=4,O為AC的中點.(1)證明:PO⊥平面ABC;(2)若點M在棱BC上,且二面角M-PA-C為30°,求PC與平面PAM所成角的正弦值.21.(本小題滿分12分)如圖,在四棱錐E-ABCD中,底面ABCD為直角梯形,其中CD∥AB,BC⊥AB,側(cè)面ABE⊥平面ABCD,且AB=AE=BE=2BC=2CD=2,動點F在棱AE上,且EF=λFA.(1)摸索究λ的值,使CE∥平面BDF,并賜予證明;(2)當(dāng)λ=1時,求直線CE與平面BDF所成角的正弦值.22.(本小題滿分12分)如圖,在四棱錐S-ABCD中,四邊形ABCD是矩形,△SAD是等邊三角形,平面SAD⊥平面ABCD,AB=1,E為棱SA上一點,P為棱AD的中點,四棱錐S-ABCD的體積為23(1)若E為棱SA的中點,F是SB的中點,求證:平面PEF∥平面SCD;(2)是否存在點E,使得平面PEB與平面SAD的夾角的余弦值為3010?若存在,確定點E的位置;若不存在,請說明理由

答案全解全析一、單項選擇題1.D由題意得,C1(1,1,1),D(0,1,0),∴依據(jù)中點坐標(biāo)公式得DC1的中點坐標(biāo)為12故選D.2.B由題意可得,a+2b=(1+2x,4,4-y),2a-b=(2-x,3,-2y-2).∵(a+2b)∥(2a-b),∴?λ∈R,使a+2b=λ(2a-b),得1+2x=λ3.C∵OP=12OA+mOB-nOC(m,n∈R),且P、A、B∴12結(jié)合選項知只有m=-12,n=-1符合故選C.4.D由題意可得,MN=A1N=45(A1B1+A1D1=45a+3105.D∵D為AC的中點,∴OD=12(OA又BC=OC-OB=(-1,3,1),∴BC·OD=(-1)×1+3×3故選D.6.A對于A,∵a·b=2-1-1=0,∴a⊥b,∴l(xiāng)與m垂直,A正確;對于B,∵a與n不共線,∴直線l不垂直平面α,B錯誤;對于C,∵n1與n2不共線,∴平面α與平面β不平行,C錯誤;對于D,AB=(-1,-1,1),BC=(-1,3,0),由n·AB=-1-u+t=0,n·BC=-1+3u=0,故選A.7.A∵PA⊥底面ABCD,∴PA⊥AB,PA⊥AD,又AB⊥AD,∴以A為原點,AB、AD、AP所在直線分別為x,y,z軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.則P(0,0,2),B(2,0,0),E(2,1,0),D(0,2,0),∴PE=(2,1,-2),BD=(-2,2,0).設(shè)異面直線BD與PE所成的角為θ,θ∈0,則cosθ=|PE∴異面直線BD與PE所成角的余弦值為26故選A.8.A由共面對量定理和共線向量定理可知,M∈平面BCD,N∈直線AC,當(dāng)AM、BN最短時,AM⊥平面BCD,BN⊥AC,所以M為△BCD的中心,N為AC的中點,此時,2|MC|=2sin60∵AM⊥平面BCD,MC?平面BCD,∴AM⊥MC,∴|MA=22又MN=12(MC∴AM·MN=12(AM·MC+AM=-12|MA|2=-解題反思本題考查空間向量數(shù)量積的計算,同時也涉及了利用共面對量和共線向量定理來推斷四點共面和三點共線,確定動點的位置是解題的關(guān)鍵,也考查了計算實力.二、多項選擇題9.BCD選項A中,依據(jù)基底的概念,知空間中任何三個不共面的向量都可作為空間的一個基底,故A錯誤.選項B中,依據(jù)基底的概念,知B正確.選項C中,由BA,BM,BN不能構(gòu)成空間的一個基底,知BA,BM,BN共面.又BA,BM,BN均過點B,所以A,B,M,N四點共面,故C正確.選項D中,已知{a,b,c}是空間的一個基底,則基向量a,b可以與向量m=a+c構(gòu)成空間的另一個基底,故D正確.故選BCD.解題反思推斷三個向量能否作為空間的一個基底,實質(zhì)是推斷這三個向量是否共面,若不共面,就可以作為一個基底,本題各選項中推斷給出的向量是否共面是關(guān)鍵.10.AC如圖,建立空間直角坐標(biāo)系,則A(0,0,0),B(a,0,0),C(a,a,0),D(0,a,0),A1(0,0,a),C1(a,a,a),∴AB=(a,0,0),BC=(0,a,0),A1C1=(a,a,0),A1D=(0,a,-a),C1A=(-a,-a,-a∴AB·C1A=-a2,AB·A1C1=a2,BC·A1D=a2,AB·C11.BD取BD的中點O,連接AO,CO,由題意得,以O(shè)為原點,OC所在直線為x軸,OD所在直線為y軸,OA所在直線為z軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,設(shè)OC=1,則A(0,0,1),B(0,-1,0),C(1,0,0),D(0,1,0),∴BA=(0,1,1),AD=(0,1,-1),BC=(1,1,0),AC=(1,0,-1),BD=(0,2,0).∵cos<AD,BC>∴異面直線AD與BC所成的角為60°,故A錯誤;∵AC·BD=0,∴AC⊥BD,故B正確;設(shè)平面ACD的法向量為t=(x,y,z),則t·AC=x-z=0,t·設(shè)BC與面ACD所成角為θ,則sinθ=|cos<BC,t>|=|易知平面BCD的一個法向量為n=(0,0,1),設(shè)平面ABC的法向量為m=(x',y',z'),則m·∴sin<m,n>=63∴平面ABC與平面BCD的夾角的正切值是2,故D正確.故選BD.12.AD如圖所示,建立空間直角坐標(biāo)系,則A(2,0,0),B(2,23,0),C(0,23,0),設(shè)P(2,a,0),a∈[0,23],Q(2,23,b),易知A1C設(shè)R(x1,y1,z1),A1R=λA1C,λ∈[0,1],即(x1-2,y1,z1-2)=則R(2-2λ,23λ,2-2λ),易得D1P=(2,a,-2),CQ=(2,0,b),則D1P·CQ=4-2b,當(dāng)b=2時,D1P⊥∵D1R=(2-2λ,23λ,-2λ),∴D1R·CQ=2(2-2λ)-2λb,由D1∵0≤b≤2,∴12≤22+b≤1,即12≤故當(dāng)0≤λ<12時,不存在點R使得D1R⊥CQ,B錯誤AR=(-2λ,23λ若AR⊥A1C,則AR·A1C=(-2λ,23λ,2-2此時AR·D1R=-25∵A1C=3A1R,∴R43∴D1設(shè)平面BDC1的法向量為n=(x,y,z),BD=(-2,-23,0),∴D1R·n=0,∴D1R∥平面BDC1,D故選AD.三、填空題13.答案3;10解析設(shè)AB=a,AD=b,AA1=則由題意得|a|=1,|b|=1,|c|=2,a·b=0,a·c=1,b·c=1,∴AD1·AC=(b+c)·(a+=b·a+b2+c·a+c·b=0+1+1+1=3,|AC1|=|a+b+=a=1+1+4+2+2+0=14.答案4解析連接AC,交BD于點O,連接OP,以O(shè)為原點,OA所在直線為x軸,OB所在直線為y軸,OP所在直線為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè)PA=AB=2,則A(2,0,0),D(0,-2,0),設(shè)N(0,b,0),則BN=(0,b∵BD=λBN,∴-2∴MN=∵M(jìn)N⊥AD,∴MN·AD=1-2λ-415.答案3解析取BD的中點E,連接AE、EC,則AE⊥BD,EC⊥BD,AE=EC=3,∵AC=32,AE2+CE2=AC2,∴AE⊥EC,以E為原點,EB、EC、EA所在直線分別為x,y,z軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Exyz,則C(0,3,0),A(0,0,3),∴CA=(0,-3,3),∴CQ=λCA=(0,-3λ,3λ),設(shè)P(a,0,0),則PC=(-a,3,0),則PQ=PC+CQ=(-a,3,0)+(0,-3λ,3λ)=(-a,3-3λ,3λ),∴|PQ|=當(dāng)a=0,λ=12時,|PQ故答案為3216.答案2解析如圖所示,建立空間直角坐標(biāo)系,則C(0,0,0),D0,0,k2,E(0,1,∵AE⊥平面ABC,CM?平面ABC,∴AE⊥CM,又AE∩AB=A,∴CM⊥平面ABE,∴平面ABE的一個法向量為CM=∵CE=(0,1,k),∴sinα=|CE又α∈π6,π4,∴12≤sinα解得22≤k≤2∴k的最大值為2.當(dāng)k=2時,DE=0,設(shè)平面BDE的法向量為n=(x,y,z),則n令y=-1,則x=3,z=2,∴n=(3,-1,2),取平面ABC則cosθ=|n四、解答題17.證明如圖,建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè)AB=a,AD=b,AP=c,則A(0,0,0),B(a,0,0),C(a,b,0),Ma2,0,(1)∵AR=a2,b,0,MC=a2,b又AR?平面PMC,MC?平面PMC,∴直線AR∥平面PMC. (6分)(2)∵M(jìn)N=0,b2,c2∴AB·MN=0,∴MN⊥AB. (10分)18.解析(1)在平面EDC內(nèi)作EF⊥CD于點F,因為平面ABCD⊥平面EDC,平面ABCD∩平面EDC=DC,所以EF⊥平面ABCD. (2分)因為E為半圓弧CD上一點,所以CE⊥ED,所以VE-ABCD=13·S四邊形ABCD·EF=13×5×25×CE因為CE2+ED2=CD2=5,所以VE-ABCD≤25當(dāng)且僅當(dāng)CE=ED=102時,等號成立所以四棱錐E-ABCD的體積的最大值為553.(6(2)由條件①,得4|DE||DC|cos∠CDE=|CE||CD|cos∠DCE,即4DE2=CE2,所以2DE=CE,又因為DE2+CE2=5,所以DE=1,CE=2.由條件②,得因為AD∥BC,BC⊥平面DCE,所以∠CBE為直線AD與BE所成角,且sin∠CBE=23=CEBE,CE由條件③,得sin∠EAB若選條件①②,則DE=1,CE=2,且CEBC=tan∠CBE=2若選條件①③,則DE=1,CE=2,且x2若選條件②③,則CEx=tan∠CBE=255,且x2所以AD=BC=5.即從①②③任選兩個作為條件,都可以得到AD=BC=5, (9分)下面求AD與平面EAB所成角的正弦值.以A為原點,AB所在直線為x軸,AD所在直線為z軸,過點A與AB垂直的直線為y軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則A(0,0,0),B(5,0,0),所以AE=55,2設(shè)平面EAB的法向量為m=(x,y,z),則AE即5令z=1,則x=0,y=-52,所以m所以cos<AD,m>=因為AD與平面EAB所成角=π2-<AD,m所以AD與平面EAB所成角的余弦值為52929. (1219.解析(1)由題意得AB⊥AD,PA⊥AD,PA⊥AB.以A為原點,AB所在直線為x軸,AD所在直線為y軸,AP所在直線為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,如圖,則A(0,0,0),C(3,1,0),P(0,0,2),B∴AC=(3,1,0),PB=(3,0,-2),AP設(shè)異面直線AC、PB的公垂線的方向向量為n=(x,y,z),則n⊥AC,n⊥PB,∴n·AC=令x=1,則y=-3,即n=1,-則異面直線AC與PB之間的距離d=|AP·n|(2)設(shè)點N(a,0,c), (7分)易知E0,∴NE=-a,∴NE·AP=2解得a=36,∴N到AB的距離為1,N到AP的距離為36.(12分20.解析(1)證明:因為AP=CP=AC=4,O為AC的中點,所以O(shè)P⊥AC,且OP=23.連接OB. (1分)因為AB=BC=22AC,所以△ABC為等腰直角三角形,且OB⊥AC,OB=12AC=2. (2由OP2+OB2=PB2知PO⊥OB. (3分)由OP⊥OB,OP⊥AC,OB∩AC=O知PO⊥平面ABC. (4分)(2)如圖,以O(shè)為坐標(biāo)原點,OB的方向為x軸正方向,建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz. (5分)由題意得O(0,0,0),B(2,0,0),A(0,-2,0),C(0,2,0),P(0,0,23),∴AP=(0,2,23).易得平面PAC的一個法向量為OB設(shè)M(a,2-a,0)(0<a≤2),則AM=(a,4-a,0). (7分)設(shè)平面PAM的法向量為n=(x,y,z).由AP·n=0,AM·n=0,得2y+23可取n=(3(a-4),3所以cos<OB,由已知可得|cos<OB,n>|=所以23解得a=-4(舍去)或a=43所以n=-833,又PC=(0,2,-23),所以cos<PC,n所以PC與平面PAM所成角的正弦值為34.(12分21.解析(1)當(dāng)λ=12時,CE∥平面BDF. (1分證明如下:連接AC交BD于點G,連接GF.∵CE∥平面BDF,CE?平面ACE,平面ACE∩平面BDF=FG,∴CE∥FG,∴EFFA=CGAG又AB∥CD,∴△ABG∽△CDG,∴CGAG∴λ=EFEA=12(2)取AB的中點O,連接EO,則EO⊥AB.∵平面ABE⊥平面ABCD,平面ABE∩平面ABCD=AB,且EO⊥AB,∴EO⊥平面ABCD.連接OD.∵BO∥CD,且BO=CD=1,∴四邊形BODC為平行四邊形,∴BC∥DO,又∵BC⊥AB,∴AB⊥DO. (6分)由OA,OD,OE兩兩垂直