新定義新情景壓軸解答題（學生版）-2024年高考數(shù)學壓軸題專項訓練

4”發(fā)型篇定義篇情事及“解答題

壓軸履解讀

創(chuàng)新意識與創(chuàng)新應用是新時代的主旋律，也是高中數(shù)學教學與學習中需要不斷滲透與

培養(yǎng)的一種基本精神與能力！借助“新定義”，可以巧妙進行數(shù)學知識中的概念類比、公式

設置、性質(zhì)應用、知識拓展與創(chuàng)新應用等的交匯與融合,很好地融入創(chuàng)新意識與創(chuàng)新應用.

所謂“新定義”型問題，主要是指在問題中定義了高中數(shù)學中沒有學過的一些概念、新運

命題預測算、新符號，要求同學們讀懂題意并結(jié)合已有知識、能力進行理解,根據(jù)新定義進行運算、推

理、遷移的一種題型。

2024年九省聯(lián)考之后，第19題將考查新定義問題?，F(xiàn)在也有部分地區(qū)考試采用該結(jié)

構考試，比如安徽合肥一中省十聯(lián)考等。預測2024年新高考試卷第19題結(jié)構考查新定義

問題，壓軸題,難度比較大.

（1）集合與數(shù)列新定義

（2）函數(shù)與導數(shù)新定義

高頻考法（3）立體幾何與解析幾何新定義

（4）概率與統(tǒng)計新定義

（5）高等數(shù)學背景下新定義

高分必搶

?題型01集合與數(shù)列新定義

解答新定義型創(chuàng)新題的基本思路是：

（1）正確理解新定義；

（2）根據(jù)新定義建立關系式；

（3）結(jié)合所學的知識、經(jīng)驗將問題轉(zhuǎn)化為熟悉的問題；

（4）運用所學的公式、定理、性質(zhì)等合理進行推理、運算，求得結(jié)果.

題目|T)(2024?北京?模擬預測)對給定的正整數(shù)八，令&=

{a=(?Q,…,冊)?味{0,l},i=1,2,…,n},對任意的rr=(如%…%),y=(4,紡，…,%)G&,定義①

|rc—y|H---------

與y的距離d(x,y)=\xx—yx\+22\-\xn—yn\.設A是&的含有至少兩個元素的子集,集合。

=^d{x,y)\x^y,x,yG人}中的最小值稱為4的特征，記作力(A).

(1)當n=3時，直接寫出下述集合的特征：/={(0,0,0),(1,1,1)}田=

{(0,0,0),(0,l,l),(l,0,l),(l,l,0)},C={(0,0,0),(0,0,1),(0,1,1),(1,1,1)}；

(2)當n=2020時，設AGQ2020且無(入)=2,求A中元素個數(shù)的最大值；

92020

(3)當71=2020時，設A=02020且%(4)=3,求證：A中的元素個數(shù)小于金P

[題目|2](2024?重慶?模板預測)在二維空間即平面上點的坐標可用兩個有序數(shù)組(x,y)表示,在三維

空間中點的坐標可用三個有序數(shù)組(x,y,z)表示，一般地在"⑺>2,nCN)維空間中點A的坐標可用

幾個有序數(shù)組(ai,.”、0?)表示,并定義九維空間中兩點a?,,_8(法也,…也)間的"距離”

n

d[AB)=^\a-bi\.

i=l

])，求d(AB)；

⑴若4KM…申聞箕n+1

⑵設集合口={(電42,…,。7)g六{0,l},i=l,2,…,7}.元素個數(shù)為2的集合及為U的子集，且滿足對

于任意AGa，都存在唯一的B€M使得認AB)w3,則稱河為“a的優(yōu)集”.證明：“a的優(yōu)集”M存

在，且又中兩不同點的“距離”是7.

???

題目叵（2024?江西上悅?二O對于數(shù)列A的,a2,a3（a怎N,i=1,2,3）,定義“F變換”：尸將數(shù)列A變

換成數(shù)列B仇也自，其中bt=舊一八|。=1,2）,且名=|a3-ail.這種“尸變換”記作口=尸（人），繼續(xù)對

數(shù)列B進行“F變換”，得到數(shù)列C:q,C2,C3,依此類推，當?shù)玫降臄?shù)列各項均為0時變換結(jié)束.

（1）寫出數(shù)列A2,5,3,經(jīng)過6次“尸變換”后得到的數(shù)列；

⑵若SQ,＜13不全相等，判斷數(shù)列AaiQQ經(jīng)過不斷的“尸變換”是否會結(jié)束，并說明理由；

（3）設數(shù)列4185,3,188經(jīng)過％次“斤變換”得到的數(shù)列各項之和最小，求心的最小值.

題目區(qū)（2024?山西?模擬預測）對于數(shù)列｛%｝,若存在雙＞0,使得對任意nCN*,總有￡&+「叫＜

k=l

則稱｛冊｝為“有界變差數(shù)列”.

（1）若各項均為正數(shù)的等比數(shù)列｛飆｝為有界變差數(shù)列，求其公比q的取值范圍；

（2）若數(shù)列｛bn｝滿足⑥+什：=2,且4=2,證明：｛&?｝是有界變差數(shù)列；

（3）若｛3｝,｛yn｝均為有界變差數(shù)列，且外＞%＞0,證明：［叁L］是有界變差數(shù)列.

???

?題型02函數(shù)與導數(shù)新定義

函數(shù)與導數(shù)新定義問題主要分兩類:一是概念新定義型，主要是以函數(shù)新概念為背景，通?？疾?/p>

考生對函數(shù)新概念的理解,涉及函數(shù)的三要素的理解;二是性質(zhì)新定義型，主要是以函數(shù)新性質(zhì)為背

景,重點考查考生靈活應用函數(shù)性質(zhì)的能力,涉及函數(shù)的各種相關性質(zhì)的拓展延伸.________________

題目叵（2024?廣西?二?）定義:若函數(shù)/（為圖象上恰好存在相異的兩點PQ滿足曲線0=/（乃在

P和Q處的切線重合，則稱P,Q為曲線夕=/（土）的“雙重切點”，直線PQ為曲線9=/（為的“雙重切

線”

（1）直線?/=①一方是否為曲線/（力）=^X2-2X+21RT的“雙重切線”，請說明理由；

（e"+i,①W0,

（2）已知函數(shù)gQ）=.求曲線y=g（c）的“雙重切線”的方程；

0---4，力＞U,

x

（3）已知函數(shù)八Q）=cos為直線P。為曲線沙=八（n）的“雙重切線”，記直線PQ的斜率所有可能的取值

為自也,…，鼠，若自＞%＞及。=3,4,5,-"）,證明：￡＜詈,

???

［題目|6］（2024?喘三?浙江寧波?期末）在幾何學常常需要考慮曲線的彎曲程度,為此我們需要刻畫曲

線的彎曲程度.考察如圖所示的光滑曲線。：9=/（，）上的曲線段存，其弧長為As,當動點從人沿曲

線段AB運動到B點時，A點的切線ZA也隨著轉(zhuǎn)動到B點的切線加，記這兩條切線之間的夾角為△仇它

等于加的傾斜角與心的傾斜角之差）?顯然,當弧長固定時，夾角越大，曲線的彎曲程度就越大；當夾角

固定時，弧長越小則彎曲程度越大，因此可以定義卜=|1當為曲線段余的平均曲率;顯然當口越接

近4即As越小，K就越能精確刻畫曲線。在點A處的彎曲程度，因此定義=—回二

zSsl（l+y,2y

（若極限存在）為曲線。在點4處的曲率.（其中4,小'分別表示夕=/（為在點4處的一階、二階

導數(shù)）

（1）求單位圓上圓心角為60°的圓弧的平均曲率；

（2）求橢圓/+才=1在處的曲率；

（3）定義隊y）=，-口］為曲線4=/（為的“柯西曲率”.已知在曲線/（比）=X\IYX-2宓上存在兩點

（1+。）

「（如/（力1））和。（62J3）），且pQ處的“柯西曲率”相同，求溝+瘍的取值范圍.

???

題目區(qū)(2024?上海徐匯?二已知常數(shù)k為非零整數(shù),若函數(shù)0=/(辦爪[0,1]滿足:對任意如電

€[0,1],|/(的)一/(電)|W|(g+l)J(電+1力，則稱函數(shù)"=/(乃為乙(k)函數(shù).

(1)函數(shù)4=2宓，宓e[0,1]是否為L(2)函數(shù)？請說明理由；

(2)若g=f3)為L⑴函數(shù)，圖像在te[0,1]是一條連續(xù)的曲線,/(0)=0,/(1)=。,且/(乃在區(qū)間

(0,1)上僅存在一個極值點，分別記/O)mmx、/(/)min為函數(shù)"=/(①)的最大、小值，求/(2)ma*-/(工)min

的取值范圍；

(3)若Q>0,/(劣)=0.05/2+0.&+aln(x+1)，且g=/(力)為L(—1)函數(shù)，g(x)=/'(力)，對任意x,yE

[0,1],恒有|g(力)—g(g)|記M'的最小值為V(Q),求。的取值范圍及A1(Q)關于Q的表達式.

???

?題型03立體幾何與解析幾何新定義

空間立體幾何與解析幾何新定義試題呈現(xiàn)的結(jié)構通常為“給出圖形的新定義-探索圖形的新性

質(zhì)-運用圖形的新性質(zhì)解決問題”，設問的層次通常為從簡單到復雜、從特殊到一般.理解概念重要

的不僅是概念如何定義，而且是概念能夠引出哪些性質(zhì)（具有哪些表征）;研究圖形重要的不僅是發(fā)現(xiàn)

了什么結(jié)論,而且是采用了怎樣的思想方法.這正是數(shù)學課程性質(zhì)中的抽象結(jié)構思想和數(shù)學課程目

標中的核心素養(yǎng)導向的體現(xiàn).

［題目叵（2024?全國?模擬預測）人類對地球形狀的認識經(jīng)歷了漫長的歷程.古人認為宇宙是“天圓地

方”的，以后人們又認為地球是個圓球.17世紀，牛頓等人根據(jù)力學原理提出地球是扁球的理論，這一理

論直到1739年才為南美和北歐的弧度測量所證實.其實，之前中國就曾進行了大規(guī)模的弧度測量，發(fā)

現(xiàn)緯度越高,每度子午線弧長越長的事實，這同地球兩極略扁，赤道隆起的理論相符.地球的形狀類似

于橢球體，橢球體的表面為橢球面，在空間直角坐標系下,橢球面「:《+4+4=

l（a>0,b>0,c>0）,這說明橢球完全包含在由平面c=±Q,g=±b,z=±c所圍成的長方體內(nèi)，其中a,

b,c按其大小，分別稱為橢球的長半軸、中半軸和短半軸.某橢球面與坐標面z=0的截痕是橢圓E:多

+y2=1.

（1）已知橢圓W+冬=l（a>b>0）在其上一點QQ。,為）處的切線方程為等+畔=1.過橢圓E

ab

的左焦點后作直線Z與橢圓E相交于AB兩點，過點A8分別作橢圓的切線，兩切線交于點又，求

?面積的最小值.

（2）我國南北朝時期的偉大科學家祖唯于5世紀末提出了祖昭原理:“幕勢既同，則積不容異”.祖唯原

理用現(xiàn)代語言可描述為:夾在兩個平行平面之間的兩個幾何體,被平行于這兩個平面的任意平面所截，

如果截得的兩個截面的面積總相等，那么這兩個幾何體的體積相等.當b=c時,橢球面「圍成的橢球

是一個旋轉(zhuǎn)體，類比計算球的體積的方法,運用祖晅原理求該橢球的體積.

???

［題目3（2024?高三?河北?階段練習）已知力=,b=（22,紡,Z2）,C=（23,紡,23）,定義一種運

算：（axfo）-C=xly2z3+x2y3z1+x3y1Z'2—x1y：iZ'2—x2y1z3—x3y2Z1,在平行六面體ABCD—ABCQi中，

~AB=（1,1,0）,AD=（0,2,2）,而=（1,-1,1）.

（1）證明:平行六面體ABCD—4BGA是直四棱柱；

（2）計算|（而x前）?瓦司，并求該平行六面體的體積，說明|（布x尬）?瓦司的值與平行六面體

ABCD-4BGA體積的關系.

???

IfEJ（2024?遼寧沈陽?二W蜂房是自然界最神奇的“建筑”之一，如圖1所示.蜂房結(jié)構是由正六

棱柱截去三個相等的三棱錐H-ABC,J-CDE,K-EFA,再分別以AC,CE,及4為軸將4ACH,

△CEJ,A￡L4K分別向上翻轉(zhuǎn)180°,使三點重合為點S所圍成的曲頂多面體（下底面開口），如

圖2所示.蜂房曲頂空間的彎曲度可用曲率來刻畫，定義其度量值等于蜂房頂端三個菱形的各個頂點的

曲率之和,而每一頂點的曲率規(guī)定等于2兀減去蜂房多面體在該點的各個面角之和（多面體的面角是多

面體的面的內(nèi)角，用弧度制表示）.例如:正四面體在每個頂點有3個面角，每個面角是名，所以正四面

體在各頂點的曲率為2?！?x尚■=兀.

圖1圖2

⑴求蜂房曲頂空間的彎曲度；

（2）若正六棱柱底面邊長為L側(cè)棱長為2,設BH=x

⑴用力表示蜂房（圖2右側(cè)多面體）的表面積S（rr）；

（ii）當峰房表面積最小時,求其頂點S的曲率的余弦值.

???

[題目|11](2024?高三?浙江苒水?升學考試)數(shù)學中的數(shù)，除了實數(shù)、復數(shù)之外，還有四元數(shù).四元數(shù)

在計算機圖形學中有廣泛應用，主要用于描述空間中的旋轉(zhuǎn).集合H=

{d-\-ai+bj-\-ck\a,b,c,dGR}中的元素a=d-\-ai+bj+ck稱為四元數(shù)，其中i,1,k都是虛數(shù)單位，d

稱為。的實部，aO+B+ck稱為a的虛部.兩個四元數(shù)之間的加法定義為(&+。日+與/+jk)+

(d2+a2i+b2j+c2fc)=(di+d2)+(ai+a2)i+(仇+戾)/+(Ci+c2)fc.

兩個四元數(shù)的乘法定義為：ij=~ji=k,jk=—kj=i,ki=—ik=j^=j2=k2=—l,四元數(shù)的乘法具有結(jié)

合律，且乘法對加法有分配律.對于四元數(shù)%若存在四元數(shù)￡使得奶=0a=1,稱6是。的逆，記為6

=。-1.實部為0的四元數(shù)稱為純四元數(shù)，把純四元數(shù)的全體記為

(1)設a,b,c,dGR,四元數(shù)a—d+ai+bj+ck.記a*=d—a/i—bj—ck表示a的共輒四元數(shù).

(i)計算aa*；

(w)若aW0,求。一1；

(m)若aW0,0EW，證明：郊/6W;

(2)在空間直角坐標系中，把空間向量a=(Q,b,c)與純四元數(shù)a=Q〃+#+ck看作同一個數(shù)學對象.

設a,6eW，Y=---(a/3—/3a).

⑴證明：7GW;

(譏)若a,6是平面X內(nèi)的兩個不共線向量，證明：丁是X的一個法向量.

???

?題型04微率與^計新定義

解概率與統(tǒng)計下的新定義題，就是要細讀定義關鍵詞,理解本質(zhì)特征，適時轉(zhuǎn)化為“熟悉”問題.

總之,解決此類問題，取決于已有知識、技能、數(shù)學思想的掌握和基本活動經(jīng)驗的積累，還需要不斷的

實踐和反思,不然就談不上“自然”的、完整的解題.

0回至］（2024?吉林長春?三模）入冬以來，東北成為全國旅游話題的“頂流”.南方游客紛紛北上，體

驗東北最美的冬天.某景區(qū)為給顧客更好的體驗，推出了入和B兩個套餐服務，并在購票平臺上推出

了優(yōu)惠券活動,顧客可自由選擇［和8兩個套餐之一,下表是該景區(qū)在購票平臺10天銷售優(yōu)惠券情

況.

日期112345678910

銷售量虱千張）1.91.982.22.362.432.592.682.762.70.4

1101010

經(jīng)計算可得：y=22%=2.2,￡地,=118.73,Z端=385.

i=li=l

（1）由于同時在線人數(shù)過多，購票平臺在第10天出現(xiàn)網(wǎng)絡擁堵，導致當天顧客購買的優(yōu)惠券數(shù)量大幅減

少，現(xiàn)剔除第10天數(shù)據(jù)，求g關于t的回歸方程（精確到0.01）,并估計第10天的正常銷量；

（2）假設每位顧客選擇4套餐的概率為卷，選擇8套餐的概率為與,其中A套餐包含一張優(yōu)惠券，B套

55

餐包含兩張優(yōu)惠券,截止某一時刻,該平臺恰好銷售了n張優(yōu)惠券,設其概率為2,求2；

⑶記⑵中所得概率Pn的值構成數(shù)列｛2｝⑺eN*）.

①求數(shù)列｛2｝的最值；

②數(shù)列收斂的定義：已知數(shù)列｛冊｝，若對于任意給定的正數(shù)S，總存在正整數(shù)N。，使得當">以時，

|冊—a|<￡,（a是一個確定的實數(shù)），則稱數(shù)列｛%｝收斂于a.根據(jù)數(shù)列收斂的定義證明數(shù)列｛2｝收斂.

n

^^Xjy—nx?y

回歸方程口=合+5/中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為：。=士^--------，a=y—bx.

f4-后

i=l

題目應］（2024?黑龍江哈爾濱?一模）入冬以來，東北成為全國旅游和網(wǎng)絡話題的“頂流”.南方的小

土豆們紛紛北上體驗東北最美的冬天，這個冬天火的不只是東北的美食、東北人的熱情,還有東北的洗

浴中心，擁擠程度堪比春運，南方游客直接拉著行李箱進入.東北某城市洗浴中心花式寵“且”，為給顧

客更好的體驗，推出了人和8兩個套餐服務,顧客可自由選擇4和B兩個套餐之一，并在入網(wǎng)平臺上

推出了優(yōu)惠券活動,下表是該洗浴中心在人沖平臺10天銷售優(yōu)惠券情況.

日期力12345678910

銷售量飲千張）1.91.982.22.362.432.592.682.762.70.4

[101010

經(jīng)計算可得：7=+匯納=22?演=118.73,匯后=385.

1=11=12=1

⑴因為優(yōu)惠券購買火爆，人依平臺在第10天時系統(tǒng)出現(xiàn)異常，導致當天顧客購買優(yōu)惠券數(shù)量大幅減

少，現(xiàn)剔除第10天數(shù)據(jù)，求g關于t的經(jīng)驗回歸方程（結(jié)果中的數(shù)值用分數(shù)表示）；

（2）若購買優(yōu)惠券的顧客選擇A套餐的概率為，選擇8套餐的概率為9并且A套餐可以用一張優(yōu)

55

惠券，B套餐可以用兩張優(yōu)惠券,記App平臺累計銷售優(yōu)惠券為n張的概率為R,求兄；

（3）記（2）中所得概率2的值構成數(shù)列｛2｝（"€N*）.

①求2的最值；

②數(shù)列收斂的定義：已知數(shù)列｛%｝，若對于任意給定的正數(shù)e,總存在正整數(shù)以,使得當">以時，

\an-a\<￡,（a是一個確定的實數(shù)），則稱數(shù)列｛冊｝收斂于a.根據(jù)數(shù)列收斂的定義證明數(shù)列｛2｝收斂.

Z（x-x）（y-y）^Xiy-nx-y

參考公式：b=e”----------=---------,a=y—bx.

f（g-Z）2-nx

i=li=l

???

題目舊(2024?海南?？?一模)在計算機科學中，八維數(shù)組X=(傷,電,…,0),為C{0,l},iCN+，n>

2是一種基礎而重要的數(shù)據(jù)結(jié)構,它在各種編程語言中被廣泛使用.對于n維數(shù)組A=(as：%),

B=(仇&,…也)，定義人與口的差為A—B=(血一仇|,血一戾|,…,此—bj),A與口之間的距離為d(A

B)=A1=1ail

(1)若n維數(shù)組若=(0,0,…,0),證明:磯AC)+d(B,C)>d(A,B)；

(2)證明:對任意的數(shù)組ABC,有d(A—C,B—C)=d(A,B)；

(3)設集合S”={X\X=(x1,x2,---,xn),Xi&{0,1},iGN+,n>2},PGSn，若集合尸中有m(m>2)個九維

數(shù)組，記P中所有兩元素間的距離的平均值為d(P),證明：5(F)mn.

2(m—1)

[題目〔15](2024?高三?全國?專題練習)在三維空間中，立方體的坐標可用三維坐標(出42?3)表示，

其中a了{0,l}(l<iW3,iCN).而在八維空間中⑺>2,nGN),以單位長度為邊長的“立方體”的頂

點坐標可表示為n維坐標(chQQ,.,%),其中a.;€{0,1}(14iWn,i€N).現(xiàn)有如下定義:在"維

空間中兩點間的曼哈頓距離為兩點(電《2?3,……,an)與(仇&,如……，吼)坐標差的絕對值之和，即為

屆一仇|+向一蚓+血一如+...+\an—bn\.回答下列問題：

(1)求出71維“立方體”的頂點數(shù)；

(2)在八維“立方體”中任取兩個不同頂點，記隨機變量X為所取兩點間的曼哈頓距離

①求出X的分布列與期望；

②證明:在"足夠大時，隨機變量X的方差小于0.25儲.

???

[題目|16](2024?高三?湖北?階段練習)設(X,Y)的所有可能取值為(外%)，稱p產(chǎn)P(X=Xi,Y=%)

(i=l,2,---,n,j=l,2,--,m)為二維離散隨機變量(X,V)的聯(lián)合分布列，用表格表示為：

YXViV2VkVmPi-

XiPn012PlkPimP\-

X2P21P22PlkP2mP2-

2kPkiPk2Pkk0kmPk-

XnPmPn2PnkPmnPn-

p-jP-iP-2p-kP,rm1

仿照條件概率的定義，有如下離散隨機變量的條件分布歹u：定義p(y=%)=%=匯為，對于固定的，,

i=l

若p.j>0,則稱p*=P^X=Xf\Y=yj')==1,2,…,n)為給定Y=%條件下的X條件分布列.

Ii=l?

離散隨機變量的條件分布的數(shù)學期望(若存在)定義如下：E(X\Y=y)=YiXiP^X=xi\Y=y).

⑴設二維離散隨機變量(X,Y)的聯(lián)合分布列為

YX123Pi-

10.10.30.20.6

20.050.20.150.4

p-j0.150.50.351

求給定X=1條件下的y條件分布列；

⑵設(X,Y)為二維離散隨機變量,且E(X)存在,證明：E(X)=￡E(X|V=%)?pj；

(3)某人被困在有三個門的迷宮里,第一個門通向離開迷宮的道，沿此道走30分鐘可走出迷宮;第二個

門通一條迷道,沿此迷道走50分鐘又回到原處;第三個門通一條迷道,沿此迷道走70分鐘也回到原處.

假定此人總是等可能地在三個門中選擇一個,試求他平均要用多少時間才能走出迷宮.

???

?題型05高等數(shù)學背景下新定義

1、泰勒公式有如下特殊形式：當/(力)在力=0處的階導數(shù)都存在時，/(力)=

mm、工/〃(0)2"⑶(0)3,工產(chǎn))(0)□注、事一

/(0)+/(°)/H----審—xH-----——x+…H-------;—xH.汪：/(力)表示/(1)的2

4?O>IL\

階導數(shù)，即為/'(力)的導數(shù),/5)(力)⑺)3)表示/(%)的九階導數(shù),該公式也稱麥克勞林公式.

2、【極值點第二充分條件】已知函數(shù)/(力)在力=&處二階可導，且/'(g)=0,/〃(g)W0

⑴若/(0)>0,則/(力)在g處取得極小值；

(2)若于"(X。)V0,則/(力)在力0處取得極大值.

3、帕德近似是法國數(shù)學家亨利.帕德發(fā)明的用有理多項式近似特定函數(shù)的方法.給定兩個正整

數(shù)小，九,函數(shù)/(，)在力=0處的［m,n］階帕德近似定義為：H(%)=+~~+。叱，且

1+b1x+…+6九力

滿足：/(O)=H(O),/'(O)=H'(O),/"(O)=H"(O),…,『「力(。)=任<+")(。).(注J"

3)=［f(劃,1r3)=［/〃3)］"⑷3)=［『(=］"⑸3)=［/⑷3)］'，…/3)為

產(chǎn)t)3)的導數(shù)).

4、拉格朗日中值定理又稱拉氏定理:如果函數(shù)/(力)在［a,加上連續(xù)，且在(a,b)上可導，則必

有占G(a,b),使得f飛)(b-a)=f(b)-/(a).

5、羅爾定理描述如下:如果H上的函數(shù)/(c)滿足以下條件:①在閉區(qū)間［a,b］上連續(xù)，②在開區(qū)

間(a,b)內(nèi)可導，③/(a)=/(b),則至少存在一個占W(a,b),使得/'(占)=0.

6、微積分

知識卡片1：一般地，如果函數(shù)/(力)在區(qū)間［a,b］上連續(xù)，用分點a=gV力i<?-Vg_L<

力￡<???<&=6將區(qū)間［a,b］等分成九個小區(qū)間,在每個小區(qū)間［力i,力］上任取一點2

nn7

(i=1,2「：口)，作和式2/(g1)4%=Z-----2/(2)(其中△力為小區(qū)間長度)，當?if8時，

i=ii=in

上述和式無限接近某個常數(shù)，這個常數(shù)叫做函數(shù)/(力)在區(qū)間［a,6］上的定積分，記作(力)d力

Ja

Pn7

即J/Q)d片潁2亍/⑸.這里，a與b分別叫做積分下限與積分上限，區(qū)間［a,b］叫做

an〃=in

積分區(qū)間，函數(shù)/(力)叫做被積函數(shù)，力叫做積分變量，/(力)de叫做被積式.從幾何上看，如果在區(qū)

間［a,b］上函數(shù)/(力)連續(xù)且恒有/(7)>0,那么定積分［/(力)d力表示由直線為=a,2=

Ja

b(aWb),y=U和曲線y=f(x)所圍成的曲邊梯形的面積.

15

知識卡片2：一般地;如果/（力）是區(qū)間［a,b］上的連續(xù)函數(shù)，并且尸⑸=/（力），那么］/（力）

b

dx=尸Q）f=尸（b）-尸（a）.這個結(jié)論叫做微積分基本定理，又叫做牛頓—萊布尼茨公式.

\a

知識卡片3:在微積分中,求極限有一種重要的數(shù)學工具--洛必達法則,法則中有結(jié)論:若函數(shù)

,g（力）的導函數(shù)分別為了'（力），g\x），且啊i/Q）=螞9（2）=o,則

］./（力）1./（力）

nm..=nm———.

岔Tag（x）Lag，Q）

7、伯努利不等式（8emoaZ，slneqaQZ沆必，又稱貝努利不等式，是高等數(shù)學的分析不等式中最常

見的一種不等式，由瑞士數(shù)學家雅各布?伯努利提出:對實數(shù)ce（—1,+8）,在ne［1,+a））

時，有不等式（1+力廠>1+九力成立；在九e（0,1）時，有不等式（1+力廣&1+九力成

立.

8、設連續(xù)函數(shù)/（力）的定義域為［a,b］,如果對于［a,b］內(nèi)任意兩數(shù)與g，都有電；"？）

&.（力J；/（力2），則稱/（力）為［①切上的凹函數(shù)；若力12）打、（力J:、（力2）,則稱

于（x）為凸函數(shù).若/（力）是區(qū)間［a,6］上的凹函數(shù)，則對任意的g,力2,…,力幾￡［a,6］,有琴生不

等式什應+…+力《/（…（旬+…”）恒成立（當且僅當，產(chǎn)g=一

力九時等號成立）.

［題目叵（2024?淅江?二榭①在微積分中，求極限有一種重要的數(shù)學工具——洛必達法則，法則中有

結(jié)論:若函數(shù)/（/）,g（/）的導函數(shù)分別為/（/）,/（力）,且螞/（力）=1四gQ）=0,則

lim44

5ag(x)l。g'Q)

②設a>0,k是大于1的正整數(shù),若函數(shù)/⑸滿足:對任意xE［0,a］,均有于⑺成立，且叫

/（c）=0,則稱函數(shù)/Q）為區(qū)間［O,a］上的k階無窮遞降函數(shù).

結(jié)合以上兩個信息，回答下列問題：

（1）試判斷/（為=X3-3X是否為區(qū)間［0,3］上的2階無窮遞降函數(shù)；

1

（2）計算：lim（l+/尸；

力fo

（3）證明：（sin力）3<COSN,X6（兀，春兀）.

1力—兀，\2,

???

題目叵］（2024?湖南益陽?模擬預測）我們知道，二維空間（平面）向量可用二元有序數(shù)組@Q）表

示；三維空間向盤可用三元有序數(shù)組（出,（12,。3）表示.一般地，4維空間向量用九元有序數(shù)組

@,電,…，冊）表示，其中隊（k=1,2,?-,?1）稱為空間向量的第力個分量，k為這個分量的下標.對于

九（九>3）維空間向量（Q.Q2,…,冊），定義集合4（m）={kIak=m,fc=1,2,???,?!}.記A（7n）的元素的個

數(shù)為|4（恒）|（約定空集的元素個數(shù)為0）.

（1）若空間向量=（6,3,2,5,3,7,5,5）,求A（5）及|A（5）|；

（2）對于空間向量（Qi,電,…,M）?若［/?）、1H-----卜?J、?=n，求證：Vi,/G{1,2,…,n},若

\A（a2）\\A（an）\

iW力貝！Ia3電；

（3）若空間向量（QIQQ，…,a/的坐標滿足4恁-2+。1）=依},。1=。2=1,當h>3時，求證：Q：+Q|

+VCLn>2為一1（1n.

［題目叵］（2024?貴州貴陽?一模）英國數(shù)學家泰勒發(fā)現(xiàn)了如下公式：1=1+2+圣+/+…+耳+

…其中n!=lx2x3x4x…xn,e為自然對數(shù)的底數(shù)，e=2.71828…….以上公式稱為泰勒公式.設

/3）=亙”，。（乃=亙當二，根據(jù)以上信息，并結(jié)合高中所學的數(shù)學知識，解決如下問題?

（1）證明：e">l+g

（2）設cC（0,+oo）,證明：/^VgQ）；

（3）設FQ）=g（c）—a（l+,若刀=0是f（力）的極小值點,求實數(shù)a的取值范圍.

???

壓軸題預測

題目叵給出以下三個材料:①若函數(shù)/（比）可導，我們通常把導函數(shù)/3）的導數(shù)叫做的二階導

數(shù),記作尸3）.類似地，二階導數(shù)的導數(shù)叫做三階導數(shù)，記作f’（為,三階導數(shù)的導數(shù)叫做四階導數(shù)…

…一般地，TZ—1階導數(shù)的導數(shù)叫做外階導數(shù)，記作廣）（力）=②若71eN*,定義？i!=

nx（n-1）x（n-2）x…x3x2x1.③若函數(shù)/（c）在包含&的某個開區(qū)間（a,6）上具有九階的導數(shù)，

那么對于任一/e（a,b）有g（/）=/（x0）+/（2一&）+于⑶一切斗』"（2—gf+…

+.“，）（尤-g）”,我們將。⑸稱為函數(shù)/Q）在點c=g處的n階泰勒展開式.例如，y=e"在點力=

n!

0處的71階泰勒展開式為1+①+-1x2+…+3犬.根據(jù)以上三段材料，完成下面的題目：

2n!

（1）求出力（力）=sinx在點x=0處的3階泰勒展開式gi（a），并直接寫出上⑺=cos/在點x=0處的3

階泰勒展開式。2（/）；

⑵比較⑴中力⑺與縱⑸的大小.

（3）證明：e"+sin/+COST>2+2名.

???

題目已知各項均不為0的數(shù)列｛an｝滿足an+2an=an+1an+a^+1（n是正整數(shù)），。產(chǎn)a2—1,定義函數(shù)g

=九（力）=1+之A/（%＞。），e是自然對數(shù)的底數(shù).

k=l卜?

｛等｝是等差數(shù)列，并求數(shù)列｛%｝的通項公式;

⑴求證:數(shù)列

x

(2)記函數(shù)g=gn(x)，其中gn(x)=1-e~fn(x).

（i）證明:對任意力＞0,0＜g3（x）《啟力）一53）；

⑹數(shù)列｛bn｝滿足圖=2］，設北為數(shù)列｛bJ的前n項和.數(shù)列｛北｝的極限的嚴格定義為:若存在一個

an

常數(shù)T,使得對任意給定的正實數(shù)〃（不論它多么?。?，總存在正整數(shù)小滿足：當n＞小時，恒有\(zhòng)Tn-T\

＜〃成立，則稱T為數(shù)列｛黑｝的極限.試根據(jù)以上定義求出數(shù)列｛黑｝的極限T.

.題耳［22］已知數(shù)列｛冊｝為有窮數(shù)列，且aneN*，若數(shù)列｛冊｝滿足如下兩個性質(zhì)，則稱數(shù)列｛冊｝為小的R

增數(shù)列：

①Q(mào)1+Q2+Q3+—\-an=m；

②對于14iV，W4,使得的＜出的正整數(shù)對（ij）有k個.

（1）寫出所有4的1增數(shù)列；

（2）當n=5時，若存在7n的6增數(shù)列，求7n的最小值.

???

題目叵已知數(shù)列入：出42,…,<ZN(N>3)的各項均為正整數(shù),設集合T=上降=a-a,,1&iV/&N},

記T的元素個數(shù)為P(T).

⑴若數(shù)列AL3,5,7,求集合如并寫出P(T)的值；

(2)若A是遞減數(shù)列,求證:“P(T)=N—1"的充要條件是“A為等差數(shù)列”；

(3)已知數(shù)列A2,22,…,2",求證:P(T)=N(N：D.

題目［^心對正整數(shù)？ri>3,">6,設數(shù)列AaiQ,…,a”,a，e{O,l}(i=1,2,…,n)._8是m行ri列的數(shù)陣，%

表示B中第i行第4列的數(shù)，％C{0,1}(1=1,2,--,?。?=1,2,-仙)，且8同時滿足下列三個條件@每

行恰有三個1；②每列至少有一個1；③任意兩行不相同.記集合{i,也-a2加+…+M廉=0或

3,i=l,2,---,m）中元素的個數(shù)為K.

H11000、

⑴若41,1,1,0,0,0,B=101100，求K的值;

,00011L

(2)若對任意p,qE<1,2,---,n}(p<g),B中都恰有r行滿足第p列和第q列的數(shù)均為1.

①B能否滿足巾=3r?說明理由；

②證明：((4—4日).

???

1目酋若有窮自然數(shù)數(shù)列A:電,a2,-,an（n>2）滿足如下兩個性質(zhì)，則稱人為凡數(shù)列：

①a彘max{ai+Qk_i，Q2+ak―2,…，恁―i+@i}（k=2,3,***,n），其中,max{ci,力2,…，g}表示g,力2,…，力§，這s

個數(shù)中最大的數(shù)；

②Qk<min{ai+Qk_i，Q2+Qk—2,1+&}+l（k=2,3,—,n），其中，min{x1,x2,—,xs}表示/i,g,…,g，這

s個數(shù)中最小的數(shù).

⑴判斷42,4,6,7,10是否為瓦數(shù)列，說明理由;

⑵若4…,。6是瓦數(shù)列，且。1，02,。3成等比數(shù)列，求。6；

（3）證明:對任意礴數(shù)列A：QiQ,…，冊（九>2）,存在實數(shù)/I,使得念=［fc/l］（fc=1,2,—,n）.（［a:］表示不超

過C的最大整數(shù)）

題目［26］三棱錐P—ABC中，4（3,0,0），8（0,0,2）,C（0,4,0）,P（3,4,2）.

（1）E是AB的中點，尸是PC的中點，求異面直線PE與BF所成的角的大?。ㄓ梅慈呛瘮?shù)表示）.

（2）對于實數(shù)電，仇”2，戾,稱的?為二階行列式，定義其一種運算：的?=電戾一a?如對于向量

。2仇a2仇

4=（力1,%力）,3=（力2,紡,g），稱日X6為日與辦的向量積，定義一種運算：axS=

（"］，卜，（卜/）.試計算/=竺"普的值，并說明這一運算的幾何意義.

\V2|乃力21I電V2>\ABxAC\

（3）試計算巨入了的值，指出|巨4?詞的幾何意義,并求出三棱錐P-ABC的體積.

???

：1目巨已知S為正比例系數(shù)，定義：S=魯閩為建筑物暴露在空氣中的面積(單位：平方米)，%為建

Vo

筑物的體積(單位:立方米).

(1)若有一個圓柱體建筑的底面半徑為七高度為方,求該建筑體的S(用R,H表示)；

(2)現(xiàn)有一個建筑體，側(cè)面皆垂直于地面，設4為底面面積，刀為建筑底面周長.已知/為正比例系數(shù)，

方與/成正比，定義：/=與,建筑面積即為每一層的底面面積,總建筑面積即為每層建筑面積之和，值

yj.

為T.已知該建筑體推導得出S=+蚩，幾為層數(shù),層高為3米，其中/=18,T=10000,試求當

取第幾層時,該建筑體S最小？

題目|28]在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓「：4+4=1(。＞匕＞0)的離心率為手，直線，與「相

ab23

切，與圓O：a?+y2=3a2相交于4B兩點.當Z垂直于a?軸時，=2娓.

(1)求：T的方程；

(2)對于給定的點集河，N,若河中的每個點在N中都存在距離最小的點,且所有最小距離的最大值存

在，則記此最大值為d(M,N).

(i)若M,N分別為線段與圓O上任意一點，P為圓O上一點，當APAB的面積最大時,求d(M,

N)；

(ii)若d(M,N),d(N,M)均存在,記兩者中的較大者為已知H(X,Y),H(Y,Z),H(X,Z)均

存在，證明：H(X,Z)+H(y,z)＞H[X,y).

If叵直線族是指具有某種共同性質(zhì)的直線的全體，例如x=ty+l表示過點(1,0)的直線，直線的包

絡曲線定義為:直線族中的每一條直線都是該曲線上某點處的切線，且該曲線上的每一點處的切線都

是該直線族中的某條直線.

22

(1)若圓C1:x+y=1是直線族mzr+Tiy=l(m,n€R)的包絡曲線，求7n,九滿足的關系式；

2

(2)若點P(xo,yo)不在直線族：Q：(2a—4)x+4y+(a—2)=0(aER)的任意一條直線上,求y0的取值

范圍和直線族。的包絡曲線E;

(3)在(2)的條件下，過曲線后上兩點作曲線E的切線Zi,L，其交點為P.已知點。(0,1),若

三點不共線，探究=是否成立？請說明理由.

［題目叵在平面直角坐標系xOy中，重新定義兩點A(g,%),B(g,%)之間的“距離”為MB=\x2-X1\+

版—加，我們把到兩定點E(—c,0)譙(c,0)(c>0)的“距離”之和為常數(shù)2a(a>c)的點的軌跡叫“橢

圓”.

(1)求“橢圓”的方程；

⑵根據(jù)“橢圓”的方程，研究“橢圓”的范圍、對稱性,并說明理由；

(3)設c=l,a=2,作出“橢圓”的圖形，設此“橢圓”的外接橢圓為的左頂點為過月作直線交C

于兩點，ZVIMN的外心為Q,求證:直線OQ與的斜率之積為定值.

???

題目叵］閱讀材料：

2

在平面直角坐標系中，若點M(x,y)與定點F(c,O)(或斤'(一c,0)的距離和它到定直線l-.x=二(或l':x=

C

--)的距離之比是常數(shù)9(0<c<a),則=馬化簡可得4+/v=1，設/=a2-c2

Ca?1_aQ2Q2—02

C

22

(