2024年遼寧省中考一模統(tǒng)考考試九年級(jí)數(shù)學(xué)試題（含答案）

2024年遼寧省中考一模統(tǒng)考考試九年級(jí)數(shù)學(xué)試題

一、選擇題（本題共10小題，每小題3分，共30分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要

求的）

1.（3分）2024的倒數(shù)是（）

A.2024B.-2024C.1D.一」

20242024

2.（3分）六個(gè)大小相同的正方體搭成的幾何體如圖所示，其左視圖是（）

3.（3分）數(shù)學(xué)世界奇妙無窮，其中曲線是微分幾何的研究對(duì)象之一，下列數(shù)學(xué)曲線既是軸對(duì)稱圖形，又是中

心對(duì)稱圖形的是（）

4.(3分)下列運(yùn)算正確的是()

can

A.(-m2n)3=-相6“3B.m-m=m

C.Gn+2)2=/7?2+4D.(12m45-3m)4-3m=4m3

5.（3分）學(xué)習(xí)電學(xué)知識(shí)后，小亮同學(xué)用四個(gè)開關(guān)A、B、C、D,一個(gè)電源和一個(gè)燈泡設(shè)計(jì)了一個(gè)電路圖，現(xiàn)

任意閉合其中兩個(gè)開關(guān)，則小燈泡發(fā)光的概率為（)

1

C2

43"I

6.（3分）一元二次方程/-3x+2=0的根的情況是（）

A.有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根

B.有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根

C.只有一個(gè)實(shí)數(shù)根

D.沒有實(shí)數(shù)根

7.（3分）如圖，一束平行于主光軸的光線經(jīng)凸透鏡折射后，其折射光線與一束經(jīng)過光心。的光線相交于點(diǎn)尸,

,則N3的度數(shù)為（)

C.55°D.60°

8.（3分）如圖,在△ABC中，AB=BC^AC,。是8C的中點(diǎn),DE±AB于點(diǎn)E,則的面積與△ABC

的面積之比為)

1：4C.1：2D.2：5

9.（3分）從前有一天，一個(gè)笨漢拿著竹竿進(jìn)屋，橫拿豎拿都進(jìn)不去，橫著比門框?qū)?尺，豎著比門框高2尺.他

的鄰居教他沿著門的兩個(gè)對(duì)角斜著拿竿，這個(gè)笨漢一試，不多不少剛好進(jìn)去了.求竹竿有多長(zhǎng).設(shè)竹竿長(zhǎng)

尤尺，則根據(jù)題意，可列方程（）

2

A.(x+4)2+(x+2)2=/B.(x-4)2+(x-2)2=J?

C.(x-4)2+(x+2)2=工2D.(x+4)2+(x-2)2==x2

10.(3分)如圖，在矩形ABC。中，點(diǎn)石在A。上，且EC平分N3a),AB=2,ZABE=45°,則OE的長(zhǎng)

為()

A.2V2-2B.聘7C.V3-1D.2V2

二、填空題

11.（3分）式子J羨在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則實(shí)數(shù)x的取值范圍是.

12.（3分）分解因式：4x2-4=.

13.（3分）一個(gè)正多邊形的每個(gè)外角的度數(shù)是72°,則這個(gè)正多邊形的邊數(shù)是.

14.（3分）如圖，在直角△AB。中，AO=M，AB=1,將△AB。繞點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)105°至2'。的

位置，點(diǎn)E是。夕的中點(diǎn)，且點(diǎn)E在反比例函數(shù)y=K的圖象上，則上的值為.

V

15.（3分）如圖，正方形ABCZ）中，49=9,點(diǎn)E是對(duì)角線8。上一點(diǎn)，連接AE,過點(diǎn)E作交BC

于點(diǎn)F,連接AF,交BD于點(diǎn)G,將△EPG沿EF翻折，得到△EFM,連接AM,交EF于點(diǎn)N,若BF=LBC,

3

則線段4W的長(zhǎng)是.

3

16.(1)計(jì)算：3tan30。.g)2+IV3-2|;

17.在進(jìn)一步發(fā)展國(guó)民經(jīng)濟(jì)，努力實(shí)現(xiàn)全體人民共同富裕的大背景下，“提高農(nóng)民的收入，提升農(nóng)民的幸福感”

成為了某鎮(zhèn)政府的核心任務(wù).2023年，該鎮(zhèn)主要的兩種作物總產(chǎn)量如表：

類別小麥大豆

總產(chǎn)量/萬公斤1440270

通過統(tǒng)計(jì)與計(jì)算，發(fā)現(xiàn)小麥的畝產(chǎn)量是大豆畝產(chǎn)量的4倍，小麥的種植面積比大豆的種植面積多5000畝.

（1）求小麥的種植面積.

（2）為提高農(nóng)民收入，鎮(zhèn)政府決定從種植小麥的土地中，撥出一部分土地改種經(jīng)濟(jì)價(jià)值更高的蔬菜，要求

改種蔬菜的面積不超過剩余種植小麥面積的四分之一.求改種蔬菜的土地的最大面積.

18.近日，教育部印發(fā)了《關(guān)于舉辦第三屆中華經(jīng)典誦寫講大賽的通知》，本屆大賽以“傳承中華經(jīng)典，慶祝

建黨百年”為主題，分為“誦讀中國(guó)”經(jīng)典誦讀，“詩(shī)教中國(guó)”詩(shī)詞講解，“筆墨中國(guó)”漢字書寫，“印記中

國(guó)”印章篆刻比賽四類（依次記為A,B,C,。）.為了解同學(xué)們參與這四類比賽的意向，某校學(xué)生會(huì)從有

意向參與比賽的學(xué)生中隨機(jī)抽取若干名學(xué)生進(jìn)行了問卷調(diào)查（調(diào)查問卷如圖所示），所有問卷全部收回，并

將調(diào)查結(jié)果繪制成如下所示的統(tǒng)計(jì)圖和統(tǒng)計(jì)表（均不完整）.請(qǐng)根據(jù)圖表提供的信息，解答下列問題：

4

“中華經(jīng)典誦寫講大賽，，參賽意向調(diào)查問卷

請(qǐng)?jiān)谙铝羞x項(xiàng)中選擇您有參賽意向的選項(xiàng)，

在其后“[]”內(nèi)打“，”，非常感謝您的合作.

A.“誦讀中國(guó)''經(jīng)典誦讀[]

B.“詩(shī)教中國(guó)”詩(shī)詞講解[]

C.“筆墨中國(guó)''漢字書寫[]

D.“印記中國(guó)''印章篆刻[]

類別占調(diào)查人數(shù)的百分比

A70%

B30%

Cm

D20%

（1）參與本次問卷調(diào)查的總?cè)藬?shù)為人，統(tǒng)計(jì)表中C的百分比根為；

（2）請(qǐng)補(bǔ)全統(tǒng)計(jì)圖；

（3）小華想用扇形統(tǒng)計(jì)圖反映有意向參與各類比賽的人數(shù)占被調(diào)查總?cè)藬?shù)的百分比，是否可行？若可行，

求出表示C類比賽的扇形圓心角的度數(shù)；若不可行，請(qǐng)說明理由；

（4）學(xué)?！霸?shī)教中國(guó)”詩(shī)詞講解大賽初賽的規(guī)則是：組委會(huì)提供“春”“夏”“秋”“冬”四組題目（依次

記為6,c,d,e）,由電腦隨機(jī)給每位參賽選手派發(fā)一組.選手根據(jù)題目要求進(jìn)行詩(shī)詞講解.請(qǐng)用列表或畫

樹狀圖的方法求甲，乙兩名選手抽到的題目在同一組的概率.

19.每年的3月12日是我國(guó)的植樹節(jié)，某市園林局在3月12日當(dāng)天安排甲、乙兩個(gè)小組共種植220棵株體較

大的銀杏樹，要求在5小時(shí)內(nèi)種植完畢，已知第1個(gè)小時(shí)兩個(gè)小組共植樹35棵，甲組植樹過程中由于起重

機(jī)出故障，中途停工1個(gè)小時(shí)進(jìn)行維修，然后提高工作效率，直到與乙組共同完成任務(wù)為止，設(shè)甲、乙兩

個(gè)小組植樹的時(shí)間為x（小時(shí)），甲組植樹數(shù)量為y甲（棵），乙組植樹數(shù)量為丁乙（棵），y甲，y乙與x之間的

函數(shù)關(guān)系圖象如圖所示，

5

（1）求y乙與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出x的取值范圍；

（2）求加、”的值；

（3）直接寫出甲、乙兩個(gè)小組經(jīng)過多長(zhǎng)時(shí)間共植樹165棵?

20.為響應(yīng)國(guó)家的“節(jié)能減排”政策，某廠家開發(fā)了一種新型的電動(dòng)車，如圖，它的大燈A射出的光線A3、

AC與地面的夾角分別為22°和31°,ATA.MN,垂足為T,大燈照亮地面的寬度的長(zhǎng)為5%

6

（1）求8T的長(zhǎng)（不考慮其他因素）.

（2）一般正常人從發(fā)現(xiàn)危險(xiǎn)到做出剎車動(dòng)作的反應(yīng)時(shí)間是0.2s,從發(fā)現(xiàn)危險(xiǎn)到電動(dòng)車完全停下所行駛的距

離叫做最小安全距離.某人以20fow//z的速度駕駛該車，從做出剎車動(dòng)作到電動(dòng)車停止的剎車距離是工魚1r

9

請(qǐng)判斷該車大燈的設(shè)計(jì)是否能滿足最小安全距離的要求（大燈與前輪前端間水平距離忽略不計(jì)），并說明理

由.

（參考數(shù)據(jù)：sin22°心旦，tan22°心2,sin31°2衛(wèi)，tan31°

85255

21.如圖，AB是O。的直徑，點(diǎn)C為。。上一點(diǎn)，連接2C,過點(diǎn)。作BC的垂線交8C于點(diǎn)尸，交O。于點(diǎn)

E,AE與交于點(diǎn)H,8。是。。的切線，交OE延長(zhǎng)線于。，連接BE,CE.

（1）求證：ZODB^ZAEC；

（2）若BH=15,tanA=2,求。。的半徑.

6

22.如圖1,正方形ABC。的頂點(diǎn)A,B的坐標(biāo)分別為(0,10),(8,4),頂點(diǎn)C,。在第一象限.點(diǎn)尸從點(diǎn)

A出發(fā)，沿正方形按A-B-C方向運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)。從點(diǎn)E(4,0)出發(fā)，沿x軸正方向以相同速度運(yùn)動(dòng),

當(dāng)點(diǎn)尸到達(dá)點(diǎn)C時(shí)，P,Q兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為f(s),△。尸0的面積S(平方單位).

(1)正方形ABCD的邊長(zhǎng)為；

(2)當(dāng)點(diǎn)P由點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)8時(shí),過點(diǎn)P作PMLy軸交y軸于點(diǎn)M,已知隨著點(diǎn)尸在A8上運(yùn)動(dòng)時(shí)聘力,

AM3

△OP。的面積S與時(shí)間f(s)之間的函數(shù)圖象為拋物線的一部分(如圖2所示)，

求：①點(diǎn)P,。兩點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度為;

②S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式為；

(3)當(dāng)點(diǎn)P由點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)，經(jīng)探究發(fā)現(xiàn)△OP。的面積S是關(guān)于時(shí)間f(s)的二次函數(shù)，其中S與

f部分對(duì)應(yīng)取值如下表：

t101520

S2876m

求：機(jī)的值及S關(guān)于/的函數(shù)關(guān)系式.

(4)在(2)的條件下若存在2個(gè)時(shí)刻a,t2(Zi</2)對(duì)應(yīng)的△。尸。的形狀是以O(shè)P為腰的等腰三角形,

點(diǎn)尸沿正方形按A-B-C方向運(yùn)動(dòng)時(shí)直接寫出當(dāng)七得％弓±2時(shí)，△OP。的面積S的值.

圖1圖2

23.【定義學(xué)習(xí)】

過平面內(nèi)一定點(diǎn)作兩條直線(不平行)的垂線，那么這個(gè)定點(diǎn)與兩個(gè)垂足構(gòu)成的三角形稱為“點(diǎn)足三角形”,

在“點(diǎn)足三角形”中，以這個(gè)定點(diǎn)為頂點(diǎn)的角稱為“垂角”.

如圖1,OAMi,OBM1,垂足分別為A、B,則為''點(diǎn)足三角形"，/AO8為“垂角”.

7

圖1圖2圖3

【性質(zhì)探究】

（1）兩條直線相交且所夾銳角為a度，則過平面內(nèi)一點(diǎn)所畫出的“點(diǎn)足三角形”的“垂角”度數(shù)為度

（用a表示）.

（2）如圖2,點(diǎn)。為平面內(nèi)一點(diǎn)，OAMA,OBLh,垂足分別為A、B,將“垂角”繞著點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)一個(gè)角

度，分別與/1,12,相交于C、D,連接CD求證：AOABSAOCD.

【遷移運(yùn)用】

（3）如圖3,/MPN=a，點(diǎn)A在射線上，點(diǎn)8是射線PN上的點(diǎn)，且tana=旦，B4=4.則的

4

外部是否存在一點(diǎn)。使得“點(diǎn)足三角形"的面積為22，若存在，求出此時(shí)尸8的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說明

25

理由.

參考答案與試題解析

一、選擇題（本題共10小題，每小題3分，共30分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要

求的）

1.（3分）2024的倒數(shù)是（）

A.2024B.-2024C.—」D.一」

20242024

【解答】解:2024的倒數(shù)是

2024

故選：C.

2.（3分）六個(gè)大小相同的正方體搭成的幾何體如圖所示，其左視圖是（）

8

【解答】解：由題意知，題中幾何體的左視圖為:

故選：D.

3.（3分）數(shù)學(xué)世界奇妙無窮，其中曲線是微分幾何的研究對(duì)象之一，下列數(shù)學(xué)曲線既是軸對(duì)稱圖形，又是中

心對(duì)稱圖形的是（）

B.是軸對(duì)稱圖形，不是中心對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)不合題意;

C.既是中心對(duì)稱圖形，也是軸對(duì)稱圖形，符合題意；

D.是軸對(duì)稱圖形，不是中心對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)不合題意.

故選：C.

4.（3分）下列運(yùn)算正確的是（

9

5

A.（-機(jī)2〃）3=_m6〃3B.m-m3=52

C.（m+2）2=m2+4D.（12m4-3m'）4-3m=4m3

【解答】解：（-加5）=-m6n3,故選項(xiàng)A正確；

m5-m3不能合并為一項(xiàng)，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；

。葉2）2=毋+4"計(jì)4,故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；

（12m4-3m）-j-3m=4m3-1,故選項(xiàng)D錯(cuò)誤；

故選：A.

5.（3分）學(xué)習(xí)電學(xué)知識(shí)后，小亮同學(xué)用四個(gè)開關(guān)A、B、C、D,一個(gè)電源和一個(gè)燈泡設(shè)計(jì)了一個(gè)電路圖，現(xiàn)

任意閉合其中兩個(gè)開關(guān)，則小燈泡發(fā)光的概率為（）

4323

【解答】解：畫樹狀圖如下：

開始

BCDACDABDABC

共有12種等可能的結(jié)果，其中小燈泡發(fā)光的結(jié)果有6種，即A。、BD、CD、DA,DB、DC,

.??小燈泡發(fā)光的概率為&=上,

122

故選：C.

6.（3分）一元二次方程/-3x+2=0的根的情況是（）

A.有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根

B.有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根

C.只有一個(gè)實(shí)數(shù)根

D.沒有實(shí)數(shù)根

【解答】解：/-3尤+2=0,

A=(-3)2-4XlX2=l>0,

10

所以方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,

故選：B.

7.（3分）如圖，一束平行于主光軸的光線經(jīng)凸透鏡折射后，其折射光線與一束經(jīng)過光心。的光線相交于點(diǎn)P,

.".Zl+Z<9FB=180",

VZ1=155°,

；./OFB=25°,

"：ZPOF=Z2=30°,

/.Z3=ZPOF+ZOFB=30°+25°=55°.

8.（3分）如圖，在△ABC中，AB^BC^AC,。是2C的中點(diǎn)，于點(diǎn)E,則的面積與△ABC

的面積之比為（）

【解答】解:連接AD,

'：AB=BC^AC,

：.AABC是等邊三角形,

:,。是2C的中點(diǎn)，

：.AD1BC,

設(shè)等邊三角形的邊長(zhǎng)為a,

11

貝!JBD=L,

2__________

根據(jù)勾股定理，得AD==與。,

*e,AABC的面積

VAABC是等邊三角形,

.\ZB=60°,

■:DELAB,

：.ZBED=90°,

：.ZBDE=30°,

.\BE=—BD=-X^La=^a,

2224

根據(jù)勾股定理，DE=)碼)2Ga)2=與a,

,?ABED的面積=_^BE，DE=￡4a?乎~a=W~a2，

.?.△BOE的面積與△ABC的面積之比為(△叵軟2)：(1a2)=1：8,

故選：A.

9.（3分）從前有一天，一個(gè)笨漢拿著竹竿進(jìn)屋，橫拿豎拿都進(jìn)不去，橫著比門框?qū)?尺，豎著比門框高2尺.他

的鄰居教他沿著門的兩個(gè)對(duì)角斜著拿竿，這個(gè)笨漢一試，不多不少剛好進(jìn)去了.求竹竿有多長(zhǎng).設(shè)竹竿長(zhǎng)

x尺，則根據(jù)題意，可列方程（）

A.(x+4)2+(%+2)2=/B.(x-4)2+(x-2)2=/

C.(x-4)2+(x+2)2=/D.(x+4)2+(x-2)2=/

【解答】解：:竹竿的長(zhǎng)為1尺，橫著比門框?qū)?尺，豎著比門框高2尺.

12

門框的長(zhǎng)為（x-2）尺，寬為（x-4）尺，

.,?可列方程為（x-4）2+（%-2）2=/,

故選:B.

10.（3分）如圖，在矩形4BCD中，點(diǎn)E在AO上，且EC平分/BED,AB=2,ZABE=45°,則。E的長(zhǎng)

為（）

A.272-2B..11.-1C.V3-1D.2^2

【解答】解：???四邊形ABC。為矩形，

J.AD//BC,AD=BC,NA=90°,

'：AB=2,ZAB￡=45°,

：.AE=AB^2,

??BE=7AB2+AE2=2版,

'：AD//BC,

：.ZDEC^ZECB,

?:EC平分/BED,

:.NBEC=NDEC,

：.ZBEC=ZECB,

:.BC=BE=2a，

：.AD=242,

：.DE^AD-AE=2近-2,

故選：A.

二、填空題

11.（3分）式子J荔在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則實(shí)數(shù)x的取值范圍是x25

【解答】解：式子J羨在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x-5'O,

故實(shí)數(shù)x的取值范圍是：x25.

故答案為：尤25.

13

12.(3分)分解因式：4/-4=4(x+1)(x-1).

【解答】解：原式=4(x2-1)=4(x+1)(x-1).

故答案為：4(x+1)(x-1).

13.(3分)一個(gè)正多邊形的每個(gè)外角的度數(shù)是72。，則這個(gè)正多邊形的邊數(shù)是二

【解答】解：360+72=5,那么它的邊數(shù)是5.

14.(3分)如圖，在直角△A3。中，AO=M，AB=1,將△AB。繞點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)105°至4。的

位置，點(diǎn)E是。夕的中點(diǎn)，且點(diǎn)E在反比例函數(shù)y=區(qū)的圖象上，則々的值為

【解答】解：如圖，作即，x軸，垂足為

?*,BO=VAB2+AO2=2-

：.AB=^BO.

2

/.30°.

又△A3。繞點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)105°至B'。的位置,

/BOB'=105°.

.?./B'OX=45°.

又點(diǎn)E是OB，的中點(diǎn)，

：,OE=1BO=I.

2

在Rtz^EO”中，

N3'OX=45

14

：.EH=OH=J^-OE=^.

_22

：.E（亞,迎）.

22

又￡在y=K上，

X

...仁返_乂亞”.

222

故答案為：1.

2

15.（3分）如圖，正方形ABC。中，4。=9,點(diǎn)E是對(duì)角線2。上一點(diǎn)，連接AE,過點(diǎn)E作交BC

于點(diǎn)F,連接AF,交BD于點(diǎn)G,將△EEG沿EF翻折，得到連接AM,交EF于點(diǎn)N,若BF=LBC,

3

則線段AM的長(zhǎng)是對(duì)遠(yuǎn)

【解答】解：???四邊形ABC。是正方形,

：.AD//BC,AB=BC=A￡>=9,

：.BF=1BC=3,

3

在中，根據(jù)勾股定理得:

AF=7AB2+BF2=792+32=3,

'：AD//BC,

：.叢AGDsAFGB,

.AG=AD

"FG防’

.AG=2=3

"FG百

：.AG^3FG,

'：AG+FG=AF,

.,.3FG+FG=3l5,

15

7,

：.AF=4FG=3-/10,

*：BD是正方形ABCD的對(duì)角線，

AZABZ)=45°,

VEFXAE,

AZAEF=90°=NABC,

：.ZABC+ZAEF=180°,

???點(diǎn)A,B,F,E四點(diǎn)共圓,

：.ZEFG=ZABD=45°,

???將△4G沿EF翻折，得到△EFM,

:?FG=FM,/EFM=/EFG,

:?FM=FG=SJ^,/EFM=/EFG=45

：.ZAFM=ZEFM^ZEFG=450+45°=90°,

2

/.AM=7AF2+FH2=^(3^)2+(3^0_)=3V17p_

故答案為：3Vnp_.

三、解答題

16.(1)計(jì)算：3tan30°-(^-)2+|V3-2|;

【解答】解：(1)3tan300-(y)-2+|^/3-2|

=3X^-4+2-V3

3

=73-4+2-V3

16

=1

^3'

17.在進(jìn)一步發(fā)展國(guó)民經(jīng)濟(jì)，努力實(shí)現(xiàn)全體人民共同富裕的大背景下，“提高農(nóng)民的收入，提升農(nóng)民的幸福感”

成為了某鎮(zhèn)政府的核心任務(wù).2023年，該鎮(zhèn)主要的兩種作物總產(chǎn)量如表：

類別小麥大豆

總產(chǎn)量/萬公斤1440270

通過統(tǒng)計(jì)與計(jì)算，發(fā)現(xiàn)小麥的畝產(chǎn)量是大豆畝產(chǎn)量的4倍，小麥的種植面積比大豆的種植面積多5000畝.

（1）求小麥的種植面積.

（2）為提高農(nóng)民收入，鎮(zhèn)政府決定從種植小麥的土地中，撥出一部分土地改種經(jīng)濟(jì)價(jià)值更高的蔬菜，要求

改種蔬菜的面積不超過剩余種植小麥面積的四分之一.求改種蔬菜的土地的最大面積.

x-5000x

即1080=1440

x-5000x

方程兩邊同乘X（X-5000）,

得1080%=1440（%-5000）,

解得x=20000.

檢驗(yàn)：當(dāng)尤=20000時(shí)，尤（尤-5000）W0,

.*.x=20000是分式方程的解.

答：小麥的種植面積為20000畝；

（2）設(shè)改種蔬菜的面積為y畝，

根據(jù)題意得y<]（20000-y）?

解得yW4000.

答:改種蔬菜的最大面積為4000畝.

18.近日，教育部印發(fā)了《關(guān)于舉辦第三屆中華經(jīng)典誦寫講大賽的通知》，本屆大賽以“傳承中華經(jīng)典，慶祝

建黨百年”為主題，分為“誦讀中國(guó)”經(jīng)典誦讀，“詩(shī)教中國(guó)”詩(shī)詞講解，“筆墨中國(guó)”漢字書寫，“印記中

國(guó)”印章篆刻比賽四類（依次記為A,B,C,D）.為了解同學(xué)們參與這四類比賽的意向，某校學(xué)生會(huì)從有

意向參與比賽的學(xué)生中隨機(jī)抽取若干名學(xué)生進(jìn)行了問卷調(diào)查（調(diào)查問卷如圖所示），所有問卷全部收回，并

17

將調(diào)查結(jié)果繪制成如下所示的統(tǒng)計(jì)圖和統(tǒng)計(jì)表（均不完整）.請(qǐng)根據(jù)圖表提供的信息，解答下列問題:

“中華經(jīng)典誦寫講大賽''參賽意向調(diào)查問卷

請(qǐng)?jiān)谙铝羞x項(xiàng)中選擇您有參賽意向的選項(xiàng)，

在其后“[]”內(nèi)打“，”，非常感謝您的合作.

A.“誦讀中國(guó)''經(jīng)典誦讀[]

B.“詩(shī)教中國(guó)”詩(shī)詞講解[]

C.“筆墨中國(guó)”漢字書寫[]

D.“印記中國(guó)''印章篆刻[】

類別占調(diào)查人數(shù)的百分比

A70%

B30%

Cm

D20%

（1）參與本次問卷調(diào)查的總?cè)藬?shù)為120人,統(tǒng)計(jì)表中C的百分比拼為50%；

（2）請(qǐng)補(bǔ)全統(tǒng)計(jì)圖；

（3）小華想用扇形統(tǒng)計(jì)圖反映有意向參與各類比賽的人數(shù)占被調(diào)查總?cè)藬?shù)的百分比，是否可行？若可行，

求出表示C類比賽的扇形圓心角的度數(shù)；若不可行，請(qǐng)說明理由；

（4）學(xué)校“詩(shī)教中國(guó)”詩(shī)詞講解大賽初賽的規(guī)則是：組委會(huì)提供“春”“夏”“秋”“冬”四組題目（依次

記為6,c,d,e）,由電腦隨機(jī)給每位參賽選手派發(fā)一組.選手根據(jù)題目要求進(jìn)行詩(shī)詞講解.請(qǐng)用列表或畫

樹狀圖的方法求甲，乙兩名選手抽到的題目在同一組的概率.

【解答】解：（1）調(diào)查人數(shù)為：844-70%=120（人），

C的百分比為：60^-120X100%=50%,

故答案為：120,50%；

（2）8組的人數(shù)=120X30%=36（人），

18

補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖如下:

如：由統(tǒng)計(jì)表可知70%+30%+50%+20%>1.即有意向參與比賽的人數(shù)占調(diào)查總?cè)藬?shù)的百分比之和大于1；

或84+60>120,即有意向參與A類與C類的人數(shù)之和大于總?cè)藬?shù)120；

（4）用列表法表示所有可能出現(xiàn)的結(jié)果情況如下：

手

乙選至WPQR

WWWPWQWRW

PWPPPQPRP

QWQPQQQRQ

RWRPRQRRR

共有16中等可能出現(xiàn)的結(jié)果，其中甲、乙抽到的題目在同一組的有4種，

所以甲、乙抽到的題目在同一組的概率為且=2.

164

19.每年的3月12日是我國(guó)的植樹節(jié)，某市園林局在3月12日當(dāng)天安排甲、乙兩個(gè)小組共種植220棵株體較

大的銀杏樹，要求在5小時(shí)內(nèi)種植完畢，已知第1個(gè)小時(shí)兩個(gè)小組共植樹35棵，甲組植樹過程中由于起重

機(jī)出故障，中途停工1個(gè)小時(shí)進(jìn)行維修，然后提高工作效率，直到與乙組共同完成任務(wù)為止，設(shè)甲、乙兩

個(gè)小組植樹的時(shí)間為x（小時(shí)），甲組植樹數(shù)量為y甲（棵），乙組植樹數(shù)量為丫乙（棵），y甲，y乙與x之間的

函數(shù)關(guān)系圖象如圖所示，

（1）求y乙與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出x的取值范圍；

（2）求m、w的值；

（3）直接寫出甲、乙兩個(gè)小組經(jīng)過多長(zhǎng)時(shí)間共植樹165棵？

19

【解答】解：（1）設(shè)y乙與x之間的函數(shù)關(guān)系式是＞乙=質(zhì)，

;點(diǎn)（5,100）在該函數(shù)圖象上，代入關(guān)系式得：100=5左，

解得左=20,

即y乙與x之間的函數(shù)關(guān)系式是y乙=20x（0WxW5）；

（2）根據(jù)題意得，

乙每小時(shí)植樹：100+5=20（棵），

則甲每小時(shí)植樹：35-20=15（棵），

.*.n=15,m=120,

即m的值是120,n的值是15；

（3）設(shè)甲、乙兩個(gè)小組經(jīng)過a小時(shí)共植樹165棵，

甲2小時(shí)之后每小時(shí)植樹：（120-15）+（5-2）=105+3=35（棵），

20a+15+35（a-2）=165,

解得：a=4,

答：甲、乙兩個(gè)小組經(jīng)過4小時(shí)共植樹165棵.

20.為響應(yīng)國(guó)家的“節(jié)能減排”政策，某廠家開發(fā)了一種新型的電動(dòng)車，如圖，它的大燈A射出的光線A3、

AC與地面跖V的夾角分別為22°和31°,AT1MN,垂足為T,大燈照亮地面的寬度BC的長(zhǎng)為反”

6

（1）求BT的長(zhǎng)（不考慮其他因素）.

（2）一般正常人從發(fā)現(xiàn)危險(xiǎn)到做出剎車動(dòng)作的反應(yīng)時(shí)間是0.2s,從發(fā)現(xiàn)危險(xiǎn)到電動(dòng)車完全停下所行駛的距

離叫做最小安全距離.某人以20km/h的速度駕駛該車，從做出剎車動(dòng)作到電動(dòng)車停止的剎車距離是當(dāng)『

9

請(qǐng)判斷該車大燈的設(shè)計(jì)是否能滿足最小安全距離的要求（大燈與前輪前端間水平距離忽略不計(jì)），并說明理

由.

（參考數(shù)據(jù)：sin22°七三，tan22°-2,sin31°七23,tan31°

85255

20

【解答】解：⑴根據(jù)題意及圖知：NACT=31°,NABT=22。

"：AT±MN

：./ATC=90°

在RtA4CT中，ZACT=31

tan31AT3

Cf"5

可設(shè)AT=3x米，則CT=5x米,

在Rt"BT中，ZABT=22°

?,.tan22°=AL=AT用

BTBC<T5

?,?CT=5x]-|(M，

???BT=BC?

b3春Z；

⑵20km/h=-^-in/sf

患X0.2=￥『

yy

10148、5

9932

...該車大燈的設(shè)計(jì)不能滿足最小安全距離的要求.

21.如圖，AB是。。的直徑，點(diǎn)C為。。上一點(diǎn)，連接BC,過點(diǎn)。作BC的垂線交BC于點(diǎn)R交。。于點(diǎn)

E,AE與BC交于點(diǎn)反，8。是。。的切線，交OE延長(zhǎng)線于。，連接BE,CE.

(1)求證：ZODB=ZAEC；

(2)若BH=15,tanA=旦，求。。的半徑.

21

A

【解答】(1)證明：???30是。。的切線，是。0的直徑,

：.ABLBD,即ND03+N005=90°,

,?0FLBC,

：.ZFOB+ZOBF=90°,

：.Z0DB=ZABC,

,?ZAEC=AABC,

：.ZODB=ZAEC；

(2)連接BE,

OELBC,

：.OE1垂直平分BC,

:?BF=CF,BE=CE,

：.ZCBE=ZBCE=NBAE,

?.?ZBEH=NAEB,

：.LABEsABHE,

：.ZEBH=ZA,

?「AB為。。的直徑，

ZAEB=90°,

在RtABEH中，tan/EBH=tanA=f7,

4

'：tanZEBH=^,

BE

22

?*-EH=^-BE）

由勾股定理得，BH2=BE1+HE1,即eBE）2+BE2=BM=152，

解得：BE=12或-12（舍），

V+anA=—>tanA=^^,

tanA4AE

?BE=2,

"AET

：.AE=16,

48=7AE2+BE2=20，

：.QO的半徑為10.

22.如圖1,正方形ABCD的頂點(diǎn)A,8的坐標(biāo)分別為（0,10）,（8,4）,頂點(diǎn)C,。在第一象限.點(diǎn)尸從點(diǎn)

A出發(fā)，沿正方形按A-B-C方向運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)。從點(diǎn)E（4,0）出發(fā)，沿x軸正方向以相同速度運(yùn)動(dòng),

當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)C時(shí)，P,。兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為f（s）,△。尸。的面積S（平方單位）.

（1）正方形A2CD的邊長(zhǎng)為10；

（2）當(dāng)點(diǎn)尸由點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B時(shí)，過點(diǎn)P作PMLy軸交y軸于點(diǎn)M,已知隨著點(diǎn)尸在A8上運(yùn)動(dòng)時(shí)映

AM3

△OP。的面積S與時(shí)間，（s）之間的函數(shù)圖象為拋物線的一部分（如圖2所示），

求：①點(diǎn)P，。兩點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度為1單位/秒；

②s關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式為—s=-nrt2-^-t+20（o<t<10）—；

1Ub

（3）當(dāng)點(diǎn)P由點(diǎn)8運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)，經(jīng)探究發(fā)現(xiàn)△OP。的面積S是關(guān)于時(shí)間f（s）的二次函數(shù)，其中S與

t部分對(duì)應(yīng)取值如下表：

t101520

S2876m

求：機(jī)的值及S關(guān)于/的函數(shù)關(guān)系式.

（4）在（2）的條件下若存在2個(gè)時(shí)刻fi,t2（M</2）對(duì)應(yīng)的△。尸。的形狀是以O(shè)P為腰的等腰三角形,

點(diǎn)尸沿正方形按A-B-C方向運(yùn)動(dòng)時(shí)直接寫出當(dāng)七號(hào)％弓土2時(shí)，△°F。的面積S的值.

23

圖1圖2

【解答】解：⑴VA,B的坐標(biāo)分別為(0,10),(8,4),

?*-AB=V(0-8)2+(10-4)2=10'

正方形的邊長(zhǎng)為10,

故答案為：10；

(2)①由圖2可知，當(dāng)f=10時(shí)，5=28,此時(shí)點(diǎn)尸從A點(diǎn)移動(dòng)到8點(diǎn),

；.點(diǎn)P從A點(diǎn)移動(dòng)到2點(diǎn)用了10s,

由(1)得：48=10,

V104-10=1,

.：P、。兩點(diǎn)的速度為1單位/秒，

故答案為：1單位/秒；

圖1

由題意得：AP—t,EQ—t,。4=10,

OQ=OE^EQ=4^-t,

???—PA二—5，

AM3

.3

,,AM『，

b

.3

??OM=OA-AM=10-V

b

24

即S=4oQ?OM=/(t+4)(10咯t)=Wt2老t+20(O<t<10)'

NZb1Ub

(3)由題意可得：

由題意可得：t=20時(shí)，點(diǎn)尸運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C處，EQ=20,

，0。=0E+EQ=4+20=24,

過點(diǎn)C作軸于H,過點(diǎn)8作BGLy軸交CH于點(diǎn)N,如圖2,

圖2

則CN±CH,

：.ZAGB=ZBNC=ZCHO=900,

：.ZBAG+ZABG^90°,四邊形OG7/N為矩形,

?..四邊形A8CD是正方形，

：.AB=BC,ZABC=90°,

：.ZCBN+ZABG=9Qa,

:./CBN=/BAG,

:.△ABGWMCN(AAS),

VA,2的坐標(biāo)分別為(0,10),(8,4),

：.AG=6,BG=8,0G=4,

:.AG=BN=6,BG=CN=8,NH=OG=4,

；.CH=4+8=12,GN=8+6=14,

...點(diǎn)C坐標(biāo)(14,12),

.1

?或X24X12=144，

設(shè)S關(guān)于f的函數(shù)關(guān)系式為S=aF+bt+c,

'100a+10b+c=28①

J225a+15b+c=76②，

400a+20b+c=144?

25

由②-①，③-②得：［125a+5b=48,

I175a+5b=68

f_2_

a=?

解得：卜2,

b=T

c=-8

.9o9

,,Syt-8(10Vt420)；

bb

(4)解：由題意得：AP=t,EQ=t,OA10,

OQ=OE^-EQ=4+t,

.?.—PA二—5,

AM3

.3

,■AM『，

b

PM=VAP2-AM2冬，

b

???OM=OA-AM=10^3-V

b

當(dāng)。尸=尸。時(shí)，作PK_LOQ于K,如圖3,

.1

??MP=OK=yOQ'

?41.、

(4+t)'

D/

解得：t吟；

當(dāng)OP=OQ時(shí)，MP-+OM2^OP~,

A2Q2

；?(^t)+(10-r-t)=(4+t)2'

DD

解得：t旦，

5

26

綜上可得：t,巨，tc衛(wèi)■，

“523

二當(dāng)/=12時(shí)，S=^|-X122-|-X12-8-^j^-

555

23.【定義學(xué)習(xí)】

過平面內(nèi)一定點(diǎn)作兩條直線（不平行）的垂線，那么這個(gè)定點(diǎn)與兩個(gè)垂足構(gòu)成的三角形稱為“點(diǎn)足三角形”,

在“點(diǎn)足三角形”中，以這個(gè)定點(diǎn)為頂點(diǎn)的角稱為“垂角”.

（1）兩條直線相交且所夾銳角為a度，則過平面內(nèi)一點(diǎn)所畫出的“點(diǎn)足三角形”的“垂角”度數(shù)為_jx

度（用a表示）.

（2）如圖2,點(diǎn)。為平面內(nèi)一點(diǎn)，0B±l2,垂足分別為A、B,將“垂角”繞著點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)一個(gè)角

度，分別與/1,12,相交于C、D,連接CD求證：AOABsAocD.

【遷移運(yùn)用】

（3）如圖3,/MPN=a，點(diǎn)A在射線上，點(diǎn)B是射線PN上的點(diǎn)，MtanCt=2,抬=4.則/MPN

4

的外部是否存在一點(diǎn)。使得“點(diǎn)足三角形048"的面積為皇，若存在，求出此時(shí)尸3的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)

25

說明理由.

【解答】（1）解：如圖1,,：ZCAO=ZCBO=90°,

...點(diǎn)A,點(diǎn)3,點(diǎn)。，點(diǎn)C四點(diǎn)共圓，

ZACB=ZAOB=a,

“垂角”度數(shù)為a度，

故答案為：a；

27

(2)...將“垂角”繞著點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度，分別與/1,12,相交于C、D,

：.ZAOC=ZBOD,

\'OA±AC,OB±BD,

.?.在RtZkCAO中，cos/AOC=空，

oc

在Rtz\D20中，cosNBOD=包，

OD

cosZAOC=cosZBOD,

即處幽，

OCOD

又：ZAOB^ZCOD,

:.△ONBsXOCD.

(3)當(dāng)定點(diǎn)。在兩直線的同側(cè)，且在PN的下方時(shí)，令0A與PN交于點(diǎn)、D,過點(diǎn)A作AELPN于點(diǎn)E,

如圖：

'：OA1PM,OBLPN,且

NP=NO=a,

又,：AELPN,OALPM,ZADP=ZADP,

/P=NEAD=a,

在RtZ\B4￡)中，tanP=tana=￡?>=3,B4=4,

AP4

???AO=3,

:，PD=NAP2+AD2=V16+9=5,

在RtAEAZ)中，tanNE4Z)=tana=E5L屈，

AE4

設(shè)0E=3x,貝！jAE=4x,且A0=3,

在RtZXEA。中，AD2=AE2+DE2