人教版九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)《點(diǎn)和圓、直線和圓的位置關(guān)系（第2課時(shí)）》示范教學(xué)設(shè)計(jì)

點(diǎn)和圓、直線和圓的位置關(guān)系（第2課時(shí)）教學(xué)目標(biāo)1．理解不在同一條直線上的三個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)圓，掌握過不在同一條直線上的三個(gè)點(diǎn)作圓的方法．2．理解三角形的外接圓和外心的概念，會(huì)畫三角形的外接圓．3．經(jīng)歷探索過點(diǎn)畫圓的過程，體會(huì)數(shù)形結(jié)合、分類討論的數(shù)學(xué)思想，提高分析問題、解決問題的能力．教學(xué)重點(diǎn)理解不在同一條直線上的三個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)圓；掌握三角形的外接圓和外心的概念．教學(xué)難點(diǎn)經(jīng)歷不在同一條直線上的三個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)圓的探索過程，并能過不在同一條直線上的三個(gè)點(diǎn)作圓．教學(xué)過程知識(shí)回顧1．幾個(gè)點(diǎn)確定一條直線？【師生活動(dòng)】學(xué)生獨(dú)立思考后回答．【答案】兩點(diǎn)確定一條直線．2．如何確定一個(gè)圓？【師生活動(dòng)】教師出示題目，學(xué)生獨(dú)立思考后回答．【答案】如果確定了圓心和半徑，那么這個(gè)圓的位置和大小就被確定了．【設(shè)計(jì)意圖】帶領(lǐng)學(xué)生先復(fù)習(xí)“兩點(diǎn)確定一條直線”的基本事實(shí)，鞏固基礎(chǔ)，在此基礎(chǔ)上提出：類似兩點(diǎn)確定一條直線，對(duì)于圓來說，是否也有幾點(diǎn)確定的問題呢？由此引出本節(jié)課的學(xué)習(xí)內(nèi)容．新知探究一、探究學(xué)習(xí)【問題】我們知道，已知圓心和半徑，可以作一個(gè)圓．經(jīng)過一個(gè)已知點(diǎn)A能不能作圓，這樣的圓你能作出多少個(gè)？【師生活動(dòng)】學(xué)生自己動(dòng)手畫圖，教師展示分析過程，學(xué)生獨(dú)立思考得出答案．【答案】經(jīng)過已知點(diǎn)A作圓，當(dāng)圓心確定后，半徑也就隨之確定，這時(shí)作圓的問題就轉(zhuǎn)化為確定圓心的問題．因此，經(jīng)過一個(gè)點(diǎn)A作圓，只要以點(diǎn)A以外任意一點(diǎn)為圓心，以這一點(diǎn)與點(diǎn)A的距離為半徑就可以作出．這樣的圓有無數(shù)個(gè)．【問題】經(jīng)過兩個(gè)已知點(diǎn)A，B能不能作圓？如果能，圓心分布有什么特點(diǎn)？【師生活動(dòng)】學(xué)生自己動(dòng)手畫圖，教師展示分析過程，學(xué)生獨(dú)立思考進(jìn)行填空．【分析】經(jīng)過兩點(diǎn)A，B作圓，因?yàn)閳A心到A，B的距離相等，所以圓心應(yīng)在線段AB的垂直平分線上．線段AB的垂直平分線上有無數(shù)個(gè)點(diǎn)，所以這樣的圓心有無數(shù)個(gè)，這樣的圓也可以作出無數(shù)個(gè)．【設(shè)計(jì)意圖】從過一點(diǎn)、過兩點(diǎn)作圓開始探究，引導(dǎo)學(xué)生知道：過已知點(diǎn)作圓，關(guān)鍵是確定圓心，能作多少個(gè)圓，取決于圓心的位置和圓心的個(gè)數(shù)．為后面過三點(diǎn)作圓做好準(zhǔn)備．【問題】經(jīng)過不在同一條直線上的三個(gè)點(diǎn)A，B，C能不能作圓？如果能，如何確定所作圓的圓心？【師生活動(dòng)】學(xué)生自己動(dòng)手畫圖，教師展示分析過程，學(xué)生小組討論：如何確定所作圓的圓心．【分析】經(jīng)過不在同一條直線上的A，B，C三點(diǎn)作圓，這就需要確定一個(gè)點(diǎn)作為圓心，使它到A，B，C三點(diǎn)的距離相等，因此圓心既要在線段AB的垂直平分線上，又要在線段BC（或AC）的垂直平分線上．【答案】連接AB，BC，分別作線段AB，BC的垂直平分線l1和l2，設(shè)它們的交點(diǎn)為O，則OA＝OB＝OC．于是以點(diǎn)O為圓心，OA（或OB，OC）為半徑，便可作出經(jīng)過A，B，C三點(diǎn)的圓．因?yàn)閮蓷l垂直平分線的交點(diǎn)只有一個(gè)，所以只有一個(gè)圓心，即這樣的圓只有一個(gè)．【新知】不在同一條直線上的三個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)圓．提醒：（1）三個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)圓的前提是“三個(gè)點(diǎn)不在同一條直線上”．（2）“確定”的含義是“有且只有”的意思，即經(jīng)過不在同一條直線上的三點(diǎn)有且只有一個(gè)圓．【設(shè)計(jì)意圖】通過探索，讓學(xué)生知道不在同一條直線上的三個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)圓，幫助學(xué)生實(shí)現(xiàn)直觀感知、操作實(shí)驗(yàn)和邏輯推理三者的有機(jī)結(jié)合．【新知】由圖可以看出，經(jīng)過三角形三個(gè)頂點(diǎn)可以作一個(gè)圓，這個(gè)圓叫做三角形的外接圓，這個(gè)三角形叫做這個(gè)圓的內(nèi)接三角形．外接圓的圓心是三角形三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)，叫做這個(gè)三角形的外心．如圖，⊙O是△ABC的外接圓，或者說△ABC內(nèi)接于圓O．點(diǎn)O是△ABC的外心．【練習(xí)】請(qǐng)作出銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形的外接圓．這些外接圓的圓心在什么位置？ 【師生活動(dòng)】學(xué)生獨(dú)立完成，一名學(xué)生展示答案．【答案】如圖． 銳角三角形的外心在三角形的內(nèi)部，直角三角形的外心是斜邊的中點(diǎn)，鈍角三角形的外心在三角形的外部．【歸納】（1）銳角三角形的外心在三角形的內(nèi)部；直角三角形的外心是斜邊的中點(diǎn)；鈍角三角形的外心在三角形的外部．因此可由外心的位置判斷三角形的形狀．（2）三角形外心到三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，等于其外接圓的半徑．（3）因?yàn)槿我庖粋€(gè)三角形的三個(gè)頂點(diǎn)都不在同一直線上，所以任意一個(gè)三角形有且只有一個(gè)外接圓；順次連接圓上任意三點(diǎn)，都可以得到圓內(nèi)接三角形，也就是說，一個(gè)圓有無數(shù)個(gè)內(nèi)接三角形．【設(shè)計(jì)意圖】讓學(xué)生初步掌握畫三角形的外接圓的方法，加深對(duì)三角形的外接圓和外心的概念的理解．二、典例精講【例1】如圖是一塊破損的圓形模板，木工師傅想要將它修復(fù)為原來的模樣，你有辦法復(fù)原嗎？（保留作圖痕跡）【師生活動(dòng)】學(xué)生根據(jù)分析完成解答，教師給予指導(dǎo)．【分析】對(duì)于已知圓上的某段弧，作出全部圓的問題，實(shí)質(zhì)上屬于確定圓心的問題，解決此類問題的方法是在圓弧上任意找三點(diǎn)，形成兩條線段，這兩條線段垂直平分線的交點(diǎn)就是圓心，圓心到圓弧上任意點(diǎn)的距離就是半徑．【答案】解：在圓弧上任取三點(diǎn)A，B，C，連接AB，BC．分別作出AB，BC的垂直平分線，其交點(diǎn)為O．連接AO，以O(shè)為圓心，AO為半徑，畫出這個(gè)圓．【歸納】確定圓心的方法（1）不在同一條直線上的三點(diǎn)確定一個(gè)圓，三點(diǎn)所連線段的垂直平分線的交點(diǎn)即為圓心；（2）先確定直徑，兩條直徑的交點(diǎn)或一條直徑的中點(diǎn)即為圓心．【設(shè)計(jì)意圖】通過例題，幫助學(xué)生鞏固過不在同一條直線上的三個(gè)點(diǎn)作圓的方法．【例2】在△ABC中，BC＝24cm，外心O到BC的距離為6cm，求△ABC的外接圓半徑．【師生活動(dòng)】學(xué)生獨(dú)立完成解答，一名學(xué)生板書解答，教師給予指導(dǎo)．【答案】解：如圖，連接OB，過點(diǎn)O作OD⊥BC于點(diǎn)D，則OD＝6cm．∵外心O是△ABC三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)．∴BD＝BC＝12cm．∵在Rt△OBD中，OD＝6cm，BD＝12cm，∴OB＝＝＝6cm．即△ABC的外接圓的半徑為6cm．【歸納】巧作輔助線求解與三角形外接圓有關(guān)的計(jì)算在與三角形的外接圓有關(guān)的計(jì)算中，經(jīng)常連接圓心與三角形的頂點(diǎn)，這樣作輔助線可出現(xiàn)圓心角、半徑等，為利用圓心角定理、垂徑定理、勾股定理等進(jìn)行解題創(chuàng)造了條件．三、拓展提升【思考】過任意三點(diǎn)都不在同一直線上的四點(diǎn)能作一個(gè)圓嗎？也就是說過任意一個(gè)四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)能作一個(gè)圓嗎？【師生活動(dòng)】教師提出問題，學(xué)生思考，回答問題．【分析】要想過四點(diǎn)作圓，應(yīng)先作出經(jīng)過不在同一條直線上的三點(diǎn)的圓，若第四個(gè)點(diǎn)到圓心的距離等于半徑，則第四個(gè)點(diǎn)在圓上，否則不在圓上．【設(shè)計(jì)意圖】由經(jīng)過三角形三個(gè)頂點(diǎn)可以作一個(gè)圓想到經(jīng)過四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)是否可以作一個(gè)圓，從學(xué)生已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，獲得探究問題的方向，為后續(xù)的探究做好準(zhǔn)備．【問題】過下列四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)能作一個(gè)圓嗎？【師生活動(dòng)】學(xué)生自己動(dòng)手畫圖，教師展示動(dòng)畫．【答案】如圖．【思考】分別測(cè)量上面各四邊形的內(nèi)角，你發(fā)現(xiàn)四邊形的哪些元素決定了過它的四個(gè)頂點(diǎn)可以作一個(gè)圓？能再找?guī)讉€(gè)四邊形驗(yàn)證嗎？【師生活動(dòng)】學(xué)生先自己動(dòng)手測(cè)量，小組交流，師生一起總結(jié)．【新知】過對(duì)角互補(bǔ)的四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)可以作一個(gè)圓．【設(shè)計(jì)意圖】讓學(xué)生學(xué)會(huì)利用特例去對(duì)問題進(jìn)行研究，從特殊到一般情形，一步一