人教版九年級數(shù)學上冊《弧長和扇形面積（第1課時）》示范教學設計

弧長和扇形面積（第1課時）教學目標1．經歷探索弧長和扇形面積公式的過程，培養(yǎng)學生的探索能力，并會利用弧長公式、扇形面積公式解決問題.2．在弧長和扇形面積計算公式的探究過程中，理解局部與整體之間的關系，感受轉化、類比的數(shù)學思想．教學重點弧長公式及扇形面積公式的推導和應用．教學難點利用扇形面積公式解決不規(guī)則圖形的面積問題．教學過程新知探究一、探究學習【思考】（1）什么是??？（2）什么是弧長？【追問】如何求弧長？【師生活動】學生根據前面學過的知識得出答案：（1）弧是圓的一部分；（2）弧長是弧的長度，就是圓周長的一部分．教師引導學生思考如何求弧長．【設計意圖】通過簡單的問題串，讓學生初步感知弧長的實際意義，為學習弧長公式做鋪墊．【問題】（1）半徑為R，圓心角為1°的弧長是多少？（2）半徑為R，圓心角為2°的弧長是多少？（3）半徑為R，圓心角為90°的弧長是多少？【師生活動】教師引導學生得出（1）～（3）的答案：（1）1°的弧長是圓周長的，即；（2）2°是1°的2倍，所以弧長也是1°的弧長的2倍，即；（3）90°是1°的90倍，所以弧長也是1°的弧長的90倍，即．【設計意圖】引導學生關注圓心角的大小，讓學生體驗弧長公式的推導過程．【追問】（4）半徑為R，圓心角為n°的弧長是多少？【師生活動】學生獨立思考，n°的圓心角所對的弧長是1°的圓心角所對弧長的n倍，半徑為R的圓周長為2πR，利用1°的圓心角所對的弧長乘n，就可以得到n°的圓心角所對的弧長為．教師強調注意點：n表示1°的圓心角的倍數(shù)，它是不帶單位的，公式中，180也是不帶單位的．【新知】n°的圓心角所對的弧長為．【設計意圖】讓學生經歷從整體到部分的研究過程，從圓周長公式出發(fā)推導出弧長公式．【問題】弧長的大小由哪些量決定？【師生活動】學生獨立思考，根據弧長公式，可得180和π是常數(shù)，n和R是變量．弧的長度與圓心角的度數(shù)和圓的半徑有關：當圓的半徑一定時，圓心角的度數(shù)越大，弧的長度越大；當圓心角的度數(shù)一定時，圓的半徑越大，弧的長度越大．【設計意圖】通過辨析弧長公式，讓學生加深對弧長公式的理解．【練習】1．已知一條弧所對的圓心角為90°，半徑是4，則弧長為________．2．已知一條弧的半徑為9，弧長為8π，那么這條弧所對的圓心角為________．3．鐘表的軸心到分針針端的長為5cm，那么經過40分鐘，分針針端轉過的弧長是（）cm．A． B． C． D．【答案】1．2π；2．160°；3．B．【設計意圖】通過練習，考察學生對弧長公式的掌握情況．二、典例精講【例1】制造彎形管道時，經常要先按中心線計算“展直長度”，再下料，試計算如圖所示的管道的展直長度L（結果取整數(shù)）．【分析】管道的展直長度L＝AC的長＋BD的長＋弧AB的長．【答案】解：由弧長公式，得的長l＝＝500π≈1570（mm）．則展直長度L≈2×700＋1570＝2970（mm）．【設計意圖】通過實際問題，鞏固學生對弧長公式的理解．三、探究新知【新知】由組成圓心角的兩條半徑和圓心角所對的弧圍成的圖形叫做扇形．【思考】如圖，扇形面積就是圓面積的一部分，想一想，如何計算圓的面積？如何計算扇形的面積呢？【師生活動】學生獨立思考，得出圓的面積公式；教師引導學生思考扇形的面積與哪些量有關．【問題】（1）半徑為R，圓心角為1°的扇形的面積是多少？（2）半徑為R，圓心角為2°的扇形的面積是多少？（3）半徑為R，圓心角為90°的扇形的面積是多少？（4）半徑為R，圓心角為n°的扇形的面積是多少？【師生活動】學生獨立思考并討論，類比弧長公式的探究過程，可以發(fā)現(xiàn)在半徑為R的圓中，360°的圓心角所對的扇形的面積就是圓的面積S＝，所以1°的圓心角所對的扇形面積是圓面積的，即；2°的圓心角所對的扇形面積是圓面積的，即；90°的圓心角所對的扇形面積是圓面積的，即；所以n°的圓心角所對的扇形面積為．【新知】圓心角為n°的扇形面積是．扇形的面積與圓的半徑和組成扇形的圓心角的度數(shù)有關．【設計意圖】類比弧長公式的發(fā)現(xiàn)過程，由學生獨立思考、歸納出扇形的面積公式?！締栴}】比較弧長公式與扇形面積公式，你能用弧長表示扇形面積嗎？【師生活動】學生小組討論后得出答案：S扇形＝lR（其中l(wèi)為扇形的弧長，R為半徑）．教師引導學生得出這樣的結論：此面積公式與三角形的面積公式類似，只要把扇形看成一個曲邊三角形，把弧長l看成底，半徑R看成高．【設計意圖】通過對比弧長公式和扇形面積公式，讓學生發(fā)現(xiàn)可以通過弧長表示扇形面積，為圓錐側面積公式的推導做準備．【練習】1．已知扇形的圓心角為120°，半徑為2，則這個扇形的面積為_______．2．已知扇形的圓心角為30°，面積為3πcm2，則這個扇形的半徑R＝_______．3．已知扇形的圓心角為150°，弧長為20πcm，則扇形的面積為__________．【答案】1．；2．6cm；3．240πcm2．【設計意圖】通過練習，考察學生對扇形面積公式的掌握情況．四、典例精講【例2】如圖，水平放置的圓柱形排水管道的截面半徑是0.6m，其中水面高0.3m，求截面上有水部分的面積（結果保留小數(shù)點后兩位）．【師生活動】教師引導學生畫出輔助線，并分析解題思路，分析得出有水部分的面積S＝S扇形OAB－S△OAB，進而通過已知條件求出相應的線段和圓心角，即可解決本題．同時得出不規(guī)則圖形面積的解法：若圖形為不規(guī)則圖形時，要把它轉化為規(guī)則圖形來解決．【答案】解：連接OA，OB，過O作OC⊥AB于D，交于點C，連接AC．∵OC＝0.6m，DC＝0.3m,∴OD＝OC－DC＝0.3（m）．∴OD＝DC．又AD⊥DC,∴AD是線段OC的垂直平分線．∴AC＝AO＝OC．從而∠AOD＝60°，∠AOB＝120°．有水部分的面積S＝S