2024年高考數(shù)學(xué)專項復(fù)習(xí)：排列組合之兩個計數(shù)原理（解析版）

2024年高考數(shù)學(xué)專項復(fù)習(xí)排列組合專題01兩個計

數(shù)原理（解析版）

專題1兩個計數(shù)原理

類型一、加法原理

【例1】高二年級一班有女生18人，男生38人，從中選取一名學(xué)生作代表，參加學(xué)校組織的調(diào)查團(tuán)，問選

取代表的方法有幾種.

【例2】若°、b是正整數(shù)，且O+6W6,則以（a,6）為坐標(biāo)的點(diǎn)共有多少個？

【例3】用0到9這10個數(shù)字，可以組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位偶數(shù)的個數(shù)為（）

A.324B.328C.360D.648

【例4】用數(shù)字1,2,3,4,5組成的無重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)的個數(shù)為（）

A.8B.24C.48D.120

【例5】用0,1,2,3,4,5這6個數(shù)字，可以組成____個大于3000,小于5421的數(shù)字不重復(fù)的四位數(shù).

類型二、乘法原理

【例6】公園有4個門，從一個門進(jìn)，一個門出，共有種不同的走法.

【例7】將3個不同的小球放入4個盒子中，則不同放法種數(shù)有.

【例8】如果在一周內(nèi)（周一至周日）安排三所學(xué)校的學(xué)生參觀某展覽館，每天最多只安排一所學(xué)校，要求

甲學(xué)校連續(xù)參觀兩天，其余兩所學(xué)校均只參觀一天，那么不同的安排方法共有種.

【例9】高二年級一班有女生18人，男生38人，從中選取一名男生和一名女生作代表，參加學(xué)校組織的調(diào)

查團(tuán)，問選取代表的方法有幾種.

【例10】六名同學(xué)報名參加三項體育比賽，每人限報一項，共有多少種不同的報名結(jié)果？

【例11】六名同學(xué)參加三項比賽，三個項目比賽冠軍的不同結(jié)果有多少種？

【例12】用1,2,3,4,5,6組成六位數(shù)（沒有重復(fù)數(shù)字），要求任何相鄰兩個數(shù)字的奇偶性不同，且

1和2相鄰，這樣的六位數(shù)的個數(shù)是（用數(shù)字作答）.

22

【例13］從集合｛1,2,3,…，11｝中任選兩個元素作為橢圓方程三+==1中的"和〃，則能組成落在矩形

mn

區(qū)域3=｛（x,y）||x|＜ll,且|川＜9｝內(nèi)的橢圓個數(shù)為（）

A.43B.72C.86D.90

【例14］若一系列函數(shù)的解析式相同，值域相同，但其定義域不同，則稱這些函數(shù)為“同族函數(shù)”，那么函

數(shù)解析式為＞=一/,值域?yàn)椋?,—9｝的“同族函數(shù)”共有（）

A.7個B.8個C.9個D.10個

【例15】某銀行儲蓄卡的密碼是一個4位數(shù)碼，某人采用千位、百位上的數(shù)字之積作為十位和個位上的數(shù)

字（如2816）的方法設(shè)計密碼，當(dāng)積為一位數(shù)時，十位上數(shù)字選0,并且千位、百位上都能取0.這樣設(shè)

計出來的密碼共有（）

A.90個B.99個C.100個D.112個

【例16】從集合｛—4,-3,—2,—1,0,1,2,3,4,5｝中，選出5個數(shù)組成子集，使得這5個數(shù)中的任何兩個

1

數(shù)之和不等于1,則取出這樣的子集的個數(shù)為（）

A.10B.32C.110D.220

【例17］若x、y是整數(shù)，且|x|W6,|x|W6,則以（x,切為坐標(biāo)的不同的點(diǎn)共有多少個？

【例18】用0,1,2,3,4,5這6個數(shù)字：

⑴可以組成個數(shù)字不重復(fù)的三位數(shù).

⑵可以組成個數(shù)字允許重復(fù)的三位數(shù).

【例19】六名同學(xué)報名參加三項體育比賽，共有多少種不同的報名結(jié)果？

【例20】將3名教師分配到2所中學(xué)任教，每所中學(xué)至少一名教師，則不同的分配方案共有（）種.

A.5B.6C.7D.8

類型三、基本計數(shù)原理的綜合應(yīng)用

【例21】用0,3,4,5,6排成無重復(fù)字的五位數(shù)，要求偶數(shù)字相鄰，奇數(shù)字也相鄰，則這樣的五位數(shù)

的個數(shù)是.（用數(shù)字作答）

【例22］若自然數(shù)"使得作豎式加法〃+（〃+1）+（〃+2）均不產(chǎn)生進(jìn)位現(xiàn)象.則稱〃為“可連數(shù)”.例如：32

是“可連數(shù)”，因32+33+34不產(chǎn)生進(jìn)位現(xiàn)象；23不是“可連數(shù)”，因23+24+25產(chǎn)生進(jìn)位現(xiàn)象.那么，小

于1000的“可連數(shù)”的個數(shù)為（）

A.27B.36C.39D.48

【例23】由正方體的8個頂點(diǎn)可確定多少個不同的平面？

【例24】分母是385的最簡真分?jǐn)?shù)一共有多少個？并求它們的和.

【例25】用0,1,2,3,4,5這6個數(shù)字，可以組成個大于3000,小于5421的數(shù)字不重復(fù)的

四位數(shù).

【例26】某通訊公司推出一組手機(jī)卡號碼，卡號的前七位數(shù)字固定，從“0000”到

“9999”共10000個號碼.公司規(guī)定：凡卡號的后四位帶有數(shù)字“4”或“7”的一律作為“優(yōu)惠卡”，

則這組號碼中“優(yōu)惠卡”的個數(shù)為（）

A.2000B.4096C.5904D.8320

【例27】同室4人各寫1張賀年卡，先集中起來，然后每人從中各拿1張別人送出的賀年卡，則4張賀年卡

不同的分配方式有（）

A.62.9種C.11種D.23種

【例28】某班新年聯(lián)歡會原定的6個節(jié)目已排成節(jié)目單，開演前又增加了3個新節(jié)目，如果將這3個節(jié)目

插入原節(jié)目單中，那么不同的插法種數(shù)為（）

A.504B.210C.336D.120

【例29】某班學(xué)生參加植樹節(jié)活動，苗圃中有甲、乙、丙3種不同的樹苗，從中取出5棵分別種植在排成

一排的5個樹坑內(nèi)，同種樹苗不能相鄰，且第一個樹坑和第5個樹坑只能種甲種樹苗的種法共（）

A.15種B.12種C.9種D.6種

【例30】用0到9這10個數(shù)字，可以組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位偶數(shù)的個數(shù)為（）

A.324B.328C.360D.648

【例31】足球比賽的計分規(guī)則是：勝一場得3分，平一場得1分，負(fù)一場得0分，那么一個隊打14場共得

19分的情況有（)

A.3種B.4種C.5種D.6種

3

專題1兩個計數(shù)原理

類型一、加法原理

【例1】高二年級一班有女生18人，男生38人，從中選取一名學(xué)生作代表，參加學(xué)校組織的調(diào)查團(tuán)，問選

取代表的方法有幾種.

【解析】18+38=56.

【例2】若°、b是正整數(shù)，且O+6W6,則以（a,6）為坐標(biāo)的點(diǎn)共有多少個？

【解析】6義6=36.

【例3】用0到9這10個數(shù)字，可以組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位偶數(shù)的個數(shù)為（）

A.324B.328C.360D.648

【解析】由題意知本題要分類來解，

當(dāng)尾數(shù)為2、4、6、8時，個位有4種選法，

因百位不能為0,所以百位有8種，十位有8種，共有884=256

當(dāng)尾數(shù)為0時，百位有9種選法，十位有8種結(jié)果，

共有981=72

根據(jù)分類計數(shù)原理知共有256+72=328

故選：B.

【例4】用數(shù)字1,2,3,4,5組成的無重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)的個數(shù)為（）

A.8B.24C.48D.120

【解析】由題意知本題需要分步計數(shù)，

2和4排在末位時，共有㈤=2種排法，

其余三位數(shù)從余下的四個數(shù)中任取三個有=432=24種排法，

根據(jù)由分步計數(shù)原理得到符合題意的偶數(shù)共有2義24=48（個）.

故選：C.

【例5】用0,1,2,3,4,5這6個數(shù)字，可以組成一個大于3000,小于5421的數(shù)字不重復(fù)的四位數(shù).

【解析】分四類：①千位數(shù)字為3,4之一時，百十個位數(shù)只要不重復(fù)即可，有2H=120個；

②千位數(shù)字為5時，百位數(shù)字為0,1,2,3之一時，有團(tuán)=48個；③千位數(shù)字為5時，百位數(shù)字是4,十位

數(shù)字是0,1之一時，有4a=6個；最后還有5420也滿足題意.

所以，所求四位數(shù)共有120+48+6+1=175個.

故答案為175.

類型二、乘法原理

1

【例6】公園有4個門，從一個門進(jìn)，一個門出，共有種不同的走法.

【解析】根據(jù)題意，要求從從任一門進(jìn)，從任一門出，

則進(jìn)門的方法有4種，出門的方法也有4種，

則不同的走法有4x4=16種

【例7】將3個不同的小球放入4個盒子中，則不同放法種數(shù)有.

【解析】根據(jù)題意，依次對3個小球進(jìn)行討論：

第一個小球可以放入任意一個盒子，即有4種不同的放法，

同理第二個小球也有4種不同的放法，

第三個小球也有4種不同的放法，

即每個小球都有4種可能的放法，

根據(jù)分步計數(shù)原理知共有即444=64不同的放法，

故答案為:64.

【例8】如果在一周內(nèi)（周一至周日）安排三所學(xué)校的學(xué)生參觀某展覽館，每天最多只安排一所學(xué)校，要求

甲學(xué)校連續(xù)參觀兩天，其余兩所學(xué)校均只參觀一天，那么不同的安排方法共有種.

【解析】分兩步完成，第一步先安排甲學(xué)校參觀，共六種安排方法；第二步安排另外兩所學(xué)校，共有用安

排方法，故不同的安排種法有6x4=120,

故答案為120.

【例9】高二年級一班有女生18人，男生38人，從中選取一名男生和一名女生作代表，參加學(xué)校組織的調(diào)

查團(tuán)，問選取代表的方法有幾種.

【解析】3乜8=684

【例10】六名同學(xué)報名參加三項體育比賽，每人限報一項，共有多少種不同的報名結(jié)果？

【解析】每人都可以從這三個比賽項目中選報一項，各有3種不同的報名方法，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，

可得共有不同的報名方法36=729種.

【例11】六名同學(xué)參加三項比賽，三個項目比賽冠軍的不同結(jié)果有多少種？

【解析】由題意，每項比賽的冠軍都有6種可能，

因?yàn)橛?項體育比賽，所以冠軍獲獎?wù)吖灿?66=63種可能

【例12】用1,2,3,4,5,6組成六位數(shù)（沒有重復(fù)數(shù)字），要求任何相鄰兩個數(shù)字的奇偶性不同，且

1和2相鄰，這樣的六位數(shù)的個數(shù)是（用數(shù)字作答）.

【解析】解析：可分三步來做這件事：

第一步:先將3、5排列，共有片種排法;

2

第二步：再將4、6插空排列，插空時要滿足奇偶性不同的要求，共有2團(tuán)種排法;

第三步：將1、2放到3、5、4、6形成的空中，共有C種排法.

由分步乘法計數(shù)原理得共有耳=40（種）.

答案為：40

22

【例13】從集合｛1,2,3,…，11｝中任選兩個元素作為橢圓方程三+與=1中的加和〃，則能組成落在矩形

mn

區(qū)域3=｛（x,,且I川＜9｝內(nèi)的橢圓個數(shù)為（）

A.43B.72C.86D.90

【解析】橢圓落在矩形內(nèi)，滿足題意必須有，m^n,所以有兩類，

一類是加，"從｛1,2,3,...6,7,8｝任選兩個不同數(shù)字，方法有4=56

令一類是/從9,10,兩個數(shù)字中選一個，”從｛1,2,3,...6,7,8｝中選一個

方法是：2義8=16

所以滿足題意的橢圓個數(shù)是：56+16=72

故選：B.

【例14］若一系列函數(shù)的解析式相同，值域相同，但其定義域不同，則稱這些函數(shù)為“同族函數(shù)”，那么函

數(shù)解析式為了=—/,值域?yàn)椋?,-9｝的“同族函數(shù)”共有（）

A.7個B.8個C.9個D.10個

【解析】定義域是集合的子集，且子集中至少應(yīng)該含有-1、1中的一個和-3、3中的一個，

滿足條件的定義有：｛-1,—3｝、｛-1,3｝、｛1,—3｝、｛1,3｝、｛—1,1,—3｝、｛—1,1,3｝、｛-1,-3,

3｝、｛1,-3,3｝、｛-1,1,—3,3｝,共9個.

故選：C.

【例15】某銀行儲蓄卡的密碼是一個4位數(shù)碼，某人采用千位、百位上的數(shù)字之積作為十位和個位上的數(shù)

字（如2816）的方法設(shè)計密碼，當(dāng)積為一位數(shù)時，十位上數(shù)字選0,并且千位、百位上都能取0.這樣設(shè)

計出來的密碼共有（）

A.90個B.99個C.100個D.112個

【例16】從集合｛—4,—3,—2,—1,0,1,2,3,4,5｝中，選出5個數(shù)組成子集，使得這5個數(shù)中的任何兩個

數(shù)之和不等于1,則取出這樣的子集的個數(shù)為（）

A.10B.32C.110D.220

【解析】從集合｛—1,-2,-3,-4,0,1,2,3,4,5｝中，隨機(jī)選出5個數(shù)組成

子集，共有G05種取法，即可組成G05個子集，

3

記“這5個數(shù)中的任何兩個數(shù)之和不等于1”為事件A,

而兩數(shù)之和為1的數(shù)組分別為(—1,2),(—2,3),(-3,4)(-4,5),(0,1),

I包含的結(jié)果有①只有有一組數(shù)的和為1,有。51c43Gle=160種結(jié)果

②有兩組數(shù)之和為1,有。52?。61=60種，

則A包含的結(jié)果共有220種

故答案為：220.

【例17］若x、y是整數(shù)，且|x|W6,|x|W6,則以(x,y)為坐標(biāo)的不同的點(diǎn)共有多少個？

【解析】整數(shù)x,y滿足國＜6,|x|W6

則xe4={-6,—5,—4,—3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,6},ye3={—6,—5,—4,-3,-2,-1,0,1,2,

3,4,5,6},

從4種選一個共有13種方法，從B選一個共有13種方法，

故有13x13=169種.

故答案為：169.

【例18】用0,1,2,3,4,5這6個數(shù)字：

⑴可以組成個數(shù)字不重復(fù)的三位數(shù).

⑵可以組成個數(shù)字允許重復(fù)的三位數(shù).

【解析】(1)根據(jù)題意，分2步分析：

①、先選百位，百位可以在1、2、3、4、5中任選1個，則百位有5種方法，

②、在剩下的5個數(shù)字中任選2個，安排在十位、個位，有用=20種選法，

則可以組成5x20=100個無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)

(2)分3步進(jìn)行分析：

①、先選百位，百位可以在1、2、3、4、5中任選1個，則百位有5種選法，

②、再選十位，十位可以在0、1、2、3、4、5中任選1個，則十位有6種選法，

③、最后分析個位，個位可以在0、1、2、3、4、5中任選1個，則個位有6種選法，

則可以組成566=180個數(shù)字允許重復(fù)的三位數(shù)；

【例19】六名同學(xué)報名參加三項體育比賽，共有多少種不同的報名結(jié)果？

【解析】33333336

【例20】將3名教師分配到2所中學(xué)任教，每所中學(xué)至少一名教師，則不同的分配方案共有()種.

A.5B.6C.7D.8

4

【解析】將3名教師分配到2所中學(xué)任教，每所中學(xué)至少1名教師，

只有一種結(jié)果1,2,

首先從3個人中選2個作為一個元素，

使它與其他兩個元素在一起進(jìn)行排列，

共有。；用=6種結(jié)果，

故選：B.

類型三、基本計數(shù)原理的綜合應(yīng)用

【例21】用0,3,4,5,6排成無重復(fù)字的五位數(shù)，要求偶數(shù)字相鄰，奇數(shù)字也相鄰，則這樣的五位數(shù)

的個數(shù)是.（用數(shù)字作答）

【解析】按首位數(shù)字的奇偶性分兩類：

一類是首位是奇數(shù)的，有：4封;

另一類是首位是偶數(shù)，有：（團(tuán)-團(tuán)）￡

則這樣的五位數(shù)的個數(shù)是：44+（4-4）4=20.

故答案為：20.

【例22】若自然數(shù)〃使得作豎式加法〃+（〃+1）+（"+2）均不產(chǎn)生進(jìn)位現(xiàn)象.則稱〃為“可連數(shù)”.例如：32

是“可連數(shù)，，，因32+33+34不產(chǎn)生進(jìn)位現(xiàn)象；23不是“可連數(shù)”，因23+24+25產(chǎn)生進(jìn)位現(xiàn)象.那么，小

于1000的“可連數(shù)”的個數(shù)為（）

A.27B.36C.39D.48

【解析】如果〃是良數(shù)，則力的個位數(shù)字只能是0,1,2,非個位數(shù)字只能是0,1,2,3（首位不為0）,

而小于1000的數(shù)至多三位，

一位的良數(shù)有0,1,2,共3個

二位的良數(shù)個位可取0,1,2,十位可取1,2,3,共有3x3=9個

三位的良數(shù)個位可取0,1,2,十位可取0,1,2,3,百位可取1,2,3,共有343=36個.

綜上，小于1000的“良數(shù)”的個數(shù)為3+9+36=48個

故選：D.

【例23】由正方體的8個頂點(diǎn)可確定多少個不同的平面？

【解析】依題意，正方體的8個頂點(diǎn)所確定的平面有：6個表面，6個對角面，8個正三角形平面共20個.

故答案為：20

【例24】分母是385的最簡真分?jǐn)?shù)一共有多少個？并求它們的和.

5

【解析】因?yàn)?85=5x7x11,在1?385這385個自然數(shù)中，5的倍數(shù)有［飛-］=77（個），

7的倍數(shù)有［言］=55（個），11的倍數(shù)有［言］=35（個），

5x7=35的倍數(shù)有［言］=11（個），5x11=55的倍數(shù)有［票］=7（個），

7x11=77的倍數(shù)有［券］=5（個），385的倍數(shù)有1個.

由容斥原理知，在1?385中能被5、7或11整除的數(shù)有77+55+35-（11+7+5）+1=145（個），

而5、7、11互質(zhì)的數(shù)有385-145=240（個）.即分母為385的真分?jǐn)?shù)有240（個）.

如果有一個真分?jǐn)?shù)為」則必還有另一個真分?jǐn)?shù)變?nèi)?，即?85為分母的最簡真分?jǐn)?shù)是成對出現(xiàn)的，

385385

而每一對之和恰為1.故以385為分母的240最簡分?jǐn)?shù)可以分成120時，它們的和為lx120=120.

【例25】用0,1,2,3,4,5這6個數(shù)字，可以組成個大于3000,小于5421的數(shù)字不重復(fù)的

四位數(shù).

【解析】分四類：①千位數(shù)字為3,4之一時，百十個位數(shù)只要不重復(fù)即可，有2可=120個；

②千位數(shù)字為5時，百位數(shù)字為0,1,2,3之一時，有"用=48個；③千位數(shù)字為5時，百位數(shù)字是4,十位

數(shù)字是0』之一時，有=6個；最后還有5420也滿足題意.

所以，所求四位數(shù)共有120+48+6+1=175個.

故答案為175.

【例26】某通訊公司推出一組手機(jī)卡號碼，卡號的前七位數(shù)字固定，從“0000”到

“9999”共10000個號碼.公司規(guī)定：凡卡號的后四位帶有數(shù)字“4”或“7”的一律作為“優(yōu)惠卡”，

則這組號碼中“優(yōu)惠卡”的個數(shù)為（）

A.2000B.4096C.5904D.8320

【解析】10000個號碼中不含4、7的有8*=4096,

,“優(yōu)惠卡”的個數(shù)為10000-4096=5904,

故選：C.

【例27】同室4人各寫1張賀年卡，先集中起來，然后每人從中各拿1張別人送出的賀年卡，則4張賀年卡

不同的分配方式有（）

A.68.9種C.11種D.23種

【解析】設(shè)四人分別為“、b、c、d,寫的卡片分別為/、B、C、D,

由于每個人都要拿別人寫的，即不能拿自己寫的，故。有三種拿法，

不妨設(shè)“拿了3,貝也可以拿剩下三張中的任一張，也有三種拿法，c和d只能有一種拿法，

所以共有33119種分配方式，

6

故選：B.

【例28】某班新年聯(lián)歡會原定的6個節(jié)目已排成節(jié)目單，開演前又增加了3個新節(jié)目，如果將這3個節(jié)目

插入原節(jié)目單中，那么不同的插法種數(shù)為（）

A.504B.210C.336D.120

【解析】???由題意知將這3個節(jié)目插入節(jié)目單中，原來的節(jié)目順序不變，

三個新節(jié)目一個一個插入節(jié)目單中，

原來的6個節(jié)目形成7個空，在這7個位置上插入第一個節(jié)目，共有7種結(jié)果，

原來的6個和剛插入的一個，形