6.4.2超幾何分布課件高二上學(xué)期數(shù)學(xué)北師大版選擇性

4.2超幾何分布第六章概率北師大版

數(shù)學(xué)

選擇性必修第一冊(cè)基礎(chǔ)落實(shí)·必備知識(shí)一遍過(guò)重難探究·能力素養(yǎng)速提升學(xué)以致用·隨堂檢測(cè)促達(dá)標(biāo)目錄索引

課程標(biāo)準(zhǔn)1.通過(guò)具體實(shí)例,了解超幾何分布的概念及其均值.2.會(huì)用超幾何分布解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題.基礎(chǔ)落實(shí)·必備知識(shí)一遍過(guò)知識(shí)點(diǎn)

超幾何分布1.定義一般地,設(shè)有N件產(chǎn)品,其中有M(M≤N)件次品.從中任取

(n≤N)件產(chǎn)品,用X表示取出的n件產(chǎn)品中次品的件數(shù),那么P(X=k)=

,max{0,n-(N-M)}≤k≤min{n,M},其中n≤N,M≤N,n,M,N∈N+.公式中的k可以取的最小值為max{0,n-(N-M)},而不一定是0.

若一個(gè)隨機(jī)變量X的分布列由上式確定,則稱隨機(jī)變量X服從參數(shù)為N,M,n的

.

n超幾何分布

名師點(diǎn)睛對(duì)超幾何分布的理解(1)在形式上適合超幾何分布的模型常由較明顯的兩部分組成,如“男生,女生”“正品,次品”“優(yōu),劣”等;(2)在產(chǎn)品抽樣中,一般為不放回抽樣;(3)其概率計(jì)算可結(jié)合古典概型求得.2.超幾何分布的均值一般地,當(dāng)隨機(jī)變量X服從參數(shù)為N,M,n的超幾何分布時(shí),其均值為思考辨析已知在10件產(chǎn)品中有4件次品,分別采取有放回和不放回方式隨機(jī)抽取3件,設(shè)抽取的3件產(chǎn)品中次品數(shù)為X,試寫出當(dāng)X=2時(shí)對(duì)應(yīng)的概率.自主診斷1.判斷正誤.(正確的畫√,錯(cuò)誤的畫×)(1)超幾何分布的總體里只有兩類物品.(

)(2)超幾何分布的模型是放回抽樣.(

)(3)超幾何分布與二項(xiàng)分布的期望值都為p.(

)√××2.設(shè)袋中有80個(gè)紅球、20個(gè)白球,若從袋中任取10個(gè)球,則其中恰有6個(gè)紅球的概率為(

)D解析

取出的紅球個(gè)數(shù)服從參數(shù)為N=100,M=80,n=10的超幾何分布.由超幾何分布的概率公式,知從中取出的10個(gè)球中恰有6個(gè)紅球的概率為3.[人教A版教材習(xí)題]舉出兩個(gè)服從超幾何分布的隨機(jī)變量的例子.解(1)假設(shè)某魚池中僅有鯉魚和草魚兩種魚,其中鯉魚200條,草魚40條,從魚池中任意取出5條魚,這5條魚中包含草魚的條數(shù)X服從超幾何分布.(2)現(xiàn)有甲、乙兩種品牌的電視機(jī)共52臺(tái),其中甲品牌有21臺(tái),從52臺(tái)電視機(jī)中選出5臺(tái)送給福利院,選出的甲品牌的電視機(jī)臺(tái)數(shù)X服從超幾何分布.(答案不唯一)4.[人教A版教材習(xí)題]學(xué)校要從12名候選人中選4名同學(xué)組成學(xué)生會(huì),已知有4名候選人來(lái)自甲班.假設(shè)每名候選人都有相同的機(jī)會(huì)被選到,求甲班恰有2名同學(xué)被選到的概率.解設(shè)選到的4人中甲班同學(xué)的人數(shù)為X,則X服從超幾何分布,且N=12,M=4,n=4,重難探究·能力素養(yǎng)速提升探究點(diǎn)一超幾何分布的判斷【例1】

下列問(wèn)題中,判斷哪些屬于超幾何分布問(wèn)題,并說(shuō)明理由.(1)拋擲三枚骰子,所得向上的數(shù)是6的骰子的個(gè)數(shù)記為X,求X的概率分布;(2)有一批種子的發(fā)芽率為70%,任取10顆種子做發(fā)芽試驗(yàn),把試驗(yàn)中發(fā)芽的種子的個(gè)數(shù)記為X,求X的概率分布;(3)盒子中有3個(gè)紅球、4個(gè)黃球、5個(gè)藍(lán)球,任取3個(gè)球,把不是紅色的球的個(gè)數(shù)記為X,求X的概率分布;(4)某班級(jí)有男生25人,女生20人,選派4名學(xué)生參加學(xué)校組織的活動(dòng),班長(zhǎng)必須參加,其中女生人數(shù)記為X,求X的概率分布;(5)現(xiàn)有100臺(tái)手機(jī)未經(jīng)檢測(cè),抽取10臺(tái)送檢,把檢驗(yàn)結(jié)果為不合格的手機(jī)的個(gè)數(shù)記為X,求X的概率分布.解

(1)(2)中樣本沒有分類,不是超幾何分布問(wèn)題.(3)(4)符合超幾何分布的特征,樣本都分為兩類.隨機(jī)變量X表示某類樣本被抽取的件數(shù),是超幾何分布.(5)中沒有給出不合格品數(shù),X不服從超幾何分布.規(guī)律方法

判斷一個(gè)隨機(jī)變量是否服從超幾何分布,應(yīng)看三點(diǎn):(1)總體是否可分為兩類明確的對(duì)象;(2)是否為不放回抽樣;(3)隨機(jī)變量是否為樣本中一類個(gè)體的個(gè)數(shù).變式訓(xùn)練1下列隨機(jī)變量中,服從超幾何分布的有

.(填序號(hào))

①在10件產(chǎn)品中有3件次品,一件一件的不放回地任意取出4件,記取到的次品數(shù)為X;②從3臺(tái)甲型彩電和2臺(tái)乙型彩電中任取2臺(tái),記X表示所取的2臺(tái)彩電中甲型彩電的臺(tái)數(shù);③一名學(xué)生騎自行車上學(xué),途中有6個(gè)交通崗,記此學(xué)生遇到紅燈的次數(shù)為隨機(jī)變量X.①②

解析

根據(jù)超幾何分布的定義可知①中隨機(jī)變量X服從超幾何分布.②中隨機(jī)變量X服從超幾何分布.而③顯然不能看作一個(gè)不放回抽樣問(wèn)題,故隨機(jī)變量X不服從超幾何分布.探究點(diǎn)二超幾何分布的概率及其分布列【例2】

袋中有4個(gè)紅球,3個(gè)黑球,這些球除顏色外完全相同,從袋中隨機(jī)抽取球,設(shè)取到一個(gè)紅球得2分,取到一個(gè)黑球得1分,從袋中任取4個(gè)球.(1)求得分X的分布列;(2)求得分大于6分的概率.解

(1)從袋中任取4個(gè)球的情況為:1紅3黑,2紅2黑,3紅1黑,4紅,共四種情況,得分分別為5分,6分,7分,8分,故X的可能取值為5,6,7,8.變式探究在本例中,設(shè)X1為取得紅球的分?jǐn)?shù)之和,X2為取得黑球的分?jǐn)?shù)之和,X=|X1-X2|,求X的分布列.解

從袋中任取4個(gè)球的情況為1紅3黑,X1=2,X2=3,X=1;2紅2黑,X1=4,X2=2,X=2;3紅1黑,X1=6,X2=1,X=5;4紅,X1=8,X2=0,X=8.規(guī)律方法

求超幾何分布的分布列的步驟

變式訓(xùn)練2現(xiàn)有10張獎(jiǎng)券,其中8張1元,2張5元,從中任取3張,求所得金額的分布列.探究點(diǎn)三超幾何分布的綜合應(yīng)用【例3】

為推動(dòng)乒乓球運(yùn)動(dòng)的發(fā)展,某乒乓球比賽允許不同協(xié)會(huì)的運(yùn)動(dòng)員組隊(duì)參加.現(xiàn)有來(lái)自甲協(xié)會(huì)的運(yùn)動(dòng)員3名,其中種子選手2名;乙協(xié)會(huì)的運(yùn)動(dòng)員5名,其中種子選手3名.從這8名運(yùn)動(dòng)員中隨機(jī)選擇4人參加比賽.(1)設(shè)A為事件“選出的4人中恰有2名種子選手,且這2名種子選手來(lái)自同一個(gè)協(xié)會(huì)”,求事件A發(fā)生的概率;(2)設(shè)X為選出的4人中種子選手的人數(shù),求隨機(jī)變量X的分布列,并求EX.規(guī)律方法

解決超幾何分布問(wèn)題的兩個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)(1)超幾何分布是概率分布的一種形式,一定要注意公式中字母的范圍及其意義,解決問(wèn)題時(shí)可以直接利用公式求解,但不能機(jī)械地記憶公式.(2)超幾何分布中,只要知道M,N,n,就可以利用公式求出X取不同k的概率P(X=k),從而求出X的分布列.變式訓(xùn)練3[2024四川綿陽(yáng)階段檢測(cè)]某班組織知識(shí)競(jìng)賽,題目共有10道,隨機(jī)抽取3道讓某人回答,規(guī)定至少要答對(duì)其中2道才能通過(guò)初試,已知他只能答對(duì)其中6道,試求:(1)抽到他能答對(duì)題目數(shù)的分布列;(2)他能通過(guò)初試的概率.解

(1)設(shè)隨機(jī)抽出的3道題目他能答對(duì)的道數(shù)為X,則X的取值為0,1,2,3,X服從超幾何分布,學(xué)以致用·隨堂檢測(cè)促達(dá)標(biāo)1234567891011121314A級(jí)必備知識(shí)基礎(chǔ)練1.[探究點(diǎn)二](多選題)已知在10件產(chǎn)品中可能存在次品,從中抽取2件檢查,其次品數(shù)為ξ,已知P(ξ=1)=,則這10件產(chǎn)品中的次品數(shù)可能為(

)A.8 B.6 C.4 D.2AD12345678910111213142.[探究點(diǎn)二]在15個(gè)村莊中有7個(gè)村莊交通不方便,現(xiàn)從中任意選10個(gè)村莊,用X表示這10個(gè)村莊中交通不方便的村莊數(shù),下列概率等于

的是(

)A.P(X=2) B.P(X≤2)C.P(X=4) D.P(X≤4)C12345678910111213143.[探究點(diǎn)一](多選題)

袋中有10個(gè)大小相同的球,其中6個(gè)黑球,4個(gè)白球,現(xiàn)從中任取4個(gè)球,取出一個(gè)黑球記2分,取出一個(gè)白球記1分,則下列結(jié)論中正確的是(

)A.取出的白球個(gè)數(shù)X服從二項(xiàng)分布B.取出的黑球個(gè)數(shù)Y服從超幾何分布C.取出2個(gè)白球的概率為D.取出球總得分最大的概率為BD123456789101112131412345678910111213144.[探究點(diǎn)二]盒中裝有形狀、大小完全相同的5個(gè)球,其中紅色球3個(gè),黃色球2個(gè).若從中隨機(jī)取出2個(gè)球,則所取出的2個(gè)球顏色不同的概率等于

.

12345678910111213145.[探究點(diǎn)二]數(shù)學(xué)老師從6道習(xí)題中隨機(jī)抽3道讓同學(xué)檢測(cè),規(guī)定至少要解答正確2道題才能及格.某同學(xué)只能求解其中的4道題,則他能及格的概率是

.

12345678910111213146.[探究點(diǎn)三]某大學(xué)志愿者協(xié)會(huì)有6名男同學(xué),4名女同學(xué).在這10名同學(xué)中,3名同學(xué)來(lái)自數(shù)學(xué)學(xué)院,其余7名同學(xué)來(lái)自物理、化學(xué)等其他互不相同的七個(gè)學(xué)院.現(xiàn)從這10名同學(xué)中隨機(jī)選取3名同學(xué),到希望小學(xué)進(jìn)行支教活動(dòng)(每位同學(xué)被選到的可能性相同).(1)求選出的3名同學(xué)是來(lái)自互不相同學(xué)院的概率;(2)設(shè)X為選出的3名同學(xué)中女同學(xué)的人數(shù),求隨機(jī)變量X的分布列及均值.1234567891011121314(2)依據(jù)條件,隨機(jī)變量X服從超幾何分布,其中N=10,M=4,n=3,且隨機(jī)變量X的可能取值為0,1,2,3.12345678910111213147.某校從學(xué)生會(huì)中的10名女生干部與5名男生干部中隨機(jī)選取6名學(xué)生干部組成“文明校園督察隊(duì)”,則組成4女2男的“文明校園督察隊(duì)”的概率為(

)B級(jí)關(guān)鍵能力提升練C12345678910111213148.一個(gè)盒子里裝有相同大小的10個(gè)黑球、12個(gè)紅球、4個(gè)白球,從中任取2個(gè),其中白球的個(gè)數(shù)記為X,則下列概率等于

的是(

)A.P(0<X≤2) B.P(X≤1)C.P(X=1) D.P(X=2)B12345678910111213149.口袋中有相同的黑色小球n個(gè),紅、白、藍(lán)色的小球各一個(gè),從中任取4個(gè)小球.ξ表示當(dāng)n=3時(shí)取出黑球的數(shù)目,η表示當(dāng)n=4時(shí)取出黑球的數(shù)目.則下列結(jié)論成立的是(

)A.Eξ<Eη,Dξ<Dη B.Eξ>Eη,Dξ<DηC.Eξ<Eη,Dξ>Dη D.Eξ>Eη,Dξ>DηA1234567891011121314123456789101112131410.一個(gè)盒子里裝有大小相同的紅球、白球共30個(gè),其中白球4個(gè).從中任取2個(gè),則概率為

的事件是(

)A.沒有白球

B.至少有一個(gè)白球C.至少有一個(gè)紅球

D.沒有紅球B123456789101112131411.已知在12件產(chǎn)品中可能存在次品,從中抽取2件檢測(cè),設(shè)次品數(shù)為ξ.若P(ξ=1)=,且該產(chǎn)品的次品率不超過(guò)40%,則這12件產(chǎn)品的次品率為

.

25%

123456789101112131412.一個(gè)口袋里裝有大小相同的5個(gè)小球,其中紅色有2個(gè),其余3個(gè)顏色各不相同.現(xiàn)從中任意取出3個(gè)小球,其中恰有2個(gè)小球顏色相同的概率是

;若變量X為取出的三個(gè)小球中紅球的個(gè)數(shù),則X的均值EX=

.

123456789101112131413.[2024山西大同月考]天舟二號(hào)貨運(yùn)飛船在成功發(fā)射約8小時(shí)后,中國(guó)航天器的“浪漫之吻”再度在太空上演,天舟二號(hào)貨運(yùn)飛船與中國(guó)空間站天和核心艙順利實(shí)現(xiàn)了快速交會(huì)對(duì)接.據(jù)航天科技集團(tuán)五院的專家介紹,此次天舟貨運(yùn)飛船攜帶的物資可以供3名航天員在太空中生活3個(gè)月,這將創(chuàng)造中國(guó)航天員