1.1.2菱形的判定課件北師大版數(shù)學九年級上冊

第一章特殊平行四邊形1.1菱形的性質(zhì)與判定第2課時菱形的判定

由菱形的定義判定菱形1.如圖，要使平行四邊形

ABCD

變?yōu)榱庑危枰砑拥臈l件是(

C

)A.

AB

＝

CD

B.

AB

＝

AC

C.

AB

＝

BC

D.

AC

＝

BD

【解析】根據(jù)一組鄰邊相等的平行四邊形為菱形，可知添加

AB

＝

BC

能判定平行四邊形

ABCD

是菱形.C123456789101112思路點撥

由菱形的邊、對角線判定菱形2.下列條件能判定四邊形是菱形的是(

C

)A.對角線相等的四邊形B.對角線互相垂直的四邊形C.對角線互相垂直平分的四邊形D.對角線相等且互相垂直的四邊形

此題考查了菱形的判定，菱形的判定方法：有一組鄰邊相等的平行

四邊形是菱形；四邊相等的四邊形是菱形；對角線互相垂直的平行四邊

形是菱形(或?qū)蔷€互相垂直且平分的四邊形是菱形).C1234567891011123.如圖所示，已知△

ABC

，

AB

＝

AC

，將△

ABC

沿邊

BC

翻折，得到

的△

DBC

與原△

ABC

拼成四邊形

ABDC

，則能直接判定四邊形

ABDC

是菱形的依據(jù)是(

B

)A.一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形B.四邊相等的四邊形是菱形C.對角線互相垂直的平行四邊形是菱形D.對角線互相垂直平分的四邊形是菱形B【解析】∵

AB

＝

AC

，∴將△

ABC

沿

BC

邊翻折可得

AB

＝

BD

＝

CD

＝

AC

.

∴根據(jù)“四邊相等的四邊形是菱形”可得四邊形

ABDC

是菱形.1234567891011124.(2023·滄州期末)依據(jù)所標數(shù)據(jù)(度數(shù)為所在角的度數(shù)，數(shù)字為所在邊

的長度)，下列平行四邊形不一定是菱形的是(

A

)A123456789101112【解析】A.

平行四邊形的一個角為60°，不能確定邊的長度，不一定

是菱形，該選項符合題意；B.

∵32＋42＝52，∴此圖形的對角線相互垂直.由“對角線互相垂直的平

行四邊形是菱形”可知該平行四邊形是菱形，故該選項不符合題意；C.

∵平行四邊形對邊平行，又∵鄰邊相等，∴平行四邊形的四邊相

等，一定是菱形，故該選項不符合題意；D.

由題圖可知平行邊四形的鄰邊相等，∴平行四邊形的四邊相等，一

定是菱形，故該選項不符合題意.1234567891011125.【教材第6頁做一做改編】小穎將一張長方形紙通過以下方式進行兩

次對折和一次裁剪，在沿虛線

AC

進行裁剪時，

AB

＝4cm，

BC

＝3cm，

隨后將剪下的△

ABC

展開，得到的圖形的周長為(

C

)A.12cmB.16cmC.20cmD.24cmC123456789101112

1234567891011126.(2023·廊坊第四中學期中)如圖，在四邊形

ABCD

中，

E

，

F

，

G

，

H

分別是邊

AB

，

BC

，

CD

，

DA

的中點.要使四邊形

EFGH

為菱形，可以

添加的一個條件是(

C

)A.四邊形

ABCD

是菱形B.

AC

，

BD

互相平分C.

AC

＝

BD

D.

AC

⊥

BD

C123456789101112

1234567891011127.如圖，在四邊形

ABCD

中，

AB

＝

AD

，

CB

＝

CD

.

(1)求證：

AC

平分∠

BAD

；

123456789101112(2)若

AB

∥

CD

，求證：四邊形

ABCD

是菱形.證明：(2)∵

AB

∥

CD

，∴∠

BAC

＝∠

DCA

.

∵∠

BAC

＝∠

DAC

，∴∠

DAC

＝∠

DCA

.

∴

DA

＝

DC

.

∵

AB

＝

AD

，

CB

＝

CD

，∴

AB

＝

BC

＝

CD

＝

DA

.

∴四邊形

ABCD

是菱形.123456789101112

8.(2023·石家莊模擬預測)觀察下面的尺規(guī)作圖痕跡，在平行四邊形的基

礎(chǔ)上能成功作出菱形的是(

B

)A.①②③B.①②C.①③D.②③B123456789101112【解析】如圖1，根據(jù)尺規(guī)作圖可知

AD

＝

AB

＝

DC

，∵由題可知

AB

∥

DC

，∴四邊形

ABCD

是平行四邊形.又∵

AB

＝

AD

，∴四邊形

ABCD

是菱形，故①符合要求；如圖2，根據(jù)尺規(guī)作圖可知

BD

垂直平分線段

AC

，∴

AD

＝

DC

，

AB

＝

BC

.

∴∠

CAD

＝∠

DCA

.

123456789101112由題可知

AB

∥

DC

，∴∠

CAB

＝∠

DCA

.

∴∠

CAB

＝∠

CAD

.

∵

AC

⊥

BD

，∴∠

AED

＝∠

AEB

＝90°.又∵

AE

＝

AE

.

∴△

AED

≌△

AEB

(ASA).∴

DA

＝

AB

.

123456789101112同理可得

DC

＝

CB

，∴

AD

＝

DC

＝

CB

＝

AB

.

∴四邊形

ABCD

是菱形，故②符合要求；如圖3，根據(jù)尺規(guī)作圖可知

AD

＝

DC

，利用現(xiàn)有條件無法證明

AD

＝

DC

＝

CB

＝

AB

，即無法證明出四邊形

ABCD

是菱形，故③不符合要求.1234567891011129.

已知將△

ABC

沿

AD

折疊，點

B

的對應點B'落在邊

AC

上(如

圖1)，再將∠

CAD

沿

EF

折疊，點

A

的對應點為A'(如圖2)，再沿A'E所

在的直線剪下，則△A'EF展開后的形狀為(

C

)A.等腰三角形B.直角三角形C.菱形D.長方形C123456789101112【解析】△A'EF展開后如圖所示，由折疊可得∠

AFE

＝∠A'FE＝90°，

AF

＝A'F，

EF

＝E'F，∴AA'與EE'互相平分.∴四邊形AEA'E為平行四邊形.又∵AA'⊥EE'，∴四邊形AEA'E'是菱形.12345678910111210.如圖，已知在△

ABC

中，

D

是

BC

邊上一點，過點

D

分別作

DE

∥

AC

交

AB

于點

E

，作

DF

∥

AB

交

AC

于點

F

，連接

AD

.

有下列條件：①

D

是

BC

邊的中點；②

AD

是△

ABC

的角平分線；③點

E

與點

F

關(guān)于直線

AD

對稱.123456789101112請從中選擇一個能證明四邊形

AEDF

是菱形的條件，并寫出證明過程.解：(答案不唯一)選擇條件②.證明：∵

AD

是△

ABC

的角平分線，∴∠

EAD

＝∠

FAD

.

∵

DE

∥

AC

，

DF

∥

AB

，∴四邊形

AFDE

是平行四邊形，∠

EAD

＝∠

FDA

，∴∠

FDA

＝∠

FAD

.

∴

AF

＝

DF

.

∴四邊形

AFDE

是菱形.123456789101112

11.

如圖，在四邊形

ABCD

中，對角線

AC

，

BD

交于點

O

，

AC

⊥

BD

，

OB

＝

OD

.

求證：四邊形

ABCD

是菱形.小王同學寫了以下證明：第一行：∵

AC

⊥

BD

，

OB

＝

OD

，第二行：∴

AC

垂直平分

BD

.

第三行：∴

AB

＝

AD

，

CB

＝

CD

，第四行：∴四邊形

ABCD

是菱形.對于這個題目及證明，有以下結(jié)論：123456789101112①推理嚴謹，證明正確；②證明時，第三行出錯；③證明時，第四行出錯；④題目缺少條件，需要拓展資料條件才能證明.其

中，正確的結(jié)論是(填序號).【解析】∵

AC

⊥

BD

，

OB

＝

OD

，∴

AC

垂直平分

BD

.

∴

AB

＝

AD

，

CB

＝

CD

.

由題目條件無法證明四邊形

ABCD

是菱形，∴③④正確.③④

12345678910111212.

如圖，在△

ABC

中，

AB

＝

AC

，∠

DAC

是△

ABC

的一個

外角，小明根據(jù)要求進行尺規(guī)作圖，請你依據(jù)小明的作圖痕跡回答下列

各題.(1)填空：由作圖可知，射線

是

?的

角平分線；直線

是

?的垂直平分線；AM

(或

AF

)

∠

DAC

EF

AC

123456789101112解：四邊形

AECF

是菱形.(2)判斷四邊形

AECF

的形狀，并說明理由.理由：∵

AB

＝

AC

，∴∠

B

＝∠

ACB

.

∵射線

AM

是∠

DAC

的平分線，∴∠

DAM

＝∠

MAC

.

∵∠

DAC

＝∠

B

＋∠

ACB

＝∠

DAM

＋∠

MAC

，∴∠

MAC

＝∠

A