人教版九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)《解一元二次方程（第7課時(shí)）》示范教學(xué)課件

解一元二次方程（第7課時(shí)）方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的求根公式，不僅表示可以由方程的系數(shù)a，b，c決定根的值，而且反映了根與系數(shù)之間的聯(lián)系．一元二次方程根與系數(shù)之間的聯(lián)系還有其他表現(xiàn)方式嗎？問(wèn)題思考從因式分解法可知，方程(x－x1)(x－x2)＝0

(x1，x2為已知數(shù))的兩根為x1和x2，將方程化為x2＋px＋q＝0的形式，你能看出x1，x2與p，q之間的關(guān)系嗎？把方程(x－x1)(x－x2)＝0的左邊展開(kāi)，化成一般形式，得方程x2－(x1＋x2)x＋x1x2＝0．

觀察所得到的這個(gè)方程，你有什么發(fā)現(xiàn)？能得出什么結(jié)論？把方程化為x2＋px＋q＝0的形式后，得到方程：x2－(x1＋x2)x＋x1x2＝0，可以發(fā)現(xiàn)，這個(gè)方程的二次項(xiàng)系數(shù)為＿＿＿，一次項(xiàng)系數(shù)p＝___________，常數(shù)項(xiàng)q＝_______．于是，上述方程兩個(gè)根的和、積與系數(shù)分別有如下關(guān)系：x1＋x2＝_______，

x1x2＝________．1－(x1＋x2)x1x2－pq思考一般的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0中，二次項(xiàng)系數(shù)a未必是1，它的兩個(gè)根的和、積與系數(shù)又有怎樣的關(guān)系呢？你能分別計(jì)算出兩個(gè)根的和與積嗎？x1＝，x2＝．根據(jù)求根公式可知，x1＝，x2＝．由此可得：

x1＋x2＝＋

＝＝－．

x1x2＝·

＝＝．問(wèn)題把方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的兩邊同除以a，能否得出前面的結(jié)論？方程兩邊同除以a，則二次項(xiàng)系數(shù)變?yōu)?，此時(shí)方程可化為x2＋px＋q＝0的形式，根據(jù)前面的探究，可以得到：一次項(xiàng)系數(shù)是兩根和的相反數(shù)，常數(shù)項(xiàng)是兩根之積，滿足所得出的結(jié)論．總結(jié)方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的兩個(gè)根x1，x2和系數(shù)a，b，c有如下關(guān)系：x1＋x2＝－，

x1x2＝．

這表明任何一個(gè)一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系為：兩個(gè)根的和等于一次項(xiàng)系數(shù)與二次項(xiàng)系數(shù)的比的相反數(shù)，兩個(gè)根的積等于常數(shù)項(xiàng)與二次項(xiàng)系數(shù)的比．特別提醒1．在使用兩根之和關(guān)系式時(shí)，不要漏寫(xiě)“－”；2．能用根與系數(shù)的關(guān)系的前提條件為b2－4ac≥0

；3．方程不是一般式的要先化成一般式．

例1根據(jù)一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，求下列方程兩個(gè)根x1，x2的和與積：（1）x2－6x－15＝0；

（2）3x2＋7x－9＝0；

（3）5x－1＝4x2．解：（1）x1＋x2＝－(－6)＝6，x1x2＝－15．（2）

x1＋x2＝－，

x1x2＝＝－3．（3）方程化為4x2－5x＋1＝0．x1＋x2＝－＝，

x1x2＝

．

利用一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系求兩根的和與積的兩點(diǎn)注意（1）一元二次方程必須有兩個(gè)實(shí)數(shù)根(Δ≥0)．（2）兩根之和中的負(fù)號(hào)與方程中a，b的符號(hào)不要混淆．

例2關(guān)于x的方程3x2＋mx－4＝0有一個(gè)根是2，求另一個(gè)根及m的值．解：設(shè)方程的另一個(gè)根為x1，則由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，得2x1＝－

，解得x1＝－

．x1＋2＝－

，得－

＋2＝－

，解得m＝－4．所以，方程的另一個(gè)根是－

，m的值是－4．還有其他解法嗎？例2關(guān)于x的方程3x2＋mx－4＝0有一個(gè)根是2，求另一個(gè)根及m的值．解：把x＝2代入3x2＋mx－4＝0，得12＋2m－4＝0，解得m＝－4．設(shè)方程的另一個(gè)根為x1，則2＋x1＝－＝，解得x1＝－．所以方程的另一個(gè)根是－，m的值是－4．已知一元二次方程的一個(gè)根，求另一個(gè)根的方法（1）方法1(利用根與系數(shù)的關(guān)系)：當(dāng)方程的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)已知，常數(shù)項(xiàng)未知時(shí)，利用兩根的和求另一個(gè)根；當(dāng)方程的二次項(xiàng)系數(shù)、常數(shù)項(xiàng)已知，一次項(xiàng)系數(shù)未知時(shí)，利用兩根的積求另一個(gè)根．（2）方法2(利用根的定義)：先把方程的已知根代入方程求出未知系數(shù)或常數(shù)項(xiàng)，再解方程求另一個(gè)根．例3

設(shè)x1，x2是方程2x2＋5x＋1＝0的兩個(gè)根，求下列各式的值：（1）(x1＋1)(x2＋1)；

（2）．解：由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，得x1＋x2＝－

，x1x2＝．（1）(x1＋1)(x2＋1)＝x1x2＋(x1＋x2)＋1＝－＋1＝－1；（2）巧用根與系數(shù)的關(guān)系，求特殊代數(shù)式的值（1）計(jì)算：計(jì)算出x1＋x2，x1x2的值；（2）變形：將所求的代數(shù)式變形為用x1＋x2和x1x2表示的式子；（3）代入：代入所求的代數(shù)式計(jì)算．例4

已知方程x2＋kx＋k＋2＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根是x1，x2，且，求k的值．解：由根與系數(shù)的關(guān)系得，x1＋x2＝－k，x1x2＝k＋2．又

，即(x1＋x2)2

－2x1x2＝4，

所以k2－2(k＋2)＝4．化簡(jiǎn)，得k2－2k－8＝0，解得k＝4或k＝－2．

因?yàn)棣ぃ絢2－4k－8，所以當(dāng)k＝4時(shí)，Δ＜0；當(dāng)k＝－2時(shí)，Δ＞0．所以

k＝－2．使用根與系數(shù)的關(guān)系的前提——Δ