2024年二次函數(shù)知識(shí)點(diǎn)

《二次函數(shù)》知識(shí)講解【知識(shí)網(wǎng)絡(luò)】【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)壹、定義:壹般地，是常數(shù)，，那么叫做的二次函數(shù).要點(diǎn)詮釋：假如y=ax2+bx+c(a,b,c是常數(shù)，a≠0)，那么y叫做x的二次函數(shù)．這裏，當(dāng)a=0時(shí)就不是二次函數(shù)了，但b、c可分別為零，也可以同步都為零．a(chǎn)的絕對(duì)值越大，拋物線的開(kāi)口越小.要點(diǎn)二、二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)

1.二次函數(shù)由特殊到壹般，可分為如下幾種形式：①；②；③；④，其；⑤.（以上式子a≠0）

幾種特殊的二次函數(shù)的圖象特性如下：函數(shù)解析式開(kāi)口方向?qū)ΨQ軸頂點(diǎn)坐標(biāo)當(dāng)時(shí)

開(kāi)口向上

當(dāng)時(shí)

開(kāi)口向下(軸)(0，0)(軸)(0，)(，0)(，)()2.拋物線的三要素：開(kāi)口方向、對(duì)稱軸、頂點(diǎn).

(1)的符號(hào)決定拋物線的開(kāi)口方向：當(dāng)時(shí)，開(kāi)口向上；當(dāng)時(shí)，開(kāi)口向下；相等，拋物線的開(kāi)口大小、形狀相似.

(2)平行于軸(或重疊)的直線記作.尤其地，軸記作直線.

3.拋物線中，的作用：

(1)決定開(kāi)口方向及開(kāi)口大小，這與中的完全同樣.

(2)和共同決定拋物線對(duì)稱軸的位置.由于拋物線的對(duì)稱軸是直，

故：①時(shí)，對(duì)稱軸為軸；②(即、同號(hào))時(shí)，對(duì)稱軸在軸左側(cè)；③(即、異號(hào))時(shí)，對(duì)稱軸在軸右側(cè).

(3)的大小決定拋物線與軸交點(diǎn)的位置.

當(dāng)時(shí)，，∴拋物線與軸有且只有壹種交點(diǎn)(0，)：

①，拋物線通過(guò)原點(diǎn)；②，與軸交于正半軸；③，與軸交于負(fù)半軸.

以上三點(diǎn)中，當(dāng)結(jié)論和條件互換時(shí)，仍成立.如拋物線的對(duì)稱軸在軸右側(cè)，則.

4.用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式：

(1)壹般式：（a≠0）.已知圖象上三點(diǎn)或三對(duì)、的值，壹般選擇壹般式.

(2)頂點(diǎn)式：（a≠0）.已知圖象的頂點(diǎn)或?qū)ΨQ軸，壹般選擇頂點(diǎn)式.(可以當(dāng)作的圖象平移後所對(duì)應(yīng)的函數(shù).)

(3)“交點(diǎn)式”：已知圖象與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)、，壹般選用交點(diǎn)式：（a≠0）.(由此得根與系數(shù)的關(guān)系：).要點(diǎn)詮釋：求拋物線（a≠0）的對(duì)稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)壹般用三種措施：配措施、公式法、代入法，這三種措施均有各自的優(yōu)缺陷，應(yīng)根據(jù)實(shí)際靈活選擇和運(yùn)用．要點(diǎn)三、二次函數(shù)與壹元二次方程的關(guān)系

函數(shù)，當(dāng)時(shí)，得到壹元二次方程，那么壹元二次方程的解就是二次函數(shù)的圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，因此二次函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)狀況決定壹元二次方程根的狀況.

(1)當(dāng)二次函數(shù)的圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，這時(shí)，則方程有兩個(gè)不相等實(shí)根；

(2)當(dāng)二次函數(shù)的圖象與x軸有且只有壹種交點(diǎn)，這時(shí)，則方程有兩個(gè)相等實(shí)根；

(3)當(dāng)二次函數(shù)的圖象與x軸沒(méi)有交點(diǎn)，這時(shí)，則方程沒(méi)有實(shí)根.

通過(guò)下面表格可以直觀地觀測(cè)到二次函數(shù)圖象和壹元二次方程的關(guān)系：

的圖象

的解方程有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)解方程有兩個(gè)相等實(shí)數(shù)解

方程沒(méi)有實(shí)數(shù)解要點(diǎn)詮釋：二次函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)由的值來(lái)確定.(1)當(dāng)二次函數(shù)的圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，這時(shí)，則方程有兩個(gè)不相等實(shí)根；

(2)當(dāng)二次函數(shù)的圖象與x軸有且只有壹種交點(diǎn)，這時(shí)，則方程有兩個(gè)相等實(shí)根；

(3)當(dāng)二次函數(shù)的圖象與x軸沒(méi)有交點(diǎn)，這時(shí)，則方程沒(méi)有實(shí)根.

要點(diǎn)四、運(yùn)用二次函數(shù)處理實(shí)際問(wèn)題運(yùn)用二次函數(shù)處理實(shí)際問(wèn)題，要建立數(shù)學(xué)模型，即把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)問(wèn)題，運(yùn)用題中存在的公式、內(nèi)含的規(guī)律等相等關(guān)系，建立函數(shù)關(guān)系式，再運(yùn)用函數(shù)的圖象及性質(zhì)去研究問(wèn)題.在研究實(shí)際問(wèn)題時(shí)要注意自變量的取值范圍應(yīng)具有實(shí)際意義.

運(yùn)用二次函數(shù)處理實(shí)際問(wèn)題的壹般環(huán)節(jié)是：

(1)建立合適的平面直角坐標(biāo)系；(2)把實(shí)際問(wèn)題中的某些數(shù)據(jù)與點(diǎn)的坐標(biāo)聯(lián)絡(luò)起來(lái)；

(3)用待定系數(shù)法求出拋物線的關(guān)系式；(4)運(yùn)用二次函數(shù)的圖象及其性質(zhì)去分析問(wèn)題、處理問(wèn)題.要點(diǎn)詮釋：常見(jiàn)的問(wèn)題：求最大(小)值(如求