3.2.4離散型隨機(jī)變量的方差課件高二下學(xué)期數(shù)學(xué)選擇性

離散型隨機(jī)變量的方差第3章概率湘教版

數(shù)學(xué)

選擇性必修第二冊課標(biāo)要求1.理解離散型隨機(jī)變量的方差及標(biāo)準(zhǔn)差的概念,會用方差解決一些實(shí)際問題.2.掌握方差的性質(zhì)以及兩點(diǎn)分布、二項(xiàng)分布的方差.基礎(chǔ)落實(shí)·必備知識全過關(guān)重難探究·能力素養(yǎng)全提升目錄索引

成果驗(yàn)收·課堂達(dá)標(biāo)檢測基礎(chǔ)落實(shí)·必備知識全過關(guān)知識點(diǎn)1離散型隨機(jī)變量的方差與標(biāo)準(zhǔn)差1.定義:設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布列為

Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn則D(X)=

=

,稱為隨機(jī)變量X的方差;并稱

為X的標(biāo)準(zhǔn)差.

有時(shí)也記作σ2有時(shí)也記作σE{[X-E(X)]2}[x1-E(X)]2p1+[x2-E(X)]2p2+…+[xn-E(X)]2pn

2.方差的性質(zhì):若X與Y都是隨機(jī)變量,且Y=aX+b(a≠0),則D(Y)=

.

3.方差的意義:隨機(jī)變量的方差和標(biāo)準(zhǔn)差都反映了隨機(jī)變量取值偏離于數(shù)學(xué)期望的平均程度.方差或標(biāo)準(zhǔn)差越小,則隨機(jī)變量取值向數(shù)學(xué)期望集中得越好,方差或標(biāo)準(zhǔn)差越大,則隨機(jī)變量的取值就越分散.波動越小,數(shù)據(jù)越集中

波動越大,數(shù)據(jù)越分散

a2D(X)名師點(diǎn)睛隨機(jī)變量的方差和樣本方差之間的關(guān)系(1)隨機(jī)變量的方差即為總體的方差,它是一個(gè)常數(shù),不隨樣本的變化而變化;(2)樣本方差則是隨機(jī)變量,它是隨樣本不同而變化的;(3)對于簡單的隨機(jī)抽樣,隨著樣本容量的增加,樣本方差越來越接近于總體方差.過關(guān)自診1.判斷正誤.(正確的畫“√”,錯(cuò)誤的畫“×”)(1)離散型隨機(jī)變量的方差越大,隨機(jī)變量取值越穩(wěn)定.(

)(2)若a是常數(shù),則D(a)=0.(

)(3)離散型隨機(jī)變量的方差反映了隨機(jī)變量偏離于均值的平均程度.(

)2.已知隨機(jī)變量X,X2的分布列,如何求D(X)?×√√提示

根據(jù)隨機(jī)變量X,X2的分布列,分別計(jì)算E(X),E(X2),利用公式D(X)=E(X2)-[E(X)]2求方差.知識點(diǎn)2兩點(diǎn)分布及二項(xiàng)分布的方差1.若隨機(jī)變量X服從參數(shù)為p的兩點(diǎn)分布,則D(X)=

.

2.若隨機(jī)變量X~B(n,p),則D(X)=

.

p(1-p)np(1-p)過關(guān)自診1.若隨機(jī)變量X服從兩點(diǎn)分布,且成功概率p=0.6,則D(X)=

.

2.一批產(chǎn)品中,次品率為

,現(xiàn)連續(xù)抽取9次,其次品數(shù)記為X,則D(X)的值為

.

0.24解析

E(X)=0.6,D(X)=0.6×(1-0.6)=0.24.2重難探究·能力素養(yǎng)全提升探究點(diǎn)一常見分布列的方差與方差的性質(zhì)【例1】

某學(xué)校開展以“擁抱春天,播種綠色”為主題的植物種植實(shí)踐體驗(yàn)活動.已知某種盆栽植物每株成活的概率為p,各株是否成活相互獨(dú)立.該學(xué)校的某班隨機(jī)選取此種盆栽植物n株.設(shè)X為其中成活的株數(shù),若E(X)=2,D(X)=1.6,則n,p的值為(

)A.n=4,p=0.5 B.n=6,p=0.3C.n=8,p=0.25 D.n=10,p=0.2D解析

由題意知,隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布,即X~B(n,p),由E(X)=2,D(X)=1.6,可得np=2,np(1-p)=1.6,解得p=0.2,n=10,故選D.變式探究1若本例中的條件不變,求D[E(X)X+5]的值.解

由E(X)=2,D(X)=1.6,可知D[E(X)X+5]=D(2X+5)=22D(X)=4×1.6=6.4.變式探究2若本例中的條件不變,求E(X2)的值.解

由D(X)=E(X2)-[E(X)]2可知E(X2)=D(X)+[E(X)]2=1.6+22=5.6.規(guī)律方法

常見的分布列的方差的計(jì)算方法(1)若隨機(jī)變量服從常見的兩點(diǎn)分布與二項(xiàng)分布,可以直接利用方差公式求方差;(2)對于變量間存在關(guān)系的方差,在求解過程中應(yīng)注意方差性質(zhì)的應(yīng)用,如D(aX+b)=a2D(X).探究點(diǎn)二離散型隨機(jī)變量的方差【例2】

有三張形狀、大小、質(zhì)地完全相同的卡片,在卡片上分別寫上0,1,2,現(xiàn)從中任意抽取一張,將其上數(shù)字記作x,然后放回,再抽取一張,將其上數(shù)字記作y,令X=xy.求X的方差.“X=2”是指兩次取的卡片上一個(gè)數(shù)字為1,另一個(gè)數(shù)字為2,其概率

則X的分布列為

規(guī)律方法

求離散型隨機(jī)變量X的方差的基本步驟

變式訓(xùn)練1某人共有三發(fā)子彈,他射擊一次命中目標(biāo)的概率是,擊中目標(biāo)后射擊停止,射擊次數(shù)X為隨機(jī)變量,則方差D(X)=

.

探究點(diǎn)三方差在決策問題中的應(yīng)用【例3】

實(shí)驗(yàn)中學(xué)從高二級部中選拔一個(gè)班級代表學(xué)校參加“學(xué)習(xí)強(qiáng)國知識大賽”,經(jīng)過層層選拔,甲、乙兩個(gè)班級進(jìn)入最后決賽,規(guī)定回答1個(gè)相關(guān)問題作最后的評判,選擇由哪個(gè)班級代表學(xué)校參加大賽.每個(gè)班級6名選手,現(xiàn)從每個(gè)班級6名選手中隨機(jī)抽取3人回答這個(gè)問題.已知這6人中,甲班級有4人可以正確回答這道題目,而乙班級6人中能正確回答這道題目的概率每人均為,甲、乙兩班級每個(gè)人對問題的回答都是相互獨(dú)立、互不影響的.分別求甲、乙兩個(gè)班級能正確回答題目人數(shù)X,Y的數(shù)學(xué)期望E(X),E(Y)和方差D(X),D(Y),并由此分析由哪個(gè)班級代表學(xué)校參加大賽更好.由E(X)=E(Y),D(X)<D(Y)可得,由甲班級代表學(xué)校參加大賽更好.規(guī)律方法

利用均值和方差的意義分析解決實(shí)際問題的步驟(1)比較均值.離散型隨機(jī)變量的均值反映了離散型隨機(jī)變量取值的平均水平,因此,在實(shí)際決策問題中,需先計(jì)算均值,看一下哪個(gè)的平均水平高.(2)在均值相等的情況下計(jì)算方差.方差反映了離散型隨機(jī)變量取值的穩(wěn)定與波動、集中與離散的程度.通過計(jì)算方差,分析一下哪個(gè)的水平發(fā)揮相對穩(wěn)定.(3)下結(jié)論.依據(jù)方差的幾何意義作出結(jié)論.變式訓(xùn)練2甲、乙兩臺機(jī)床生產(chǎn)同一種零件,它們生產(chǎn)的產(chǎn)量相同,在1小時(shí)內(nèi)生產(chǎn)出的次品數(shù)分別為X1,X2,其中:甲機(jī)床次品數(shù)的分布列X10123P0.40.30.20.1乙機(jī)床次品數(shù)的分布列

X2012P0.30.50.2試從穩(wěn)定性方面比較哪一臺機(jī)床性能好.解

隨機(jī)變量X1的均值E(X1)=0×0.4+1×0.3+2×0.2+3×0.1=1,隨機(jī)變量X2的均值E(X2)=0×0.3+1×0.5+2×0.2=0.9,隨機(jī)變量X1的方差D(X1)=(0-1)2×0.4+(1-1)2×0.3+(2-1)2×0.2+(3-1)2×0.1=1,隨機(jī)變量X2的方差D(X2)=(0-0.9)2×0.3+(1-0.9)2×0.5+(2-0.9)2×0.2=0.49,因?yàn)镋(X1)與E(X2)幾乎相等,但是D(X1)>D(X2)且方差相差較大,所以乙機(jī)床比較好.本節(jié)要點(diǎn)歸納1.知識清單:(1)離散型隨機(jī)變量的方差、性質(zhì)及計(jì)算公式;(2)常見的分布列的方差.2.方法歸納:利用分布列求方差需要先求數(shù)學(xué)期望再利用方差公式求方差;常見的分布列的方差可直接利用公式求解.3.特別提示:根據(jù)方差公式求方差時(shí),不要出現(xiàn)計(jì)算失誤;利用常見的分布列的方差公式要明確各量的含義;利用方差進(jìn)行決策需要從期望與方差兩方面分別比較.成果驗(yàn)收·課堂達(dá)標(biāo)檢測A級必備知識基礎(chǔ)練1234567891011121314151.已知隨機(jī)變量ξ~B(8,p),且E(ξ)=2,則D(2ξ)=(

)A.3 B.6

C.12

D.24B解析

隨機(jī)變量ξ~B(8,p),且E(ξ)=2,1234567891011121314152.在n(n∈N*)次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中,每次試驗(yàn)的結(jié)果只有A,B,C三種,且A,B,C三個(gè)事件之間兩兩互斥.已知在每一次試驗(yàn)中,事件A,B發(fā)生的概率均為,則事件A,B,C發(fā)生次數(shù)的方差之比為(

)A.5∶5∶4 B.4∶4∶3 C.3∶3∶2 D.2∶2∶1C故事件A,B,C發(fā)生次數(shù)的方差之比為3∶3∶2,故選C.123456789101112131415A1234567891011121314154.已知隨機(jī)變量X的分布列是

若E(X)=0,則D(X)=(

)C1234567891011121314155.(多選題)若隨機(jī)變量X服從兩點(diǎn)分布,其中P(X=0)=,E(X),D(X)分別為隨機(jī)變量X的均值與方差,則下列結(jié)論正確的是(

)A.P(X=1)=E(X) B.E(4X+1)=3C.D(4X+1)=3 D.D(X)=AC所以D(4X+1)=16D(X)=3.所以選項(xiàng)C正確.故選AC.1234567891011121314156.隨機(jī)變量X的取值為0,1,2,若P(X=0)=,E(X)=1,則D(X)=

.

1234567891011121314157.某地區(qū)投入共享電動車后,若該地區(qū)內(nèi)的每位成員使用共享電動車的概率都為p,且各成員使用與否相互獨(dú)立,設(shè)X為某群體的5位成員中使用共享電動車的人數(shù),D(X)=1.2,P(X=2)<P(X=3),則p=

.

0.6解析

由題意可得,X~B(5,p),所以D(X)=5p(1-p)=1.2,即p(1-p)=0.24,解得p=0.4或0.6,因?yàn)镻(X=2)<P(X=3),1234567891011121314158.甲口袋里有除顏色外其他都相同的2個(gè)黑球和3個(gè)白球,現(xiàn)從甲口袋中取出3個(gè)球,記黑球個(gè)數(shù)為ξ,若隨機(jī)變量η滿足η=3-ξ,求隨機(jī)變量ξ的數(shù)學(xué)期望E(ξ)及η的方差D(η).則隨機(jī)變量ξ的分布列如下表:123456789101112131415123456789101112131415B級關(guān)鍵能力提升練9.(多選題)投資甲、乙兩種股票,每股收益的分布列分別如表1和表2所示.表1

股票甲收益的分布列收益X/元-102概率0.10.30.6表2

股票乙收益的分布列

收益Y/元012概率0.30.40.3下列結(jié)論正確的是(

)A.投資股票甲的收益的數(shù)學(xué)期望較小B.投資股票乙的收益的數(shù)學(xué)期望較小C.投資股票甲比投資股票乙的風(fēng)險(xiǎn)高D.投資股票乙比投資股票甲的風(fēng)險(xiǎn)高BC123456789101112131415解析

投資股票甲收益的數(shù)學(xué)期望E(X)=-1×0.1+0×0.3+2×0.6=1.1,方差D(X)=(-1-1.1)2×0.1+(0-1.1)2×0.3+(2-1.1)2×0.6=1.29;投資股票乙收益的期望E(Y)=0×0.3+1×0.4+2×0.3=1,方差D(Y)=(0-1)2×0.3+(1-1)2×0.4+(2-1)2×0.3=0.6.所以E(X)>E(Y),D(X)>D(Y),則投資股票乙收益的數(shù)學(xué)期望較小,投資股票甲比投資股票乙的風(fēng)險(xiǎn)高.故選BC.123456789101112131415AB12345678910111213141511.已知隨機(jī)變量X的分布列如下,則D(3X-1)的最大值為(

)X123Pab2b-aC12345678910111213141512.在一次隨機(jī)試驗(yàn)中,事件A發(fā)生的概率為p,0<p<1,事件A發(fā)生的次數(shù)為ξ,則方差D(ξ)的最大值為

.

解析

記事件A發(fā)生的次數(shù)ξ可能的值為0,1.分布列如下:ξ01P1-pp數(shù)學(xué)期望E(ξ)=0×(1-p)+1×p=p,由0<p<1,方差

12345678910111213141512345678910111213141513.盒中有4個(gè)球,其中1個(gè)紅球、1個(gè)黃球、2個(gè)藍(lán)球.從盒中隨機(jī)取球,每次取1個(gè),取后不放回,直到藍(lán)球全部被取出為止,在這一過程中取球次數(shù)為ξ,則ξ的方差D(ξ)=

.

所以,隨機(jī)變量ξ的分布列如下表所示:12345678910111213141512345678910111213141514.袋中有除顏色外完全相同的2個(gè)白球和3個(gè)黑球.(1)采取放回抽樣方式,從中依次摸出兩個(gè)球,記X為摸出的白球個(gè)數(shù),求X的方差;(2)采取不放回抽樣方式,從中依次摸出兩個(gè)球,記Y為摸出的白球個(gè)數(shù),求Y的方差.123456789101112131415123456789101112131415所以X的分布列為

123456789101112131415(2)由題意可知Y=0,1,2,所以X的分布列為

12345678910111213141515.已知甲、乙兩名射手每次射擊擊中的環(huán)數(shù)均大于6環(huán),且甲擊中10,9,8,7環(huán)的概率分別為0.5,3a,a,0.1,乙擊中10,9,8環(huán)的概率分別為0.3,0.3,0.2,甲、乙射擊結(jié)果互不影響.記甲、乙兩名射手在一次射擊中的環(huán)數(shù)分別為ξ,η.