1.1.2集合的基本關系課件高一上學期數(shù)學北師大版

第一章預備知識1.2集合的基本關系北師大版

數(shù)學

必修第一冊基礎落實·必備知識一遍過重難探究·能力素養(yǎng)速提升學以致用·隨堂檢測促達標目錄索引

課程標準1.理解集合之間包含與相等的含義.2.能識別給定集合的子集.3.會判斷兩個集合間的基本關系.基礎落實·必備知識一遍過知識點1

子集1.Venn圖為了直觀地表示集合間的關系,常用平面上封閉曲線的內部表示集合,稱為Venn圖.2.子集

概念一般地,對于兩個集合A與B,如果集合A中的任何一個元素都屬于集合B,即若a∈A,則a∈B.那么稱集合A是集合B的子集

符號表示

,讀作“A包含于B”(或“B包含A”)

圖形表示

性質①任何一個集合都是它本身的子集,即A?A.②

是任何集合的子集.也就是說,對于任意一個集合A,都有??A.

③對于集合A,B,C,如果A?B,且B?C,那么A?C表示所有的意思

A?B(或B?A)空集

名師點睛1.表示集合的Venn圖的邊界是封閉曲線,它可以是圓、橢圓、矩形,也可以是其他封閉曲線.2.用Venn圖表示集合的優(yōu)點是能夠直觀地表示集合之間的關系;缺點是集合元素的公共特征不明顯.思考辨析1.子集定義中“任意一個元素”能否改為“某個或某些元素”?

2.符號“?”與符號“∈”有什么區(qū)別?提示

不能.若集合A中存在某個元素,其不為集合B中的元素,則集合A不是集合B的子集.提示

符號“?”表示集合與集合之間的包含關系,而符號

“∈”表示元素與集合之間的從屬關系.自主診斷1.判斷正誤.(正確的畫√,錯誤的畫×)(1)1?{1,2,3}.(

)(2)若A?B,B?C,則A?C.(

)(3)任何一個集合都有子集.(

)(4){0,1,2}?{2,0,1}.(

)×√√√2.已知集合A={-2,3,6m-6},{6}?A,則m=

,集合A的子集有

個.

3.[人教A版教材習題]寫出集合{a,b,c}的所有子集.28解析

∵{6}?A,∴6m-6=6,∴m=2.集合A的子集有23=8個.解

?,{a},,{c},{a,b},{a,c},{b,c},{a,b,c}.知識點2

集合相等

概念對于兩個集合A與B,如果集合A是集合B的子集,且集合B也是集合A的子集,那么稱集合A與集合B相等符號表示若A?B,且B?A,則

圖形表示

名師點睛1.因為A?B,所以集合A中的元素都是集合B中的元素;又因為B?A,所以集合B中的元素也都是集合A中的元素,也就是說,集合A與B相等,則集合A與B中的元素是完全相同的.2.證明或判斷兩個集合相等,只需證A?B與B?A同時成立即可.A=B思考辨析除了教材中集合相等的定義,你還能找出定義兩個集合相等的描述嗎?提示

只要組成兩個集合的元素是一樣的,我們就稱這兩個集合是相等的.自主診斷1.判斷正誤.(正確的畫√,錯誤的畫×)(1)相等集合中的元素一定是有限的.(

)(2){0}=?.(

)(3)若集合A=B,則A?B且B?A.(

)××√2.若A={1,a,0},B={-1,b,1},且A=B,則a=

,b=

.

解析

由兩個集合相等可知b=0,a=-1.-10知識點3

真子集

概念對于兩個集合A與B,如果

,且

,那么稱集合A是集合B的真子集

符號表示A?B(或B?A),讀作“A真包含于B”(或“B真包含A”)圖形表示

A?B

A≠B名師點睛1.集合A是集合B的真子集,需要滿足兩個條件:①A?B;②存在元素x,滿足x∈B,且x?A.2.如果集合A是集合B的真子集,那么集合A一定是集合B的子集,集合B一定不是集合A的子集.3.任意集合都一定有子集,但是不一定有真子集.空集沒有真子集,一個集合的真子集個數(shù)比它的子集個數(shù)少1.思考辨析1.任何集合都有子集和真子集嗎?

2.{0},?,{?}之間有什么區(qū)別?

提示

空集只有子集沒有真子集.提示

{0}是含有一個元素0的集合,?是不含任何元素的集合,而{?}是含有一個元素?的集合.自主診斷1.判斷正誤.(正確的畫√,錯誤的畫×)(1)空集是任何集合的真子集.(

)(2)任何集合的真子集個數(shù)至少有1個.(

)(3)若一個集合只有一個真子集,則這個集合是空集.(

)×××2.[人教A版教材習題]指出下列各集合之間的關系,并用Venn圖表示:A={x|x是四邊形},B={x|x是平行四邊形},C={x|x是矩形},D={x|x是正方形}.解

(1)A?B.(2)B?A.(3)A=B.重難探究·能力素養(yǎng)速提升探究點一寫出給定集合的子集【例1】

(1)寫出集合{a,b,c,d}的所有子集,并指出其中哪些是它的真子集;解

集合{a,b,c,d}所有的子集為:不含任何元素的子集為?;含有一個元素的子集為{a},,{c},24akyoi;含有兩個元素的子集為{a,b},{a,c},{a,d},{b,c},{b,d},{c,d};含有三個元素的子集為{a,b,c},{a,b,d},{b,c,d},{a,c,d};含有四個元素的子集為{a,b,c,d}.其中除去集合{a,b,c,d},剩下的都是{a,b,c,d}的真子集.(2)填寫下表,并回答問題:集合集合的子集子集的個數(shù)?

{a}

{a,b}

{a,b,c}

由此猜想:含n個元素的集合{a1,a2,…,an}的所有子集的個數(shù)是多少??1?,{a}2?,{a},,{a,b}4?,{a},,{c},{a,b},{a,c},{b,c},{a,b,c}8由此猜想:含n個元素的集合{a1,a2,…,an}的所有子集的個數(shù)是2n.規(guī)律方法

1.分類討論是寫出所有子集的有效方法,一般按集合中元素個數(shù)的多少來劃分,遵循由少到多的原則,做到不重不漏.2.若集合A中有n個元素,則集合A有2n個子集,有(2n-1)個真子集,有(2n-1)個非空子集,有(2n-2)個非空真子集,該結論可在選擇題或填空題中直接使用.★變式訓練1(1)[人教B版教材例題]寫出集合A={6,7,8}的所有子集和真子集.解

集合A的所有子集是?,{6},{7},{8},{6,7},{6,8},{7,8},{6,7,8}.在上述子集中,除去集合A本身,即{6,7,8},剩下的都是A的真子集.(2)已知集合M滿足{1,2}?M?{1,2,5,6,7},試求符合條件的集合M.解

根據(jù)子集的定義,可得集合M必定含有1,2兩個元素,而且含有5,6,7中的至多兩個元素,因此,滿足條件{1,2}?M?{1,2,5,6,7}的集合M有{1,2},{1,2,5},{1,2,6},{1,2,7},{1,2,5,6},{1,2,5,7},{1,2,6,7}.探究點二集合之間關系的判斷【例2】

(1)已知集合A={x|1≤x<6},B={x|x+3≥4},則A與B的關系是(

)A.A?B

B.A=B

C.B?A

D.B?AA解析

由題意知,B={x|x≥1},將A,B表示在數(shù)軸上,如圖所示.由數(shù)軸可以看出,集合A中元素全部在集合B中,且B中至少存在一個元素不屬于集合A,所以A?B.A?B規(guī)律方法

集合間基本關系判定的兩種方法和一個關鍵

★變式訓練2(1)已知集合A={x∈N|x2-2<0},則以下關系正確的是(

)A.2∈A

B.0?AC.{0,1}?A D.{-1,1}=AC解析

由題意得集合A={0,1}.2?A,故A不正確;0∈A,故B不正確;{0,1}?A,故C正確;{-1,1}≠A,故D不正確,故選C.A?B=C∵當a∈Z時,6a+1表示被6除余1的數(shù);當b∈Z時,3b-2表示被3除余1的數(shù);當c∈Z時,3c+1表示被3除余1的數(shù),∴A?B=C.探究點三集合相等關系的應用【例3】

已知集合A={2,x,y},B={2x,2,y2},且A=B,求實數(shù)x,y的值.變式探究

若將本例已知條件改為“集合A={x,xy,x-y},集合B={0,|x|,y},且A=B”,求實數(shù)x,y的值.解

∵0∈B,A=B,∴0∈A.又由集合中元素的互異性,可知|x|≠0,y≠0,∴x≠0,xy≠0,故x-y=0,即x=y.又|x|≠y,∴x<0,|x|=-x,∴A={x,x2,0},B={0,-x,x},∴x2=-x,解得x=-1或x=0(舍去),∴x=y=-1.規(guī)律方法

集合相等則元素相同,但要注意集合中元素的互異性,防止錯解.探究點四由集合間的關系求參數(shù)的范圍【例4】

已知集合A={x|-5<x<2},B={x|2a-3<x<a-2}.(1)若a=-1,試判斷集合A,B之間是否存在包含關系;(2)若B?A,求實數(shù)a的取值范圍.解

(1)若a=-1,則B={x|-5<x<-3}.如圖在數(shù)軸上標出集合A,B.由圖可知,B?A.(2)當B=?時,2a-3≥a-2,解得a≥1.當B≠?時,2a-3<a-2,解得a<1.又因為a<1,所以實數(shù)a的取值范圍為[-1,1).綜上,實數(shù)a的取值范圍為[-1,+∞).變式探究1例4(2)中,是否存在實數(shù)a,使得A?B?若存在,求出實數(shù)a的取值范圍;若不存在,請說明理由.解

不存在.因為A={x|-5<x<2},所以若A?B,則B一定不是空集.變式探究2若集合A={x|x<-5,或x>2},B={x|2a-3<x<a-2},且B?A,求實數(shù)a的取值范圍.解①當B=?時,2a-3≥a-2,解得a≥1.顯然成立.②當B≠?時,2a-3<a-2,解得a<1.由已知B?A,則2a-3≥2,或a-2≤-5,解得

,或a≤-3.又因為a<1,所以a≤-3.綜上,實數(shù)a的取值范圍為{a|a≥1,或a≤-3}.規(guī)律方法

由集合間的關系求參數(shù)的范圍問題中的兩點注意事項(1)解此類問題通常借助數(shù)軸,利用數(shù)軸分析法,將各個集合在數(shù)軸上表示出來,以形定數(shù),同時還要注意驗證端點值,做到準確無誤,一般含“=”用實心點表示,不含“=”用空心圈表示.(2)涉及“A?B”或“A?B,且B≠?”的問題,一定要分A=?和A≠?兩種情況進行討論,其中A=?的情況容易被忽略,應引起重視.本節(jié)要點歸納1.知識清單:(1)子集、集合相等、真子集的概念;(2)集合間關系的判斷,求子集、真子集的個數(shù)問題;(3)由集合間的關系求參數(shù)的值或范圍.2.方法歸納:數(shù)形結合、分類討論.3.常見誤區(qū):易忽略對集合是否為空集的討論;求參數(shù)范圍時,端點值能否取到容易出現(xiàn)誤判.學以致用·隨堂檢測促達標12345678910111213A級必備知識基礎練1.[探究點二]已知集合A={x|x是平行四邊形},B={x|x是矩形},C={x|x是正方形},D={x|x是菱形},則(

)A.A?B

B.C?B C.D?C

D.A?DB解析

正方形是鄰邊相等的矩形.123456789101112132.[探究點一]已知集合N={1,3,5},則集合N的真子集個數(shù)為(

)A.5 B.6 C.7 D.8C解析

集合N中有3個元素,故集合N的真子集個數(shù)為23-1=7.故選C.123456789101112133.[探究點四]設集合A={-1,0,1},B={a,a2},則使B?A成立的實數(shù)a的值是(

)A.-1 B.0 C.1 D.-1或1A解析

由集合元素的互異性,得a≠a2,即a≠0,且a≠1.又B?A,∴a=-1,a2=1.123456789101112134.[探究點三]集合A={2,-1},B={m2-m,-1},且A=B,則實數(shù)m=(

)A.2 B.-1C.2或-1 D.4C解析

∵A=B,∴m2-m=2,即m2-m-2=0,∴m=2或m=-1.經檢驗,2或-1滿足題意.故選C.123456789101112135.[探究點一](多選題)

滿足{0,2,4}?A?{0,1,2,3,4}的集合A可以為(

)A.{0,2,4} B.{0,1,3,4}C.{0,1,2,4} D.{0,1,2,3,4}AC解析

根據(jù)集合間的包含關系可知,A可以為{0,1,2,4},{0,2,3,4},{0,2,4}.123456789101112136.[探究點四]已知集合A={x|=a},當A為非空集合時,實數(shù)a的取值范圍是

.

[0,+∞)解析

要使集合A為非空集合,則方程

=a有解,故只須a≥0.123456789101112137.[探究點一]集合{x∈N+|1<x<6}的非空真子集的個數(shù)為

.

14解析

因為{x∈N+|1<x<6}={2,3,4,5},有4個元素,所以其非空真子集的個數(shù)為24-2=14.12345678910111213B級關鍵能力提升練8.(多選題)已知集合A={x|ax≤2},B={2,},若B?A,則實數(shù)a的值可能是(

)A.-1 B.1 C.-2 D.2ABC123456789101112139.已知集合M={x|-<x<,x∈Z},則下列集合是集合M的子集的是(

)A.P={-3,0,1} B.Q={-1,0,1,2}C.T={y|-π<y<-1,y∈Z} D.S={x||x|≤,x∈Z}D解析

集合M={-2,-1,0,1},集合T={-3,-2},集合S={-1,0,1},不難發(fā)現(xiàn)集合P中的元素-3?M,集合Q中的元素2?M,集合T中的元素-3?M,而集合S={-1,0,1}中的任意一個元素都在集合M中,所以S?M.1234567891011121310.已知集合A={x|x2-x=0},則集合A=

;若集合B滿足{0}?B?A,則集合B=

.

{0,1}{0