人教版初中數(shù)學同步講義八年級下冊第01講 勾股定理（2個知識點+6類熱點題型講練+習題鞏固）（原卷版）

第01講勾股定理課程標準學習目標①勾股定理②勾股定理的證明掌握勾股定理的內(nèi)容并能夠熟練的應(yīng)用。掌握勾股定理的驗證方法，并能夠熟練的進行相關(guān)應(yīng)用。知識點01勾股定理文字描述：在直角三角形中，。幾何語言：如圖。若直角三角形的兩直角邊分別是，斜邊是，則有：。變形式：；；。【即學即練1】1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，a，b，c為其三邊長．（1）若a＝3，b＝4，則c＝；（2）若a＝5，c＝13，則b＝．（3）若b＝8，c＝10，則a＝；（4）若c＝20，a：b＝4：3，則b＝．知識點02勾股定理的驗證勾股定理的驗證方法：如圖①：由邊長為的4個全等的直角三角形構(gòu)成：整體法表示面積：。用各部分面積之和表示面積：。整理可得：。如圖②：由邊長為的4個全等的直角三角形構(gòu)成：整體法表示面積：。用各部分面積之和表示面積：。整理可得：。如圖③：由邊長為的2個全等的直角三角形構(gòu)成：整體法表示面積：。用各部分面積之和表示面積：。整理可得：?！炯磳W即練1】2．若a，b為直角三角形的兩直角邊，c為斜邊，下列選項中不能用來證明勾股定理的是（）A． B． C． D．題型01利用勾股定理求線段長度【典例1】一直角三角形的兩直角邊長為6和8，則斜邊長為（）A．10 B．13 C．7 D．14【變式1】若Rt△ABC的兩邊長為5和12，則第三邊長為（）A．13 B．26 C． D．13或【變式2】如圖，∠ACB＝90°，AC＝8，AB＝10，CD是斜邊的高，則CD＝（）A．3 B．4.2 C．4.8 D．5【變式3】等腰三角形的腰長為5，底邊上的中線長為4，它的面積為（）A．24 B．20 C．15 D．12【變式4】如圖，在△ABC中，∠A＝90°，BC＝5，AB＝3，線段BC的垂直平分線交AC、BC于點P和點Q，則PA的長度為（）A．3 B．4 C． D．題型02利用勾股定理求面積以直角三角形的三邊做相同的圖形（等邊三角形、等腰直角三角形、正方形、半圓），驗證他們的面積關(guān)系?！镜淅?】如圖，以直角三角形的三邊為邊向外作正方形，根據(jù)圖中數(shù)據(jù)，可得出正方形A的面積是（）A．12 B．24 C．30 D．10【變式1】如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，分別以AB、AC、BC為直徑向外作半圓，它們的面積分別記作S1、S2、S3，若S1＝25，S3＝16，則S2為（）A．9 B．11 C．32 D．41【變式2】如圖，△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°，分別以AC、CB為邊向兩側(cè)作正方形．若圖中兩個正方形的面積和S1+S2＝36，則AB＝6．【變式3】如圖是一株美麗的勾股樹，其中所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C、D的面積分別為2，5，1，2．則最大的正方形E的面積是（）A．9 B．10 C．11 D．12【變式4】如圖，在四邊形ABCD中，∠DAB＝∠BCD＝90°，分別以四邊形ABCD的四條邊為邊向外作四個正方形，面積分別為S1，S2，S3，S4．若S1＝48，S2+S3＝135，則S4＝（）A．183 B．87 C．119 D．81【變式5】如圖，Rt△ABC的兩條直角邊BC＝6，AC＝8．分別以Rt△ABC的三邊為邊作三個正方形．若四個陰影部分面積分別為S1，S2，S3，S4，則S2+S3﹣S1的值為（）A．4 B．3 C．2 D．0題型03利用歐勾股定理在數(shù)軸上表示無理數(shù)【典例1】如圖，數(shù)軸上點A表示的數(shù)為﹣1，Rt△ABC的直角邊AB落在數(shù)軸上，且AB長為3個單位長度，BC長為1個單位長度，若以點A為圓心，以斜邊AC長為半徑畫弧交數(shù)軸于點D，則點D表示的數(shù)為（）A． B． C． D．【變式1】如圖，Rt△ABC的直角邊AC在數(shù)軸上，點A表示﹣2，且AC＝3，BC＝1，若以點A為圓心，AB長為半徑畫弧交數(shù)軸于點P，則點P表示的數(shù)為（）A． B．﹣3 C．1.2 D．﹣2【變式2】如圖的數(shù)軸上，點A，C對應(yīng)的實數(shù)分別為1，3，線段AB⊥AC于點A，且AB長為1個單位長度，若以點C為圓心，BC長為半徑的弧交數(shù)軸于0和1之間的點P，則點P表示的實數(shù)為（）A． B． C． D．【變式3】如圖，在數(shù)軸上點A表示的數(shù)是2，點C表示的數(shù)是﹣2，∠ACB＝90°，BC＝，以點A為圓心，AB的長為半徑畫弧交數(shù)軸于點D，則點D表示的數(shù)是（）A． B． C． D．題型04特殊直角三角形三邊的比值①30°所在的直角三角形：由30°所在直角三角形的性質(zhì)以及勾股定理可得三邊的比值為1：：2；②等腰直角三角形（45°）：由等腰直角三角形兩腰相等以及勾股定理可得三邊的比值為1:1：?！镜淅?】三角形三條邊長之比為1：：2，那么這個三角形為（）A．等邊三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形【變式1】如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝2，CD是AB邊上的高，則AD的長為（）A．2.5 B．3 C．3.5 D．4【變式2】如圖，四邊形ABCD中，∠A＝90°，∠B＝120°，∠D＝30°，AB＝2，BC＝3，則CD＝（）A．5 B．6 C．7 D．8【典例1】21．如果一個三角形的三邊長分別為1，1，，那么這個三角形是（）A．銳角三角形 B．等邊三角形 C．鈍角三角形 D．等腰直角三角形【變式1】下列四組數(shù)據(jù)中，能作為等腰直角三角形的三邊長的是（）A．6，8，10 B．7，13，7 C． D．【變式2】已知△ABC三邊長a、b、c，且滿足，則此三角形一定是（）A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等邊三角形題型05利用勾股定理求兩點之間的距離在平面直角坐標系中，若和，由勾股定理可得【典例1】在平面直角坐標系中，點P（3，1）到原點的距離是（）A．1 B．3 C． D．【變式1】在平面直角坐標系中有兩點A（3，0）和B（0，4），則這兩點之間的距離是（）A．3 B．4 C．5 D．7【變式2】如圖，已知點A（2，3）和點B（4，1），在坐標軸上有一點P，且點P到點A和點B的距離相等，則點P的坐標為（）A．（1，0） B．（0，﹣1） C．（1，0）或（0，﹣1） D．（2，0）或（0，1）題型06勾股定理的驗證及其求值【典例1】我國是最早了解勾股定理的國家之一．據(jù)《周髀算經(jīng)》記載，勾股定理的公式與證明是在商代由商高發(fā)現(xiàn)的，故又稱之為“商高定理”；三國時代的蔣銘祖對《蔣銘祖算經(jīng)》內(nèi)的勾股定理作出了詳細注釋，并給出了另外一個證明，下面四幅圖中，不能證明勾股定理的是（）A． B． C． D．【變式1】“趙爽弦圖”巧妙地利用面積關(guān)系證明了勾股定理，是我國古代數(shù)學的驕傲．如圖所示的“趙爽弦圖”是由四個全等的直角三角形和一個小正方形拼成的一個大正方形．設(shè)直角三角形較長直角邊長為a，較短直角邊長為b．若ab＝6，大正方形的面積為16，則小正方形的面積為（）A．8 B．6 C．4 D．3【變式2】如圖，“趙爽弦圖”是用四個相同的直角三角形與一個小正方形無縫隙地鋪成一個大正方形，已知大正方形面積為25，（x+y）2＝49，用x，y表示直角三角形的兩直角邊（x＞y），下列選項中正確的是（）A．小正方形面積為4 B．x2+y2＝5 C．x2﹣y2＝7 D．xy＝24【變式3】如圖，四個全等的直角三角形圍成一個大正方形，中間是個小正方形，這個圖形是我國漢代數(shù)學家趙爽在注解《周醇算經(jīng)》時給出的，人們稱它為“趙爽弦圖”，現(xiàn)分別連接大、小正方形的四組頂點得到圖2的“風車”圖案（陰影郵分）．若圖1中的四個直角三角形的較長直角邊為9．較短直角邊為5，則圖2中的“風車”圖案的周長為（）A． B． C． D．1．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的對邊分別是a，b，c，若∠A+∠C＝90°，則下列等式中成立的是（）A．a(chǎn)2+b2＝c2 B．b2+c2＝a2 C．a(chǎn)2+c2＝b2 D．以上都不對2．如圖，在Rt△ABC中∠C＝90°，AC＝2，BC＝5，則AB＝（）A． B． C． D．63．等腰三角形的一邊長為4，另一邊長為6，則這個等腰三角形的面積是（）A．3 B．8 C．6 D．3或84．如果直角三角形的三邊長分別是6、8、x，則x滿足（）A． B．x＝10 C．或x＝10 D．x＝285．如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于點D．若BC＝16，且CD：BD＝3：5，則點D到邊AB的距離為（）A．3 B．5 C．6 D．106．如圖，在數(shù)軸上點A，B所表示得數(shù)分別是﹣1，1，CB⊥AB，BC＝1，以點A為圓心，AC長為半徑畫弧，交數(shù)軸于點D（點D在點B的右側(cè)），則點D所表示的數(shù)是（）A． B．﹣1 C． D．2﹣7．如圖，平面直角坐標系中，點A，B的坐標分別為（0，6），（8，0），以點A為圓心，AB長為半徑畫弧，交y軸負半軸于點C，則點C的坐標為（）A．（﹣10，0） B．（0，﹣10） C．（0，﹣2） D．（0，﹣4）8．已知x，y為正數(shù)，且|x﹣6|+（y﹣8）2＝0，如果以x，y的長為直角邊作一個直角三角形，那么以這個直角三角形的斜邊為邊長的正方形的面積為（）A．10 B．100 C．14 D．1969．下列各圖是以直角三角形各邊為邊，在三角形外部畫正方形得到的，每個正方形中的數(shù)及字母S表示所在正方形的面積．其中S的值恰好等于10的是（）A． B． C． D．10．“四千年來，數(shù)學的道理還是相通的”．運用祖沖之的出入相補原理也可證明勾股定理．若圖中空白部分的面積是11，整個圖形（連同空白部分）的面積是25，則大正方形的邊長是（）A． B． C． D．11．點P（9，40）到坐標原點的距離是．12．如圖，在平面直角坐標系中，A（1，0），M（﹣2，3），連接AM，以點A為圓心，以AM長為半徑畫?。粁軸的負半軸于點N，則點N的坐標為．第12題第13題13．如圖Rt△ABC，∠C＝90°，分別以各邊為直徑作半圓，圖中陰影部分在數(shù)學史上稱為“希波克拉底月牙”：當AC＝3，BC＝4時，則陰影部分的面積為．14．如圖，“趙爽弦圖”由4個完全一樣的直角三角形所圍成，在Rt△ABC中，AC＝b，BC＝a，∠ACB＝90°，若圖中大正方形的面積為34，小正方形的面積為4，則a+b的值為．15．在△ABC中，AB＝6，AC＝5，BC邊上的高AD＝4，則△ABC的周長為．16．在△ABC中，∠C＝90°，a、b、c分別為∠A、∠B、∠C的對邊．（1）如果a＝5，b＝12，那么c＝．（2）如果c＝61，a＝60，那么b＝．（3）若∠A＝45°，a＝2，則c＝．17．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足為D，AF平分∠CAB，交CD于點E，交CB于點F．若AC＝12，AB＝20．（1）試說明：CE＝CF；（2）試著求出線段CE的長．18．在平面直角坐標系中，O為坐標原點，點A（﹣4，4﹣5a）位于第二象限，點B（﹣4，﹣a﹣1）位于第三象限，且a為整數(shù)．（1）求點A和點B的坐標；（2）若點C（m，0）為x軸上一點，且△ABC是以BC為底的等腰三角形，求m的值．19．如圖，正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長均為1，每個小正方形的頂點叫格點，以格點為頂點按下列要求畫圖：（1）在圖中畫一條線段MN，使MN＝；（2）在圖中畫一個三邊長均為無理數(shù)，且各邊都不相等的直角△DEF．20．閱讀下列材料，完成任務(wù)我們知道，平方差公式a2﹣b2＝（a+