祖暅原理及應(yīng)用講義 高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)

祖暅原理及應(yīng)用一．基本原理1.背景原理：我國(guó)南北朝時(shí)期的數(shù)學(xué)家祖暅提出了一條原理：“冪勢(shì)既同，則積不容異”.意思是：夾在兩個(gè)平行平面之間的幾何體，被平行于這兩個(gè)平面的任意平面所截，如果截得的兩個(gè)截面的面積總相等，那么這兩個(gè)幾何體的體積相等.反之，這個(gè)結(jié)論不成立，例如，設(shè)為正方體，其棱長(zhǎng)為，體積為，為長(zhǎng)方體，底面為邊長(zhǎng)為的正方形，高為，顯然在等高處的截面面積不相等.2.計(jì)算步驟（計(jì)算不規(guī)則幾何體體積）根據(jù)上述原理，在計(jì)算某個(gè)不規(guī)則幾何體的體積時(shí)，第一步可以先算出這個(gè)幾何體任意一個(gè)平行于上下底面（平行）的截面，其面積為，第二步是構(gòu)造一個(gè)規(guī)則幾何體，它的任意一個(gè)平行于上下底面（平行）的截面的面積也為，最后，讓這兩個(gè)幾何體等高，即可求得不規(guī)則幾何體的體積.3.推廣（計(jì)算曲邊圖形的面積）即夾在兩條平行線間的兩個(gè)平面圖形被任意一條平行于這兩條直線的直線截得的線段總相等，則這兩個(gè)平面圖形面積相等.證明：用定積分很容易證，假設(shè)平行線段分別為，上下邊分別為：，倘若，則，故只需找一個(gè)高為的梯形即可算得.舉個(gè)例子來(lái)說(shuō)明：計(jì)算函數(shù)、與直線、所圍成的圖形的面積.由于、與直線，所圍成的圖形的面積是：，則曲線圍成的圖形的面積為1.二．典例分析例1．（2023屆徐州高三上期調(diào)研考試）早在南北朝時(shí)期，祖沖之和他的兒子祖暅在研究幾何體的體積時(shí)，得到了如下的祖暅原理：冪勢(shì)既同，則積不容異.這就是說(shuō)，夾在兩個(gè)平行平面間的兩個(gè)幾何體，如果被平行于這兩個(gè)平面的任意平面所截，兩個(gè)截面的面積總相等，那么這兩個(gè)幾何體的體積一定相等.將雙曲線：與，所圍成的平面圖形（含邊界）繞其虛軸旋轉(zhuǎn)一周得到如圖所示的幾何體，其中線段OA為雙曲線的實(shí)半軸，點(diǎn)B和C為直線分別與雙曲線一條漸近線及右支的交點(diǎn)，則線段BC旋轉(zhuǎn)一周所得的圖形的面積是__________，幾何體的體積為_(kāi)_________.解析：由雙曲線得，則漸近線方程為所以，則；又，則則線段旋轉(zhuǎn)一周所得的圖形的面積為：；因?yàn)楸黄叫杏谶@兩個(gè)平面的任意平面所截，兩個(gè)截面的面積總想等，又雙曲線的實(shí)半軸，此時(shí)截面面積為所以根據(jù)祖暅定理可得：幾何體的體積為；故答案為：；.一般情形：雙曲線，漸近線，與直線所圍成的平面圖形饒軸旋轉(zhuǎn)一周得到的幾何體體積為：.易證，略去！例2．《九章算術(shù)》中記載了我國(guó)古代數(shù)學(xué)家祖暅在計(jì)算球的體積時(shí)使用的一個(gè)原理：“冪勢(shì)既同，則積不容異”，此即祖暅原理，其含義為：兩個(gè)同高的幾何體，如在等高處的截面的面積暅相等，則它們的體積相等．已知雙曲線，若雙曲線右焦點(diǎn)到漸近線的距離記為，雙曲線的兩條漸近線與直線，以及雙曲線的右支圍成的圖形（如圖中陰影部分所示）繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得幾何體的體積為（其中），則雙曲線的離心率為_(kāi)_____．解析：由題意知：漸近線方程為，右焦點(diǎn)為，，由得：；由得：，陰影部分繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得幾何體的體積，即，，即，，解得：，.故答案為：.例3．（經(jīng)典題）我國(guó)南北朝時(shí)期的數(shù)學(xué)家祖暅提出了計(jì)算體積的祖暅原理：“冪勢(shì)既同，則積不容異．”意思是：兩個(gè)等高的幾何體若在所有等高處的水平截面的面積相等，則這兩個(gè)幾何體的體積相等．已知曲線，直線為曲線在點(diǎn)處的切線，如圖，陰影部分為曲線、直線以及軸所圍成的平面圖形，記該平面圖形繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得到的幾何體為．給出四個(gè)幾何體：圖①是底面直徑和高均為1的圓錐；圖②是將底面直徑和高均為1的圓柱挖掉一個(gè)與圓柱同底等高的倒置圓錐得到的幾何體；圖③是底面邊長(zhǎng)和高均為1的正四棱錐；圖④是將上底面直徑為2，下底面直徑為1，高為1的圓臺(tái)挖掉一個(gè)底面直徑為2，高為1的倒置圓錐得到的幾何體．根據(jù)祖暅原理，以上四個(gè)幾何體中與的體積不相等的是______．解析：由題意，幾何體是由陰影部分旋轉(zhuǎn)一周得到，其橫截面為環(huán)形，設(shè)陰影部分等高處，拋物線對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，切線對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，設(shè)直線為，與聯(lián)立，得，由，解得，所以曲線C在點(diǎn)處的切線方程為，所以，，所以幾何體在等高處的橫截面面積.圖①中的圓錐高為1，底面半徑為，易知該圓錐可由直線繞y軸旋轉(zhuǎn)得到，其橫截面面積，所以幾何體和圖①中的圓錐在所有等高處的水平截面的面積相等，所以它們的體積相等，且圓錐的體積為；圖②中的圓柱、圓錐高均為1，底面半徑為，則該幾何體的體積為，所以與幾何體的體積不相等；圖③是底面邊長(zhǎng)和高均為1的