人教版八年級數(shù)學(xué)上冊《課題學(xué)習(xí) 最短路徑問題（第2課時）》示范教學(xué)設(shè)計

課題學(xué)習(xí)最短路徑問題（第2課時）教學(xué)目標(biāo)1．利用平移、軸對稱解決最短路徑的問題，進一步感悟化歸思想．2．將實際問題抽象成幾何圖形的過程中，培養(yǎng)學(xué)生用符號語言和圖形語言表達數(shù)學(xué)問題的能力．教學(xué)重點利用平移、軸對稱解決最短路徑的問題．教學(xué)難點體會圖形的變化在解決最短路徑問題中的作用，感悟化歸思想．教學(xué)過程知識回顧上節(jié)課我們研究了兩類最短路徑問題：1．點A，B在直線l異側(cè)：2．點A，B在直線l同側(cè)：【師生活動】教師提出問題，學(xué)生作答．【設(shè)計意圖】通過復(fù)習(xí)已研究過的最短路徑問題，為引出本節(jié)課的課題“造橋選址問題”作鋪墊．新知探究一、探究學(xué)習(xí)【問題】（造橋選址問題）如圖，A和B兩地在一條河的兩岸，現(xiàn)要在河上造一座橋MN，橋造在何處可使從A到B的路徑AMNB最短？（假定河的兩岸是平行的直線，橋要與河垂直．）【師生活動】教師提問：1．這是一個實際問題，想一想可以把它抽象為怎樣的數(shù)學(xué)問題？學(xué)生思考并回答：可以把河的兩岸看成兩條平行線a和b（如圖），N為直線b上的一個動點，MN垂直于直線b，交直線a于點M．當(dāng)點N在直線b的什么位置時，AM＋MN＋NB最??？教師提問：2．問題是否可以轉(zhuǎn)化？學(xué)生回答：由于河岸寬度是固定的（MN長度固定），當(dāng)AM＋NB最小時，AM＋MN＋NB最?。詥栴}可以轉(zhuǎn)化為：當(dāng)點N在直線b的什么位置時，AM+NB最?。處熖釂枺?．能否通過圖形的變化將問題轉(zhuǎn)化為之前研究過的問題呢？教師提示：可以考慮將問題轉(zhuǎn)化為兩點在直線異側(cè)，連接A，B兩點，與直線的交點即為N．依據(jù)：兩點之間，線段最短．根據(jù)提示，學(xué)生思考并回答：將AM沿與河岸垂直的方向平移，點M移動到點N，點A移動到點A′，則AA′＝MN，AM＋NB＝A′N＋NB．所以問題轉(zhuǎn)化為：當(dāng)點N在直線b的什么位置時，A′N＋NB最??？教師提問：4．這是我們上節(jié)課講的哪種類型？問題應(yīng)該怎樣解決？學(xué)生回答：這是我們研究的兩點在直線異側(cè)時求最短路徑問題．在連接A′，B兩點的線中，線段A′B最短．線段A′B與直線b的交點N的位置即為所求，即在點N處造橋MN，所得路徑AMNB是最短的．教師提問：5．試著說一下作圖過程．學(xué)生獨立思考后，嘗試畫圖，尋求符合條件的點，然后小組交流，學(xué)生代表匯報交流結(jié)果，師生共同補充．作法：（1）將A沿與河岸垂直的方向平移到A′，使AA′的長度等于橋長；（2）連接A′B，交直線b于點N，點N即為所求；（3）過N作NM⊥a于M，線段MN即為橋的位置．此時從A到B的路徑AMNB最短．教師提問：6．你能試著證明一下嗎？師生共同分析，然后學(xué)生說明證明過程，教師板書．證明：在直線b上任取一點N′，過點N′作N′M′⊥a，連接AM′，A′N′，N′B，由平移性質(zhì)可知，AM＝A′N，AM′＝A′N′．所以AM＋NB＝A′N＋NB＝A′B，AM′＋N′B＝A′N′＋N′B．由“兩點之間，線段最短”可知：A′B＜A′N′＋N′B，即AM＋NB＜AM′＋N′B，即AM＋MN＋NB＜AM′＋M′N′＋N′B．【歸納】在解決最短路徑問題時，我們通常利用軸對稱、平移等變化把已知問題轉(zhuǎn)化為容易解決的問題，從而作出最短路徑的選擇．【設(shè)計意圖】通過證明得出新知，讓學(xué)生進一步體會作法的正確性，提高邏輯思維能力．二、典例精講【例題】已知線段a，點A，B在直線l的同側(cè)，在直線l上求作兩點P，Q（點P在點Q的左側(cè)）且PQ＝a，使得四邊形APQB的周長最?。編熒顒印拷處煼治觯合仍谥本€l上取PQ＝a（如圖），連接AP，QB，AB，此時在四邊形APQB中，線段PQ和線段AB的長度是固定的，所以當(dāng)AP＋QB最小時，四邊形APQB的周長最?。畬W(xué)生根據(jù)分析嘗試說出作圖過程，教師板書．【答案】作法：（1）將點A沿直線l的方向平移到A′，使得AA′＝a；（2）作A′關(guān)于直線l的對稱點A′′；（3）連接A′′B，與直線l交于一點Q，Q即為所求點；（4）在點Q左側(cè)取點P，使得PQ＝a，P即為所求點．連接AP，AB，所得四邊形APQB的周長最小．