專題：數(shù)列(有答案)

PAGEPAGE27專題：數(shù)列一、選擇題1.已知等差數(shù)列{}的前n項(xiàng)和為，則的最小值為（）A．7B．8C．D．2.已知數(shù)列，滿足，，，且對(duì)任意的正整數(shù)，當(dāng)時(shí)，都有，則的值是A.2012 B.2013C.2014 D.20153.已知數(shù)列{}的前n項(xiàng)和為，且,則等于（）A．4B．2C．1D．4.已知{an}的前n項(xiàng)和為，則的值是（）A．13B．46C．76D．5.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為,則數(shù)列的前100項(xiàng)和為（）A． B． C． D．6.數(shù)列的通項(xiàng)公式，則該數(shù)列的前（）項(xiàng)之和等于9AB CD7.若數(shù)列的通項(xiàng)公式是() A.15B.12C.D.8.已知定義在上的函數(shù)是奇函數(shù)且滿足，，數(shù)列滿足，且，（其中為的前項(xiàng)和）。則A． B．C． D．9.已知數(shù)列= A．4 B．2 C．1 D．-210.已知函數(shù)，且，則A．B．C．D．11.已知數(shù)列的前n項(xiàng)和，則的值為（）A．80B．40C．20D．1012.數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an＝，若前n項(xiàng)和為10，則項(xiàng)數(shù)n為()A．120B．99C．11二、填空題13.已知數(shù)列中，當(dāng)整數(shù)時(shí)，都成立，則＝．14.定義：若數(shù)列對(duì)任意的正整數(shù)n，都有（d為常數(shù)），則稱為“絕對(duì)和數(shù)列”，d叫做“絕對(duì)公和”，已知“絕對(duì)和數(shù)列”，“絕對(duì)公和”，則其前2012項(xiàng)和的最大值為 15.已知等比數(shù)列中，，，若數(shù)列滿足，則數(shù)列的前項(xiàng)和．16.已知數(shù)列中，當(dāng)整數(shù)時(shí)，都成立，則＝．17.對(duì)正整數(shù)n，設(shè)曲線在x=2處的切線與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，則的前n項(xiàng)和是。18.設(shè)是等差數(shù)列的前項(xiàng)和，且，則=.19.在一個(gè)數(shù)列中，如果,都有（k為常數(shù)），那么這個(gè)數(shù)列叫做等積數(shù)列，k叫做這個(gè)數(shù)列的公積。已知數(shù)列是等積數(shù)列，且，公積為27，則

。20.已知等比數(shù)列｛an｝中，a1＋a2=9，a1a2a3=27,則｛an｝的前n項(xiàng)和Sn=___________21.已知數(shù)列滿足，對(duì)于任意的正整數(shù)都有，則______22.如上頁(yè)圖，一條螺旋線是用以下方法畫成：是邊長(zhǎng)為1的正三角形，曲線分別以為圓心，為半徑畫的弧，曲線稱為螺旋線旋轉(zhuǎn)一圈．然后又以為圓心為半徑畫弧…，這樣畫到第圈，則所得整條螺旋線的長(zhǎng)度______．(用表示即可)

三、解答題23.已知數(shù)列（Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）若求數(shù)列的前n項(xiàng)和24.在數(shù)列中，已知.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求證：數(shù)列是等差數(shù)列；（3）設(shè)數(shù)列滿足的前n項(xiàng)和Sn.25.已知等差數(shù)列滿足：，，該數(shù)列的前三項(xiàng)分別加上1，1，3后順次成為等比數(shù)列的前三項(xiàng).（Ⅰ）分別求數(shù)列，的通項(xiàng)公式;（Ⅱ）設(shè)，求證：26.27.28.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且． （1）求，； （2）設(shè)，求數(shù)列的通項(xiàng)公式．29.已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且成等差數(shù)列。（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若30.已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列前n項(xiàng)和為，首項(xiàng)為，且成等差數(shù)列。（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若，設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.31.各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列中，a1=1，Sn是數(shù)列的前n項(xiàng)和，對(duì)任意，有（1）求常數(shù)P的值；（2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（3）記，求數(shù)列的前n項(xiàng)和Tn.32.已知{an}為遞增的等比數(shù)列，且{a1，a3，a5}{-10，-6，-2，0，1，3，4，16}．(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；(2)是否存在等差數(shù)列{bn}，使得a1bn+a2bn-1+a3bn-2+…anb1=2n+1-n-2對(duì)一切n∈N*都成立?若存在，求出bn；若不存在，說明理由．33.已知等比數(shù)列{an}滿足an+1+an=9·2n-1，n∈N*．(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若不等式Sn>kan-2對(duì)一切n∈N*恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．34.已知數(shù)列是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，且，，．（1）求數(shù)列和的通項(xiàng)公式（2）數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項(xiàng)和．35. 已知等差數(shù)列{an}的公差大于0，且a3，a5是方程的兩根，數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)的和為Sn，且Sn=(n∈N*),Cn=·。（1）求數(shù)列{an}，{bn}的通項(xiàng)公式；（2）求證：cn+1≤cn；（3）求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Tn．36.已知數(shù)列滿足=0且是的等差中項(xiàng)，是數(shù)列的前項(xiàng)和.(1)求的通項(xiàng)公式；（2）若，，求使成立的正整數(shù)n的最小值．37.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，是和的等比中項(xiàng).（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和.38. 已知（1）求數(shù)列{}的通項(xiàng)公式；（2）數(shù)列{}的首項(xiàng)b1=1，前n項(xiàng)和為Tn，且，求數(shù)列{}的通項(xiàng)公式.39.在數(shù)列中， （1）求數(shù)列的通項(xiàng)；（2）若存在，使得成立，求實(shí)數(shù)的最小值.40.(1)寫出a2,a3,a4的值，并猜想數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；(2)用數(shù)學(xué)歸納法證明你的結(jié)論；41.等比數(shù)列中，，，分別是下表第一、二、三行中的某一個(gè)數(shù)，且，，中的任何兩個(gè)數(shù)不在下表的同一列．第一列第二列第三列第一行3210第二行6414第三行9818（Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）若數(shù)列滿足：，求數(shù)列的前項(xiàng)和．42.已知數(shù)列的前項(xiàng)和，數(shù)列為等比數(shù)列，且滿足，（1）求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和。43.已知等差數(shù)列{an}滿足：a4＝6，a6＝10.(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)等比數(shù)列{bn}的各項(xiàng)均為正數(shù)，Tn為其前n項(xiàng)和，若b3＝a3，T2＝3，求Tn.44.已知數(shù)列滿足，，且，。(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和．45.在數(shù)列中，，。（1）求的通項(xiàng)公式；（2）令，求數(shù)列的前項(xiàng)和。（3）求數(shù)列的前項(xiàng)和。46.已知是等比數(shù)列，公比，前項(xiàng)和為（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證47.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為,數(shù)列滿足，．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和.

48.已知為等比數(shù)列，為等差數(shù)列的前n項(xiàng)和， （1）求的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求49.在等比數(shù)列中，已知.（1）求的通項(xiàng)公式；Ks5u（2）求和.50.已知數(shù)列是首項(xiàng)為２，公比為的等比數(shù)列，為的前項(xiàng)和.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)及；（2）設(shè)數(shù)列是首項(xiàng)為－２，第三項(xiàng)為２的等差數(shù)列，求數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前項(xiàng)和.

試卷答案1.D2.D3.A因?yàn)?，所以，解得，所以，即，選A.4.D5.A6.A7.A8.A9.A當(dāng)時(shí)，，所以，當(dāng)時(shí)，，即，選A.10.B因?yàn)椋?，，所?選B.11.C12.A由，所以，即，即，解得.選A.13.由得，,即，數(shù)列{}從第二項(xiàng)起構(gòu)成等差數(shù)列，1+2+4+6+8+…+28=211.14.201215.，所以，解得，所以，所以，所以，所以數(shù)列的前項(xiàng)和.16.21117.曲線，曲線導(dǎo)數(shù)為，所以切線效率為，切點(diǎn)為，所以切線方程為，令得，，即，所以，所以，是以2為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，所以。18.19.7820.21.19922.設(shè)第n段弧的弧長(zhǎng)為，由弧長(zhǎng)公式，可得

…

數(shù)列是以為首項(xiàng)、為公差的等差數(shù)列.畫到第n圈，有3n段弧，

故所得整條螺旋線的長(zhǎng)度

23.解：（Ⅰ）……2分…………3分又，………………4分……5分（Ⅱ）…………7分……………8分……9分………………11分……12分24.25.解：（Ⅰ）設(shè)d、q分別為等差數(shù)列、等比數(shù)列的公差與公比，且由分別加上1，1，3……………1分有……………2分…………4分…………6分（II）①②，①—②，得…………8分………………10分即………………12分26.27.28.解：（1）由已知，即，∴， 又，即，∴； （2）當(dāng)時(shí)，， 即，易知數(shù)列各項(xiàng)不為零(注：可不證不說)， ∴對(duì)恒成立， ∴是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列， ∴， ∴，即．29.解：（1）由題意知當(dāng)n=1時(shí)，兩式相減得整理得：……5分∴數(shù)列是為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列?！?分（2）∴，……8分①②①—②得………………10分……12分∴……14分30.解：（1）由題意知當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，兩式相減得整理得：∴數(shù)列是以為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列?！?，①②①-②得31.32.(1)解：∵{an}為遞增的等比數(shù)列，∴其公比為正數(shù)

又{a1，a3，a5}{－10，－6，－2，0，1，3，4，16}

∴a1=1，a3=4，a5=16 2分

故

∴{an}的通項(xiàng)公式為 4分(2)解：假設(shè)存在滿足條件的等差數(shù)列{bn}，其公差為d

當(dāng)n=1時(shí)，a1b1=1，又a1=1，∴b1=1

當(dāng)n=2時(shí)，a1b2+a2b1=4，即b2+2b1=4，∴b2=2 6分

故d=b2－b1=1，bn=b1+(n－1)d=n 8分

下面證明當(dāng)bn=n時(shí)，a1bn+a2bn－1+a3bn－2+…＋anb1=2n+1－n－2對(duì)一切n∈N*都成立

設(shè)Sn=a1bn+a2bn－1+a3bn－2+…＋anb1

即Sn=1×n+2×(n－1)+22×(n－2)+23×(n－3)+…++2n－2×2+2n－1×1①

2Sn=2×n+22×(n－1)+23×(n－2)+24×(n－3)+…++2n－1×2+2n×1② 10分

②－①得：

∴存在等差數(shù)列{bn}，使得a1bn+a2bn－1+a3bn－2+…＋anb1=2n+1－n－2對(duì)一切n∈N*都成立

13分另解：假設(shè)存在滿足條件的等差數(shù)列{bn}，其公差為d，則

①

② 6分

②－①得： 8分

10分

∴，解得：b1=1，d=1，∴bn=n

故存在等差數(shù)列{bn}，使得a1bn+a2bn－1+a3bn－2+…＋anb1=2n+1－n－2對(duì)一切n∈N*都成立 13分33.(1)解：設(shè)等比數(shù)列的公比為，

∵，n∈N*，∴，

∴ 2分

又，∴ 4分

∴n∈N*． 6分(2)解： 8分

∴，∴． 10分

令，隨的增大而增大，∴

∴，．即實(shí)數(shù)的取值范圍為． 12分34.（Ⅰ）設(shè)的公差為，的公比為由，得，從而因此………3分又，從而，故……………6分（Ⅱ）令……………9分，又………12分35.36.解：（Ⅰ）∵an+1-2an=0，即an+1=2an，

∴數(shù)列{an}是以2為公比的等比數(shù)列．

∵a3+2是a2，a4的等差中項(xiàng)，∴a2+a4=2a3+4，則2a1+8a1=8a1+4，即a1=2，

∴數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an=2n；………………5分（Ⅱ）由（Ⅰ）及bn=-anlog2an得，bn=-n?2n，

∵Sn=b1+b2+…+bn，

∴Sn=-2-2?22-3?23-4?24-n?2n①

∴2Sn=-22-2?23-3?24-4?25-（n-1）?2n-n?2n+1②

②-①得，Sn=2+22+23+24+25++2n-n?2n+1………………8分

=-n?2n+1=(1-n)?2n+1-2………………10分

要使Sn+n?2n+1＞50成立，只需2n+1-2＞50成立，即2n+1＞52，n＞5

∴使Sn+n?2n+1＞50成立的正整數(shù)n的最小值為5．………………12分37.(本小題主要考查數(shù)列、數(shù)列求和等知識(shí),考查化歸與轉(zhuǎn)化、分類與整合的數(shù)學(xué)思想方法，以及抽象概括能力、推理論證能力、運(yùn)算求解能力和創(chuàng)新意識(shí))（1）解：∵是公比為的等比數(shù)列，∴.……………1分∴.從而，.……………3分∵是和的等比中項(xiàng)∴，解得或.……………4分當(dāng)時(shí)，，不是等比數(shù)列，……………5分∴.∴.……………6分當(dāng)時(shí)，.……………7分∵符合，∴.……………8分（2）解：∵，∴.①……………9分.②……………10分①②得……………11分……………12分.……………13分∴.……………14分38.39.解：（1）………………6分（2）由（1）可知當(dāng)時(shí)，設(shè)………………8分則又及，所以所求實(shí)數(shù)的最小值為………………12分40.解：，……8分41.解：（I）當(dāng)時(shí)，不合題意；當(dāng)時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，符合題意；當(dāng)時(shí)，不合題意.因此所以公式q=3，故（II）因?yàn)樗运援?dāng)n為偶數(shù)時(shí)，當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，綜上所述，42.解：（1）由已知，得 1分 當(dāng)≥2時(shí)， 3分 所以 5分 由已知， 設(shè)等比數(shù)列的公比為，由得，所以 7分 所以 8分（2）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為， 則， ， 兩式相減得 10分 11分 12分所以43.解析(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1，公差為d，∵a4＝6，a6＝10，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＋3d＝6，,a1＋5d＝10，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝0，,d＝2，))∴數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an＝a1＋(n－1)d＝2n－2.(6分)(2)設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{bn}的公比為q(q>0)．∵an＝2n－2，∴a3＝4，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b1q2＝4，,b1(1＋q)＝3，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(q＝2，,b1＝1))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(q＝－\f(2,3)，,b1＝9))(舍去)，∴Tn＝eq\f(b1(1－qn),1－q)＝eq\f(1－2n,1－2)＝2n－1.(12分)44.解：（1），∴。(2）由（1）知是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，∴，。，，∴，∴。45.（1）由條件得，又時(shí)，，故數(shù)列構(gòu)成首項(xiàng)為1，公式為的等比數(shù)列．從而，即．（2）由得，，兩式相減得：，所以．（3）由得所以．46.解：.（2）設(shè)=因?yàn)椋?7.解（1）………………4分++3，++3，兩式作差：3-=2………10分(2)=…………13分48.-②得：（9分）整理得：（12分）49.（1）解：由條件得：1分2分K