2024年高考數(shù)學(xué)易錯題：數(shù)列（教師版新高考專用）

專題08數(shù)列

題型一：數(shù)列求最值問題食、易錯點(diǎn)：混淆數(shù)列與函數(shù)的區(qū)別

題型二：等1:徽列利用中項求其它易錯點(diǎn)：忽視兩個"中項"的區(qū)別

題型三：等I:徽列求和白、易錯點(diǎn)：忽略等比數(shù)列求和時對g的討論

題型四：求通項公式0、易錯點(diǎn)：由公求a”時忽略對"=1"的檢驗

題型五：數(shù)列求和0、易錯點(diǎn)：裂項求和留項出錯

易錯點(diǎn)一：混淆數(shù)列與函數(shù)的區(qū)別(數(shù)列求最值問題)

1、等差數(shù)列的定義

(1)文字語言：一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的差都等于同一個常數(shù)；

(2)符號語言：an+i-an=d(neN,,d為常數(shù)).

2、等差中項：若三個數(shù)a,A,6組成等差數(shù)列，則/叫做a,6的等差中項.

3、通項公式與前〃項和公式

(1)通項公式：

(2)前”項和公式：s“=嗎+^.

22

(3)等差數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系

①通項公式：當(dāng)公差4*0時，等差數(shù)列的通項公式aLfli+S-DdM㈤+aiV是關(guān)于〃的一次函數(shù),

且一次項系數(shù)為公差d.若公差d>0,則為遞增數(shù)列，若公差d<0,則為遞減數(shù)列.

②前〃項和：當(dāng)公差”片0時，，=〃4+若11=?"2+3「：|)”是關(guān)于〃的二次函數(shù)且常數(shù)項為0.

已知數(shù)列｛4｝是等差數(shù)列，S“是其前”項和.

1、等差數(shù)列通項公式的性質(zhì)：

(1)通項公式的推廣：an=am+(n-m)d(n,meN^.

(2)若左+/=根+幾(左,/,九九wN*),則以+〃/=4+4.

(3)若｛4｝的公差為d,貝四的“｝也是等差數(shù)列，公差為2d.

(4)若｛%｝是等差數(shù)列，則｛pan+qbn｝也是等差數(shù)列.

2、等差數(shù)列前〃項和的性質(zhì)

(1)S2?="(%+/")=.■=?(??+。用)；

(2)527=(2"-I)%；

(3)兩個等差數(shù)列｛與｝,｛么｝的前n項和S“，T”之間的關(guān)系為2=2".

(4)數(shù)列Sm,S2m-Sm,邑“-邑山，…構(gòu)成等差數(shù)列.

3、關(guān)于等差數(shù)列奇數(shù)項和與偶數(shù)項和的性質(zhì)

(1)若項數(shù)為2n,貝”偶-5奇=nd,—=——；

?偶an+\

Sqn

(2)若項數(shù)為2〃一1,則S稿=(〃-1)4，S奇=〃％,S奇一S偶=?！埃?^=--

S偶〃-1

最值問題：解決此類問題有兩種思路：

一是利用等差數(shù)列的前"項和公式，可用配方法求最值，也可用頂點(diǎn)坐標(biāo)法求最值；

二是依據(jù)等差數(shù)列的通項公式。"乂+伍-以二辦+自-^^當(dāng)“八時，數(shù)列一定為遞增數(shù)列，當(dāng)d<0時,

數(shù)列一定為遞減數(shù)列.所以當(dāng)4>0,且d<0時，無窮等差數(shù)列的前”項和有最大值，其最大值是所有非

負(fù)項的和；當(dāng)4<。，且">0時，無窮等差數(shù)列的前〃項和有最小值，其最小值是所有非正項的和，求解

非負(fù)項是哪一項時，只要令見2。即可

易錯提醒：數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，在求解數(shù)列問題時有時可以利用函數(shù)的性質(zhì)，但是在利用函數(shù)單調(diào)性

求解數(shù)列問題，要注意〃的取值不是連續(xù)實數(shù)，忽略這一點(diǎn)很容易出錯.

例.已知等差數(shù)列｛%｝的前〃項和為S,,且。4=1,55=10,求S"取得最大值時對應(yīng)的〃值.

【詳解】在等差數(shù)列｛4“｝中，Ss=4愛X5=2^X5=10,則%=2,而。L1,

于是公差d=4一%=一1，因止匕q=%+("—3)〃=一〃+5,

由g20,得“V5,顯然數(shù)列｛““｝是遞減等差數(shù)列，前5項都是非負(fù)數(shù)，從第6項起為負(fù)數(shù)，所以S"的最

大值為S4=S5=^^X4=10,此時〃=4或〃=5.

變式1.數(shù)列｛4｝是等差數(shù)列，4=50,d=^).6.

(1)從第幾項開始有。，<0?

⑵求此數(shù)列的前〃項和的最大值.

【詳解】(1)因為％=50,d=-0.6,所以。“=50-0.6(”-1)=-0.6〃+50.6.

令-O6z+50.6VO,JU!]n>?84.3.由于“wN*,故當(dāng)〃N85時,??<0,

0.6

即從第85項開始各項均小于0；

(2)方法1：S=50n+“(7)x(-0.6)=-0.3/+50.3M=-0.3503\5032

nn———I

當(dāng)〃取最接近于岸503的自然數(shù)，即〃=84時，￡取到最大值以4=2108.4.

6

方法2：因為d=-0.6<0,<\=50>0,由(1),知心>0,@<0,

所以5＜尾＜一＜$84,且%＞黑〉$86＞

xgq

所以(S“)1mx=§84=50X84+-^―X(-0.6)=2108.4.

變式2.記S“為等差數(shù)列｛?｝的前〃項和，已知％=-7,S3=-15.

(1)求｛q｝的通項公式;

⑵求S”的最小值.

【詳解】(1)設(shè)公差為d,%=-7,

3><(1)

S3=3x(-7)+^-c?=-21+3t/=-15,解得d=2,

:—ciy+(〃_l)d=2〃-9.

(2),:ci[=-7,d=2,

Sn="4+1)d=/-8〃=("一4J—16,

二當(dāng)”=4時，S,最小,最小值為-16.

變式3.等差數(shù)列｛4｝,與=-11,公差d=—3.

(1)求通項公式和前n項和公式；

(2)當(dāng)"取何值時，前”項和最大，最大值是多少.

【詳解】(1)由S“為等差數(shù)列｛%｝的前〃項和，則與=土與4』=口變=llg=Tl，解得％=T，

an=4+(〃_6)d=-l+(n-6)x(-3)=17-3zi,貝ij%=17-3=14,

_+a〃)_"(14+17-3〃)_3231

ij———nn.

〃2222

（2）由q,=17-3”，則數(shù)列｛%｝為遞減數(shù)列，

由4=T<0,a5=2>Q,則當(dāng)〃=5時，S.取得最大值，即最大值為=區(qū)處@=40.

2

1.已知數(shù)列｛4｝是等差數(shù)列，若%+牝<0，al0-ail<Q,且數(shù)列｛%｝的前"項和s,,有最大值，當(dāng)S“>o

時，”的最大值為（）

A.20B.17C.19D.21

【答案】C

【分析】可判斷數(shù)列&｝是遞減的等差數(shù)列，利用前〃項和公式和等差數(shù)列的性質(zhì)可得兒>0,S2°<。，進(jìn)而

可得”的最大值.

【詳解】因為%）%<0,所以和知異號，

又等差數(shù)列｛%｝的前n項和S“有最大值，

所以數(shù)列｛?J是遞減的等差數(shù)列，

所以如）>（）,0n<0,

所以S19=H%X19=194O>O,

$2。=^^x20=10（q+/。）=10&+&）<。，

所以當(dāng)5">。時，”的最大值為19.

故選：C.

2.已知等差數(shù)列｛%｝的前〃項和為S“.7%+5%=。，且。9>生，則S“取得最小值時〃的值為（）

A.5B.6C.7D.8

【答案】B

【分析】由等差數(shù)列｛%｝的通項公式，求得。6<。，%>。，進(jìn)而得到當(dāng)當(dāng)lV〃W6,〃eN*時，??<0,當(dāng)

〃27,〃EN*時，〃〃>0,即可求解.

【詳解】由等差數(shù)列｛凡｝的通項公式74+5%=0,得

7(%+4d)+5(q+8d)=0,12q+68d=0,4——§d,———,又%>%,

172171

以%<。,d>0,4+d=0,/.%+5d+耳d=0％+5d=4<0,qH——d+§d=%>0,

則等差數(shù)列｛4｝中滿足4<。，%>。，且d>0，

數(shù)列｛%｝為遞增數(shù)列，且當(dāng)1W〃W6,〃￡N*時，。〃<。，當(dāng)〃27,〃EN*時，?！?gt;°，

所以當(dāng)S“取得最小值時，〃的值為6.

故選：B.

3.已知數(shù)列｛%｝中，％=25,4%+]=4%-7,若其前刀項和為$7,則S?的最大值為（）

「765「705

A.15B.750C.---D.——

42

【答案】C

7

【分析】由題意可得數(shù)列｛見｝是以首項為25,公差d=-（的等差數(shù)列，結(jié)合等差數(shù)列的通項公式以及前〃

項和的性質(zhì)分析運(yùn)算.

7

【詳解】由4q+1=4氏一7,可得?！?1=%—a，

7

所以數(shù)列｛4｝是以首項為25,公差d=的等差數(shù)列，且｛%｝為單調(diào)遞減數(shù)列,

其通項公式為4=25+5-1*[,一7小、=一工7〃+丁107.

當(dāng)—[20且。]=—■-n-\■—廠＜。時，Sn最大，

“4444

解得正叫且心嗎貝心=15,

77

即數(shù)列｛④｝的前15項均為非負(fù)值，第16項開始為負(fù)值，

"「同一c~oc15x14（7、765

故S/5取大，幾=15x25+---xl--1=-^—.

故選：C.

4.若｛%｝是等差數(shù)列，首項％＞0,。2021+。22＞。，。21，%022＜。，則使前〃項和3＞。成立的最大自然數(shù)

〃是（）

A.2021B.2022C.4042D.4043

【答案】C

【分析】根據(jù)題意得。2021＞。，“2022〈°，再結(jié)合$4043=4043。2022＜°，S蛆?=2021（%021+%022）＞。，求解即可.

【詳解】根據(jù)q>o,出⑼.?2022<。得?2021>0，?儂<0,所以s破=40437+喙）=4043^<0,

因為/。21+/。22>0,所以品以=4°42（,+041M2）=2021（%⑶+囁2）>0，

所以使前〃項和S“>。成立的最大自然數(shù)〃是4042.

故選：C

5.設(shè)｛%｝是等差數(shù)列，S,是其前〃項和，且55<品，$=$7>',則下列結(jié)論正確的是（）.

A.d>0B.%=0

C.59>S5D.臬與跖均為S”的最大值

【答案】BD

【分析】對于B：根據(jù)題意結(jié)合前〃項和分析可得4>0，%=。，如<。；對于A：根據(jù)等差數(shù)列的定義分析判

斷；對于C：根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)分析可得％+%+4+%<。，進(jìn)而可得結(jié)果；對于D：根據(jù)等差數(shù)列的正

負(fù)性結(jié)合前n項和的性質(zhì)分析判斷.

【詳解】因為s5Vs6,S6=S7>S8,

則。6=$6—S5>。，。7=S7-$6=0,%=Sg—邑<0,故B正確；

設(shè)等差數(shù)列｛%｝的公差為d,則d=%-4<。，故A錯誤；

可知數(shù)列｛%｝為遞減數(shù)列，可得4>。2>…>%=。>%>…，

可得％+%+氏+為=2（%+q）=20g<0,

所以59=55+%+%+%+。9<55，故C錯誤；

因為R為最后一項正數(shù)，根據(jù)加法的性質(zhì)可知：$6為S”的最大值，

又因為$6=$7,所以$6與S?均為S“的最大值，故D正確；

故選：BD.

6.設(shè)等差數(shù)列｛〃"｝的前”項和為S"，公差為d.已知出=的，品,>。，幾<0,則下列結(jié)論正確的是（

24

A.%<°B.---vd<-3

7

C.跖=84D.設(shè)的前〃項和為小則（>。時，〃的最大值為27

【答案】BC

【分析】由已知求得“8<0，?7>0,解公差為d的取值范圍，利用等差數(shù)列的通項公式求和公式及其性質(zhì)

逐個選項判斷正誤即可.

【詳解】岳5<0,...14"%4）=7（%+4）>0,'（a；/）=15/<0,

9+。8>0,“8<0，.，?%>。，A選項錯誤；

又?:%=12,即4=12-3d,

1%+/=。4+3d+/+4d=24+7d〉0

解得-亍<1<一3,B選項正確;

=%+4d=12+4d<0

?*"；%）=7%=84,故C選項正確;

Sn—1,

因為等差數(shù)列｛%｝的前n項和為S“，所以S.=呷+妁瀘4,n卬n—=qH----d,

n2

數(shù)列為等差數(shù)列，設(shè)2=彳=%+，1”，

因為當(dāng)時，Sn>0,當(dāng)〃>15時，5n<0,

所以當(dāng)"W14時，3>0,當(dāng)〃>15時，么<0,

所以心7=^^'27=27々4>0,T2i=^^x28=14^2a1+y^=14^24+y6/

?4

因為-3</<-3,所以品可能為正數(shù)，也可能為負(fù)數(shù)，所以D選項不正確.

故選：BC.

7.已知數(shù)歹!]｛4｝的前W項和s“滿足S"=a〃2+ii〃+Ma,6eR,〃eN*）,則下列說法正確的是（)

A.人=0是｛叫為等差數(shù)列的充要條件

B.｛%｝可能為等比數(shù)列

C.若a>0,6eR,則｛4｝為遞增數(shù)列

D.若。=一1,則S,中，S-S6最大

【答案】ABD

【分析】計算4=。+8+11,當(dāng)〃22時，an=lan+11-?,驗證知A正確，當(dāng)a=b=0時是等比數(shù)列，B正

確，舉反例知c錯誤，計算“6=。得到D正確，得到答案.

2

【詳解】S〃=an+lln+b,ax=Sx=a+b+11；

2

當(dāng)時，an=Sn-Sn-1=an+lln+b-a(^n-lf=2?n+ll-a,

當(dāng)人=0時，%=。+11,滿足通項公式%=2即+11-〃，數(shù)列為等差數(shù)列；

當(dāng)｛4｝為等差數(shù)列時，=2。+11-〃=11+。+力，6=0，故A正確；

當(dāng)々=/?=0時，是等比數(shù)列，B正確；

%=3〃+11,取Z?=2a,貝！J〃2=4，C錯誤；

當(dāng)，=-1時，從第二項開始，數(shù)列遞減，且為=-2〃+12,故。6=。，故S5,臬最大，D正確.

故選：ABD

8.已知數(shù)列｛。,｝的前〃項和S“=f2+9M〃eN*),則下列結(jié)論正確的是()

A.｛%｝是等差數(shù)列B.%+%=。

8]

C.D.s“有最大值-

4

【答案】AB

【分析】由“”與S.的關(guān)系求出數(shù)列｛%｝的通項，從而可判斷AB,根據(jù)數(shù)列性質(zhì)可判斷C,根據(jù)前"項和S”的

函數(shù)性質(zhì)可判斷D.

【詳解】當(dāng)”=1時，%=1=8,

當(dāng)“22時，

22

a”=Sn—S._[=-n+9n—[—(?—I)+9(“-1)]=10—2n,符合q=8,

故4=10-2〃,5eN*),

所以4+i=1。-2("+1)=8—2",an+l-an=-2,

所以數(shù)列｛?！埃堑炔顢?shù)列，首項為q=8,公差d=-2,A正確；

“4+“6=2%=。，B正確；

因為公差』=-2<0,所以數(shù)列｛可｝是遞減數(shù)列，所以色>6。，C錯誤；

22

sn=-n+9n=-(n--)+—,

易知當(dāng)"=4或5時，S“有最大值邑=Ss=20,D錯誤.

故選：AB

9.數(shù)列｛%｝的前〃項和為已知5“=-/+7〃，則下列說法正確的是()

A.｛%｝是遞增數(shù)列B.a10=-14

C.當(dāng)">4時，a?<0D.當(dāng)”=3或4時，S.取得最大值

【答案】CD

【分析】根據(jù)S“表達(dá)式及〃22時，4=S,-Sa的關(guān)系，算出數(shù)列｛%｝通項公式，即可判斷A、B、C選項

的正誤.S“=-"2+7〃的最值可視為定義域為正整數(shù)的二次函數(shù)來求得.

【詳解】當(dāng)“22時，4=S“-S,T=-2"+8,又q=H=6=-2xl+8,所以%=-2〃+8,則｛%｝是遞減數(shù)

列，故A錯誤；

%o=T2,故B錯誤；

當(dāng)”>4時，an=8-2?<0,故C正確;

7

因為'=-"+7〃的對稱軸為“=],開口向下，而〃是正整數(shù)，且"=3或4距離對稱軸一樣遠(yuǎn)，所以當(dāng)〃=3

或4時，S“取得最大值，故D正確.

故選：CD.

10.等比數(shù)列｛%｝中％=16,牝=2,則數(shù)列｛log?q｝的前"項和的最大值為.

【答案】21

【分析】先求得數(shù)列｛%｝的通項公式，由此求得數(shù)列｛log/』的通項公式，可知數(shù)列｛log?%｝是等差數(shù)歹U，

然后根據(jù)通項公式的特征求得前〃項和的最大值.

【詳解】由于等比數(shù)列｛%｝中，%=16,&=2,

所以‘“"5解得q=64應(yīng)=:,

a1q~=22

所以=64x所以1叫4=7-〃，

所以數(shù)列｛log24｝是首項為6,公差為-1的等差數(shù)列,

當(dāng)時，log24>。；當(dāng)〃=7時，log2an=0；當(dāng)〃>7時，log2"〃<°，

則當(dāng)〃=6或〃=7時，數(shù)列｛log?的前〃項和取得最大值，最大值為6+5+4+3+2+1=21.

故答案為：21.

11.記等差數(shù)列｛?！埃那啊椇蜑镾,，若4>0,a2+a2O23=O,則當(dāng)工取得最大值時，n=.

【答案】1012

【分析】由出+出。23=。求出生和d的關(guān)系，結(jié)合等差數(shù)列前〃項和公式即可求解.

【詳解】設(shè)等差數(shù)列｛0｝的公差為d,由%+電。23=?？傻茫?一箋d,

r-r-p,c_,n(n-l)2023ndn(n-V)d2、

\以Sn=4——d=--------1---——d=~(7?-2024〃)，

因為弓>0,所以d<o,則s“是關(guān)于"的二次函數(shù)，開口向下，對稱軸“=1012,

由二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)可得：當(dāng)〃=1012時，S"取最大值，

故答案為：1012.

易錯點(diǎn)二：忽視兩個“中項”的區(qū)別(等比數(shù)列利用中項求其它)

1、等比數(shù)列的定義：如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的比等于同一個非零常數(shù)，那么這個

數(shù)列叫做等比數(shù)列，這個常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，公比通常用字母4表示。

數(shù)學(xué)語言表達(dá)式："二q(?>2,4為非零常數(shù)).

2、等比中項性質(zhì)：如果三個數(shù)a,G,b成等比數(shù)列，那么G叫做。與力的等比中項，其中G=±J法.

注意：同號的兩個數(shù)才有等比中項。

3、通項公式及前〃項和公式

(1)通項公式：若等比數(shù)列｛4｝的首項為對,公比是4,則其通項公式為

nm

通項公式的推廣：an=amq-.

(2)等比數(shù)列的前幾項和公式：當(dāng)4=1時，5“=眄；當(dāng)qwl時，=")=，

1-q1-q

已知｛見｝是等比數(shù)列，S,,是數(shù)列｛4｝的前幾項和.(等比中項)

1、等比數(shù)列的基本性質(zhì)

（1）相隔等距離的項組成的數(shù)列仍是等比數(shù)列，即%,%+,“，%+2,“，…仍是等比數(shù)列，公比為

⑵若&｝,但｝（項數(shù)相同）是等比數(shù)列，則｛久｝co）,卜］,｛4｝，｛見同，書］仍是等比數(shù)

列.

（3）若左+/=根+”（左,/,私"eN*）,則有&y=q

口訣：角標(biāo)和相等，項的積也相等推廣：a：=a『k?a“+k（n,kwN*,且n—kNY）

（4）若｛4｝是等比數(shù)列，且a”〉O,貝ij｛log〃4｝（。＞0且awl）是以log°q為首項，log"為公差的等

差數(shù)列。

（左€7^）構(gòu)成公比為/）的等比數(shù)歹I］。

（5）若｛%｝是等比數(shù)列，ak,則

lk12k

易錯提醒：若a,b,c成等比數(shù)列，則6為a和c的等比中項。只有同號的兩數(shù)才有等比中項，“b2=ac

僅是“b為。和c的等比中項”的必要不充分條件，在解題時務(wù)必要注意此點(diǎn)。

三9

例.已知各項均為正數(shù)的等比數(shù)列｛%｝中，+2。3a5+a4a6=25,則%+%等于（）

A.5B.10C.15D.20

【詳解】解：由等比數(shù)列的性質(zhì)可得如叢=2算a4a6=a/,

??a2a4+2a385+a4a6=+2a3a5+3.5—（a?+a。=25,

又等比數(shù)列｛0｝各項均為正數(shù)，；.a3+a5=5,選項A正確

變式1.已知等差數(shù)列｛g｝的公差dwO,且％,?3,旬成等比數(shù)列，則3;=（

Vi-nICd'AIc

A13n10八11n15

A.—D.—C.—D.—

16131316

【詳解】由題意可知，。；二6%得（4+2d）2=4（q+8d）,解得d=O或％=d,

因為d。0,故卬=d,

+%+為34+10d_13d13

所以

%+4+〃103q+13d16d16,

故選：A.

變式2.已知。，仇ccR,如果-1,。，b,。，-9成等比數(shù)列，那么（）

A.b=3,ac=9B./?=-3,ac=9

C.b=3fac=—9D.b=-3,ac=-9

【詳解】因為》是-1和-9的等比中項，所以"=(-1)x(—9)=9,設(shè)公比為心則6=-二,

所以6與首項T同號，所以6=-3.又a,。必同號，所以〃=〃=9.

故選：B

變式3.已知等比數(shù)列｛g｝中，a2+a6=5,a3-a5=4,貝ijtan］等/()

A.73B.-V3C.晶或-垂＞D.

【詳解】解：由等比數(shù)列性質(zhì)可知%q=%?%=4=d,所以。4=2或。4=-2,

=「an等-技

但〃2+〃6>0,可知的>。，所以。4=2,貝！Jtan

故選：B

,,S.-S,

1.已知等差數(shù)列｛%｝的前n項和為S“，公差不為0,若滿足％、的、%成等比數(shù)列，則的值為(

A.2B.3C.1D.不存在

【答案】A

【分析】根據(jù)題意，利用等比中項公式列出方程求得％=-41,結(jié)合即可求解.

【詳解】由等差數(shù)列｛%｝的前〃項和為S",公差不為0,若滿足%,“4成等比數(shù)列，

可得a；=%%，即(％+2dy=%(%+3d),整理得(q+4d)?d=0,

因為dwO,所以q=-4d,

—2d

又由S5—S3%+。52q+7d

故選：A.

2.已知公差不為零的等差數(shù)列｛%｝中，4+。5=14,且％,電，〃5成等比數(shù)列，則數(shù)列｛4｝的前9項的和

為()

A.1B.2C.81D.80

【答案】C

【分析】由題知%=7,肉=%為，進(jìn)而根據(jù)等差數(shù)列通項公式解得。=2,再求和即可.

【詳解】因為%+%=14,所以24=14,解得q=7.

又％,a2,%成等比數(shù)列，所以婚=4限.設(shè)數(shù)列｛““｝的公差為d,

則(%—2d)2=(g-3d)(%+d)，即(7—2d)2=(7—3d)(7+d),整理得屋_2d=o.

因為dwO,所以d=2.

所以9x(q+3=9x(l+17)=8i.

922

故選:C.

3.已知a=5+2#,c=5-2y/6,則使得4),。成等比數(shù)列的充要條件的》值為()

A.1B.±1C.5D.±2^/6

【答案】B

【分析】根據(jù)等比中項的性質(zhì)求解即可.

【詳解、若a，b,c成等比數(shù)列，則b2=ac,即6=+4ac=土?5+2痢(5-2屈=±1，

當(dāng)。=±1時,滿足〃=農(nóng),。，仇。成等比數(shù)列,

故使得"c成等比數(shù)列的充要條件的人值為±1.

故選：B

4.已知等差數(shù)列｛%｝的公差不為0,卬=1且%，/，4成等比數(shù)列，則錯誤的是()

A.^±^=2B.幺＞％C.A±L=WD.S,2a“

出+%/〃4幾+12

【答案】C

【分析】設(shè)出公差，根據(jù)題干條件列出方程，求出公差，求出通項公式4=",再利用通項公式和前〃項和

公式對四個選項一一計算，進(jìn)行判斷.

【詳解】設(shè)等差數(shù)列｛%｝的公差為d(dwO).

因為q=1且％,%，。8成等比數(shù)列，所以(l+3d)2=(l+d)(l+7d).

解得：d=1,所以aa=4+(〃T)d=l+(MT)x：l=〃.

Q]+〃91+9

對于A=2.故A正確;

%+為2+3

對于氏因為mH＞。,所以?故B正確;

(”+1)5+2)n+2

對于c：，《一?故C錯誤;

n+12(H+1)2

對于D：因為s.一a”=當(dāng)@一〃=若4,所以當(dāng)“21時，S"一見=若420,即S“2%.故D正確.

故選:C

5.正項等比數(shù)列｛〃〃｝中，4%是。5與-2%的等差中項，若。2=；，則。3。5=（）

A.4B.8C.32D.64

【答案】D

【分析】依題意4%是。5與-2g的等差中項，可求出公比9,進(jìn)而由的=g求出。4,根據(jù)等比中項求出％為

的值.

【詳解】由題意可知，4%是生與-2%的等差中項,

所以為-22-8%，即//-2a3q=8%，

所以/_2q_8=0,q=4或q=-2（舍），

所以&=a?q=8,

a3a5~〃4=64,

故選：D.

6.已知實數(shù)4,〃,9構(gòu)成一個等比數(shù)列，則圓錐曲線工+/=1的離心率為（）

m

A.典B.77C.叵或近D.9或7

666

【答案】C

【分析】根據(jù)等比中項可求加=±6,然后代入曲線方程分別得到曲線為橢圓和雙曲線，根據(jù)離心率的公式

即可求解.

【詳解】實數(shù)4,加，9構(gòu)成一個等比數(shù)列，可得加=±6,

當(dāng)機(jī)=6時，圓錐曲線直+丁=1為橢圓，則其離心率為：$=我.

mV66

當(dāng)機(jī)=-6時，圓錐曲線二+產(chǎn)=1為雙曲線,其離心率為：工幣.

m1

故選：C.

a

7.數(shù)列｛〃〃｝為等比數(shù)列，=1,%=4,命題p:a3=2,命題q：%是為、5的等比中項，則。是4的（)

條件

A.充要B.充分不必要C.必要不充分D.既不充分也不必要

【答案】A

【分析】根據(jù)等比中項的定義結(jié)合等比數(shù)列的定義判斷可得出結(jié)論.

【詳解】因為數(shù)列｛%｝為等比數(shù)列，且4=1,%=4,若%=2,則%=%，

則%是生、。5的等比中項，即pnq；

若%是％、%的等比中項，設(shè)｛%｝的公比為加，則的=%小>。，

因為。；=%%=4,故%=2,即P<=4.

因此，〃是q的充要條件.

故選：A.

8.在數(shù)列｛%｝中，4=2,%=2q,+](〃eN*),則弓生+%4+…+即)。12=().

A.1x(410-l)B.|x(4"-l)

c-畀/1D-

【答案】D

【分析】由等比數(shù)列定義可知數(shù)列｛4｝為等比數(shù)列，結(jié)合等比數(shù)列性質(zhì)可知數(shù)列｛碼是以4為首項，;為公

比的等比數(shù)列，結(jié)合等比數(shù)列求和公式可求得結(jié)果.

【詳解】.弓=2,an=2an+1(neN*),即a"+i=g。"，

數(shù)列｛4｝是以2為首項，g為公比的等比數(shù)列，

_2_2_2_2

又?jǐn)?shù)列｛〃；｝是以4為首項，：為公比的等比數(shù)列，

..q/+a2a4+,,,+〃10%2—(q+%+/+，,,+41)q—4

1--

4

16rl1)/4414.(1Y°^

kF一聲尸『寸六一⑺!

故選:D.

9.已知｛4｝是等差數(shù)列，公差d<0,前〃項和為s“，若〃3，〃4，。8成等比數(shù)列，貝！K)

A.4>0,S4>0B.%<0,S4<0C.。1>0,S4<0D.q<0,54>0

【答案】A

【分析】首先由。3，。4，“8成等比數(shù)列可得42=。3%，然后計算得出％=-(1，再由/<0可得外>0,最

后由等差數(shù)列的前“項和公式即可得出S,的表達(dá)式，進(jìn)而得出所求的答案.

【詳解】因為生，〃4，。8成等比數(shù)列，所以。「二生必，

5

即(/+3d>9=(6+2d)(〃i+Id),即q=——<7,

因為d<0,所以4>0；

4x3S9

而邑=4q+-^—tZ=44+6d=4x(-§d)+6d=一1>。，

故選：A.

10.數(shù)1與4的等差中項，等比中項分別是()

5555

A.±—j±2B.一,±2C.—,2D.i—,2

2222

【答案】B

【分析】利用等差、等比中項的性質(zhì)求對應(yīng)中項即可.

【詳解】若等差中項為如則2m=1+4=5,可得m=|；

若等比中項為〃，則〃2=ix4=4,可得"=?2；

故選：B

11.已知數(shù)列｛4｝是等差數(shù)列，4=2,其中公差若應(yīng)是%和1的等比中項，則幾=(

A.398B.388

C.189D.199

【答案】C

【分析】數(shù)列｛%｝是等差數(shù)列，%=2,其中公差d/O,由。5是％和W的等比中項，可得

(2+4d)2=(2+2d)(2+7d),解得《即可得出.

【詳解】解：數(shù)列｛4｝是等差數(shù)列，4=2,其中公差dwO,火是附和網(wǎng)的等比中項,

(2+4dy=(2+2d)(2+Id),

化為d(d-1)=0,d^0.

所以d=l,

1817

則S18=18x2+^xl=189.

故選：C.

易錯點(diǎn)三：忽略等比數(shù)列求和時對4討論(等比數(shù)列求和)

等比數(shù)列前八項和的性質(zhì)

(1)在公比qw—1或4=-1且〃為奇數(shù)時，sn,S2n-Sn,S3n-S2n,……仍成等比數(shù)列，其公比為/；

(2)對Vm,peN*,有S*p=Sm+qmSp；

(3)若等比數(shù)列｛%｝共有2〃項，則覿=4,其中S偶，S奇分別是數(shù)列｛”,｝的偶數(shù)項和與奇數(shù)項和；

3奇

(4)等比數(shù)列的前幾項和s“=攔一一A-q",令左=3,則S,=k—hq"(左為常數(shù)，且4W0,1)

1-q1-q1-q

?26Z],q=1

易錯提醒：注意等比數(shù)列的求和公式是分段表示的：s“=-0",所以在利用等比數(shù)列求和公式

—：-----，#]

Ii-q

求和時要先判斷公比是否可能為1,,若公比未知，則要注意分兩種情況°=1和討論..

例?設(shè)等比數(shù)列｛4｝的前〃項和為S,.已知S向=2S,+g,〃eN*,則$6=.

【詳解】當(dāng)｛%｝的公比為1時，由S同=2S“+；可知顯然不成立，故公比不為1,

由S“+i=2Sn+—^Sn+l-S?=Sn+—^>an+l=Sn+—,

所以"22時，a“=S._i+g,相減可得為+i-%=SM—SL]=a“na“+[=2%,故公比q=2,又

a2=%+；?2%a1+g?Q]g,

故&j(l一2‘)63,故答案為：W

o=------=—2

61-22

變式1.記S“為等比數(shù)列｛%｝的前A項和，若邑=-5,$6=21邑，則$8=.

【詳解】等比數(shù)列｛〃"｝中，$4=5,$6=2電，顯然公比4W1,

設(shè)首項為生,則牛心=_5①，*￡1=生盧?②，

\-q1-ql-q

化簡②得/+/-20=0,解得d=4或/=-5(不合題意，舍去)，

代入①得詈-=T，

l-q3

所以58=叩或=片(1一/)(1+/)=:'(-15”(1+16)=—85.

1-q\-q3

故答案為：-85

變式2.在等比數(shù)列｛叫中，6=g,a4=-4,令2=⑷，求數(shù)列也｝的前〃項和S..

【詳解】設(shè)等比數(shù)列｛%｝的公比為4,%=g,%=-4，

所以%=一4,解得：＜/=-2,

所以。"=4,'(-2)"1,

又勿=①|(zhì)=；(-2)"T=2"，所以§/(I")4——.

2〃1-22

變式3.數(shù)列｛氏｝前〃項和S"滿足%=25.+3嗎=3,數(shù)列也｝滿足6,=logs系.

⑴求數(shù)列｛嗎和色｝的通項公式;

(2)對任意小eN*,將數(shù)列也,｝中落入?yún)^(qū)間(4,。,“+J內(nèi)項的個數(shù)記為％,求數(shù)列｛%｝前機(jī)項和Tm.

【詳解】（1）q=3,〃〃+i=2S〃+3①，當(dāng)〃=1時，％=2SI+3=9,

當(dāng)〃22時，冊=2S〃_]+3②,

兩式①-②得an+\~an=2冊,即。用=3%,

其中%=9=3%,也滿足上式，

故｛g｝是以3為首項，3為公比的等比數(shù)歹U，

故4=4.3〃一1二3〃；

〃333n

^-log3y=log3—=3^-2；

(2)4,%)=(3"',3叫，

令3”<3〃-2<3叫解得產(chǎn)+白”中+:又“eN*,

33

故刀=3〃T+1,3*1+2,,3―則％=3"-3小=2?3力,

「23m

故3=歹行=3,所以｛%｝為等比數(shù)列，首項為。=2,公比為3,

Cm

1.已知｛4｝為等比數(shù)列，其公比q=2,前7項的和為1016,貝fJlogzQ%）的值為（）

A.8B.10C.12D.16

【答案】C

【分析】根據(jù)等比數(shù)列的前〃項和公式求出首項外,進(jìn)而可得冊，再結(jié)合對數(shù)運(yùn)算即可得答案.

【詳解】依題意，s,=3gl=1016，127a,=1016,解得4=8,因此四=2"+2,

71-2

5712

所以log2（G3?5）=log2（2X2）=log22=12.

故選：C

2.已知正項等比數(shù)列｛4｝的前〃項和為S,，若4=1,9邑-1052=0,則$5=（）

,1340121n80

A.—D.—C.—D.—

9278127

【答案】C

【分析】由等比數(shù)列的前〃項和公式直接計算即可.

【詳解】設(shè)等比數(shù)列｛%｝的公比為4，

當(dāng)4=1時，9s4-IOS?=36q-20%=16q*0,不符合題意，（注意對q=1情況的討論），

所以qwl,由9s「IO邑=0得9X°*一44）=10義1（1-"）得4=:，（注意等比數(shù)歹￡4｝為正項數(shù)歹U,故

l-q\-q3

"0),

3

故選：C.

3.已知。i=l,%=1,an=an_x+2an_2+l(H>3,〃EN*),S〃為其前〃項和，貝!JSe。=()

A.230-31B.430-31C.230-30D.430-30

【答案】B

【分析】利用遞推關(guān)系構(gòu)造得｛q+為7+1｝是一個以3為首項，2為公比的等比數(shù)列，再賦值，結(jié)合等比數(shù)

列的前〃項和公式求答案.

【詳角軍】由+2。〃一2+1Cn>3,neN*)可得為+4_i+1=2q_[+2aA2+2=2(%_]+4_2+1),

已知4=1,a2=l,所以%+%+1=3,

即｛q+4T+1｝是一個以3為首項，2為公比的等比數(shù)列，

所以%+%_i+1=3x2”一2,即%+*=3x2n-2-l(n>2,neN*),

%+6?2=3x2°—1,%+“4=3x2?—1,%+4=3x2，—1,L,%9+Ro=3x—1,

§60=%+。2++”60=3(2°+2?++2^8)—30

1-430

=3x------30=43。-31,

1-4

故選B.

4.在等比數(shù)列｛〃〃｝中，%=1，%=8,則()

A.｛a/小｝的公比為4B.｛k&q｝的前20項和為170

C.｛%｝的前10項積為235D.｛4+%｝的前〃項和為I『-1)

【答案】ABC

【分析】利用