2024年高考數(shù)學(xué)二輪熱點題型歸納與變式演練：基本不等式歸類（學(xué)生版全國）

專題7-2基本不等式歸類

【題型一15S

【典例分析】

在下列函數(shù)中,最小值是2的是

X2X+2(7T

A.y=—HB.y=I----(x>0)C.y=sinx+cosx,xe0,—

2xJx+lI2

D.y=7x+7-x

【提分秘籍】

基本規(guī)律

1.基本公式（1）a~+b2>2ab；（2）a+b>2y/ab;（3）ab<

2.一正二定三相等。是均值成立的前提條件。

【變式演練】

1.已知關(guān)于x的不等式x2-5ax+2a2<0（a>0）的解集為（再,%），則X+工2+子的

最小值是?

2.若以匕都是正數(shù)，貝?。?+的最小值為（）.

A.5B.7C.9D.13

3.在區(qū)間［-2,4］上隨機地取一個數(shù)x,使"+J非恒成立的概率是（）

【題型二】“1”的代換型

【典例分析】

,2x+y7r-

已知x,y均為正頭數(shù)，且'-----=—+\/6,則x+3y的最小值為__________

xy2

【提分秘籍】

基本規(guī)律

“1”代換是基本型，要留意

1.一正二定三相等

2.見分子想分母，見分子想分子。

【變式演練】

321

1.已知a>0,b>0,—+—=l,則2a+3A的最小值為（)

ba

A.20B.24C.25D.28

4則l+3b的最小值為（

2.已知a>0,b>0,3QH—=I,)

ba

A.13B.19C.21D.27

則山+山

3.已知正實數(shù)。，力滿意。+力=1,的最小值為一

ab

【題型三】“和"與“積”互消型

【典例分析】

已知小y都是正數(shù)，且滿意x+2y+孫=30,則沖的最大值為

【提分秘籍】

基本規(guī)律

1.有“和”、“積”無常數(shù)，可以同除，化回到“1”的代換型。如變式1

2.有“和”、“積”有常數(shù)求積型，可以借助基本不等式構(gòu)造不等式求解，如典例分析

3..有“和”、“積”有常數(shù)求和型，可以借助基本不等式構(gòu)造不等式求解，如變式2

授課時，留意這類求和時，基本所求和與原式和系數(shù)“一樣”，不一樣，則可以用反解代入

消參等方法

【變式演練】

1.已知x>0,y>0,且4x+2y-孫=0,貝!]2x+y的最小值為（）

A.16B.8+4痣C.12D.6+40

2.已知久>0,y>。，且2x+9y+6孫=9,則2x+9y的最小值為.

3.已知x,y>0,x+2y+xy-6=0,貝！]（多選題）

A.孫的最大值為2B.尤+2y的最小值為4

C.的最小值為3D.的最小值為40-3

【題型四】以分母為主元構(gòu)造型

【典例分析】

_19

已知非負(fù)數(shù)x，y滿思龍+y=i,則—~+—^的最小值是（）

x+ly+2

A.3B.4C.10D.16

【提分秘籍】

基本規(guī)律

構(gòu)造分母型：

1.以分母為主元構(gòu)造，對于一般學(xué)生，也可以干脆分母換元，改變后為“1”的代換，如典

例分析

2.構(gòu)造過程中，分子會有分母參數(shù)的改變，可以分別常數(shù)后再構(gòu)造分母，如變式2

3.變式3是三項構(gòu)造，且無條件等式。

【變式演練】

1.已知且77T+11,則x+2y-l的最小值為（)

A.9B.10C.11D.7+2指

4/7b

2.已知正數(shù)。、b滿意。+6=1,則產(chǎn)+二的最小值是（)

l-a\-b

A.1B.2C.4D.8

41

3.設(shè)x>y>0,則尤++的最小值為（）

yx-y

A.3V2B.273C.4D.3M

2

【題型五】構(gòu)造分母：待定系數(shù)

【典例分析】

已知正實數(shù)x,y滿意4x+3y=4,則丁二+丁二的最小值為（）

2x+l3y+2

A.3+正B.L變dD.L也

84232322

【提分秘籍】

基本規(guī)律

特征：條件等式和所求式子之間變量系數(shù)“不一樣”

方法：直觀湊配或者分母換元

【變式演練】

1.知正實數(shù)X、y滿意——+-1,則％+y的最小值為（)

x+3y2ox+y

A3+2后口3+30「2+2&n2+3加

一5555

2.已知a>0,b>0,a+2b=l,則一—+」一取到最小值為________

3a+4ba+3b

【題型六】分子含參型：分別分子型

【典例分析】

若4元＞丫＞0,則--+二的最小值為____________.

—yy

【提分秘籍】

基本規(guī)律

1.分別分子原理題，如典例分析

2.分子二次型換元分別，如變式2

3.分子二次型湊配構(gòu)造分別，如變式3

【變式演練】

1.已知正實數(shù)。涉滿意a+2b=2,則O+型的最小值是（）

ab+l

2.若…-且—，則三+其的最小值為-------

3.若正實數(shù)x,y滿意2x+y=2,則4,2的最小值是.

----+-...

y+12x+2

【題型七】反解代入型:消元法

【典例分析】

113

已知正數(shù)。，6滿意上+；=2,則三一。的最大值為______.

abb+\

【提分秘籍】

基本規(guī)律

條件等式和所求等式之間互化難以實現(xiàn)，可以借助反解代入消元，再重新構(gòu)造。

【變式演練】

2m

1.已知而＞1,心0,且加+2〃=3m，則-+~~的最小值為（）

m-14n

993

A.—B.—C.—D.2

422

31

2.若正數(shù)。，b滿意a+b+2=他，則:+「的最小值是_____,此時〃=_______.

a—1b—1

11Y

3.若正實數(shù)x，y滿意—+一+二=4則X+-+一的最小值為___________

尤yy尤y

【題型八】因式分解型

【典例分析】

非負(fù)實數(shù)X，＞滿意2孫+尤+6/—6=0,貝!|尤+2y的最小值為.

【提分秘籍】

基本規(guī)律

特征：條件式子困難，一般有一次和二次（因式分解綻開就是一次和二次），可能就符合因

式分解原理

【變式演練】

1.已知d且(a+A)(a+2A)+a+A=9,則3a+4Z?的最小值等于

2.已知x>0,y>0,且2x+4y+孫=1,則x+2y的最小值是_.

3.已知a,beR+,且(a+b)(a+2b)+a+b=9,則3a+4b的最小值等于

【題型九】均值用兩次

【典例分析】

“，"c是不同時為0的實數(shù)，則;比的最大值為()

a+2b-+c

【提分秘籍】

基本規(guī)律

兩次均值，逐次消去，取等條件一樣

【變式演練】

14尤2丫？

1.設(shè)正實數(shù)尤，V滿意x>—,y>l,不等式——+二-2加恒成立，則機的最大值為

2y-12x-l

()A.8B.16C.2夜D.472

則會的最小值為

2.已知a>0,b>0,

3.已知正實數(shù)“，b,c滿意〃+462=3c?,則￡+三的最小值為______

a2b

【題型十】換元型

【典例分析】

已知實數(shù)X,y滿意方程f+/+2x_2尸0,貝！11x|+3的最大值為

A.2B.4C.372D.2+拒

【提分秘籍】

基本規(guī)律

1.二次配方型，可以三角換元

2.和前邊分母構(gòu)造換元型一樣，可以代數(shù)換元，如變式1

3.齊次分式同除型，可以代數(shù)換元，如變式3

【變式演練】

1.若a,beR,且a?+2ab-3b2=1,則a?+b?的最小值為

2.已知x2_2"xy+5y2=1，x,y￡R，則x?+y2的最小值為

x2x+y

3.已知1，y為正實數(shù)，則「+丁的最小值為——.

【題型十一】“和”與所求和系數(shù)不一樣型

【典例分析】

1、已知a>0,b>0,且2a+Z?=aZ?—l,則。+2）的最小值為

A.5+2#B.8A/2C.5D.9

【提分秘籍】

基本規(guī)律

1.可以簡潔的反解代入消去，如典例分析

2.可以整體配湊構(gòu)造（換元），如變式1

3.可以“無中生有”構(gòu)造消去，如變式2

4.也可以因式分解，參考專題八

【變式演練】

4爐v2

1.若正實數(shù)X,y滿意2x+y=2,則—+的最小值是___________

y+12x+2

2.已知正實數(shù)x,y,滿足x2+/+1_L+1_L=77幺，求p1=52—3上的最小值

xy4x4y

3.已知正實數(shù)x,y,滿足x+y+2+￡=8,求p=x-2的最小值

xyy

【題型十二】“均值裂項”湊配型

【典例分析】

"V?+0Y7

已知實數(shù)x,y,z不全為0,則叩=2y：2的最小值是—，最大值是

x+y+z

【提分秘籍】

基本規(guī)律

利用輪換和對稱特征，適當(dāng)?shù)牧秧棙?gòu)造均值。

【變式演練】

1.不等式2Tl+對隨意正數(shù)x,y,z恒成立，則a的最大值是___________

x+2y~+z2

2.已知實數(shù)仇c滿意。2一8。一兒+7=0力2+。2+尻-6。+6=0,則實數(shù)。的取值范圍是

3.已知a>0,b>0,c>4,且a+b=2,貝|竺+￡一￡+正的最小值為.

bab2c-2

【題型十三】整體化同乘方程型

【典例分析】

已知實數(shù)X,y滿意x>l,y>0且x+4y+—^+,=11.則」■；?+,的最大值為____.

x-1yx-\y

【提分秘籍】

基本規(guī)律

求誰設(shè)誰，構(gòu)造方程用均值

【變式演練】

1.已知正數(shù)1:1滿意：吟方+工品d=:網(wǎng)，則?+）的最大值為

rii￥

13

2.已知羽y為正數(shù)，且犬+―+3y+—=10,則x+3）的最大值為.

%V

【題型十四】三元最值型

【典例分析】

已知實數(shù)。也C滿意卜2+：/+。2=1,則?豳患鼻疑:黑N曲的取值范圍是

A.（-℃,4]B.[-4,4]C.[-2,4]D.[-1,4]

【變式演練】

1.若實數(shù)。、b、ceR+>且ab+ac+6c+2V^=6-a2,貝!12a+b+c的最小值為

A.75-1B.V5+1C.2石+2D.275-2

2.已知a,6,c>0,S.a2+b2+c2=10,貝1Ja6+ac+歷的最大值是>而+ac+2Z?c的最

大值是.

3.若正實數(shù)a,b,c滿意ab=a+2b,abc=a+2b+c,則c的最大值為.

【題型十五】恒成立求參數(shù)型

【典例分析】

對隨意正實數(shù)4,6不等式亭義+幺蛆拓恒成立，則（

)

2a+b

A.實數(shù)4有最小值1B.實數(shù)2有最大值1

C.實數(shù)九有最小值gD.實數(shù)X有最大值g

【變式演練】

14Y2y2

1.設(shè)正實數(shù)滿意x>±y>l,不等式二三+」2機恒成立，則機的最大值為

2y-12x-l

()

A.8B.16C.2A/2D.4&

2.正數(shù)4,6滿意。+6=1,若不等式'+*士尤2+4犬+3+相對也€[-3,0],a,6e/?+恒成立，則

ab

實數(shù)〃7的取值范圍是()

A.[3,+co)B.(-0o,3]C.CMD.[6,+OO)

3.設(shè)都是正數(shù)，且使=求實數(shù)上的最大值.

【題型十六】超難壓軸小題

【典例分析】

設(shè)為正實數(shù)，若4/+9+孫=1則而等言y的取值范圍是

【變式演練】

L若無，>均為正實數(shù)，則'：+二+1的最小值為_______.

(x+2)y—

2'已知a,be[0,11則S(a,b)=發(fā)的最小值為

+FTI+(『a)(1-b)

(4+6)2

3.已知則的最小值為一

力2-1+揚_4

微隨景新?？级亻泔?/p>

41

1.已知正實數(shù)。，b滿意〃+—=1,則一+6的最小值為()

ba

A.4B.6C.9D.10

2.已知。>0,b>0,且〃+2Z?=3QZ?,貝！的最小值為()

「8「4D.述

A.1B.—C.一

993

3.已知且Q匕=a+b+3,則〃+/?的最小值為()

A.4B.8C.7D.6

21

4.、設(shè)且ab=2,則〃+—-大的最小值是()

a(a-b)

A.1B.2C.3D.4